STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni Analisa Real

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

PENDAHULUAN
Analisis riil merupakan cabang dari analisis matematika yang membahas
himpunan bilangan riil dan fungsi-fungsi dalam bilangan riil. Analisis riil dapat
dianggap sebagai kalkulus yang lebih mendalam, dan juga pembahasan secara
lebih mendalam mengenai konsep barisan dan limit barisan, kekontinuan,
turunan, integral, dan barisan dari fungsi-fungsi.
Penjelasan analisis riil pada buku-buku pelajaran tingkat lanjut biasanya dimulai
dengan pembuktian sederhana mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian
konsep-konsep fungsi yang jelas, dan pengenalan kepada bilangan-bilangan asli
dan pentingnya teknik pembuktian menggunakan induksi matematika.
Lalu dilanjutkan dengan pengenalan bilangan riil baik secara aksioma, ataupun
melalui pembentukan dengan barisan Cauchy, ataupun potongan Dedekind
(Dedekind Cut) pada bilangan rasional. Hasil yang mendasar kemudian dapat
diperoleh,

yang

terpenting

adalah

sifat-sofat

dari

nilai

mutlak

seperti

pertidaksamaan segitiga dan pertidaksamaan Bernoulli.
Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan
barisan. Beberapa hukum yang mengatur proses pelimitan dapat diturunkan, dan
beberapa limit dapat dihitung. Deret tak hingga, yang merupakan barisan yang
khusus, juga dipelajari. Deret pangkat digunakan untuk mendefinisikan dengan
jelas beberapa fungsi yang penting, seperti fungsi eksponensial dan fungsifungsi trigonometri. Beberapa tipe penting dari subhimpunan bilangan riil, seperi

himpunan-himpunan terbuka, himpunan-himpunan tertutup, himpunan-himpunan
kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan kemudian.
Konsep mengenai kekontinuan kemudian dapat dijelaskan menggunakan limit.
Hasil jumlah, kali, komposisi, dan bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah
fungsi yang kontinu juga, dan teorema nilai tengah yang penting juga terbukti.
Ide mengenai turunan mungkin dapat diperkenalkan sebagai suatu proses
pelimitan tertentu, dan hukum-hukum turunan yang umum dari kalkulus dapat
hal : 1

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

dijelaskan dengan lebih terperinci. Teorema yang penting disini adalah teorema
nilai tengah.
Kemudian, integrasi (Riemann dan Lebesgue) dan pembuktian teorema dasar
kalkulus dapat dilakukan, dengan menggunakan teorema nilai tengah.
Pada pencapaian ini, adalah sangat berguna untuk mempelajari ide dari
kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, agar kemudian dapat
memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Ini dapat dilakukan dalam topologi

himpunan titik dan menggunakan ruang metrik. Konsep-konsep seperti
kekompakan, kelengkapan, ketersambungan, kekontinuan yang seragam,
keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat didefinisikan dan diperiksa.
Limit-limit dari fungsi-fungsi dapat diambil untuk mengubah orde dari integral,
turunan, dan limit. Ide dari kekonvergenan yang seragam sangat penting dalam
hal ini. Adalah sangat berguna untuk memiliki pengetahuan yang mendasar
mengenai ruang-ruang vektor yang normal dan ruang hasil kali dalam. Barisan
Taylor dapat juga dijelaskan di sini.

BARISAN DAN DERET
BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu. Suku-suku suatu
barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan
bilangan asli (n = natural = asli)
Contoh:
1. Un = 2n – 1
adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n  N = {1,2,3,.....}
Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....

hal : 2

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9
Rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 1/3n

DERET adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan. Deret disimbolkan dengan
Sn , dimana Un = Sn – Sn-1.
Contoh :
Tentukan Un jika Sn = 4n2 + 3n
Jawab :
Un = Sn – Sn-1
= 4n2 + 3n – (4(n – 1)2 + 3(n - 1))
= 4n2 + 3n – (4(n2 – 2n + 1) + 3n - 3)
= 4n2 + 3n – 4n2 + 8n - 4 – 3n + 3
= 8n - 1

BARISAN ARITMATIKA
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika

U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b

hal : 3

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b)  Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n  Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S n")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
hal : 4

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1),

dst.

5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt  Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk
memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah :
a-b,a,a+b

BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1  fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
hal : 5

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r Un-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
6. Ut =

u 1 xu n

=

u 2 xu n 1

,

dst

7. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/
r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
hal : 6

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + ..............................


 U = a + ar + ar² .........................
n

n 1

dimana n   dan -1 < r < 1 sehingga rn  0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S∞ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk
-1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

hal : 7

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

BARISAN TAK HINGGA
Suatu barisan apabila banyaknya suku-suku terbatas, maka barisan tersebut
dikatakan BARISAN BERHINGGA, sebaliknya apabila banyaknya suku-suku
suatu barisan tak berhingga maka dikatakan BARISAN TAK HINGGA.
Suku ke-n dari suatu barisan disimbolkan dengan lambang U n , sedangkan
jumlah dari suku-suku suatu barisan yaitu U 1 + U2 + ... + Un = Sn, dimana Sn
menyatakan jumlah suku-suku suatu barisan yang disebut dengan DERET.

LIMIT SUATU BARISAN
Sebuah bilangan L dikatakan menjadi limit dari suatu barisan tak hingga u 1, u2,
u3, ....apabila untuk setiap bilangan positip ε yang diberikan (betapapun kecilnya)
dapat ditemukan sebuah bilangan N sedemikian rupa sehingga |u n – L| < ε untuk
semua bilangan bulat n > N
Contoh :
Un = 2 +

1
n

Penyelesaian :
lim
x 

Un = lim
x  2 +

1
n

=2+

1


=2+0=2

TEORI LIMIT
1.

lim

lim bn
(an ± bn) = lim
n   an ±
n 

2.

lim

lim bn
(an bn) = lim
n   an
n 

n 

n 

hal : 8

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

3.

4.

lim
n 

lim
n 

an
bn

=

lim a n

Analisa Real

asal lim
n   bn ≠ 0

n 

lim bn

n 

p
(an)p = ( lim
n   an)

p sembarang bilangan nyata

CONTOH :
Hitunglah :
3n 2  n
a. lim
=
n 
2
2 n 1

3
2

2n 2  3
b. lim
=0
n 
3
4 n 1

c. lim
n 

n2  2
3n  2

d. lim
n 



=∞

n 1 

n

=

lim
n 



 n 1 
n 
 n 1 




n 1 

n

n


n 1  n

= lim
n 

n 1 

= lim
n 

n 1 

n

1
n

=0

TERBATAS, BARISAN MONOTON
Suatu barisan dikatakan TERBATAS apabila ada sebuah bilangan positip M,
tidak tergantung pada n, sedemikian rupa sehingga |u n| ≤ M untuk n = 1,2,3...
Contoh :

hal : 9

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

3 ,

5
2

,

7
3

,

9
4

Analisa Real

, ...terbatas, karena harga mutlak setiap suku tidak pernah
melampaui 3

2, 4, 6, 8, ... tidak terbatas
Contoh :
Buktikan bahwa barisan yang diberikan U n =

3n  1
n2

adalah terbatas dan

monoton naik !
Penyelesaian :
Barisan terbatas oleh 3 ( sembarang bilangan lebih besar dari 3 ), karena
3n  1
n2

≤ 3  3n+1 ≤ 3n+6 atau 1 ≤ 6 yang mana benar untuk semua nilai n.
3(n 1) 1

Barisan monoton naik apabila U n+1 ≥ Un; ( n 1)  2 ≥

3n  1

n2

(3n+4)(n+2) ≥

(n+3)(3n+1) atau 3n2+10n+8 ≥ 3n2+10n+8 atau 8 ≥ 3 yang mana benar untuk
semua nilai n

Sebuah barisan dikatakan MONOTON NAIK bila U n+1 ≥ Un, sedangkan barisan
dikatakan MONOTON TURUN bila Un+1 ≤ Un
Contoh :
3,2,1,0,-1,-2,...

barisan monoton turun

1,2,3,4,5,...

barisan monoton naik

KONVERGEN / DIVERGEN DERET TAK HINGGA

hal : 10

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

S n = S, bilangan
Suatu deret tak hingga dikatakan KONVERGEN apabila lim
x 

berhingga, sebaliknya dikatakan DIVERGEN.
Contoh :
deret :

1
2

+

1
1
+ 3 + ...
22
2

Sn = 1 -

lim Sn
x 

1
2n
1
= lim
x  1 n = 1
2

deret KONVERGEN

deret : 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - ...

Sn = 1

untuk n ganjil

Sn = 0

untuk n genap

lim
x 

Sn tidak ada

deret DIVERGEN
Apabila deret KONVERGEN maka suku ke-n harus mempunyai limit NOL untuk
n  ∞, tetapi apabila suku ke-n tidak mempunyai limit NOL untuk n  ∞, maka
deret bisa KONVERGEN atau DIVERGEN.

hal : 11

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

UJI PERBANDINGAN UNTUK KONVERGENSI
Apabila dari beberapa suku, setiap suku positip dari sebuah deret yang diberikan
lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari deret KONVERGEN
yang diketahui maka deret yang diberikan adalaj KONVERGEN

Apabila dari beberapa suku, setiap suku positip dari sebuah deret yang diberikan
lebih besar atau sama dengan suku yang bersesuaian dari deret DIVERGEN
yang diketahui maka deret yang diberikan adalaj DIVERGEN

Dua deret yang berguna dalam tes perbandingan
1.

Deret GEOMETRI : a + ar + ar2 + ...
KONVERGEN bila |r| < 1
DIVERGEN bila |r| ≥1

2.

Deret P :

1
1
1
+ p + p + ...
p
3
1
2

p konstan

KONVERGEN bila p > 1
DIVERGEN bila p ≤ 1
jika p = 1 diperoleh DERET HARMONIS DIVERGEN

hal : 12

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

UJI RASIO UNTUK KONVERGENSI
Untuk deret U1 + U2 + U3 + ...dengan tanda yang sama atau campuran, ambil :
lim u n 1
un

x 

KONVERGEN

bila R < 1

DIVERGEN

bila R > 1

UJI GAGAL

bila R = 1

=R

UJI AKAR UNTUK KONVERGENSI
Untuk deret U1 + U2 + U3 + ...dengan tanda yang sama atau campuran, ambil :
lim
x 

KONVERGEN

bila L < 1

DIVERGEN

bila L > 1

UJI GAGAL

bila L = 1

n

Un

=L

UJI INTEGRAL
Jika fungsi f adalah bernilai positip, kontinu dan menurun untuk x ≥ 1, kemudian :
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) + ...

hal : 13

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni



KONVERGEN jika f ( x ) dx

Analisa Real

KONVERGEN

1



DIVERGEN jika f ( x ) dx

DIVERGEN

1

Contoh :
Deret : 1 +

1
2

+

1
3

+ ... +

1
n

+ ...

Penyelesaian :


1

1 x

dx = lim
t 

t

1

dx

x
1

= lim
t 

ln x

t
1

= lim
t   [ln t - ln 1]
= ln ∞ - 0
=∞

DIVERGEN

DERET BERGANTI TANDA
Deret berganti tanda adalah sebuah deret yang suku-sukunya bergantian positip
dan negatip.
Contoh :
1 – ½ + 1/3 – ¼ + ......
Deret berganti tanda KONVERGEN bila :

hal : 14

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni



U n 1



lim
n 

<

Analisa Real

Un

Un = 0

KONVERGENSI MUTLAK DAN BERSYARAT
Deret KONVERGEN MUTLAK apabila deret dibentuk dengan membuat semua
tanda positip KONVERGEN, sedangkan sebuah deret KONVERGEN yang
bukan konvergen mutlak adalah KONVERGEN BERSYARAT.
Contoh :



1-

1
2

1
1
1
- 3 + ... adalah KONVERGEN MUTLAK karena 1 +
+
2
2
2
2

+

1
1
+ ... KONVERGEN
2 +
2
23


1 -

1
1
+
2
3

1
4

+ ... adalah KONVERGEN tetapi tidak KONVERGEN

MUTLAK karena 1 +

1
1
+
+
2
3

1
4

+ ... DIVERGEN. Sehingga deret

bergantian tanda tersebut adalah KONVERGEN BERSYARAT.

DERET PANGKAT
Sebuah deret

berbentuk c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn + ... dimana koefisien-

koefisien c0, c1, c2, ... adalah konstan, disebut DERET PANGKAT dalam x.
Contoh :
1+x+

x2
2

+

x3
3

+ ....

deret pangkat dalam x

hal : 15

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

Himpunan nilai-nilai x yang membuat deret pangkat konvergen disebut
INTERVAL

KONVERGENSI.

Interval

tersebut

bisa

diperoleh

dengan

menggunakan uji perbandingan ditambah dengan uji lainnya yang diterapkan
pada titik akhir interval.
Contoh :
Carilah interval konvergensi deret
x+

x2
2

+

x3
3

+

x4
4

+ ...

Penyelesaian :
Un 

lim

n 

xn
n

dan

U n 1
Un

U n 1 

= nlim
 

x n 1
n
 n
n 1 x

= x nlim
 
=

x n 1
n 1

n
n 1

x

Deret KONVERGEN jika

x

< 1 atau -1 < x < 1

hal : 16

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real

Deret Taylor dan Deret McLaurin
Fungsi f merepresentasikan deret kuasa pada (x – c) sedemikian hingga :


f ( x)   a n ( x  c ) n
n 0

=

a0

+ a1 ( x  c) + a 2 ( x  c) 2 + ...

jika fungsi f diturunkan sampai turunan ke-n, diperoleh :
f ' ( x )  na n ( x  c ) n 1
f ' ' ( x )  n( n 1) a n ( x  c) n 2

...
f

k

( x )  n( n 1)(n  2)...(n  k 1) a n ( x  c ) n k

Jika disubstitusikan c pada x, diperoleh :
f (c )  a 0

f ' ( c )  a1

f ' ' (c )  2 a 2
f ' ' ' (c )  3.2a 3

...
f

(n)

(c)  n( n 1)(n  2)...1a n  n ! a n



an 

f

(n)

(c )
n!

sehingga diperoleh :

hal : 17

STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni

Analisa Real



f ( x)   a n ( x  c ) n
n 0

=

a 0  a1 ( x  c)  a 2 ( x  c) 2  a 3 ( x  c) 3  ...

= f (c)  f ' (c)( x  c) 

f ' ' (c )
f ( n ) (c )
( x  c) 2  ... 
( x  c) n  ...
2!
n!

Deret yang terjadi dinamakan deret Taylor untuk f(x) di c
Jika c = 0, sehingga deret menjadi :

f ( x)  f (0)  f ' (0) x 

f ' ' (0) 2
f ( n ) (0) n
x  ... 
x  ...
2!
n!

Deret yang terjadi dinamakan deret McLaurin untuk f(x).

Binomial Newton
a  b k =
a k  k .a k 1 .b 

k ( k 1)(k  2)...(k  n 1) k n n
k k 1 k 2 2
.a b  ... 
.a
.b  ...  b k
2!
n!

hal : 18