MicrosoftWord LATIHAN TriliusSeptalianaKR Aisyah

LATIHAN 4.1

− 1 yang akan menjamin bahwa :

1. Tentukan sebuah kondisi pada
a.

−1 <

Penyelesaian:
Kita perhatikan
Sekarang jika
Selanjutnya jika
−1 =
b.

−1 =

− 1 < 1, maka

−1

− 1 < , maka
+1 0. Jika
H: ? → ℝ didefinisikan oleh H) * = !)8 *, ∀' ∈ ℝ. Tunjukkan bahwa

lim'⟶ H) * = +.

Bukti :

Fungsi !: ? → ℝ mempunyai limit L di 0, berarti 8 > 0 yang diberikan

terdapat 3 > 0, sedemikian sehingga jika !) * < 3 maka !) * − + < ;.
Sekarang misalkan x = ay, dan 3 = 83 ,

sedemikian sehingga 0 < 8@ < 3 maka !)8@* − + < ;.
Kemudian pilih 3 = :6 )3 , 3 *

Selanjutnya jika 0 < @ < 3 maka H)@* − + < ;.

Karena ; > 0 sebarang, kita simpulkan lim'⟶ H)@* = lim'⟶ H) * = +.

3
Analisis Real, 2011
Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)

LATIHAN 5.4

1. Tunjukkan bahwa fungsi !) * = adalah kontinu seragam pada himpunan
'

≔ J8E, E∞*, dimana a adalah konstanta positif.

Penyelesaian :
Ambil ; > 0,

Pilih 3 = 8 ; > 0, sedemikian sehingga jika , L ∈ ,
1 1
!) * − !)L* = M − M =
L
≤

OF

−L <

−L
L

OF

− L < 3, maka

∙8 ; =;

Karena ; > 0 sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa !) * = kontinu
seragam pada A.

5. Tunjukkan bahwa jika f dan g adalah kontinu seragam pada
kontinu seragam pada A.

'

⊆ ℝ, maka f + g

Bukti :

Ambil ; > 0,

;
2
;
− L < 3 ⟹ H) * − H)L* <
2

∃3 > 0 ∋ , L ∈ ,

− L < 3 ⟹ !) * − !)L* <

Sehingga,

− L < 3 ⟹ )! + H*) * − )! + H*)L* < ;,

∃3 > 0 ∋ , L ∈ ,
∃3 > 0 ∋ , L ∈ ,

Pilih 3 = :6 D3 , 3 P

Sedemikian sehingga ∀',( ∈ ,

− L < 3 maka

)! + H*) * − )! + H*)L* = !) * − !)L* + H) * − H)L*

≤ !) * − !)L* + H) * − H)L*

≤ + =;
/

/

4

Analisis Real, 2011
Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)

6. Tunjukkan bahwa jika f dan g kontinu seragam pada

⊆ ℝ dan jika keduanya

terbatas pada A, maka hasil dari fg kontinu seragam pada A.
Bukti :

Ambil ; > 0,

Analisa

)!H*) * − )!H*)L* = !) *H) * − !) *H)L* + !) *H)L* − !)L*H)L*
≤ H) * − H)L* !) * + !) * − !)L* H)L*

Oleh karena f dan g terbatas pada A, maka ∃ 7 > 0, Q > 0 ∋ ∀' ∈ ,
!) * ≤ 7 R8

H) * ≤ Q dengan mengambil Q ≔ SLTDU, Q P, maka

)!H*) * − )!H*)L* ≤ H) * − H)L* !) * + !) * − !)L* H)L*
≤ H) * − H)L* ∙ 7 + !) * − !)L* ∙ Q
≤ Q H) * − H)L* + Q !) * − !)L*
;
2Q
;
− L < 3 ⟹ H) * − H)L* <
2Q

Karena f dan g kontinu seragam pada A, maka :

∃3 > 0 ∋ , L ∈ ,

∃3 > 0 ∋ , L ∈ ,

Pilih 3 = :6 D3 , 3 P

− L < 3 ⟹ !) * − !)L* <

Sedemikian sehingga bila , L ∈ ,

− L < 3 berlaku

)!H*) * − )!H*)L* ≤ Q H) * − H)L* + Q !) * − !)L*
0 sebarang,

/

V

+Q∙

/

V

=;

maka dapat diambil kesimpulan fg kontinu seragam di A.

5
Analisis Real, 2011
Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)

15. Jika ! ) * ≔ 1, L WL7

∈ J0,1X, hitunglah polynomial Bernstein pertama

untuk ! . Tunjukkan bahwa ! ) * ≔ 1 bertepatan pada ! . Petunjuk: Teorema
Binomial menyatakan bahwa

)8 + Y* = Z [ \ 8] Y
7

]

]^

Bukti :

7
_ ) * = Z!` a[ \
7
]^

7
_ ) * = Z!` a[ \
7
]^

= ![ \B C

] )1

− *

]

] )1

− *

]

)1 − * + ! [ \ B C

= !)0*)1 − * + !)1*

7
_ ) * = Z!` a[ \
7
]^

= ![ \B C

] )1

− *

)1 − *

]

)1 − * + ! [ \ B C

)1 − * + ! [ \ B C

= !)0*)1 − * + ! [ \ 2 )1 − * + !)1*

)1 − *

Jadi, ! ) * ≔ 1

_ ) * = 1)1 − * + 1 = 1

Jika,

)8 + Y* = Z [ \ 8] Y
7
]^

8 = ,Y = 1 −

⟹ 1 = Z[ \
7
]^

]

] )1

− *

]

6
Analisis Real, 2011
Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)

6.4 DIFFERENTATION
1.

Misalkan f (x) = cos ax untuk x ∈ ? dimana a

n ∈ N , x ∈ ?.

0. Tentukan ! ) * ) * untuk

Jawab:

f (x) = cos ax

f ‘(x) = −8 sin ax

f ‘’(x) = −8 cos ax

f ‘’’(x) =8 sin ax
)−1*
! bb ) * = c
)−1*

2.

8 cos 8 , Hg 8T E
8 sin 8 , H8 56j

h

| untuk x ∈ ?. Carilah H′( )R8 H′′( ) untuk x ∈ ?,

Misakan H) * = |
dan H′′( ) untuk x

0, sedemikian hingga H′′′(0) tidak ada.

Jawab :

H( ) = |

Hb(') = 3

Hb(

)

−3

,

,

|

>0

0
lm (')

0 ≤ |H( )| ≤ |3
0 ≤|

H( )

|≤3

'

|

7
Analisis Real, 2011
Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)

Hbb ( ) = 6 ,
−6 ,

>0

0.

Untu setiap P partisi dari I yang memenuhi kesimpulan 7.4.2

Misalkan y = ({ , … , { )
Dan misalkan F = I

R memenuhi kondisi Teorema 7.3.1 maka untuk setiap

k

Ada :] ∈ [{] , {] ] sedemikian hingga ‹({] ) − ‹({] ) = ‹ b (:] ) 4{] =
!(:] ) 4{] .

Selanjutnya

‹(Y) − ‹(8) = ZB‹({] ) − ‹({] )C = Z !(:] ) 4{] = S(y; !)
]^

]^

Oleh karena f terintegralkan, menurut teorema 7.4.2 diperoleh | S(y; !) −
xO ! | < ;
Œ

Karena S(y; !) = ‹(Y) − ‹(8), maka diperoleh| ‹(Y) − ‹(8) − xO ! | < ;
Karena ; > 0 , disimpulkan xO ! = ‹(Y) − ‹(8)
Œ

Œ

11
Analisis Real, 2011
Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)