ANALISIS DATA dan UJI HIDUP
TUGAS
ANALISIS DATA UJI HIDUP
Fungsi Densitas Peluang, Fungsi Survivor, dan Fungsi Hazard
Disusun oleh :
Nama
: Syahrial Aufa
NIM
: 4112312010
STATISTIKA TERAPAN DAN KOMPUTASI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2014
FUNGSI DENSITAS PELUANG
Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu
interval yang kecil (t, t + ∆ t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p)
dinyatakan dengan f(t).
f ( t ) = lim
∆t→0
[ P(t 0
dimana :
θ = parameter skala→(sifat umur produk/char. life)
γ = parameter bentuk→ bentuk distribusi
jika γ = 1 maka f ( t ) adalah density eksponensial,
jika γ = 2 maka f ( t ) adalah distribusi Rayleigh,
jika γ = 3,43938 maka akan mendekati distribusi normal.
Fungsi
kerusakan
kumulatif dan reliabilitas :
t
γ
γ
ζ
−t
γ
F ( t ) =∫ ζ γ −1 e θ dζ =1−e θ , dengan t > 0.
θ
0
−t
θ
γ
R ( t ) =e , dengan t > 0.
Ketika y > 1, laju hazard adalah fungsi monoton naik tanpa batas atas yang
menggambarkan wilayah aus dari kurva bathub. Ketika γ=1 laju kerusakan
menjadi konstan dan ketika γ t ) =P z >
2
) ]dζ
]
ln t−μ
, da n
σ
]
2
) ] ,−∞≤ μ ≤ ∞ , σ
ln t−μ
f ( t) ∅
σ
h ( t )=
=
.
R(t )
tσR (t )
(
)
Contoh :
Waktu kerusakan suatu komponen berdistribusi lognormal dengan µ = 6 dan σ = 2.
Cari reliabilitas komponen tersebut dan laju keruskannya untuk hidup 200 satuan
waktu.
Jawaban:
[
R ( 200 ) =P z >
∅
ln 200−6
=P [ z> 0,35 ] =0,6386.
2
]
( ln 200−6
)
2
∅ (−0,35 )
h ( 200 ) = 200× 2× 0,6386 = 200× 2× 0,6386
¿
6.
0,3752
=0,001472 kerusakan persatuan waktu.
200× 2× 0,6386
Model Gamma
digunakan untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu komponen yang
mempunyai kerusakan i tahap, 1 < i ≤ n. Atau kerusakan suatu sistem yang terjadi
ketika n sub keruskan yang independen terjadi.
Dua parameter distribusi gamma: parameter bentuk(γ) dan paramater skala
(θ).
Jika 0 < γ < 1, laju kerusakan turun monoton dari tak hingga ke1/θ.
Jika γ > 1, laju kerusakan naik monoton dari 1/θ ke tak hingga.
Jika γ = 1, laju kerusakan konstan dan sama dengan 1/θ.
P.d.f distribusi gamma,
t γ −1 −tθ
f (t )= γ
e .
θ Γ (γ )
Ketika γ > 1, maka pada p.d.f terdapat puncak (tunggal) pada saat t = 0 ( γ−1).
Distribusi kumulatif, F(t),
t
F ( t ) =∫
0
ζ γ −1 −tθ
e dζ .
θγ Γ ( γ )
Fungsi Reliabilitas R(t),
t
ζ γ −1 −ζ
R ( t ) =1−F ( t ) =∫ γ
e θ dζ
0 θ Γ (γ)
t
¿∫
0
1
ζ γ−1 −ζθ
e dζ .
θΓ ( γ ) θ
( )
Jika parameter γ adalah integer n, distribusi gamma menjadi distribusi Erlang,
sehingga,
F ( t ) =1−e
−ζ n−1
θ
∑
k=0
−t
θ
k!
( )
k
Sehingga fungsi reliabilitas Distribusi Erlang,
−t n −1
θ
R ( t ) =e
∑
k=0
−t k
θ
k! .
( )
Dengan fungsi hazard Erlang,
h ( t )=
1 t
θ θ
n−1
( )
f ( t)
=
R(t )
n−1
( n−1 ) !
∑
k=0
t
θ
k!
( )
k
Rata-rata dan Varians fungsi Gamma,
∞
∞
E ( T ) = ∫ t f ( t ) dt= ∫ t
−∞
−∞
t γ −1 −tθ
e dt
θγ Γ ( γ )
∞
∞
−t
−t
tγ
1
γ
¿∫ t γ
e θ dt = γ
t e θ dt
∫
θ Γ ( γ ) −∞
−∞ θ Γ ( γ )
¿
1
θγ +1 Γ ( γ +1 )
θγ Γ ( γ )
¿γ θ
Didapatkan E ( T 2) =γ (γ +1)θ2
Var ( T ) =γ ( γ +1 ) θ2−γ 2 θ2=γθ2
Contoh:
Suatu sistem mesin membutuhkan suplai arus stabil yg disupport oleh
baterai utama dg waktu hidup T1 yg berdistribusi eksponensial dg rataan120 jam.
Baterai utama, ditopang oleh2 baterai identik rataan hidup T2, dan T3 secara
berurutan. Ketika baterai utama rusak, maka baterai ke-2 menggantikan perannya.
Baterai ke-3 digunakan jika dan hanya jika baterai ke-2 rusak. Dgn kata lain,
baterai tsb independent p digunakan berurutan. Tentukan reliabilitas dan laju
kerusakan untuk sistem mesin pd t = 280 jam. Berapakah rata-rata waktu hidup
sistem?
Jawaban:
T =T 1+T 2 +T 3
T berdistribusi gamma dengan γ=n=3 dan θ=120jam.
R ( 280 ) =e
h ( t )=
−280 3−1
120
f ( t)
=
R(t )
∑
k=0
280 k
120
k ! =0,5872
( )
1 280
120 120
3−1
1 280 3−1
120 120
k=
280
2! (6,0556)
120
k!
( )
( )
( 3−1 ) ! ∑
3−1
k=0
( )
¿ 0,003746 kerusakan per jam.
E ( T ) =γθ=3 ( 120 ) =360 jam .
7.
Model Beta
Digunakan untuk interval waktu kerusakan terbatas, misal(0,1) atau semua
interval ditransformasi ke dalam interval (0,1).
Γ (α + β) α −1
β −1
f ( t ) = Γ ( α ) Γ (β ) t (1−t) , 0
ANALISIS DATA UJI HIDUP
Fungsi Densitas Peluang, Fungsi Survivor, dan Fungsi Hazard
Disusun oleh :
Nama
: Syahrial Aufa
NIM
: 4112312010
STATISTIKA TERAPAN DAN KOMPUTASI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2014
FUNGSI DENSITAS PELUANG
Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu
interval yang kecil (t, t + ∆ t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p)
dinyatakan dengan f(t).
f ( t ) = lim
∆t→0
[ P(t 0
dimana :
θ = parameter skala→(sifat umur produk/char. life)
γ = parameter bentuk→ bentuk distribusi
jika γ = 1 maka f ( t ) adalah density eksponensial,
jika γ = 2 maka f ( t ) adalah distribusi Rayleigh,
jika γ = 3,43938 maka akan mendekati distribusi normal.
Fungsi
kerusakan
kumulatif dan reliabilitas :
t
γ
γ
ζ
−t
γ
F ( t ) =∫ ζ γ −1 e θ dζ =1−e θ , dengan t > 0.
θ
0
−t
θ
γ
R ( t ) =e , dengan t > 0.
Ketika y > 1, laju hazard adalah fungsi monoton naik tanpa batas atas yang
menggambarkan wilayah aus dari kurva bathub. Ketika γ=1 laju kerusakan
menjadi konstan dan ketika γ t ) =P z >
2
) ]dζ
]
ln t−μ
, da n
σ
]
2
) ] ,−∞≤ μ ≤ ∞ , σ
ln t−μ
f ( t) ∅
σ
h ( t )=
=
.
R(t )
tσR (t )
(
)
Contoh :
Waktu kerusakan suatu komponen berdistribusi lognormal dengan µ = 6 dan σ = 2.
Cari reliabilitas komponen tersebut dan laju keruskannya untuk hidup 200 satuan
waktu.
Jawaban:
[
R ( 200 ) =P z >
∅
ln 200−6
=P [ z> 0,35 ] =0,6386.
2
]
( ln 200−6
)
2
∅ (−0,35 )
h ( 200 ) = 200× 2× 0,6386 = 200× 2× 0,6386
¿
6.
0,3752
=0,001472 kerusakan persatuan waktu.
200× 2× 0,6386
Model Gamma
digunakan untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu komponen yang
mempunyai kerusakan i tahap, 1 < i ≤ n. Atau kerusakan suatu sistem yang terjadi
ketika n sub keruskan yang independen terjadi.
Dua parameter distribusi gamma: parameter bentuk(γ) dan paramater skala
(θ).
Jika 0 < γ < 1, laju kerusakan turun monoton dari tak hingga ke1/θ.
Jika γ > 1, laju kerusakan naik monoton dari 1/θ ke tak hingga.
Jika γ = 1, laju kerusakan konstan dan sama dengan 1/θ.
P.d.f distribusi gamma,
t γ −1 −tθ
f (t )= γ
e .
θ Γ (γ )
Ketika γ > 1, maka pada p.d.f terdapat puncak (tunggal) pada saat t = 0 ( γ−1).
Distribusi kumulatif, F(t),
t
F ( t ) =∫
0
ζ γ −1 −tθ
e dζ .
θγ Γ ( γ )
Fungsi Reliabilitas R(t),
t
ζ γ −1 −ζ
R ( t ) =1−F ( t ) =∫ γ
e θ dζ
0 θ Γ (γ)
t
¿∫
0
1
ζ γ−1 −ζθ
e dζ .
θΓ ( γ ) θ
( )
Jika parameter γ adalah integer n, distribusi gamma menjadi distribusi Erlang,
sehingga,
F ( t ) =1−e
−ζ n−1
θ
∑
k=0
−t
θ
k!
( )
k
Sehingga fungsi reliabilitas Distribusi Erlang,
−t n −1
θ
R ( t ) =e
∑
k=0
−t k
θ
k! .
( )
Dengan fungsi hazard Erlang,
h ( t )=
1 t
θ θ
n−1
( )
f ( t)
=
R(t )
n−1
( n−1 ) !
∑
k=0
t
θ
k!
( )
k
Rata-rata dan Varians fungsi Gamma,
∞
∞
E ( T ) = ∫ t f ( t ) dt= ∫ t
−∞
−∞
t γ −1 −tθ
e dt
θγ Γ ( γ )
∞
∞
−t
−t
tγ
1
γ
¿∫ t γ
e θ dt = γ
t e θ dt
∫
θ Γ ( γ ) −∞
−∞ θ Γ ( γ )
¿
1
θγ +1 Γ ( γ +1 )
θγ Γ ( γ )
¿γ θ
Didapatkan E ( T 2) =γ (γ +1)θ2
Var ( T ) =γ ( γ +1 ) θ2−γ 2 θ2=γθ2
Contoh:
Suatu sistem mesin membutuhkan suplai arus stabil yg disupport oleh
baterai utama dg waktu hidup T1 yg berdistribusi eksponensial dg rataan120 jam.
Baterai utama, ditopang oleh2 baterai identik rataan hidup T2, dan T3 secara
berurutan. Ketika baterai utama rusak, maka baterai ke-2 menggantikan perannya.
Baterai ke-3 digunakan jika dan hanya jika baterai ke-2 rusak. Dgn kata lain,
baterai tsb independent p digunakan berurutan. Tentukan reliabilitas dan laju
kerusakan untuk sistem mesin pd t = 280 jam. Berapakah rata-rata waktu hidup
sistem?
Jawaban:
T =T 1+T 2 +T 3
T berdistribusi gamma dengan γ=n=3 dan θ=120jam.
R ( 280 ) =e
h ( t )=
−280 3−1
120
f ( t)
=
R(t )
∑
k=0
280 k
120
k ! =0,5872
( )
1 280
120 120
3−1
1 280 3−1
120 120
k=
280
2! (6,0556)
120
k!
( )
( )
( 3−1 ) ! ∑
3−1
k=0
( )
¿ 0,003746 kerusakan per jam.
E ( T ) =γθ=3 ( 120 ) =360 jam .
7.
Model Beta
Digunakan untuk interval waktu kerusakan terbatas, misal(0,1) atau semua
interval ditransformasi ke dalam interval (0,1).
Γ (α + β) α −1
β −1
f ( t ) = Γ ( α ) Γ (β ) t (1−t) , 0