Kumpulan Rumus Matematika Lengkap PROGLIN

PROGRAM LINEAR
Pr ogr a m in g
Lin ie r Pr ogr a m in g

:
:

Alokasi sum ber- sum ber yang t erbat as unt uk m em enuhi t uj uan t ert ent u.
Program ing y ang m enyangkut m asalah- m asalah dim ana hubungan
ant ara variable- variabelnya sem ua linier.

Beberapa pengert ian m at em at ik yang akan dij um pai pada m asalah progr am linier ant ar a lain :
1. Kon st r a in , yait u syarat - syar at kondisi yang berhubungan dengan sum bernya.
2. Fu n gsi Tu j u a n at au Fu n gsi Obye k t if at au Fu n gsi Sa sa r a n , y ait u suat u fungsi yang
berbent uk Z = C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 + ………….+ C n x n dim ana x i  0 unt uk set iap i = 1, 2, 3

…..n. C 1 , C 2 , C 3 ,……. C n biasany a disebut koefisien biaya.
3.
4.

Ja w a b Fe a sible , yait u j awab yang m em enuhi syarat - syarat yang diberikan.

Ja w a b I n fe a sible , yait u j aw ab yang t idak m em enuhi syarat - syarat yang diber ikan.

Tuj uan dar i program linier adalah m em aksim alkan at au m em inim alkan fungsi obyekt if yang
berbent uk linier dengan syar at - syarat linier . Pada um um nya m odel m at em at ik dari bent uk program
linier dalam dim ensi dua ( pada bidang) adalah :
Mem aksim alkan at au m em inim alkan fungsi t uj uan Z = C 1 x 1 + C 2 x 2 dengan sy arat :
K1  a1x 1 + a 2 x 2  d1

K 2  b1x 1 + b 2 x 2  d 2
x 1  0 dan x 2  0

Tit ik Ek st r im
Tit ik ek st r im adalah suat u t it ik yang t er let ak pada daerah j awab sedem ikian rupa sehingga fungsi
obyekt if akan m encapai harga ekst r im di t it ik t ersebut .
Cont oh :
1.

Maksim alkan fungsi t uj uan y ang berbent uk Z = 5x 1 + 3x 2 dengan syarat :

K 1  3x 1 + 5x 2  15

K2

5x 1 + 2x 2  10

x 1  0 dan x 2  0

Jawab :
Kit a t ent ukan dulu daerah j awabannya ( daerah
feasible) pada bidang XOY ( bidang yang di bangun
oleh x 1 dan x 2 ) , m aka daer ah j awab adalah OABC
dan garis put us- put us adalah garis fungsi t uj uan.
Terlihat garis- garis yang dibangun oleh fungsi t uj uan
dan m em punyai kedudukan yang paling t inggi
20 45
adalah garis yang m elalui t it ik B (
,
) . I ni
19 19

berart i bahwa Z =

3x 2
m encapai harga
m aksim al di t it ik B. Ak ibat nya didapat
20
45
Z m aks  5 .
 3.
 12,37
19
19

Irvan Dedy

5x 1 +

x2
5x1 + 2x2 = 10  K2

5

3x1 + 5x2 = 15  K1

C
3

B

A
0

2

5

x1

Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

2.

Maksim alkan fungsi t uj uan Z = 2,5 x + y dengan syarat :

K1 

K2

3x + 5y  15

x2

x  0 dan y  0

5

5x + 2y  10

Jawab :
Ternyat a fungsi t uj uan z = 2,5 x + y berim pit
dengan gar is 5x + 2y = 10, akibat nya

Z maks  5

5x1 + 2x2 = 10  K2
3x1 + 5x2 = 15  K1

C
3

B

A
0
3.

2

5

x1

Maksim alkan z = 2x + 2y dengan syarat :
K 1  x  y  1

y

K1

K 2  x  2y  4

K2

x 0 ; y 0

Dari gam bar diat as kit a dapat kan x  ~ dan
y  ~ . Dalam hal ini j awab t ak t erbat as.
Dengan
kat a
lain
fungsi

sasaran
t idak
m em punyai harga m aksim al.

4.

2
1
1

4

Tent ukan harga m aksim al dari fungsi t uj uan z = 3x – 2y dengan syarat :
K1  x + y  1

K 2  2x + 2y  4

y

x  0 dan y  0

2

Jawab :
Pada per soalaan ini k it a dapat kan bahwa t idak
ada daerah yang m em enuhi syarat yang
diber ikan. Ak ibat nya t ak ada harga x dan y yang
m em enuhi fungsi t uj uan.

K2
1
0

5.

x

K1
1

2

x

Seorang penj aj a buah- buahan yag m enggunakan gerobak, m enj ual apel dan pisang. Harga
pem belian apel Rp. 1000,00 t iap kg dan pisang Rp. 400,00 t iap kg. Modalny a
hanya
Rp. 250.000,00 sert a daya t am pung gerobak t idak lebih dari 400 kg. Jika keunt ungan t iap kg
apel dua kali keunt ungan t iap kg pisang, m aka unt uk m em peroleh keunt ungan sebesar
m ungk in, pedagang t er sebut harus m em beli berapa kg apel dan berapa k g pisang.
Jawab :
Misalkan bahw a banyaknya apel yang harus dibeli x kg, dan pisang y kg. Maka m odel
m at em at ikany a adalah :
Fungsi t uj uan :
Dengan syarat :

z = p x + ½ p y ; p  keunt ungan t iap kg apel

K 1  1000 x + 400 y  250.000

K 2  x + y  400
x 0 ; y 0

Irvan Dedy

Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

625

O
A
B
C

K1

C
400

B

6.

z = p (x + ½ y)
0
250 p
275 p
250 p

banyaknya apel yang har us dibeli adalah 150 kg
dan pisang 250 kg.

A
250

y
0
0
250
400

Terlihat dari t abel diat as bahwa Z m aks  275 p. Jadi

K2

O

x
0
250
150
0

400

Sebuah pesaw at t erbang m em punyai kapasit as t em pat duduk t ak lebih dari 48 orang yang
t erbagi dalam kelas ut am a dan kelas ekonom i. Selain it u m am pu m em bawa bagasi m aksim al
seberat 1440 kg. Set iap penum pang kelas ut am a dapat m em bawa bagasi t ak lebih dari 60 kg
sedangkan unt uk kelas ekonom i m aksim al 20 kg. Apabila biaya ( harga kasrcis) unt uk kelas
ut am a dan kelas ekonom i m asing- m asing adalah Rp. 100.000,00 dan Rp. 50.000,00 perorang,
t ent ukan bany aknya penum pang t iap- t iap k elas agar hasil penj ualan karcis t erbesar.
Jawab :
Misalkan banyaknya penum pang kelas ut am a x orang dan kelas ekonom i y orang, m aka didapat
m odel m at em at ika sebagai berikut :
Fungsi t uj uan

:

Syarat bat as

:

z = 100.000 x + 50.000 y

K 1  x + y  48

K 2  60x + 20y  1440
x 0 ; y 0

72
C
48

B

K2

O
A
B
C

x
0
24
12
0

y
0
0
36
48

z
0
2.400.000
3.000.000
2.400.000

K1
A

0

24

48

Agar hasil penj ualan kar cis m encapai angka t erbesar m aka j um lah penum pang kelas ut am a har us
12 orang sedangkan kelas ek onom i 36 orang.

Irvan Dedy

Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna