Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
DESI NATALIA SARAGI
120803021
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
2
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
DESI NATALIA SARAGI
120803021
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan
Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik
Kategori
: Skripsi
Nama
: Desi Natalia Saragi
Nomor Induk Mahasiswa : 120803021
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Partano Siagian, M.Sc
NIP. 195112271980031001
Drs. Agus Salim Harahap, M.Si
NIP. 195408281981031004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 196209011988031002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juni 2016
DESI NATALIA SARAGI
120803021
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dengan limpahan
berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul
Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan
Differensial Stokastik.
Terima kasih juga penulis sampaikan kepada pihak-pihak yang turut
mendukung dalam penyelesaian skripsi ini:
1. Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M. Si selaku pembimbing 1 dan Bapak
Drs. Partano Siagian, M. Sc selaku pembimbing 2 yang telah membimbing
penulis selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M. IT dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M. Si selaku
dosen pembanding yang telah memberikan kritik dan saran yang
membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan.
4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA-USU serta seluruh
civitas akademika di lingkungan FMIPA-USU.
5. Kedua orang tua penulis Bapak R. P. Saragi dan Ibu R Sitinjak serta kedua
adik penulis Theresia dan Erick atas semua motivasi, nasehat, semangat dan
bantuannya kepada penulis.
6. Teman-teman grup “Sama Wisuda” yaitu Mega, Sahata, Agustina, Goklim,
Oka, Willy, Daniel, Purnomo, Artha, Ayen, Fransiskus dan Yosephin atas
motivasi dan bantuannya kepada penulis.
7. Kakanda Endang Tampubolon, S.Si dan Helena Nababan yang telah
membantu menyempurnakan skripsi ini.
8. Teman-teman mahasiswa matematika USU stambuk 2012 dan teman-teman
lainnya yang membantu penulis dalam menyempurnakan tulisan ini.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis
mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi
ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
iii
Universitas Sumatera Utara
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
ABSTRAK
Dalam berinvestasi, investor dapat memilih menginvestasikan kekayaannya pada
berbagai aset keuangan baik pada investasi aset berisiko maupun tidak berisiko.
Umumnya aset-aset keuangan tersebut dibentuk dalam suatu portofolio. Teori
portofolio membahas bagaimana cara membentuk portofolio yang optimal. Dalam
menentukan portofolio investasi optimal terlebih dahulu dimodelkan persamaan
portofolio investasi yang berbentuk Persamaan Diferensial Stokastik (PDS).
Model ini diselesaikan dengan lemma Ito kemudian dilakukan teori kontrol
optimal dengan pendekatan fungsi utilitas untuk menentukan besar proporsi
portofolio di kedua jenis aset investasi. Pada tulisan ini dilakukan simulasi untuk
melihat portofolio yang dibentuk benar merupakan portofolio optimal.
Kata kunci : investasi, portofolio, PDS, lemma Ito , teori kontrol optimal.
iv
Universitas Sumatera Utara
DETERMINATION OF OPTIMAL INVESTMENT PORTOFOLIO USING
STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION
ABSTRACT
In investing, the investors choose to invest their wealth in various financial assets
both on the risky assets either on the risk-free assets. Generally, those financial
assets are formed into a portfolio. Portfolio theory discuss how to establish an
optimal portfolio. In determining the optimal investment, at first the investation
which had Stochastic Differential Equations (SDE) will be modeled. The model is
solved by Ito‟s lemma then by using optimal control theory with utility function
approached to determine the proportion of the portfolio on the both of investment
assets. This paper conduct a simulation to see the portfolio formed are correctly
the optimal portfolio.
Key Words : investation, portofolio, SDE, Ito‟s lemma, optimal control theory
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Gambar
Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Kontribusi Penelitian
1.6 Tinjauan Pustaka
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
3
3
5
Bab 2 Tinjauan Pustaka
2.1 Investasi
2.2 Return dan Resiko
2.3 Portofolio
2.4 Turunan
2.5 Integral
2.6 Pendiferensial Integral
2.7 Persamaan Diferensial Linier
2.7.1 Permulaan Persamaan Diferensial
2.7.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
2.7.3 Persamaan Diferensial Linier Orde-n
2.8 Probabilitas
2.9 Sifat-sifat Probabilitas
2.10 Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2.10.1 Variabel Acak
2.10.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu
2.11 Distribusi Normal
2.12 Model Stokastik
2.12.1 Proses Stokastik
2.12.2 Data Deret Waktu
2.12.3 Sifat Markov
2.13 Proses Wiener (Gerak Brown Baku)
2.13.1 Sejarah Gerak Brown
2.13.2 Symmetric Random Walk
2.13.3 Scaled Symmetric Random Walk
6
6
6
7
9
10
11
12
12
13
13
14
15
15
15
17
18
18
18
19
21
21
21
22
23
vi
Universitas Sumatera Utara
2.14 Persamaan Diferensial Stokastik
2.15 Lemma Ito
2.16 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik
2.17 Teori Kontrol Optimal
2.18 Simulasi
25
26
28
30
33
Bab 3 Portofolio Optimal
3.1 Model Optimasi Portofolio Investasi
3.2 Proporsi Portofolio Optimal
3.3 Solusi Model Portofolio Optimal
35
35
40
44
Bab 4 Simulasi
4.1 Hasil Simulasi
4.2 Suku Bunga Bank (a) Berubah-Ubah
4.3 Rate of Return (RoR) Saham (b) Berubah-Ubah
4.4 Volatilitas Harga Saham (β) Berubah-Ubah
47
47
48
50
51
Bab 5 Kesimpulan dan Saran
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
54
54
55
Daftar Pustaka
56
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
Judul
Halaman
4.1
Kekayaan investor dengan nilai u = 0,049
47
4.2
Kekayaan investor dengan nilai a = 0.001 dan u = 0.049
48
4.3
Kekayaan investor dengan nilai a = 0.002 dan u = 0.049
49
4.4
Kekayaan investor dengan nilai a = 0.003 dan u = 0.049
49
4.5
Kekayaan investor dengan nilai b = 0.002 dan u = 0.049
50
4.6
Kekayaan investor dengan nilai b = 0.003 dan u = 0.049
50
4.7
Kekayaan investor dengan nilai b = 0.004 dan u = 0.049
51
4.8
Kekayaan investor dengan nilai = 0.002 dan u = 0.049
52
4.9
Kekayaan investor dengan nilai = 0.003 dan u = 0.049
52
4.10
Kekayaan investor dengan nilai = 0.004 dan u = 0.049
52
viii
Universitas Sumatera Utara
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
DESI NATALIA SARAGI
120803021
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
2
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
DESI NATALIA SARAGI
120803021
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan
Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik
Kategori
: Skripsi
Nama
: Desi Natalia Saragi
Nomor Induk Mahasiswa : 120803021
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Partano Siagian, M.Sc
NIP. 195112271980031001
Drs. Agus Salim Harahap, M.Si
NIP. 195408281981031004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 196209011988031002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juni 2016
DESI NATALIA SARAGI
120803021
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dengan limpahan
berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul
Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan
Differensial Stokastik.
Terima kasih juga penulis sampaikan kepada pihak-pihak yang turut
mendukung dalam penyelesaian skripsi ini:
1. Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M. Si selaku pembimbing 1 dan Bapak
Drs. Partano Siagian, M. Sc selaku pembimbing 2 yang telah membimbing
penulis selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M. IT dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M. Si selaku
dosen pembanding yang telah memberikan kritik dan saran yang
membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan.
4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA-USU serta seluruh
civitas akademika di lingkungan FMIPA-USU.
5. Kedua orang tua penulis Bapak R. P. Saragi dan Ibu R Sitinjak serta kedua
adik penulis Theresia dan Erick atas semua motivasi, nasehat, semangat dan
bantuannya kepada penulis.
6. Teman-teman grup “Sama Wisuda” yaitu Mega, Sahata, Agustina, Goklim,
Oka, Willy, Daniel, Purnomo, Artha, Ayen, Fransiskus dan Yosephin atas
motivasi dan bantuannya kepada penulis.
7. Kakanda Endang Tampubolon, S.Si dan Helena Nababan yang telah
membantu menyempurnakan skripsi ini.
8. Teman-teman mahasiswa matematika USU stambuk 2012 dan teman-teman
lainnya yang membantu penulis dalam menyempurnakan tulisan ini.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis
mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi
ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
iii
Universitas Sumatera Utara
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
ABSTRAK
Dalam berinvestasi, investor dapat memilih menginvestasikan kekayaannya pada
berbagai aset keuangan baik pada investasi aset berisiko maupun tidak berisiko.
Umumnya aset-aset keuangan tersebut dibentuk dalam suatu portofolio. Teori
portofolio membahas bagaimana cara membentuk portofolio yang optimal. Dalam
menentukan portofolio investasi optimal terlebih dahulu dimodelkan persamaan
portofolio investasi yang berbentuk Persamaan Diferensial Stokastik (PDS).
Model ini diselesaikan dengan lemma Ito kemudian dilakukan teori kontrol
optimal dengan pendekatan fungsi utilitas untuk menentukan besar proporsi
portofolio di kedua jenis aset investasi. Pada tulisan ini dilakukan simulasi untuk
melihat portofolio yang dibentuk benar merupakan portofolio optimal.
Kata kunci : investasi, portofolio, PDS, lemma Ito , teori kontrol optimal.
iv
Universitas Sumatera Utara
DETERMINATION OF OPTIMAL INVESTMENT PORTOFOLIO USING
STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION
ABSTRACT
In investing, the investors choose to invest their wealth in various financial assets
both on the risky assets either on the risk-free assets. Generally, those financial
assets are formed into a portfolio. Portfolio theory discuss how to establish an
optimal portfolio. In determining the optimal investment, at first the investation
which had Stochastic Differential Equations (SDE) will be modeled. The model is
solved by Ito‟s lemma then by using optimal control theory with utility function
approached to determine the proportion of the portfolio on the both of investment
assets. This paper conduct a simulation to see the portfolio formed are correctly
the optimal portfolio.
Key Words : investation, portofolio, SDE, Ito‟s lemma, optimal control theory
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
Persetujuan
Pernyataan
Penghargaan
Abstrak
Abstract
Daftar Isi
Daftar Gambar
Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Kontribusi Penelitian
1.6 Tinjauan Pustaka
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
3
3
5
Bab 2 Tinjauan Pustaka
2.1 Investasi
2.2 Return dan Resiko
2.3 Portofolio
2.4 Turunan
2.5 Integral
2.6 Pendiferensial Integral
2.7 Persamaan Diferensial Linier
2.7.1 Permulaan Persamaan Diferensial
2.7.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
2.7.3 Persamaan Diferensial Linier Orde-n
2.8 Probabilitas
2.9 Sifat-sifat Probabilitas
2.10 Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2.10.1 Variabel Acak
2.10.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu
2.11 Distribusi Normal
2.12 Model Stokastik
2.12.1 Proses Stokastik
2.12.2 Data Deret Waktu
2.12.3 Sifat Markov
2.13 Proses Wiener (Gerak Brown Baku)
2.13.1 Sejarah Gerak Brown
2.13.2 Symmetric Random Walk
2.13.3 Scaled Symmetric Random Walk
6
6
6
7
9
10
11
12
12
13
13
14
15
15
15
17
18
18
18
19
21
21
21
22
23
vi
Universitas Sumatera Utara
2.14 Persamaan Diferensial Stokastik
2.15 Lemma Ito
2.16 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik
2.17 Teori Kontrol Optimal
2.18 Simulasi
25
26
28
30
33
Bab 3 Portofolio Optimal
3.1 Model Optimasi Portofolio Investasi
3.2 Proporsi Portofolio Optimal
3.3 Solusi Model Portofolio Optimal
35
35
40
44
Bab 4 Simulasi
4.1 Hasil Simulasi
4.2 Suku Bunga Bank (a) Berubah-Ubah
4.3 Rate of Return (RoR) Saham (b) Berubah-Ubah
4.4 Volatilitas Harga Saham (β) Berubah-Ubah
47
47
48
50
51
Bab 5 Kesimpulan dan Saran
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
54
54
55
Daftar Pustaka
56
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
Judul
Halaman
4.1
Kekayaan investor dengan nilai u = 0,049
47
4.2
Kekayaan investor dengan nilai a = 0.001 dan u = 0.049
48
4.3
Kekayaan investor dengan nilai a = 0.002 dan u = 0.049
49
4.4
Kekayaan investor dengan nilai a = 0.003 dan u = 0.049
49
4.5
Kekayaan investor dengan nilai b = 0.002 dan u = 0.049
50
4.6
Kekayaan investor dengan nilai b = 0.003 dan u = 0.049
50
4.7
Kekayaan investor dengan nilai b = 0.004 dan u = 0.049
51
4.8
Kekayaan investor dengan nilai = 0.002 dan u = 0.049
52
4.9
Kekayaan investor dengan nilai = 0.003 dan u = 0.049
52
4.10
Kekayaan investor dengan nilai = 0.004 dan u = 0.049
52
viii
Universitas Sumatera Utara