Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dewasa ini keinginan masyarakat untuk melakukan investasi semakin besar. Hal
ini didasari oleh pemikiran akan untung besar di akhir setiap investasi. Tetapi
kenyataannya, seseorang yang melakukan investasi dalam hal ini disebut investor
tidak tahu dengan pasti hasil yang diperoleh dari investasi yang dilakukan. Oleh
karena itu seorang investor perlu berhati-hati dalam mengambil keputusan dalam
berinvestasi guna memilih investasi yang optimal.
Investasi dapat diartikan sebagai usaha penanaman modal dalam berbagai
produk investasi dalam kurun waktu yang ditentukan dengan tujuan untuk
mendapatkan keuntungan di masa yang akan datang. Investasi berdasarkan sifat
aset yang ditanamkan digolongkan ke dalam dua jenis yaitu investasi pada aset
berisiko dan investasi pada aset tidak berisiko. Aset berisiko adalah aset-aset
yang tingkat return di masa depannya masih mengandung ketidakpastian
sedangkan aset tidak berisiko adalah aset yang tingkat return di masa depannya
umumnya sudah bisa dipastikan saat ini.
Hampir semua investor tidak menginginkan kerugian pada waktu
melakukan investasi. Untuk mengantisipasi hal tersebut, maka dilakukan upaya
meminimalisasi kerugian dengan portofolio investasi. Portofolio investasi
merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran
umum investasi sesuai harapan investor.
Perkembangan teori portofolio dimulai setelah tahun 1952 ketika Harry M.
Markowitz pertama kali mengembangkan teori pemilihan portofolio melalui
artikel yang ditulis dengan analisis statistik berkaitan dengan alokasi portofolio,
yang sering digambarkan dalam ungkapan
“don’t pull all your eggs in one
basket”. Markowitz menyarankan seorang investor membentuk portofolio yang
Universitas Sumatera Utara
2
menghasilkan tingkat keuntungan paling tinggi berdasarkan suatu pilihan risiko
atau membentuk portofolio yang berisiko paling rendah pada suatu tingkatan
keuntungan.
Teori portofolio Markowitz ini terus dikembangkan oleh banyak peneliti
pada tahun-tahun selanjutnya seperti Robert C. Merton, Suresh P. Sethi, I.
Karatzas, J. Lehoczky, S.Shreve dan M.Taksar.
Tipe persoalan pada tulisan ini adalah membentuk model matematika
portofolio dari dua jenis investasi berbeda yaitu investasi berisiko (risky asset)
dan tidak berisiko (risk free asset), menentukan besar proporsi kekayaan investor
dari model yang dibentuk sehingga diperoleh solusi portofolio optimal.
Banyak metode yang digunakan untuk membentuk model portofolio
investasi optimal. Salah satu diantaranya menggunakan persamaan diferensial
stokastik. Persamaaan Diferensial Stokastik adalah persamaan diferensial yang
salah satu atau lebih nilai-nilai parameternya adalah proses stokastik (stochastic
processes) dan menghasilkan solusi stokastik berupa sebuah model. Ciri utama
model stokastik didasarkan pada ketidakpastian, karena
investasi juga suatu
kegiatan yang mengandung ketidakpastian sehingga diharapkan persamaan
diferensial stokastik ini sangat tepat digunakan untuk membentuk model
portofolio investasi yang optimal. Berdasarkan uraian di atas maka penulis
memilih judul tugas akhir “Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan
Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik”.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan permasalahan dalam penelitian ini adalah menentukan model portofolio
optimal untuk masalah portofolio investasi dengan menggunakan persamaan
diferensial stokastik.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah :
1.
Menfokuskan pembahasan dalam investasi, portofolio dan persamaan
diferensial stokastik.
2.
Membentuk model portofolio investasi pada kedua aset investasi yang
berbentuk persamaan diferensial stokastik.
3.
Menentukan besar proporsi kekayaan pada kedua aset investasi dengan
pendekatan fungsi utilitas sebagai fungsi keuntungan.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk membuat model matematika portofolio investasi
optimal yang dibentuk dengan menggunakan persamaan diferensial stokastik.
1.5 Kontribusi Penelitian
1. Sebagai bahan referensi dalam memperkaya literatur dan wawasan dalam
bidang statistika yang berhubungan dengan Persoalan Portofolio
Investasi (Investation Portofolio Selection Problem) dan Persamaan
Diferensial Stokastik (Stochastic Differential Equation).
2. Sebagai informasi bagi penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan
penggunaan persamaan diferensial stokastik.
1.6. Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil
beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.
Investasi pada dasarnya adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber
daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah
keuntungan di masa yang akan datang (E. Tandelilin, 2001).
Universitas Sumatera Utara
4
Harry M. Markowitz (1952), seorang yang pertama kali mengembangkan
teori pemilihan portofolio menyatakan bahwa sebagian besar investor termasuk
dalam
risk
averter
(menghindari
risiko)
sehingga
investor
mencoba
mengalokasikan sumber kekayaannya atas investasi yang dilakukan ke dalam
suatu portofolio (E. Tandelilin, 2001).
E. Simatupang (2011) dalam tesisnya „Penentuan Portofolio Optimal
Dengan Adanya Batasan Value At Risk (VaR)‟ mengatakan Portofolio investasi
merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran
umum investasi dimana fokus utama untuk menentukan Portofolio Optimal
dengan adanya batasan Value at Risk.
M. Novalina S (2011) dalam jurnalnya „Optimasi Alokasi Multi Period
Pada Reksa Dana Dengan Program Stokastik‟ variabel atau parameter acak
sebagai reprentasi tingkat return yang bersifat tidak pasti. Masalah stokastik
digunakan untuk menetukan jumlah modal yang dialokasikan pada bermacam
kelas aset untuk mendapatkan return yang optimal dengan menggunakan program
stokastik.
A. Hartanto (2013) dalam jurnalnya „Penentuan Harga Saham Dengan
Menggunakan
Persamaan
Diferensial
Stokastik‟
mengatakan
Persamaan
Diferensial Stokastik biasanya digunakan untuk model fenomena yang beragam
seperti fluktuasi harga saham.
Persamaan Diferensial Stokastik adalah suatu persamaan diferensial yang
salah satu atau lebih nilai-nilai parameternya adalah proses stokastik (stochastic
processes) dan menghasilkan solusi stokastik berupa sebuah model. Persamaan ini
merupakan modifikasi dari Persamaan Diferensial Biasa yang variabel atau
parameternya acak dan tidak pasti (Oksendal, 2003).
Persamaan Diferensial Stokastik dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
5
. . . (1.1)
dengan
: proses Stokastik
: proses Wiener baku (berdistribusi N(0,1))
t : jangka waktu investasi
: suku determinisik atau sering disebut koefisien drift
: suku stokastik atau sering disebut koefisien diffusion
Simulasi adalah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan
menggunakan model dari suatu sistem nyata (P. Siagian, 1987). Menurut Hasan
(2002), simulasi merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan
mencontoh atau mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem
kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya pada keadaan yang
sesungguhnya. Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan
eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis
yang kompleks membuat simulasi sebagai salah satu alternatif yang baik untuk
digunakan.
1.7 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan studi literatur tentang persamaan diferensial stokastik.
2. Pembahasan tentang investasi, portofolio dan persamaan diferensial
stokastik.
3. Membentuk model portofolio investasi pada kedua aset investasi berisiko
dan tidak berisiko dengan persamaan diferensial stokastik.
4. Membuat persamaan besar proporsi optimal dengan pendekatan fungsi
utilitas sebagai fungsi keuntungan yang dikontrol optimal.
5. Mendapatkan solusi model portofolio optimal dari tahap 2 sampai tahap 5.
6. Melakukan simulasi dari kekayaan investor untuk melihat model
portofolio yang dibentuk benar merupakan portofolio optimal.
7. Kesimpulan
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dewasa ini keinginan masyarakat untuk melakukan investasi semakin besar. Hal
ini didasari oleh pemikiran akan untung besar di akhir setiap investasi. Tetapi
kenyataannya, seseorang yang melakukan investasi dalam hal ini disebut investor
tidak tahu dengan pasti hasil yang diperoleh dari investasi yang dilakukan. Oleh
karena itu seorang investor perlu berhati-hati dalam mengambil keputusan dalam
berinvestasi guna memilih investasi yang optimal.
Investasi dapat diartikan sebagai usaha penanaman modal dalam berbagai
produk investasi dalam kurun waktu yang ditentukan dengan tujuan untuk
mendapatkan keuntungan di masa yang akan datang. Investasi berdasarkan sifat
aset yang ditanamkan digolongkan ke dalam dua jenis yaitu investasi pada aset
berisiko dan investasi pada aset tidak berisiko. Aset berisiko adalah aset-aset
yang tingkat return di masa depannya masih mengandung ketidakpastian
sedangkan aset tidak berisiko adalah aset yang tingkat return di masa depannya
umumnya sudah bisa dipastikan saat ini.
Hampir semua investor tidak menginginkan kerugian pada waktu
melakukan investasi. Untuk mengantisipasi hal tersebut, maka dilakukan upaya
meminimalisasi kerugian dengan portofolio investasi. Portofolio investasi
merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran
umum investasi sesuai harapan investor.
Perkembangan teori portofolio dimulai setelah tahun 1952 ketika Harry M.
Markowitz pertama kali mengembangkan teori pemilihan portofolio melalui
artikel yang ditulis dengan analisis statistik berkaitan dengan alokasi portofolio,
yang sering digambarkan dalam ungkapan
“don’t pull all your eggs in one
basket”. Markowitz menyarankan seorang investor membentuk portofolio yang
Universitas Sumatera Utara
2
menghasilkan tingkat keuntungan paling tinggi berdasarkan suatu pilihan risiko
atau membentuk portofolio yang berisiko paling rendah pada suatu tingkatan
keuntungan.
Teori portofolio Markowitz ini terus dikembangkan oleh banyak peneliti
pada tahun-tahun selanjutnya seperti Robert C. Merton, Suresh P. Sethi, I.
Karatzas, J. Lehoczky, S.Shreve dan M.Taksar.
Tipe persoalan pada tulisan ini adalah membentuk model matematika
portofolio dari dua jenis investasi berbeda yaitu investasi berisiko (risky asset)
dan tidak berisiko (risk free asset), menentukan besar proporsi kekayaan investor
dari model yang dibentuk sehingga diperoleh solusi portofolio optimal.
Banyak metode yang digunakan untuk membentuk model portofolio
investasi optimal. Salah satu diantaranya menggunakan persamaan diferensial
stokastik. Persamaaan Diferensial Stokastik adalah persamaan diferensial yang
salah satu atau lebih nilai-nilai parameternya adalah proses stokastik (stochastic
processes) dan menghasilkan solusi stokastik berupa sebuah model. Ciri utama
model stokastik didasarkan pada ketidakpastian, karena
investasi juga suatu
kegiatan yang mengandung ketidakpastian sehingga diharapkan persamaan
diferensial stokastik ini sangat tepat digunakan untuk membentuk model
portofolio investasi yang optimal. Berdasarkan uraian di atas maka penulis
memilih judul tugas akhir “Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan
Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik”.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan permasalahan dalam penelitian ini adalah menentukan model portofolio
optimal untuk masalah portofolio investasi dengan menggunakan persamaan
diferensial stokastik.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah :
1.
Menfokuskan pembahasan dalam investasi, portofolio dan persamaan
diferensial stokastik.
2.
Membentuk model portofolio investasi pada kedua aset investasi yang
berbentuk persamaan diferensial stokastik.
3.
Menentukan besar proporsi kekayaan pada kedua aset investasi dengan
pendekatan fungsi utilitas sebagai fungsi keuntungan.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk membuat model matematika portofolio investasi
optimal yang dibentuk dengan menggunakan persamaan diferensial stokastik.
1.5 Kontribusi Penelitian
1. Sebagai bahan referensi dalam memperkaya literatur dan wawasan dalam
bidang statistika yang berhubungan dengan Persoalan Portofolio
Investasi (Investation Portofolio Selection Problem) dan Persamaan
Diferensial Stokastik (Stochastic Differential Equation).
2. Sebagai informasi bagi penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan
penggunaan persamaan diferensial stokastik.
1.6. Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil
beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.
Investasi pada dasarnya adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber
daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah
keuntungan di masa yang akan datang (E. Tandelilin, 2001).
Universitas Sumatera Utara
4
Harry M. Markowitz (1952), seorang yang pertama kali mengembangkan
teori pemilihan portofolio menyatakan bahwa sebagian besar investor termasuk
dalam
risk
averter
(menghindari
risiko)
sehingga
investor
mencoba
mengalokasikan sumber kekayaannya atas investasi yang dilakukan ke dalam
suatu portofolio (E. Tandelilin, 2001).
E. Simatupang (2011) dalam tesisnya „Penentuan Portofolio Optimal
Dengan Adanya Batasan Value At Risk (VaR)‟ mengatakan Portofolio investasi
merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran
umum investasi dimana fokus utama untuk menentukan Portofolio Optimal
dengan adanya batasan Value at Risk.
M. Novalina S (2011) dalam jurnalnya „Optimasi Alokasi Multi Period
Pada Reksa Dana Dengan Program Stokastik‟ variabel atau parameter acak
sebagai reprentasi tingkat return yang bersifat tidak pasti. Masalah stokastik
digunakan untuk menetukan jumlah modal yang dialokasikan pada bermacam
kelas aset untuk mendapatkan return yang optimal dengan menggunakan program
stokastik.
A. Hartanto (2013) dalam jurnalnya „Penentuan Harga Saham Dengan
Menggunakan
Persamaan
Diferensial
Stokastik‟
mengatakan
Persamaan
Diferensial Stokastik biasanya digunakan untuk model fenomena yang beragam
seperti fluktuasi harga saham.
Persamaan Diferensial Stokastik adalah suatu persamaan diferensial yang
salah satu atau lebih nilai-nilai parameternya adalah proses stokastik (stochastic
processes) dan menghasilkan solusi stokastik berupa sebuah model. Persamaan ini
merupakan modifikasi dari Persamaan Diferensial Biasa yang variabel atau
parameternya acak dan tidak pasti (Oksendal, 2003).
Persamaan Diferensial Stokastik dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
5
. . . (1.1)
dengan
: proses Stokastik
: proses Wiener baku (berdistribusi N(0,1))
t : jangka waktu investasi
: suku determinisik atau sering disebut koefisien drift
: suku stokastik atau sering disebut koefisien diffusion
Simulasi adalah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan
menggunakan model dari suatu sistem nyata (P. Siagian, 1987). Menurut Hasan
(2002), simulasi merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan
mencontoh atau mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem
kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya pada keadaan yang
sesungguhnya. Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan
eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis
yang kompleks membuat simulasi sebagai salah satu alternatif yang baik untuk
digunakan.
1.7 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan studi literatur tentang persamaan diferensial stokastik.
2. Pembahasan tentang investasi, portofolio dan persamaan diferensial
stokastik.
3. Membentuk model portofolio investasi pada kedua aset investasi berisiko
dan tidak berisiko dengan persamaan diferensial stokastik.
4. Membuat persamaan besar proporsi optimal dengan pendekatan fungsi
utilitas sebagai fungsi keuntungan yang dikontrol optimal.
5. Mendapatkan solusi model portofolio optimal dari tahap 2 sampai tahap 5.
6. Melakukan simulasi dari kekayaan investor untuk melihat model
portofolio yang dibentuk benar merupakan portofolio optimal.
7. Kesimpulan
Universitas Sumatera Utara