Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik

BAB 2
LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori dasar yang berhubungan dengan
investasi, persamaan diferensial stokastik dan simulasi yang menjadi landasan
berpikir untuk mempermudah dalam pembahasan pada bab berikutnya.

2.1 Investasi

Investasi pada dasarnya adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya
lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah
keuntungan di masa yang akan datang (E. Tandelilin, 2001). Pihak-pihak yang
melakukan investasi disebut investor. Hampir semua investasi mengandung unsur
ketidakpastian dan mempunyai risiko mengalami kerugian pada waktu melakukan
investasi. Tujuan investor dalam berinvestasi adalah memaksimalkan return
dengan meminimalkan risiko investasi yang diterimanya.
2.2 Return dan Risiko

Suatu investasi yang mempunyai risiko yang tinggi seharusnya memberikan
return (tingkat pengembalian) yang diharapkan juga lebih tinggi. Return
merupakan suatu faktor yang membuat investor berinvestasi dan menerima nilai

pengembalian/ imbal-hasil atas investasi yang dilakukan.
Menurut Fabozzi (1995), risiko merupakan kerugian yang dihadapi oleh
para investor. Risiko dapat juga didefinisikan sebagai kemungkinan perbedaan
antara return yang diterima dengan return yang diharapkan. Semakin besar
kemungkinan perbedaannya, berarti semakin besar risiko investasi tersebut (E.
Tandelilin, 2001).
Risiko adalah sebuah peluang dimana hasil yang sesungguhnya bisa
berbeda dengan hasil yang diharapkan atau kemungkinan nilai yang hilang atau

Universitas Sumatera Utara

7
diperoleh yang dapat diukur. Risiko berbeda dengan ketidakpastian yang tidak
dapat diukur seperti tingkat kepuasan terhadap suatu benda, jasa maupun
pelayanan (Anaroga dan Pakarti, 2006).

2.3 Portofolio

Portofolio umumnya diartikan sebagai kumpulan sejumlah investasi yang dimiliki
perseorangan atau perusahaan. Aspek pokok teori portofolio adalah konsep risiko

yang terkait pada aset yang berada dalam suatu portofolio (E. Tandelilin, 2001).
Harry M. Markowitz (1952), seorang yang pertama kali mengembangkan
teori pemilihan portofolio menyatakan bahwa sebagian besar investor termasuk
dalam risk averter (menghindari risiko). Hal ini berarti investor akan selalu
berusaha untuk menghindari risiko sehingga investor mencoba mengalokasikan
kekayaannya ke berbagai portofolio untuk menghasilkan keuntungan yang optimal
selama jangka waktu tertentu (holding period). Setelah itu investor akan menjual
investasinya pada akhir masa tertentu.
Salah satu cara menurunkan risiko dalam investasi adalah dengan
melakukan

diversifikasi.

Diversifikasi

adalah

kegiatan

membentuk

dan

memasukkan semua kelas aset ke dalam portofolio sedemikian sehingga risiko
dapat diminimalkan tanpa mengurangi return yang diharapkan. Umumnya asetaset keuangan dibentuk menjadi satu portofolio yang dinamakan portofolio
investasi. Portofolio investasi merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk
memenuhi suatu sasaran umum investasi dimana fokus utama untuk menentukan
portofolio optimal (Zamli Zubir, 2011).
Teori portofolio membahas bagaimana melakukan pemilihan portofolio
dari sekian banyak kelas aset serta memaksimalkan return yang diharapkan pada
tingkat risiko tertentu yang bersedia ditanggung investor. Dengan kata lain, teori
portofolio membahas bagaimana cara membentuk portofolio yang optimal.

Universitas Sumatera Utara

8
Ada tiga konsep dasar yang perlu diketahui sebagai untuk memahami
pembentukan portofolio optimal, yaitu:
1. Portofolio efisien dan portofolio optimal
Pada dasarnya manajemen portofolio terdiri dari 3 aktifitas utama, yaitu:

pembuatan keputusan alokasi asset, penentuan proporsi dana yang akan
diinvestasikan pada masing-masing kelas asset, dan pemilihan asset-asset
dari setiap kelas yang telah dipilih. Dalam membentuk portofolio, investor
selalu ingin memaksimalkan return yang diharapkan dengan tingkat risiko
tertentu yang bersedia ditanggungnya atau mencari portofolio yang
menawarkan risiko terendah dengan tingkat return tertentu.
Portofolio efisien adalah portofolio yang menyediakan return
maksimal bagi investor dengan tingkat resiko tertentu atau portofolio yang
menawarkan resiko terendah dengan tingkat return tertentu. Sedangkan
portofolio optimal adalah portofolio yang dipilih investor dari sekian banyak
pilihan yang ada pada portofolio efisien. Pemilihan portofolio optimal
didasarkan pada preferensi investor terhadap return yang diharapkan dari
resiko.

2. Aset berisiko dan aset tak berisiko
Investasi berdasarkan sifat aset yang ditanamkan digolongkan ke dalam dua
jenis yaitu investasi pada aset berisiko dan investasi pada aset tidak berisiko.
Aset berisiko adalah aset-aset yang tingkat return di masa depannya masih
mengandung ketidakpastian sedangkan aset tidak berisiko adalah aset yang
tingkat return di masa depannya umumnya sudah bisa dipastikan saat ini.

Pada tulisan ini, investasi pada aset berisiko adalah menanamkan uang di
saham dan investasi pada aset tidak berisiko adalah menabung uang di bank.
Dalam berinvestasi, investor memilih menginvestasikan kekayaannya
pada berbagai aset, baik pada aset berisiko maupun aset tidak risiko ataupun
kombinasi dari kedua aset tersebut. Pilihan investor pada kedua aset tersebut
akan tergantung dari pandangan investor terhadap risiko. Semakin investor
mengindari risiko, maka pilihan investor cenderung menginvestasikan
kekayaannya lebih banyak pada aset-aset tidak berisiko.

Universitas Sumatera Utara

9

3. Fungsi utilitas
Secara umum, utilitas mengukur besarnya kepuasan yang dirasakan dari
sebuah objek. Ukuran ini dinyatakan dalam indeks utilitas (utility index).
Jadi dapat disimpulkan bahwa penentuan indeks utilitas dipengaruhi oleh
karakteristik individu.
Pemilihan portofolio untuk model utilitas yang diharapkan dilakukan
dengan menganalisis utilitas dari setiap hasil yang mungkin diperoleh

investor. Objek yang dijadikan bahan pembahasan dari fungsi utilitas yang
diharapkan adalah kekayaan (wealth) sehingga fungsi utilitas merupakan
fungsi kekayaan yang dilambangkan dengan U(w).
Pilihan investasi pada aset berisiko didorong oleh adanya premium
yang dinilai sebanding dengan risiko yang dihadapi. Investor hanya
mempertimbangkan terhadap pilihan investasi di bebas risiko dan investasi
yang memiliki risk premium positif. Risk premium adalah selisih antara ratarata return investasi berisiko dengan rata-rata return investasi tidak berisiko
sehingga fungsi utilitas merupakan fungsi keuntungan pada portofolio. Pada
kasus investor yang selalu berusaha menghindari risiko terdapat berbagai
macam fungsi utilitas yaitu:
(a) Utilitas Kuadratik (Quadratic Utility)
(b) Utilitas Eksponensial (Eksponensial Utility)
(c) Utilitas Pangkat (Power Utility)

2.4 Turunan
f ( x  h)  f ( x )
.
Definisi 2.4.1. Turunan fungsi f dari x atau f(x) adalah f ' ( x) 
h

Selanjutnya jika U dan V adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan
maka

d
dV
dU
.
(UV )  U
V
dx
dx
dx

. . .

(2.1)

Universitas Sumatera Utara

10

Teorema 2.4.2 (Verbeg, Purcell dan Rigdon, 2010)
Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi

g , yang didefinisikan oleh ( f

komposit f

g )( x)  f ( g ( x)) , akan

didiferensialkan di x sehingga
( f g )' ( x)  Dx  f ( g ( x))

. . .

 f ' ( g ( x)) g' ( x)

(2.2)

Definisi 2.4.3. Turunan Parsial
Z  f ( x, y)

suatu fungsi dengan variabel x dan y dikatakan turunan pasial

1. Jika x berubah tetapi y tetap maka turunan parsial terhadap x adalah
f ( x  x, y)  f ( x, y) f ( x, y)
Z
 lim

0
x


x
x
x

. . .

(2.3)

2. Jika y berubah tetapi x tetap maka turunan parsial terhadap y adalah

Z
f ( x, y  y )  f ( x, y ) f ( x, y )
 lim

y y 0
y
y

. . .

(2.4)

Andaikan Z  f ( x, y) fungsi kontinu pada variabel x dan y dengan turunan parsial
terhadap x adalah

Z
x

dan turunan parsial ke y adalah Z (Kartono, 1994). Jika x,
y

y merupakan fungsi yang dapat didiferensialkan dengan x  g (t ), y  h(t )
pada suatu variabel t maka Z merupakan fungsi dari t dan Z disebut turunan total
t

dari Z dengan memperhatikan

Z Z x Z y


.
t
x t y t

. . . (2.5)

2.5 Integral

Integral merupakan kebalikan dari diferensial atau anti diferensial.
Integral ada dua jenis yaitu
1. Integral tak tentu yaitu integral yang tidak memiliki batas-batas integral.

Universitas Sumatera Utara

11
Definisi 2.5.1. Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f dinotasikan
dengan A(f) atau

 F ( x)dx

bila F ' ( x)  f ( x) . Lebih lengkap dituliskan

sebagai berikut: Jika d F ( x)  c  dF ( x)  F ' ( x) maka F ' ( x)dx  dF ( x)  F ( x)  c,



dimana   c  .



2. Integral tentu yang diambil pada suatu daerah atau interval tertentu.
Definisi 2.5.2. Suatu fungsi f(x) yang kontinu pada interval a  x  b maka
b

a

n

f ( x) dx  lim  f ( xk )xk
n 

. . . (2.6a)

k 1

b

 dF ( x) dx  F ( x) |  F (b)  F (a)

. . .

b
a

(2.6b)

a

Definisi 2.5.3. Jika F(x) = U(x).V(x) fungsi yang kontinu pada interval [a, b]

atau

b

b

b

a

a

a

 U ( x) dV ( x)   dF ( x) dx   V ( x) dU ( x)

maka
b

b

a

a

 U ( x) dV ( x)  F (b)  F (a)   V ( x) dU ( x)

. . .

(2.7a)

. . .

(2.7b)

Selain dari kedua jenis integral tersebut terdapat juga integral parsial. Di
dalam diferensial diketahui bahwa jika U dan V adalah fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan maka d (UV )  Udv  Vdu apabila kedua ruas diintegralkan
diperoleh
UV   UdV   VdU

. . . (2.8)

 UdV  UV   VdU

. . . (2.9)

Integral parsial yang sering juga dikenal dengan integral by part memiliki
sifat umum sebagai berikut
a. Peranan dalam memilih dV diutamakan yang lebih mudah diintegralkan.
b.  VdU sebaiknya tidak lebih sulit dari pada  UdV .

2.6 Pendiferensialan Integral

Teorema 2.6.1 (Verbeg, Purcell dan Rigdon, 2010)
Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan jika x adalah variabel yang
x

merupakan sebuah titik dalam [a, b] maka Dx   f (t )dt   f ( x) .
a


Universitas Sumatera Utara

12
x

'
Bukti. Misalkan G ( x)   f (t )dt akan dibuktikan G ( x)  f ( x) .
a

xh



G ( x  h)  G ( x ) 

a

x

xh

a

a

f (t )dt   f (t )dt 



f (t )dt dengan h > 0 dan m adalah

nilai minimum serta M adalah nilai maksimum f pada selang [x, x+h] maka
m  f (t )  M
xh



xh



m dt 

a

xh

f (t ) dt 

a

 M dt
a

xh

mh 



f (t ) dt  M h

a

m h  G( x  h)  G( x)  M h

m 
lim
h 0

G ( x  h)  G ( x )
M
h

G ( x  h)  G ( x )
 f ( x)
h

G' ( x)  f ( x)

■

Bentuk pendiferensialan integral dapat dirumuskan sebagai berikut
t
t

f ( s, t )
d 


f
(
s
,
t
)
ds
f
(
t
,
t
)
ds


0


dt t0
t
t
0



. . . (2.10)

2.7 Persamaan Diferensial Linier
2.7.1

Permulaan Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang didalamnya terdapat turunanturunan yang merupakan hubungan antara variabel bebas dan variabel tak
bebasnya serta variabel turunan terhadap variabel tak bebas dalam berbagai orde.
Secara simbol ditulis:





F x, y' , y'' ,..., y n  0

. . . (2.11)

di mana
x = variabel bebas.
y = variabel tak bebas.

Universitas Sumatera Utara

13

y' , y'' ,..., y n = turunan-turunan y terhadap x.
Suatu derivatif atau turunan tertinggi yang terdapat dalam suatu persamaan
diferensial merupakan orde dari suatu persamaan diferensial sedangkan degree
(derajat) suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan
tertinggi yang terdapat dalam suatu persamaan diferensial.
Penyelesaian umum dari suatu persamaan diferensial adalah suatu
penyelesaian yang didalamnya terdapat konstanta sebarang, ditulis dengan

F ( x, y, c)  0 ;

c adalah konstanta

Penyelesaian khusus (particulir solution) adalah suatu penyelesaian yang
didalamnya sudah ditentukan konstanta sebarang menjadi konstanta absolut ditulis
dengan F ( x, y, co )  0 . Jika terdapat variabel bebas yang tunggal, turunan
merupakan turunan biasa maka persamaannya disebut persamaan diferensial biasa
sedangkan jika terdapat dua atau lebih variabel bebas dan turunannya adalah
turunan parsial maka persamannya disebut persamaan diferensial parsial (Kartono,
1994).

2.7.2

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu





Persamaan diferensial linier orde satu ditulis dalam bentuk F x, y, y'  0 atau
y'  F ( x, y) . Penyelesaian umumnya adalah

y  ( x, c) di mana penyelesaiannya

mengandung suatu konstanta c. Bila diberikan syarat awal x  x0 dan y  y0
maka konstanta c dapat dicari misalnya c  c0 . Penyelesaian atau jawaban untuk

c  c0 dinamakan jawaban khusus dalam bentuk y  ( x, c0 ) (Kartono, 1994).

2.7.3

Persamaan Diferensial Linier Orde – n

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde n adalah

P0 y n  P1 y n1  P2 y n1  ...  Pn y  Q

. . .

(2.12)

Universitas Sumatera Utara

14
di mana

P0  0 dan Q  0
P1 , P2 ,..., Pn adalah konstanta.
Q adalah fungsi.
Untuk menyederhanakan dan memudahkan perhitungan persamaan diferensial
tersebut dapat digunakan operator D dimana D 
menjadi

d
selanjutnya dapat ditulis
dx

( P0 Dn  P1 Dn1  P2 Dn1  ...  Pn ) y  Q .

Suatu persamaan differensial linier orde n dengan keofisien konstan
disebut homogen apabila Q = 0 sehingga bentuknya menjadi

( P0 Dn  P1 Dn1  P2 Dn1  ...  Pn ) y  0

. . .

(2.13)

dapat juga ditulis

P0 Dn  P1 Dn1  P2 Dn1  ...  Pn  0

. . . (2.14)

dapat juga difaktorkan menjadi ( D  m1 )( D  m2 )...( D  mn1 )( D  mn )  0 dimana
m1 , m2 ... mn1 , mn merupakan akar karakteristik dari persamaan (2.13) (Kartono,

1994).

2.8 Probabilitas

Probabilitas atau peluang secara klasik dapat diartikan sebagai suatu ukuran
tentang tingkat kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa
mendatang. Oleh karena itu diperlukan suatu pengamatan. Proses pengamatan
tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan hasil
(outcames) atau titik sampel. Himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin
dari suatu percobaan disebut dengan ruang sampel. Ruang sampel sering
dinotasikan dengan S atau Ω. Sedangkan kejadian atau event adalah himpunan
bagian dari ruang sampel (Sudjana, 2005).

Universitas Sumatera Utara

15
2.9 Sifat-sifat Probabilitas
Definisi 2.9.1 Misalkan Ω adalah ruang sampel dan A adalah suatu kejadian pada
ruang sampel Ω.
(1) Jika A = ∅ maka P(A) = 0.

(2) Nilai probabilitas kejadian A, yaitu P(A) berkisar dari 0 sampai 1  0  P( A)  1 .

(3) Jumlah nilai probabilitas semua hasil dari suatu percobaan atau P(Ω)=1.

2.10 Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2.10.1 Variabel Acak
Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara
lebih sederhana, maka digunakan variabel acak. Variabel acak biasanya
menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan.
Nilai numerik tersebut bersifat diskrit (hasil hitungan) dan bersifat kontinu (hasil
pengukuran, oleh karenanya variabel acak dapat dikelompokkan menjadi:
1. Variabel Acak Diskrit
Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang
terpisah, yang umumnya dihasilkan dari penghitungan suatu objek. Syarat
yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit:
(i)

P( x)

n

(ii)

0 atau 0 P( x) 1

 P( x )  1
i

i

Definisi 2.10.1 Nilai harapan (expected value) variabel acak diskrit adalah
rata-rata tertimbang seluruh kemungkinan hasil di mana penimbangnya
adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil (outcome).
Ekspektasi atau nilai harapan dapat dirumuskan dengan
n

E ( X )   x   xi .P( xi )
i=1

atau

E( X )  x  x1.P( x1 )  x2 .P( x2 )  ...  xn .P( xn )

. . . (2.15)

Universitas Sumatera Utara

16
di mana

xi = nilai ke-i dari variabel acak X
P( xi ) = probabilitas terjadinya xi
Varians dari Variabel Acak diskrit X yang dinotasikan dengan  x2 atau
Var[x] ditentukan dengan rumus:

Var[ x]  E[ x - E ( x)]2  E ( x 2 ) -[ E ( x)]2

. . . (2.16)

2. Variabel Acak Kontinu
Jika mengukur sesuatu seperti lebar ruangan, tinggi badan, atau berat
badan seseorang, maka variabel yang dihasilkan adalah variabel acak
kontinu. Hasil pengukuran tersebut mungkin akan berbeda-beda tergantung
pada siapa yang melakukan pengukuran dan tingkat ketelitian yang
digunakan.
Oleh karena hasil pengukuran tidak bisa seakurat hasil perhitungan,
maka nilai hasil pengukuran bisa bervariasi dalam suatu selang

nilai

tertentu. Misalnya jarak antara Medan dan Pematang Siantar dapat 127 km,
127,6 km, 128 km dan seterusnya tergantung pada ketelitian alat ukur atau si
pengukur.
Berikut diberikan beberapa contoh variabel kontinu dari suatu
percobaan.
Contoh 2.10.2. Variabel Kontinu
Percobaan

Variabel Acak

Kemungkinan Nilai-nilai
Variabel Acak

Membangun proyek
perkantoran baru setelah
12 bulan
Isi botol minuman jadi
(maximum = 600 ml)
Penimbangan 20 paket
kemasan (maximum = 2
kg)

Persentase proyek
yang diselesaikan

0  x  100

Jumlah milliliter

0  x  600

Berat sebuah paket
kemasan (kg)

0x2

Universitas Sumatera Utara

17
2.10.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu

Distribusi probabilitas variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan
sering disebut fungsi kepadatan (density function) atau fungsi kepadatan
probabilitas. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1. Syarat yang harus dipenuhi oleh
fungsi kepadatan probabilitas :
(i)

f(x)  0


(ii)

 f ( x) dx  1



di mana f(x) dx = P[x  X  (x + dx)], yaitu probabilitas bahwa nilai X terletak
pada interval x dan x + dx.
Definisi 2.10.3. Beberapa definisi mengenai variabel acak kontinu
1. Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Kontinu :


F ( x)  P( X  x) 



f ( x) dx

. . . (2.17)



Nilai-nilai x dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interval.
2. Ekspektasi atau mean untuk variabel acak kontinu X ditentukan dengan
rumus :

E ( x)   



 x. f ( x) dx

. . . (2.18)



Dan ekspektasi untuk x adalah sebuah fungsi (x = g(x)) ditentukan dengan


rumus :

E (g( x)) 

 g ( x). f

x

( x) dx

. . .



(2.19)
3. Varians dari Variabel Acak Kontinu X yang dinotasikan dengan  x2 atau
Var[x] ditentukan dengan rumus:

Var[ x]  E[ x - E ( x)]2  E ( x 2 ) -[ E ( x)]2

. . . (2.20)

Salah satu bentuk distribusi dari distribusi variabel acak yang akan dibahas
didalam tulisan ini adalah distribusi normal.

Universitas Sumatera Utara

18
2.11 Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling penting dalam bidang
statistik karena dapat mewakili kumpulan data observasi yang terjadi dalam alam
semesta, industri, maupun penelitian. Distribusi normal sering dikenal sebagai
distribusi Gauss.
Variabel acak x yang mempresentasikan distribusi normal disebut variabel
acak normal, yang distribusinya bergantung pada dua parameter, yaitu mean ()
dan deviasi standar (). Fungsinya dinotasikan sebagai N(x ;  ; ).

Definisi 2.11.1 Fungsi kepadatan (density function) dari variabel acak x dengan
mean  dan varians 2 adalah :
 x 
 

 12 
1
.e 
N ( x ;  ;  )  f ( x) 
 2

2

,

   x   . . . (2.21)

di mana

 = 3,14159......
e = 2,71828......

 = simpangan baku =  2
 = rata-rata x
x = variabel kontinu

2.12 Model Stokastik
2.12.1 Proses Stokastik
Definisi 2.12.1 Proses Stokastik adalah suatu kumpulan variabel acak Xt , t  T ,
dengan T adalah himpunan parameter waktu. Jadi dapat dikatakan bahwa proses
stokastik merupakan keluarga fungsi waktu. Jika T terhitung maka dikatakan
proses stokastik waktu diskrit dan jika T kontinu maka dikatakan proses stokastik
waktu kontinu. Proses stokastik waktu kontinu { Xt ; t T} dikatakan mempunyai
kenaikan

independen

jika

untuk

semua

t1 , t2 , t3 ,..., tn , variabel random

Universitas Sumatera Utara

19
Xt , Xt , Xt , ..., Xtn independen. Proses dikatakan mempunyai kenaikan stasioner
2
3
1

jika X (t s )  Xt mempunyai distribusi yang sama untuk semua t.
Contoh 2.12.2 X t  p  qt dengan p dan q adalah masing-masing variabel acak
maka X t yang merupakan jumlahan p dan q adalah kumpulan variabel acak
sehingga X t merupakan proses stokastik.

2.12.2 Data Deret Waktu

Data deret waktu merupakan sekumpulan observasi yang terurut dalam waktu
dengan jarak interval sama (Box dan Jenkins, 1970). Data deret waktu disebut
proses stokastik dikarenakan data saling berkaitan dalam rentang waktu yang sama
(Wei, 2006). Saat ini data deret waktu keuangan (financial prices) dapat diperoleh
dengan mudah, misalnya harga saham dan nilai kurs sehingga dapat dibangun
model peluang terbaik yang dapat digunakan untuk memprediksi harga/nilai di
masa yang akan datang. Data dari harga aset menghasilkan deret waktu. Deret
waktu adalah proses stokastik yang menggunakan waktu integer didalam
prosesnya.
Pemodelan portofolio dapat dimulai dengan mendefinisikan imbal hasil
(return) dan volatilitas (volatility) sebagai statistik. Distribusi return dan
volatilitas yang tepat dapat memberi gambaran perilaku data deret waktu.
Pemodelan return pada dasarnya adalah pemodelan volatilitas. Proses atau model
stokastik untuk harga tidak dapat dibangun dengan mudah.
a. Model Stokastik Return
Pada awalnya, sejumlah n+1 nilai aset yang harus diketahui baik melalui
publikasi finansial atau database komputer. Harga-harga tersebut kemudian
digunakan untuk menghitung sejumlah return (tingkat keuntungan yang diperoleh
dari akibat melakukan investasi) yang dimajemukkan secara kontinu sebagai
berikut:

Universitas Sumatera Utara

20
V
Rt  t
V

. . . (2.22)

t 1

Di mana Vt dan Vt 1 menotasikan nilai aset pada waktu ke-t dan t-1.
adalah barisan return acak dengan distribusi

Proses stokastik

probabilitas yang ditentukan oleh vektor parameter

. Model stokastik untuk

return dapat dituliskan sebagai berikut:

Rt  t t

. . . (2.22b)

di mana
t : Volatilitas harga
t : Proses wiener berdistribusi normal

Sedangkan Rate of Return adalah tingkat pengembalian atau tingkat bunga
yang diterima investor atas investasi tanpa amortisasi untuk menghitung tingkat
pengembalian atas investasi.
Tinggi rendahnya tingkat keuntungan yang diterima portofolio dipengaruhi
oleh tingkat keuntungan investasi tidak berisiko (risk free rate) dan risk premiun
dari investasi berisiko dengan tujuan utuk mengurangi risiko pada aset portofolio
yang dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut:
Rp  Rf  Risk Premium

. . . (2.23)

di mana
Rp : Rate of Return.
Rf : Risk Free Rate.

(John Hull, 2003)
b. Model Stokastik Volatilitas
Volatilitas adalah besarnya nilai fluktuasi sebuah aset. Volatilitas adalah
variansi/standar deviasi bersyarat dan sering diartikan sebagai suatu ukuran yang
menyatakan sebaran data relatif terhadap meannya. Volatilitas menyatakan risiko
dan merupakan ukuran risiko paling sederhana dan setiap ukuran risiko adalah
fungsi dari volatilitas. Semakin besar volatilitas aset, maka semakin besar
kemungkinan mengalami keuntungan atau kerugian. Nilai volatilitas berada pada

Universitas Sumatera Utara

21
interval positif yaitu antara 0 sampai dengan tak terhingga 0     . Nilai
volatilitas yang tinggi menunjukkan bahwa nilai aset berubah dengan sangat cepat.
Salah satu metode untuk mengestimasi volatilitas adalah analisis yang
berdasarkan nilai-nilai aset masa lalu kemudian diperoleh sejumlah return
(tingkat keuntungan

yang diperoleh dari akibat melakukan investasi) yang

dimajemukkan secara kontinu dan diperoleh estimasi variansnya sebagai berikut:



1 n 

ln Rt  r 


n  1 t 1 


. . . (2.24)

Di mana Rt adalah return majemuk secara kontinu dan r menotasikan rata-rata
dari log return (John Hull, 2003).

2.12.3 Sifat Markov

Definisi 2.12.3 Sifat Markov adalah sifat nilai harapan suatu variabel random keI dari suatu proses stokastik Xi dengan syarat semua nilai variabel random yang
sebelumnya diketahui hanya bergantung pada nilai variabel random ke- i-1 atau
Xi 1 tetapi nilai harapan tersebut tidak harus sama dengan nilai variabel random
ke- i-1. Sifat Markov dinotasikan dengan
E( Xi | X1, X 2,..., Xi 1)  E( Xi | Xi 1) .

. . . (2.25)

2.13 Proses Wiener (Gerak brown Baku)

2.13.1 Sejarah Gerak Brown

Pada tahun 1827, ahli Botani bernama Robert Brown menggunakan mikroskop
mengamati pergerakan yang menarik dari serbuk bunga yang terlarut dalam suatu
cairan di mana partikel-partikel di dalam serbuk bunga tesebut tampak bergerak

Universitas Sumatera Utara

22
acak. Brown menemukan faktor-faktor penting yang mempengaruhi gerakan
partikel tersebut, tetapi tidak mengerti penyebab partikel-partikel berkelakuan
seperti itu. Oleh karenanya, gerakan partikel yang acak ini dinamai sebagai gerak
Brown untuk menghargai kontribusi Brown.
Penjelasan gerak acak atau gerak Brown ini secara matematis pertama kali
berhasil dirumuskan oleh Thorvald Thiele pada tahun 1880. Kemudian pada tahun
1900 matematikawan Prancis bernama Louis Bachelier menulis tesis doktornya
yang berjudul “Teori Spekulasi”, yang merupakan analisis matematis pertama
terhadap pasar saham. Di sisi lain, Bachelier juga menyinggung persoalan gerak
Brown yang dikaitkan dengan pemodelan pasar, yang sama-sama tampak acak.
Sedangkan masalah pada saat itu adalah, para ilmuwan masih tidak bisa
menemukan keterkaitan antara rumusan matematis dari konsep keteracakan
dengan sumber penyebab gerak Brown, karena sumber gerak Brown itu sendiri
masih tidak diketahui.
Permasalahan ini akhirnya dipecahkan oleh Albert Einstein pada 1905 di
dalam 3 makalahnya. Hasil penelitian Einstein ini bersama dengan penelitian
lainnya pada tahun 1906 oleh ilmuwan Polandia bernama Marian Smoluchowski
menjadi solusi penjelasan terhadap gerak Brown yang dapat diterima hingga saat
ini. Penelitian terhadap gerak Brown ini menjadi salah satu tonggak dimulainya
pengembangan konsep matematis untuk keteracakan serta teori probabilitas.

2.13.2. Symmetric Random Walk

Sebuah koin dilempar atau di-toss berkali-kali dan hasilnya merupakan variabel

 1 bila ω j =H
. Hasil pelemparan antara
-1 bila ω j =T

acak X j dengan j  1, 2,... untuk X j ( j )  

koin pertama dengan pelemparan koin selanjutnya adalah saling bebas sehingga
1
2

dapat diasumsikan bahwa X1 , X 2 ,... saling bebas dan P(M )  P( B)  . Oleh definisi,
variabel acak X j memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1
1
1. E [ X j ]  1.P( H )  (1).P(T)  1.  (1).  0
2
2

Universitas Sumatera Utara

23
1
1
2. var[ X j ]  12 P( H )  (1) 2 P(T)  1.  1.  1
2
2
3. Fungsi Pembangkit Momen dari X j adalah

 X j (u )  E euX j 

 eu P( H )  e  u P(T )
1
1
 eu .  e  u . .
2
2
k

Definisikan M k : X 0  X1  X2  ...  X k atau M k   X j dengan X 0  0 sehingga
j 0


proses M k  k 0 akan disebut sebagai symmetric random walk. Symmetric random walk

M k  k0 memiliki beberapa sifat sebagai berikut:


 k
 
X

j   E X j   0
j

j

1
1



1. E  M k   E 

k

. . . (2.26)

k

2. Var  M k   Var  X j   0

. . . (2.27)

j 1

3. Inkremen dari M k adalah saling bebas.

2.13.3 Scaled Symmetric Random Walk

Misalkan n adalah bilangan bulat positif dengan t 

k
atau k  tn . Definisi scaled
n

symmetric random walk W ( n ) (t ) adalah
1
M tn
n
1

Mk
n

W (n) (t ) 

.

. . (2.28)

Teorema 2.13.4 Untuk t  0 dan n   , distribusi dari W ( n ) (t ) akan konvergen
ke distribusi normal dengan mean 0 dan varians t.
Bukti. Fungsi pembangkit momen untuk W ( n ) (t ) 

1
M tn adalah k (u )
n

Universitas Sumatera Utara

24



 k (u )  E euW


( n)

(t ) 



 u . 1n M tn 
 E e



 u X j 
n
 E e j1 




tn

 un X1 un X n
.e
.
 E e

 1 un 1  un
 k (u )   e  e
2
2

.e




u
Xn
n

tn

 1 un 1  un
log  k (u )  tn log  e  e
2
2

Andaikan x 









1
maka diperoleh
n

1
1

log  eux  eux 
2
2

lim log  k (u )  t lim 
2
k 
x 
x
 u ux u ux 
 e  2e  1
 t lim  2

x  1 ux
1
 e  e ux  2 x
2
2



 u ux u ux


 2e  2e
1
 t lim 
 lim

x  1 ux
x 
1
2x
 e  eux 

2
2


 u ux u  ux 
 2e 2e 
 t lim 

x 
2x




2
2
 u ux u ux 
 e  e 
2
lim log  k (u )  t lim  2

k 
x 
2




t
log  k (u )  u 2
2
1







u 2t

Jadi akan diperoleh  k (u )  e 2 .

Universitas Sumatera Utara

25
Ini adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak yang berdistribusi normal
■

dengan mean 0 dan varians t.

Untuk n   , proses W ( n ) (t ) akan konvergen menjadi proses W (t ) yang
memenuhi beberapa sifat-sifat. Selanjutnya proses ini akan dinotasikan dengan Wt
yang sering sebagai proses Wiener.

Definisi 2.13.5 Proses Wiener adalah suatu proses stokastik variabel acak kontinu
(continuous-time stochastic process) Wt , < x   yang memenuhi sifat-sifat
berikut :
(1) W0  0
(2) Wt berdistribusi normal N(0,1) artinya memiliki mean 0 dan Varians  t2 .
(3) Wt  Wt ,Wt  Wt ,...,Wt  Wt saling indenpenden untuk t1  t2  t3  ...  tn
2
1
3
2
( n)
( n1)

2.14 Persamaan Diferensial Stokastik

Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) adalah suatu persamaan diferensial yang
salah satu atau lebih nilai-nilai parameternya adalah proses stokastik (stochastic
processes) dan menghasilkan solusi stokastik berupa sebuah model. Persamaan ini
merupakan modifikasi dari Persamaan Diferensial Biasa yang variabel atau
parameternya acak dan tidak pasti (Oksendal, 2003).
Persamaan Diferensial Stokastik dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
,

X 0  x0

. . . (2.29)

di mana
: proses Stokastik
: proses Wiener baku (berdistribusi N(0,1))
t

: jangka waktu investasi
: suku determinisik atau sering disebut koefisien drift
: suku stokastik atau sering disebut koefisien diffusion

Universitas Sumatera Utara

26
Pada bentuk (2.29), koefisien drift berfungsi untuk memodelkan
kecenderungan dominan pada grafik solusi suatu PDS atau sebagai penentu arah
dari solusi suatu PDS sedangkan koefisien diffusion merepresentasikan fluktuasi
dari kurva dan proses Wiener merepresentasikan noise / gangguan pada sistem.

Persamaan Diferensial Stokastik juga merupakan persamaan integral
stokastik yang terdiri dari integral biasa (integral Riemann-Steljess) dan integral
stokastik (integral Ito). Persamaan Diferensial Stokastik biasanya digunakan untuk
model fenomena yang beragam seperti fluktuasi harga saham (Hartanto, 2013)

2.15 Lemma Ito

Lemma Ito adalah metode yang digunakan untuk mencari solusi integral
stokastik. Lemma Ito adalah analogi dari aturan rantai yang ditemui dalam turunan
biasa pada persamaan diferensial biasa. Untuk memahami aturan rantai pada
fungsi stokastik terlebih dahulu dipahami mengenai aturan rantai untuk fungsi
deterministik yang telah dibahas pada bagian 2.4.
Misalkan f dan g fungsi deterministik yang diferensiabel di x maka aturan
rantai untuk diferensiasinya adalah

 f ( g ( x))'  f '( g ( x)) g'( x)

. . . (2.30)

Persamaan (2.30) ditulis dalam bentuk diferensial menjadi d ( f ( g ))  f '( g ) dg yang
mana fungsi tersebut juga diferensiabel dalam t biasa ditulis sebagai uraian Taylor

1
2
f  g (t )  dg (t )   f ( g (t ))  f '( g (t )) dg (t )  f "( g (t )) dg (t )  ... . . . (2.31)
2
disini dg (t )  g (t  dt )  g (t ) adalah kenaikan dari g di [t, t+dt]. Orde dua dan
orde yang lebih tinggi dari ekspansi taylor ini dapat diabaikan untuk dt yang kecil.
Uraian taylor (2.31) diterapkan untuk kasus yang lebih umum. Misalkan

f (t , X t ) memiliki turunan parsial yang kontinu paling sedikit orde dua maka
uraian taylor (2.31) menjadi





1
 f11 t ,Xt  dt 2
2
. . . (2.32)
2 f12  t ,Xt  dtdX t  f22  t ,Xt  (dX t )2   ,

f t  dt ,Xt dt  f  t ,Xt   f1  t ,Xt  dt  f 2  t ,Xt  dX t 

Universitas Sumatera Utara

27

fi (t , X ) 

di mana

fi j (t , X ) 

dan


f ( x1 , x2 )
, i =1,2,
xi
x1 t , x2  X

 
f ( x1 , x2 )
, i, j =1,2.
xi x j
x1 t , x2  X

. . . (3.33)

. . . (3.34)

Persamaan (2.31) dapat ditulis menjadi


1 2
f (t , X t )dt 
f (t , X t )dX t 
(t , X t )dt 2
t
X t
2 t 2
 
1 2
f (t , X t )dtdX t 

(t , X t )dX t 2
t X t
2 X t 2

df (t , X t ) 

. . . (2.35)

Misalkan persamaan diferensial stokastik berbentuk
. . . (2.36)
Dengan mensubtitusikan (2.35) ke persamaan (2.36) dapat diperoleh


f (t , X t )dt 
f (t , X t )(a(t , X t )dt  b(t , X t )dWt )
t
X t
 
1 2

f (t , X t )dt 2 
f (t , X t )dt (a(t , X t )dt
2
t X t
2 t
1 2
b(t , X t )dWt ) 
(t , X t )(a (t , X t )dt  b(t , X t )dWt ) 2
2 X t 2

df (t , X t ) 

. . . (2.37)

atau dapat ditulis menjadi


f (t , X t )dt  a(t , X t )
f (t , X t )dt
t
X t

1 2
b(t , X t )
f (t , X t )dWt 
(t , X t )dt 2
. . . (2.38)
X t
2 t 2
 
 
2
 a(t , X t )
f (t , X t )dt  b(t , X t )
f (t , X t )dWt
t X t
t X t
1 2
2
2

(t , X t )  a(t , X t )  dt 2  2a(t , X t )b(t , X t )dtdWt   b(t , X t )  d Wt 2 
2 X t 2

df (t , X t ) 



Dengan mengabaikan suku dengan orde yang lebih tinggi, persamaan (2.38)
menjadi



f (t , X t ) dt  a (t , X t )
f (t , X t ) dt
t
X t

b(t , X t )
f (t , X t ) dWt
X t
2
1
2
  b(t , X t ) 
(t , X t ) dWt 2
X t 2
2

df (t , X t ) 

. . .

(2.39)

Karena dWt 2  dt maka persamaan (2.39) menjadi

Universitas Sumatera Utara

28



f (t , X t )dt  a(t , X t )
f (t , X t )dt
t
X t
2
1

2 
(t , X t )dt
b(t , X t )
f (t , X t )dWt   b(t , X t ) 
2
X t
X t 2

df (t , X t ) 

. . . (2.40)

atau


f (t , X t )  a (t , X t )
f (t , X t )
X t
 t
2
. . .

1

2 
(
,
)
(
,
)
(
,
)
  b(t , X t ) 

t
X
dt
b
t
X
f
t
X
dW
t 
t
t
t
2
X t 2
X t


df (t , X t )  

(2.41)

Persamaan (2.41) kemudian dikenal dengan Lemma Ito yang ditulis secara
lengkap sebagai berikut:
Lemma 2.15.1 (X. S. Lin, 2006)
Misalkan X t memenuhi persamaan diferensial stokastik pada persamaan (2.35)
dan f (t , X t ) adalah suatu fungsi yang memiliki turunan parsial yang kontinu
paling sedikit orde dua dan dapat diturunkan sebanyak dua kali maka


f (t , X t )  a (t , X t )
f (t , X t )
X t
 t
2


1
2 
  b(t , X t ) 
f (t , X t )dWt .
(t , X t )  dt  b(t , X t )
2
X t
X t
2


df (t , X t )  

2.16 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik

Persamaan (2.28) dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan integral sebagai
berikut

t

t

0

0

X t  X 0   a  s, X s  ds   b  s, X s  dWs , s