Meminimumkan Total Biaya Pada Perencanaan Produksi Dan Pengendalian Persediaan Menggunakan Program Dinamik (Studi Kasus: Pabrik Roti Cv. Fawas Jaya Medan)
5
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Program Dinamik
Pemrograman dinamik adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan
untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling
berkaitan. Pemrograman dinamik ini pertama kali dikembangkan oleh seorang
ilmuwan bernama Richard Bellman pada tahun 1957. Dalam hal ini program
dinamik menyediakan prosedur sistematis untuk menentukan kombinasi
keputusan yang optimal. Tujuan utama model ini ialah untuk mempermudah
penyelesaian persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu.
Pemrograman dinamik memberikan prosedur yang sistematis untuk menentukan
kombinasi pengambilan keputusan yang memaksimalkan keseluruhan efektivitas.
Berbeda dengan linier programming dalam pemrograman dinamik tidak ada
rumus (formula) matematis standar, pemrograman dinamik ini lebih merupakan
suatu tipe untuk pemecahan suatu masalah dengan cara pendekatan secara umum.
Persamaan khusus yang akan digunakan harus dikembangkan sesuai dengan setiap
situasi individual. Stuktur umum masalah program dinamik diperlukan untuk
menentukan apakah suatu masalah dapat dipecahkan dengan prosedur-prosedur
program dinamik atau tidak dan bagaimana hal itu akan dilakukan. Istilah - istilah
yang biasa digunakan dalam program dinamik antara lain:
a.
Stage (tahap) adalah bagian persoalan yang mengandung decision variable.
b.
Alternatif, pada setiap stage terdapat decision variable dan fungsi tujuan yang
menentukan besarnya nilai setiap alternative.
c.
State, state menunjukkan kaitan satu stage dengan stage lainnya, sedemikian
sehingga setiap stage dapat dioptimisasikan secara terpisah sehingga hasil
optimasi layak untuk seluruh persoalan.
Pada umumnya model-model penyelidikan operasional bertujuan mencari solusi
pemecahan masalah yang optimal dari nilai variabel keputusan. Variabel
keputusan adalah variabel yang dapat diubah dan dikendalikan oleh pengambil
Universitas Sumatera Utara
6
keputusan. Salah satu model dari masalah yang dapat dipecahkan secara bertahap
ganda dengan membagi masalah menjadi bagian - bagian yang lebih kecil
(dekomposisi) dan pada solusi dapat terjawab pada tahap akhir dengan
menyatukan keputusan pada tahap-tahap yang ada (komposisi). Program dinamik
merupakan teknik pemecahan yang sistematis untuk memperoleh jawaban dari
masalah multi stage problem solving ini. Multi stage programming lebih dikenal
dengan
nama
dynamic
programming,
karena
kegunaannya
melibatkan
pengambilan keputusan yang melewati waktu. Namun, pada situasi lain dimana
waktu bukan sebagai faktor.
Adapun beberapa karakteristik problem pemrograman dinamik yaitu:
a. Problem dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap
hanya diambil satu keputusan.
b. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan
dengan
tahap tersebut.
Secara
umum,
status merupakan
bermacam
kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.
c. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari
status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.
d. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan
yang dilakukan pada tahap sebelumnya.
e. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk
setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status
pada tahap k + 1.
f. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.
Pemrograman dinamik probabilistik berbeda dengan pemrograman dinamik
deterministik. Dimana
pemrograman dinamik
deterministik, pada tahap
berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan pada
tahap sebelumnya, sedangkan pemrograman dinamik probabilistik, terdapat suatu
distribusi probabilitas keadaan mendatang yang distribusi peluang ini tetap
ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan pada keadaan sebelumnya.
Selanjutnya terdapat dua hal dalam pemrograman dinamik probabilistik yaitu:
Universitas Sumatera Utara
7
a. Stage berikutnya tidak seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada
stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi kemungkinan mengenai apa yang akan
terjadi.
b. Distribusi kemungkinan ini masih seluruhnya ditentukan oleh state dan
keputusan pada stage saat ini.
Struktur dasar yang dihasilkan pemrograman dinamis probabilistik diuraikan
secara diagram dalam Gambar 1.
1
probabilitas
keputusan
2
keadaan
(
,
)
s
Di mana:
a. S melambangkan banyaknya keadaan yang mungkin pada tahap (stage) n + 1
dan keadaan ini digambarkan pada sisi sebelah kanan sebagai 1,2,…,S.
Universitas Sumatera Utara
8
b. (p1,p2,...ps) adalah distribusi kemungkinan dari terjadinya suatu state
berdasarkan state Sn dan keputusan Xn pada stage n
c. Ci adalah kontribusi dari stage n terhadap fungsi tujuan, jika state berubah
menjadi state i
d. fn(Sn, Xn) menunjukkan jumlah ekspektasi minimal dari tahap n ke depan,
dengan diberikan status dan keputusan pada tahap n masing-masing Sn dan Xn.
Oleh karena adanya struktur probabilistik, hubungan antara fn(sn,xn) dan
f*n+1(sn,xn) agak lebih rumit dari pada untuk pemrograman dinamik deterministik.
Bentuk yang tepat dari hubungan tersebut tergantung pada bentuk fungsi tujuan
secara umum. Dalam pemrograman dinamik probabilistik juga terdapat hubungan
rekursif yang mengidentifikasi kebijakan optimal. Ada dua prosedur rekursif
yaitu:
a. Forward recursive equation (perhitungan dari depan ke belakang). Program
dinamis bergerak mulai dari tahap 1 sampai tahap n. Peubah keputusan adalah
x1, x2, …, xn.
b. Backward recursive equation (perhitungan dari belakang ke depan). Program
dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan
seterusnya sampai tahap 1. Peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x1.
Sebagai ilustrasi, misalkan tujuannya adalah meminimalkan jumlah yang
diharapkan dari konstribusi tahap-tahap secara terpisah. Pada kasus ini fn(sn,xn)
menggambarkan jumlah minimal yang diharapkan dari tahap n dan seterusnya,
bila diketahui bahwa keadaan dan keputusan kebijakan pada tahap n adalah s n dan
xn . Akibatnya,
dengan
fn(sn,xn) = ∑
f*n+1(i) =
[
]
di mana minimal ini dibuat di atas nilai kelayakan bagi x n+1
Penggunaan pemrograman dinamik probabilistik selalu dipakai dalam Game
(Permainan), Penambahan Penolakan (Reject Allowence) atau jumlah tambahan
produk yang di produksi dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
9
Program dinamik memberikan prosedur yang sistematis untuk penentuan
kombinasi
pengambilan
keputusan
yang
memaksimumkan
keseluruhan
efektivitas. Berbeda dengan Linier Programming, dalam program dinamik tidak
ada rumusan (formulasi) matematis standard. Program dinamik lebih merupakan
suatu tipe pendekatan umum untuk pemecahan masalah dan persamaanpersamaan khusus yang akan digunakan harus dikembangkan sesuai dengan setiap
situasi individual. (Rangkuti. Aidawayati, 2013.)
2.1.1 Prinsip Program Dinamik
Prinsip dasar pendekatan program dinamik adalah, bahwa masalah dapat dibagi
menjadi bagian
– bagian yang paling kecil,yang disebut tahap atau titik
keputusan.dapat diasumsikan dengan bahwa membagi masalah kedalam sub
masalah, suatu masalah dapat dievaluasi sanagat mudah.oleh sebab itu program
dinamik disebut juga sebagai model multiproses atau model tahap. Suatu proses
keputusan bertahap ganda adalah deterministik apabila hasil dari tiap-tiap
keputusan diketahui secara pasti. Proses urutan pembagian masalah dalam model
dynamic programming digambarkan sebagai berikut.
Tahap 1
Tahap 2
Tahap 3
Gambar 2.1.1 urutan pembagian masalah
Pendekatan penyelesaian masalah dalam program dinamik dilakukan secara maju.
Penyelesaian dimulai pada awal proses dan berjalan maju dengan selalu
menggunakan keputusan optimal dari keputusan sebelumnya. Dengan proses
penyelesaian semacam ini, maka akan didapatkan suatu set keputusan yang
optimal.
Prinsip kedua program dinamik adalah tentang status (state) yang merupakan arus
informasi dari satu tahap ke tahap berikutnya.Arus informasi yang masuk ke tahap
Universitas Sumatera Utara
10
berikutnya disebut status input.keputusan pada tahap berikutnya tergantung pada
status input dari tahap berikutnya. Status input ini penting karena keputusan pada
tahap berikutnya tergantung dari status input sebelumnya. Hubungan antara status
input dengan tahap ditunjukkan dalam gambar 2.1.2 berikut ini.
status 1
input untuk
tahap 1
Tahap 1
keputusan
status 2
Tahap 2
input untuk
Keputusan
tahap 2
Gambar 2.1.2 hubungan status input dengan tahap
Dari gambar 2.1.2 di atas tampak bahwa status input untuk tahap 2 merupakan
status output untuk tahap keputusan sebelumnya, yaitu tahap keputusan 1.
Sedangkan status output dari tahap keputusan 1 merupakan status input untuk
tahap keputusan berikutnya, atau tahap keputusan 2.
Prinsip ketiga program dinamik adalah tentang variable keputusan yang
merupakan alternatife yang dipilih pada saat melakukan atau mengambil
keputusan pada tahap tertentu.berbagai alterntif yang dapat diambil dalam setiap
keputusan dapat dibatasi dengan mengambil pernyataan yang dikenakan dalam
struktur masalah.
Prinsip keempat adalah tentang fungsi transformasi yang merupakan
bagaimana hubungan antara tahap-tahap keputusan dalam proram dinamik saling
berhubungan.fungsi transformasi juga menyatakan tentang hubungan fungsional
nilai status tahap keputusan.
Hubungan status dalam tahap yang berurutan bersifat hubungan yang berulangulang. Sebagai contoh, jika terdapat tahap keputusan n dan hubungannya dengan
tahap keputusan n-1 maka perhitungan nilai status untuk n-1 digunakan nilai
status n dan keputusan pada tahap n dengan hubungan yang bersifat berulang.
Dalam model dynamic programming, notasi atau simbol yang digunakan meliputi
hal-hal sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
11
N :Menyatakan banyaknya tahap keputusan, dengan urutan tahapnya adalah
1,2,…,n
Menyatakan status input ke tahap keputusan n. Nilai dari status atau
merupakan � nilai yang dihasilkan dari tahap keputusan sebelumnya,
yaitu n -1.
Menyatakan alternatif keputusan yang diambil pada tahap keputusan n.
: Menyatakan return pada tahap keputusan n.
2.2
Persamaan Regresi Linier dan Koefisien Korelasi
Regresi Linier merupakan analisis statistika yang memodelkan hubungan
beberapa variable menurut bentuk hubungan persamaan linier eksplisit.
Persamaan linier bentuk eksplisit adalah persamaan linier yang menempatkan
suatu peubah secara tunggal pada salah satu persamaan. Metode regresi
merupakan salah satu teknik analisis statistika yang digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara satu variable respon dengan satu atau lebih
variable penjelas.sedangkan analisis regresi adalah merupakan suatu teknik untuk
membangun persamaaan garis lurus dan menggunakan persamaan tersebut untuk
membuat perkiraan.(Algifari.1962)
Model regresi yang paling sederhana yaitu garis lurus. Dalam hal ini terdapat satu
apa yang disebut peubah bebas, dinamakan X, dan satu peubah tak bebas yang
bergantung pada X , dinamakan Y. (William, 1987.)
Model Regrsi Linier Sederhana dapat dituliskan sebagai berikut :
’=
+�
Dengan :
Y’ = Nilai yang diukur atau dihitung pada variabel tak bebas
Universitas Sumatera Utara
12
X
= Nilai tertentu dari variabel bebas
a
= Konstanta (nilai Y‟ bila X = 0)
b
= Koefisien regresi (kenaikan atau penurunan Y’ untuk setiap
perubahan
satu-satuan X ) atau koefisien regresi, mengukur besarnya pengaruh X terhadap Y
kalau X naik satu unit.
Nilai dari a dan b pada persamaan regresi dapat dihitung dengan rumus di bawah
ini :
�=
− ,� =
=
atau
�=
∑
∑
∑
∑
a =∑
(1)
−
dengan
∑ ∑
∑
- b∑
…
(2)
(3)
Model regresi tidak terlepas dari koefisien korelasi. Koefisien korelasi (KK)
merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan (kuat,
lemah, atau tidak ada) hubungan antar variabel. Koefisien korelasi memiliki nilai
antara -1 dan +1 (-1 ≤ KK ≤ +1).
a) Jika KK bernilai positif maka variabel-variabel berkorelasi positif.
Semakin dekat nilai KK ke +1 semakin kuat korelasinya, demikian pula
sebaliknya.
b) Jika KK bernilai negatif maka variabel-veriabel berkorelasi negatif.
Semakin dekat nilai KK ke -1 semakin kuat korelasinya, demikian pula
sebaliknya.
c) Jika KK bernilai 0 (nol) maka variabel-variabel tidak menunjukkan
korelasi
Universitas Sumatera Utara
13
d) Jika KK bernilai +1 atau -1 maka veriabel-veriabel menunjukkan korelasi
positif atau negatif yang sempurna.
Untuk menentukan keeratan hubungan antara korelasi antar variabel tersebut,
berikut ini diberikan nilai-nilai dari KK sebagai patokan.
1. KK = 0, tidak ada korelasi
2. 0 < KK ≤ 0,20, korelasi sangat rendah atau lemah sekali
3. 0,20 < KK ≤ 0,40, Krelasi rendah atau lemah tapi pasti
4. 0,40 < KK ≤ 0,70, korelasi yang cukup berarti
5. 0,70 < KK ≤ 0,90, korelasi yang tinggi, kuat
6. 0,90 < KK < 1,00, Korelasi sangat tinggi, kuat sekali, dapat diandalkan
7. KK = 1, korelasi sempurna
2.3
Definisi Algoritma Rekursif
Sebuah objek disebut berulang (rekursif, recursive) jika setiap objek mengandung
dirinya sendiri atau didefinisikan dengan dirinya sendiri. Hubungan ini dapat
ditemukan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga pada kehidupan sehari-hari.
Dalam matematika, definisi rekursif sebuah fungsi adalah definisi fungsi yang
menggunakan fungsi tersebut. Sebagai contoh, f(n) didefinisikan sebagai berikut:
= ( − 1)
(2.3.1)
Bagaimana menentukan nilai (4) ? berdasarkan definisi 2.3.1, (4) dapat
dirumuskan sebagai:
4 = 4(3)
(2.3.2)
Nilai (3) tidak diketahui, tetapi berdasar definisi, nilai (3) dapat dihitung dengan:
3 = 3(2)
(2.3.3)
Nilai (2) pun tidak diketahui, tetapi berdasar definisi, nilai (2) dapat dihitung
dengan mengalikan 2 dengan
(1), sehingga perhitungan
(4) dapat dituliskan
sebagai:
Universitas Sumatera Utara
14
4 = 4(3)(2) (1)
(2.3.4)
Berdasar definisi (2.3.1), perhitungan (4) akan berlanjut tanpa pernah berhenti,
4 = 4 (3)(2)(1)(0)(−1)(−2) (−3)
(2.3.5)
Oleh karena itu, untuk melengkapi definisi rekursif harus ditentukan sebuah
kondisi kapan perulangan berhenti. Definisi rekursif lengkap fungsi, ( ) di atas
adalah :
= ( − 1) untuk n > 1
1=1
(2.3.6)
Berdasar definisi baru, (4) dapat dihitung dan berhenti jika pada (1), sehingga
4 = 4f(3)
4 = 4 (3 )f(2)
4 = 4 (3 )(2) f(1)
4 = 4 (3)(2) (1)
4 = 24
Perulangan (recursion) memegang peranan penting dalam banyak definisi
matematika. Beberapa contoh definisi matematika tersebut adalah bilangan asli
(natural number) dan fungsi faktorial :
1. Bilangan asli
1
adalah bilangan asli
Suksesor bilangan asli adalah bilangan asli
2. Fungsi faktorial, n! (untuk integer on-negatif), seperti contoh fungsi diatas.
a. 0! = 1
b. Jika n > 0, maka n! = n(n - 1)!
(fathul.2004:223)
2.4
Program Dinamik Deterministik
Pada bagian ini akan dikemukakan pendekatan program dinamis sebagai
persoalan deterministik, di mana state pada stage berikutnya sepenuhnya
Universitas Sumatera Utara
15
ditentukan oleh state dan keputusan pada stage ini. Dynamic programming
deterministik ini dapat diterangkan dengan diagram berikut:
Stage n
stage
�
State :
(�
�
kontribusi dari Xn
)
(�
)
Dengan demikian, maka pada stage n, prosesnya akan berada pada state � . Pada
state ini dibuat keputusan
(
, kemudian proses bergerak ke state �
pada stage
). Dari titik ini ke depan, nilai fungsi tujuan untuk keputusan optimumnya
telah terlebih dahulu dihitung, yaitu
(�
). Keputusan memilih
juga
memberikan kontribusi terhadap fungsi tujuan, yang dengan menggabungkan
kedua besaran ini akan diperoleh nilai fungsi tujuan
(�
) yang berawal
pada stage n. minimumkan nilai tersebut dengan memperhatikan
diperoleh
=
(�
sehingga
). setelah hal ini dilakukan untuk semua nilai � yang
mungkin, maka prosedur penyelesaiannya bergerak kembali pada persoalan
dengan satu stage.
Suatu cara untuk mengategorikan persoalan program dinamis deterministik ini
adalah dengan melihat bentuk fungsi tujuannya. Sebagai contoh, fungsi tujuannya
mungkin meminimumkan jumlah kontribusi dari masing-masing stage atau dapat
pula memaksimumkannya atau meminimumkan hasil perkaliannya, dan
sebagainya. Cara pengategorian yang lain didasarkan pada keadaan dari kumpulan
(set) state pada suatu stage. Artinya, apakah state �
dapat direpresentasikan
sebagai variabel state diskrit atau kontinu, atau mungkin diperlukan suatu vector
state (lebih dari satu variabel), pada bagian ini akan dikemukakan pendekatan
program dinamis sebagai persoalan deterministik, di mana state pada stage
berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage ini.
(Ahmad. Dimyati,1994.).
Universitas Sumatera Utara
16
Frederick S. Hillier, et al, 2000. pada bukunya yang berjudul ”Introduction to
Operation Research” mengatakan bahwa program dinamik adalah suatu teknik
matematis untuk pembuatan serangkaian keputusan yang saling berhubungan.
Program dinamik menyediakan prosedur sistematis untuk menentukan kombinasi
keputusan yang optimal. Pendekatan program dinamik didasarkan pada prinsip
optimasi Bellman (1950) yang mengatakan Suatu kebijakan optimal mempunyai
sifat bahwa apa pun state dan keputusan awal, keputusan berikutnya harus
membentuk suatu kebijakan optimal dengan memperhatikan state dari hasil
keputusan pertama. Prinsip ini mengandung arti bahwa:
1. Diperkenankan untuk mengambil keputusan yang layak bagi tahap
persoalan yang masih tersisa tanpa melihat kembali keputusan-keputusan
masa lalu atau tahap-tahap terdahulu.
2. Dalam rangkaian keputusan yang telah diambil, hasil dari masing-masing
tergantung pada hasil keputusan sebelumnya dalam rangkaian.
Masalah Program dinamik dapat dinyatakan dalam bentuk umum :
Maksimumkan:
dengan batasan
Dimana :
=∑
X= ∑
,
dan
�
0
0
….
)
= Penghasilan total dari seluruh kegiatan (tahap)
= Kuantitas sumber daya yang dialokasikan ke kegiatan (tahap) ke-j
= penghasilan (reward) dari kegiatan ke-j
�
= Jumlah kegiatan-kegiatan (tahap-tahap) bebas (independent)
= Sumber daya total yang tersedia untuk � kegiatan-kegiatan
Dalam masalah umum di atas, penghasilan (return) maksimum dari seluruh
penghasilan keseluruhan dari � kegiatan-kegiatan dapat dinyatakn oleh suatu
urutan, fungsi fungsi sebagai berikut :
= max �(X1,X2, ... , Xn-1,Xn)
Universitas Sumatera Utara
17
Sumber daya total yang tersedia X harus dialokasikan secara berurutan ke semua
kegiatan-kegiatan pada tahap-tahap yang berbeda, untuk mencapai hasil yang
maksimum. Bila dialokasikan sejumlah
0
dari sumber daya ke kegiatan di mana
, akan didapatkan penghasilan
dipunyai sejumlah
−
dari kegiatan tersebut. Masih
sumber daya yang tersedia untuk (n-1) kegiatan. Bila
penghasilan total dari (n-1) kegiatan ditunjukkan oleh:
n-1 (X-Xn)=∑
Xj
0
Penghasilan total dari � kegiatan dapat dinyatakan sebagai:
(X)
= (Xn)+
−
(X-Xn)
Kuantitas sumber daya optimal yang dialokasikan ke-n kegiatan , menentukan
nilai −
, dan hal ini sebaliknya, akan menentukan nilai maksimum persamaan
penghasilan total. Oleh sebab itu, masalah programasi dinamis dapat dinyatakan
dalam bentuk fungsi umum sebagai :
= max
+
−
−
3 …
Persamaan ini disebut sebagai recursive equation. Persamaan recursif dapat
digunakan baik untuk perhitungan ke depan maupun ke belakang dalam
pemecahan masalah-masalah yang multistage. Bila keputusan dibuat dari tahap
awal bergerak ke depan sampai tahap terakhir, prosedur perhitungannya disebut
metode forward induction. Prosedur kebalikannya disebut metode backward
induction. Kedua metode ini mengarahkan ke penyelesaian optimal yang sama
dari suatu masalah programasi dinamis. Dan yang penting untuk diperhatikan,
bahwa setiap penyelesaian dari submasalah digunakan sebagai masukan (input)
untuk penyelesaian sub masalah berikutnya, baik itu bergerak ke depan maupun
ke belakang.
Jadi, prosedur perhitungannya meliputi hanya 2 aspek submasalah sekarang yang
sedang dalam perhitungan dan hasil perhitungan submasalah yang persis
sebelumnya.
2.5
Fungsi Pengendalian Persediaan
Universitas Sumatera Utara
18
Masalah pengendalian persediaan merupakan salah satu masalah penting yang
dihadapi oleh perusahaan. Pendekatan-pendekatan kuantitatif akan sangat
membantu dalam memecahkan masalah ini. Sejak tahun 1951, para ahli telah
memusatkan perhatiannya pada kemungkinan penggunaan pendekatan matematis
untuk membantu pengambilan keputusan dalam menentukan tingkat persediaan
yang optimal. Mulai saat itu makin berkembang peralatan-peralatan kuantitatif
yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengendalian persediaan.
Alasan utama yang menyebabkan perhatian terhadap masalah pengendalian
persediaan demikian besar adalah karena pada kebanyakan perusahaan persediaan
merupakan bagian atau “porsi” yang besar yang tercantum dalam neraca.
Persediaan yang terlalu besar maupun terlalu kecil dapat menimbulkan masalahmasalah yang pelik. Kekurangan persediaan bahan mentah akan mengakibatkan
adanya hambatan-hambatan pada proses produksi. Kekurangan persediaan barang
dagangan
akan
menimbulkan
kekecewaan
pada
langganan
dan
akan
mengakibatkan perusahaan kehilangan mereka. Kelebihan persediaan akan
menimbulkan biaya ekstra di samping risiko. Sehingga dapat dikatakan bahwa
manajemen persediaan yang efektif dapat memberikan sumbangan yang berarti
kepada keuntungan perusahaan. Fungsi utama pengendalian persediaan adalah
“menyimpan” untuk melayani kebutuhan perusahaan akan bahan mentah/barang
jadi dari waktu ke waktu. Fungsi ini ditentukan oleh berbagai kondisi seperti :
a. Apabila jangka waktu pengiriman bahan mentah relatif lama maka
perusahaan perlu persediaan bahan mentah yang cukup untuk memenuhi
kebutuhan perusahaan selama jangka waktu pengiriman. Atau pada
perusahaan dagang, persediaan barang dagangan harus cukup untuk
melayani permintaan langganan selama jangka waktu pengiriman barang
dari supplier atau produsen
b. Seringkali jumlah yang dibeli atau diprodusir lebih besar daripada yang
dibutuhkan. Hal ini disebabkan karena membeli dan memproduksi dalam
jumlah yang besar pada umumnya lebih ekonomis. Karenanya sebagian
barang/bahan yang belum digunakan disimpan sebagai persediaan.
Universitas Sumatera Utara
19
c. Apabila permintaan barang bersifat musiman sedangkan tingkat produksi
setiap saat adalah konstan maka perusahaan dapat melayani permintaan
tersebut dengan membuat tingkat persediaannya ber-fluktuasi mengikuti
fluktuasi permintaan. Tingkat produksi yang konstan umumnya lebih
disukai karena biaya-biaya untuk mencari dan melatih tenaga kerja baru,
upah
d. lembur, dan sebagainya (bila tingkat produksi berfluktuasi) akan lebih
besar daripada biaya penyimpanan barang di gudang (bila tingkat
persediaan berfluktuasi).
e. Selain untuk memenuhi permintaan langganan, persediaan juga diperlukan
apabila biaya untuk mencari barang/bahan pengganti atau biaya kehabisan
barang/bahan (Stockout cost) relatif besar (Pangestu.2000:206).
2.6
Komponen-Komponen Biaya Produksi
Masalah utama yang ingin dicapai oleh pengendalian persediaan adalah
meminimumkan biaya operasi total perusahaan. Jadi, ada dua keputusan yang
perlu diambil dalam hal ini, yaitu berapa jumlah yang harus dipesan setiap kali
pemesanan, dan kapan pemesanan itu harus dilakukan. Dalam menentukan jumlah
yang dipesan pada setiap kali pemesanan, pada dasarnya harus dipertemukan dua
titik ekstrim yaitu memesan dalam jumlah yang sebesar-besarnya untuk
meminimumkan ordering cost, dan memesan dalam jumlah yang sekecil-kecilnya
untuk meminimumkan carrying cost. Kedua titik ekstrim ini mempunyai
pengaruh yang tidak menguntungkan perusahaan. Hasil yang terbaik akan
diperoleh dengan mempertemukan keduanya. Berbagai macam biaya yang perlu
diperhitungkan di saat mengevaluasi masalah persediaan. Di antara biaya-biaya
tersebut, ada tiga kelompok utama, yakni :
a. Ordering dan Procurement Cost.
b. Holding cost atau Carrying cost.
c. Shortage cost.
Universitas Sumatera Utara
20
Urutan perencanaan produksi dengan program dinamik ditunjukkan pada
tahapan berikut :
1) Dekomposisi, permasalahan rencana produksi dipecah menjadi beberapa
submasalah dalam penelitian ini dinyatakan dengan tahap 1 sampai tahap
12.
2) Menentukan variabel masukan atau state pada tiap tahapan, dalam hal ini
adalah hasil peramalan, kapasitas tersedia, biaya variabel produk, dan
biaya simpan.
3) Menentukan variabel keputusan, dalam penelitian ini adalah menentukan
jumlah produksi berdasarkan persediaan.
4) Menetapkan fungsi tujuan :
Min C = ∑
−
5) Dengan batasan jumlah produksi yang dilakukan tidak melebihi kapasitas
produksi yang tersedia. Formulasi matematisnya, yaitu :
� −
+�
6) Menetapkan persamaan rekursif
Penyelesaian program dinamik dilakukan dengan perhitungan rekursif yang
berulang setiap tahap. Keputusan optimum pada suatu tahap adalah hasil optimum
pada tahap tersebut ditambah hasil optimum tahap sebelumnya.
=min{(
+ Y( ) +
(
))}
n = 1,2,3, . . . , 12
Persamaan rekursif di atas dapat ditulis, sebagai berikut :
:
=min{(
+ B( )) +
(
Rekursif mundur :
=min{(
+ B( )) +
(
Rekursif maju
Keterangan :
� −
� −
)}
)}
= biaya produksi minimum roti pada tahap n dalam banyak
persediaan S
= biaya produksi x buah roti dalam tahap n
B( ) = biaya perawatan yang dikenakan terhadap tahap n apabila dalam
banyaknya persediaan
�
=banyaknya permintaan atau penjualan dalam tahap n
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Program Dinamik
Pemrograman dinamik adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan
untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling
berkaitan. Pemrograman dinamik ini pertama kali dikembangkan oleh seorang
ilmuwan bernama Richard Bellman pada tahun 1957. Dalam hal ini program
dinamik menyediakan prosedur sistematis untuk menentukan kombinasi
keputusan yang optimal. Tujuan utama model ini ialah untuk mempermudah
penyelesaian persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu.
Pemrograman dinamik memberikan prosedur yang sistematis untuk menentukan
kombinasi pengambilan keputusan yang memaksimalkan keseluruhan efektivitas.
Berbeda dengan linier programming dalam pemrograman dinamik tidak ada
rumus (formula) matematis standar, pemrograman dinamik ini lebih merupakan
suatu tipe untuk pemecahan suatu masalah dengan cara pendekatan secara umum.
Persamaan khusus yang akan digunakan harus dikembangkan sesuai dengan setiap
situasi individual. Stuktur umum masalah program dinamik diperlukan untuk
menentukan apakah suatu masalah dapat dipecahkan dengan prosedur-prosedur
program dinamik atau tidak dan bagaimana hal itu akan dilakukan. Istilah - istilah
yang biasa digunakan dalam program dinamik antara lain:
a.
Stage (tahap) adalah bagian persoalan yang mengandung decision variable.
b.
Alternatif, pada setiap stage terdapat decision variable dan fungsi tujuan yang
menentukan besarnya nilai setiap alternative.
c.
State, state menunjukkan kaitan satu stage dengan stage lainnya, sedemikian
sehingga setiap stage dapat dioptimisasikan secara terpisah sehingga hasil
optimasi layak untuk seluruh persoalan.
Pada umumnya model-model penyelidikan operasional bertujuan mencari solusi
pemecahan masalah yang optimal dari nilai variabel keputusan. Variabel
keputusan adalah variabel yang dapat diubah dan dikendalikan oleh pengambil
Universitas Sumatera Utara
6
keputusan. Salah satu model dari masalah yang dapat dipecahkan secara bertahap
ganda dengan membagi masalah menjadi bagian - bagian yang lebih kecil
(dekomposisi) dan pada solusi dapat terjawab pada tahap akhir dengan
menyatukan keputusan pada tahap-tahap yang ada (komposisi). Program dinamik
merupakan teknik pemecahan yang sistematis untuk memperoleh jawaban dari
masalah multi stage problem solving ini. Multi stage programming lebih dikenal
dengan
nama
dynamic
programming,
karena
kegunaannya
melibatkan
pengambilan keputusan yang melewati waktu. Namun, pada situasi lain dimana
waktu bukan sebagai faktor.
Adapun beberapa karakteristik problem pemrograman dinamik yaitu:
a. Problem dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap
hanya diambil satu keputusan.
b. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan
dengan
tahap tersebut.
Secara
umum,
status merupakan
bermacam
kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.
c. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari
status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.
d. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan
yang dilakukan pada tahap sebelumnya.
e. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk
setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status
pada tahap k + 1.
f. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.
Pemrograman dinamik probabilistik berbeda dengan pemrograman dinamik
deterministik. Dimana
pemrograman dinamik
deterministik, pada tahap
berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan pada
tahap sebelumnya, sedangkan pemrograman dinamik probabilistik, terdapat suatu
distribusi probabilitas keadaan mendatang yang distribusi peluang ini tetap
ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan pada keadaan sebelumnya.
Selanjutnya terdapat dua hal dalam pemrograman dinamik probabilistik yaitu:
Universitas Sumatera Utara
7
a. Stage berikutnya tidak seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada
stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi kemungkinan mengenai apa yang akan
terjadi.
b. Distribusi kemungkinan ini masih seluruhnya ditentukan oleh state dan
keputusan pada stage saat ini.
Struktur dasar yang dihasilkan pemrograman dinamis probabilistik diuraikan
secara diagram dalam Gambar 1.
1
probabilitas
keputusan
2
keadaan
(
,
)
s
Di mana:
a. S melambangkan banyaknya keadaan yang mungkin pada tahap (stage) n + 1
dan keadaan ini digambarkan pada sisi sebelah kanan sebagai 1,2,…,S.
Universitas Sumatera Utara
8
b. (p1,p2,...ps) adalah distribusi kemungkinan dari terjadinya suatu state
berdasarkan state Sn dan keputusan Xn pada stage n
c. Ci adalah kontribusi dari stage n terhadap fungsi tujuan, jika state berubah
menjadi state i
d. fn(Sn, Xn) menunjukkan jumlah ekspektasi minimal dari tahap n ke depan,
dengan diberikan status dan keputusan pada tahap n masing-masing Sn dan Xn.
Oleh karena adanya struktur probabilistik, hubungan antara fn(sn,xn) dan
f*n+1(sn,xn) agak lebih rumit dari pada untuk pemrograman dinamik deterministik.
Bentuk yang tepat dari hubungan tersebut tergantung pada bentuk fungsi tujuan
secara umum. Dalam pemrograman dinamik probabilistik juga terdapat hubungan
rekursif yang mengidentifikasi kebijakan optimal. Ada dua prosedur rekursif
yaitu:
a. Forward recursive equation (perhitungan dari depan ke belakang). Program
dinamis bergerak mulai dari tahap 1 sampai tahap n. Peubah keputusan adalah
x1, x2, …, xn.
b. Backward recursive equation (perhitungan dari belakang ke depan). Program
dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan
seterusnya sampai tahap 1. Peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x1.
Sebagai ilustrasi, misalkan tujuannya adalah meminimalkan jumlah yang
diharapkan dari konstribusi tahap-tahap secara terpisah. Pada kasus ini fn(sn,xn)
menggambarkan jumlah minimal yang diharapkan dari tahap n dan seterusnya,
bila diketahui bahwa keadaan dan keputusan kebijakan pada tahap n adalah s n dan
xn . Akibatnya,
dengan
fn(sn,xn) = ∑
f*n+1(i) =
[
]
di mana minimal ini dibuat di atas nilai kelayakan bagi x n+1
Penggunaan pemrograman dinamik probabilistik selalu dipakai dalam Game
(Permainan), Penambahan Penolakan (Reject Allowence) atau jumlah tambahan
produk yang di produksi dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
9
Program dinamik memberikan prosedur yang sistematis untuk penentuan
kombinasi
pengambilan
keputusan
yang
memaksimumkan
keseluruhan
efektivitas. Berbeda dengan Linier Programming, dalam program dinamik tidak
ada rumusan (formulasi) matematis standard. Program dinamik lebih merupakan
suatu tipe pendekatan umum untuk pemecahan masalah dan persamaanpersamaan khusus yang akan digunakan harus dikembangkan sesuai dengan setiap
situasi individual. (Rangkuti. Aidawayati, 2013.)
2.1.1 Prinsip Program Dinamik
Prinsip dasar pendekatan program dinamik adalah, bahwa masalah dapat dibagi
menjadi bagian
– bagian yang paling kecil,yang disebut tahap atau titik
keputusan.dapat diasumsikan dengan bahwa membagi masalah kedalam sub
masalah, suatu masalah dapat dievaluasi sanagat mudah.oleh sebab itu program
dinamik disebut juga sebagai model multiproses atau model tahap. Suatu proses
keputusan bertahap ganda adalah deterministik apabila hasil dari tiap-tiap
keputusan diketahui secara pasti. Proses urutan pembagian masalah dalam model
dynamic programming digambarkan sebagai berikut.
Tahap 1
Tahap 2
Tahap 3
Gambar 2.1.1 urutan pembagian masalah
Pendekatan penyelesaian masalah dalam program dinamik dilakukan secara maju.
Penyelesaian dimulai pada awal proses dan berjalan maju dengan selalu
menggunakan keputusan optimal dari keputusan sebelumnya. Dengan proses
penyelesaian semacam ini, maka akan didapatkan suatu set keputusan yang
optimal.
Prinsip kedua program dinamik adalah tentang status (state) yang merupakan arus
informasi dari satu tahap ke tahap berikutnya.Arus informasi yang masuk ke tahap
Universitas Sumatera Utara
10
berikutnya disebut status input.keputusan pada tahap berikutnya tergantung pada
status input dari tahap berikutnya. Status input ini penting karena keputusan pada
tahap berikutnya tergantung dari status input sebelumnya. Hubungan antara status
input dengan tahap ditunjukkan dalam gambar 2.1.2 berikut ini.
status 1
input untuk
tahap 1
Tahap 1
keputusan
status 2
Tahap 2
input untuk
Keputusan
tahap 2
Gambar 2.1.2 hubungan status input dengan tahap
Dari gambar 2.1.2 di atas tampak bahwa status input untuk tahap 2 merupakan
status output untuk tahap keputusan sebelumnya, yaitu tahap keputusan 1.
Sedangkan status output dari tahap keputusan 1 merupakan status input untuk
tahap keputusan berikutnya, atau tahap keputusan 2.
Prinsip ketiga program dinamik adalah tentang variable keputusan yang
merupakan alternatife yang dipilih pada saat melakukan atau mengambil
keputusan pada tahap tertentu.berbagai alterntif yang dapat diambil dalam setiap
keputusan dapat dibatasi dengan mengambil pernyataan yang dikenakan dalam
struktur masalah.
Prinsip keempat adalah tentang fungsi transformasi yang merupakan
bagaimana hubungan antara tahap-tahap keputusan dalam proram dinamik saling
berhubungan.fungsi transformasi juga menyatakan tentang hubungan fungsional
nilai status tahap keputusan.
Hubungan status dalam tahap yang berurutan bersifat hubungan yang berulangulang. Sebagai contoh, jika terdapat tahap keputusan n dan hubungannya dengan
tahap keputusan n-1 maka perhitungan nilai status untuk n-1 digunakan nilai
status n dan keputusan pada tahap n dengan hubungan yang bersifat berulang.
Dalam model dynamic programming, notasi atau simbol yang digunakan meliputi
hal-hal sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
11
N :Menyatakan banyaknya tahap keputusan, dengan urutan tahapnya adalah
1,2,…,n
Menyatakan status input ke tahap keputusan n. Nilai dari status atau
merupakan � nilai yang dihasilkan dari tahap keputusan sebelumnya,
yaitu n -1.
Menyatakan alternatif keputusan yang diambil pada tahap keputusan n.
: Menyatakan return pada tahap keputusan n.
2.2
Persamaan Regresi Linier dan Koefisien Korelasi
Regresi Linier merupakan analisis statistika yang memodelkan hubungan
beberapa variable menurut bentuk hubungan persamaan linier eksplisit.
Persamaan linier bentuk eksplisit adalah persamaan linier yang menempatkan
suatu peubah secara tunggal pada salah satu persamaan. Metode regresi
merupakan salah satu teknik analisis statistika yang digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara satu variable respon dengan satu atau lebih
variable penjelas.sedangkan analisis regresi adalah merupakan suatu teknik untuk
membangun persamaaan garis lurus dan menggunakan persamaan tersebut untuk
membuat perkiraan.(Algifari.1962)
Model regresi yang paling sederhana yaitu garis lurus. Dalam hal ini terdapat satu
apa yang disebut peubah bebas, dinamakan X, dan satu peubah tak bebas yang
bergantung pada X , dinamakan Y. (William, 1987.)
Model Regrsi Linier Sederhana dapat dituliskan sebagai berikut :
’=
+�
Dengan :
Y’ = Nilai yang diukur atau dihitung pada variabel tak bebas
Universitas Sumatera Utara
12
X
= Nilai tertentu dari variabel bebas
a
= Konstanta (nilai Y‟ bila X = 0)
b
= Koefisien regresi (kenaikan atau penurunan Y’ untuk setiap
perubahan
satu-satuan X ) atau koefisien regresi, mengukur besarnya pengaruh X terhadap Y
kalau X naik satu unit.
Nilai dari a dan b pada persamaan regresi dapat dihitung dengan rumus di bawah
ini :
�=
− ,� =
=
atau
�=
∑
∑
∑
∑
a =∑
(1)
−
dengan
∑ ∑
∑
- b∑
…
(2)
(3)
Model regresi tidak terlepas dari koefisien korelasi. Koefisien korelasi (KK)
merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan (kuat,
lemah, atau tidak ada) hubungan antar variabel. Koefisien korelasi memiliki nilai
antara -1 dan +1 (-1 ≤ KK ≤ +1).
a) Jika KK bernilai positif maka variabel-variabel berkorelasi positif.
Semakin dekat nilai KK ke +1 semakin kuat korelasinya, demikian pula
sebaliknya.
b) Jika KK bernilai negatif maka variabel-veriabel berkorelasi negatif.
Semakin dekat nilai KK ke -1 semakin kuat korelasinya, demikian pula
sebaliknya.
c) Jika KK bernilai 0 (nol) maka variabel-variabel tidak menunjukkan
korelasi
Universitas Sumatera Utara
13
d) Jika KK bernilai +1 atau -1 maka veriabel-veriabel menunjukkan korelasi
positif atau negatif yang sempurna.
Untuk menentukan keeratan hubungan antara korelasi antar variabel tersebut,
berikut ini diberikan nilai-nilai dari KK sebagai patokan.
1. KK = 0, tidak ada korelasi
2. 0 < KK ≤ 0,20, korelasi sangat rendah atau lemah sekali
3. 0,20 < KK ≤ 0,40, Krelasi rendah atau lemah tapi pasti
4. 0,40 < KK ≤ 0,70, korelasi yang cukup berarti
5. 0,70 < KK ≤ 0,90, korelasi yang tinggi, kuat
6. 0,90 < KK < 1,00, Korelasi sangat tinggi, kuat sekali, dapat diandalkan
7. KK = 1, korelasi sempurna
2.3
Definisi Algoritma Rekursif
Sebuah objek disebut berulang (rekursif, recursive) jika setiap objek mengandung
dirinya sendiri atau didefinisikan dengan dirinya sendiri. Hubungan ini dapat
ditemukan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga pada kehidupan sehari-hari.
Dalam matematika, definisi rekursif sebuah fungsi adalah definisi fungsi yang
menggunakan fungsi tersebut. Sebagai contoh, f(n) didefinisikan sebagai berikut:
= ( − 1)
(2.3.1)
Bagaimana menentukan nilai (4) ? berdasarkan definisi 2.3.1, (4) dapat
dirumuskan sebagai:
4 = 4(3)
(2.3.2)
Nilai (3) tidak diketahui, tetapi berdasar definisi, nilai (3) dapat dihitung dengan:
3 = 3(2)
(2.3.3)
Nilai (2) pun tidak diketahui, tetapi berdasar definisi, nilai (2) dapat dihitung
dengan mengalikan 2 dengan
(1), sehingga perhitungan
(4) dapat dituliskan
sebagai:
Universitas Sumatera Utara
14
4 = 4(3)(2) (1)
(2.3.4)
Berdasar definisi (2.3.1), perhitungan (4) akan berlanjut tanpa pernah berhenti,
4 = 4 (3)(2)(1)(0)(−1)(−2) (−3)
(2.3.5)
Oleh karena itu, untuk melengkapi definisi rekursif harus ditentukan sebuah
kondisi kapan perulangan berhenti. Definisi rekursif lengkap fungsi, ( ) di atas
adalah :
= ( − 1) untuk n > 1
1=1
(2.3.6)
Berdasar definisi baru, (4) dapat dihitung dan berhenti jika pada (1), sehingga
4 = 4f(3)
4 = 4 (3 )f(2)
4 = 4 (3 )(2) f(1)
4 = 4 (3)(2) (1)
4 = 24
Perulangan (recursion) memegang peranan penting dalam banyak definisi
matematika. Beberapa contoh definisi matematika tersebut adalah bilangan asli
(natural number) dan fungsi faktorial :
1. Bilangan asli
1
adalah bilangan asli
Suksesor bilangan asli adalah bilangan asli
2. Fungsi faktorial, n! (untuk integer on-negatif), seperti contoh fungsi diatas.
a. 0! = 1
b. Jika n > 0, maka n! = n(n - 1)!
(fathul.2004:223)
2.4
Program Dinamik Deterministik
Pada bagian ini akan dikemukakan pendekatan program dinamis sebagai
persoalan deterministik, di mana state pada stage berikutnya sepenuhnya
Universitas Sumatera Utara
15
ditentukan oleh state dan keputusan pada stage ini. Dynamic programming
deterministik ini dapat diterangkan dengan diagram berikut:
Stage n
stage
�
State :
(�
�
kontribusi dari Xn
)
(�
)
Dengan demikian, maka pada stage n, prosesnya akan berada pada state � . Pada
state ini dibuat keputusan
(
, kemudian proses bergerak ke state �
pada stage
). Dari titik ini ke depan, nilai fungsi tujuan untuk keputusan optimumnya
telah terlebih dahulu dihitung, yaitu
(�
). Keputusan memilih
juga
memberikan kontribusi terhadap fungsi tujuan, yang dengan menggabungkan
kedua besaran ini akan diperoleh nilai fungsi tujuan
(�
) yang berawal
pada stage n. minimumkan nilai tersebut dengan memperhatikan
diperoleh
=
(�
sehingga
). setelah hal ini dilakukan untuk semua nilai � yang
mungkin, maka prosedur penyelesaiannya bergerak kembali pada persoalan
dengan satu stage.
Suatu cara untuk mengategorikan persoalan program dinamis deterministik ini
adalah dengan melihat bentuk fungsi tujuannya. Sebagai contoh, fungsi tujuannya
mungkin meminimumkan jumlah kontribusi dari masing-masing stage atau dapat
pula memaksimumkannya atau meminimumkan hasil perkaliannya, dan
sebagainya. Cara pengategorian yang lain didasarkan pada keadaan dari kumpulan
(set) state pada suatu stage. Artinya, apakah state �
dapat direpresentasikan
sebagai variabel state diskrit atau kontinu, atau mungkin diperlukan suatu vector
state (lebih dari satu variabel), pada bagian ini akan dikemukakan pendekatan
program dinamis sebagai persoalan deterministik, di mana state pada stage
berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage ini.
(Ahmad. Dimyati,1994.).
Universitas Sumatera Utara
16
Frederick S. Hillier, et al, 2000. pada bukunya yang berjudul ”Introduction to
Operation Research” mengatakan bahwa program dinamik adalah suatu teknik
matematis untuk pembuatan serangkaian keputusan yang saling berhubungan.
Program dinamik menyediakan prosedur sistematis untuk menentukan kombinasi
keputusan yang optimal. Pendekatan program dinamik didasarkan pada prinsip
optimasi Bellman (1950) yang mengatakan Suatu kebijakan optimal mempunyai
sifat bahwa apa pun state dan keputusan awal, keputusan berikutnya harus
membentuk suatu kebijakan optimal dengan memperhatikan state dari hasil
keputusan pertama. Prinsip ini mengandung arti bahwa:
1. Diperkenankan untuk mengambil keputusan yang layak bagi tahap
persoalan yang masih tersisa tanpa melihat kembali keputusan-keputusan
masa lalu atau tahap-tahap terdahulu.
2. Dalam rangkaian keputusan yang telah diambil, hasil dari masing-masing
tergantung pada hasil keputusan sebelumnya dalam rangkaian.
Masalah Program dinamik dapat dinyatakan dalam bentuk umum :
Maksimumkan:
dengan batasan
Dimana :
=∑
X= ∑
,
dan
�
0
0
….
)
= Penghasilan total dari seluruh kegiatan (tahap)
= Kuantitas sumber daya yang dialokasikan ke kegiatan (tahap) ke-j
= penghasilan (reward) dari kegiatan ke-j
�
= Jumlah kegiatan-kegiatan (tahap-tahap) bebas (independent)
= Sumber daya total yang tersedia untuk � kegiatan-kegiatan
Dalam masalah umum di atas, penghasilan (return) maksimum dari seluruh
penghasilan keseluruhan dari � kegiatan-kegiatan dapat dinyatakn oleh suatu
urutan, fungsi fungsi sebagai berikut :
= max �(X1,X2, ... , Xn-1,Xn)
Universitas Sumatera Utara
17
Sumber daya total yang tersedia X harus dialokasikan secara berurutan ke semua
kegiatan-kegiatan pada tahap-tahap yang berbeda, untuk mencapai hasil yang
maksimum. Bila dialokasikan sejumlah
0
dari sumber daya ke kegiatan di mana
, akan didapatkan penghasilan
dipunyai sejumlah
−
dari kegiatan tersebut. Masih
sumber daya yang tersedia untuk (n-1) kegiatan. Bila
penghasilan total dari (n-1) kegiatan ditunjukkan oleh:
n-1 (X-Xn)=∑
Xj
0
Penghasilan total dari � kegiatan dapat dinyatakan sebagai:
(X)
= (Xn)+
−
(X-Xn)
Kuantitas sumber daya optimal yang dialokasikan ke-n kegiatan , menentukan
nilai −
, dan hal ini sebaliknya, akan menentukan nilai maksimum persamaan
penghasilan total. Oleh sebab itu, masalah programasi dinamis dapat dinyatakan
dalam bentuk fungsi umum sebagai :
= max
+
−
−
3 …
Persamaan ini disebut sebagai recursive equation. Persamaan recursif dapat
digunakan baik untuk perhitungan ke depan maupun ke belakang dalam
pemecahan masalah-masalah yang multistage. Bila keputusan dibuat dari tahap
awal bergerak ke depan sampai tahap terakhir, prosedur perhitungannya disebut
metode forward induction. Prosedur kebalikannya disebut metode backward
induction. Kedua metode ini mengarahkan ke penyelesaian optimal yang sama
dari suatu masalah programasi dinamis. Dan yang penting untuk diperhatikan,
bahwa setiap penyelesaian dari submasalah digunakan sebagai masukan (input)
untuk penyelesaian sub masalah berikutnya, baik itu bergerak ke depan maupun
ke belakang.
Jadi, prosedur perhitungannya meliputi hanya 2 aspek submasalah sekarang yang
sedang dalam perhitungan dan hasil perhitungan submasalah yang persis
sebelumnya.
2.5
Fungsi Pengendalian Persediaan
Universitas Sumatera Utara
18
Masalah pengendalian persediaan merupakan salah satu masalah penting yang
dihadapi oleh perusahaan. Pendekatan-pendekatan kuantitatif akan sangat
membantu dalam memecahkan masalah ini. Sejak tahun 1951, para ahli telah
memusatkan perhatiannya pada kemungkinan penggunaan pendekatan matematis
untuk membantu pengambilan keputusan dalam menentukan tingkat persediaan
yang optimal. Mulai saat itu makin berkembang peralatan-peralatan kuantitatif
yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengendalian persediaan.
Alasan utama yang menyebabkan perhatian terhadap masalah pengendalian
persediaan demikian besar adalah karena pada kebanyakan perusahaan persediaan
merupakan bagian atau “porsi” yang besar yang tercantum dalam neraca.
Persediaan yang terlalu besar maupun terlalu kecil dapat menimbulkan masalahmasalah yang pelik. Kekurangan persediaan bahan mentah akan mengakibatkan
adanya hambatan-hambatan pada proses produksi. Kekurangan persediaan barang
dagangan
akan
menimbulkan
kekecewaan
pada
langganan
dan
akan
mengakibatkan perusahaan kehilangan mereka. Kelebihan persediaan akan
menimbulkan biaya ekstra di samping risiko. Sehingga dapat dikatakan bahwa
manajemen persediaan yang efektif dapat memberikan sumbangan yang berarti
kepada keuntungan perusahaan. Fungsi utama pengendalian persediaan adalah
“menyimpan” untuk melayani kebutuhan perusahaan akan bahan mentah/barang
jadi dari waktu ke waktu. Fungsi ini ditentukan oleh berbagai kondisi seperti :
a. Apabila jangka waktu pengiriman bahan mentah relatif lama maka
perusahaan perlu persediaan bahan mentah yang cukup untuk memenuhi
kebutuhan perusahaan selama jangka waktu pengiriman. Atau pada
perusahaan dagang, persediaan barang dagangan harus cukup untuk
melayani permintaan langganan selama jangka waktu pengiriman barang
dari supplier atau produsen
b. Seringkali jumlah yang dibeli atau diprodusir lebih besar daripada yang
dibutuhkan. Hal ini disebabkan karena membeli dan memproduksi dalam
jumlah yang besar pada umumnya lebih ekonomis. Karenanya sebagian
barang/bahan yang belum digunakan disimpan sebagai persediaan.
Universitas Sumatera Utara
19
c. Apabila permintaan barang bersifat musiman sedangkan tingkat produksi
setiap saat adalah konstan maka perusahaan dapat melayani permintaan
tersebut dengan membuat tingkat persediaannya ber-fluktuasi mengikuti
fluktuasi permintaan. Tingkat produksi yang konstan umumnya lebih
disukai karena biaya-biaya untuk mencari dan melatih tenaga kerja baru,
upah
d. lembur, dan sebagainya (bila tingkat produksi berfluktuasi) akan lebih
besar daripada biaya penyimpanan barang di gudang (bila tingkat
persediaan berfluktuasi).
e. Selain untuk memenuhi permintaan langganan, persediaan juga diperlukan
apabila biaya untuk mencari barang/bahan pengganti atau biaya kehabisan
barang/bahan (Stockout cost) relatif besar (Pangestu.2000:206).
2.6
Komponen-Komponen Biaya Produksi
Masalah utama yang ingin dicapai oleh pengendalian persediaan adalah
meminimumkan biaya operasi total perusahaan. Jadi, ada dua keputusan yang
perlu diambil dalam hal ini, yaitu berapa jumlah yang harus dipesan setiap kali
pemesanan, dan kapan pemesanan itu harus dilakukan. Dalam menentukan jumlah
yang dipesan pada setiap kali pemesanan, pada dasarnya harus dipertemukan dua
titik ekstrim yaitu memesan dalam jumlah yang sebesar-besarnya untuk
meminimumkan ordering cost, dan memesan dalam jumlah yang sekecil-kecilnya
untuk meminimumkan carrying cost. Kedua titik ekstrim ini mempunyai
pengaruh yang tidak menguntungkan perusahaan. Hasil yang terbaik akan
diperoleh dengan mempertemukan keduanya. Berbagai macam biaya yang perlu
diperhitungkan di saat mengevaluasi masalah persediaan. Di antara biaya-biaya
tersebut, ada tiga kelompok utama, yakni :
a. Ordering dan Procurement Cost.
b. Holding cost atau Carrying cost.
c. Shortage cost.
Universitas Sumatera Utara
20
Urutan perencanaan produksi dengan program dinamik ditunjukkan pada
tahapan berikut :
1) Dekomposisi, permasalahan rencana produksi dipecah menjadi beberapa
submasalah dalam penelitian ini dinyatakan dengan tahap 1 sampai tahap
12.
2) Menentukan variabel masukan atau state pada tiap tahapan, dalam hal ini
adalah hasil peramalan, kapasitas tersedia, biaya variabel produk, dan
biaya simpan.
3) Menentukan variabel keputusan, dalam penelitian ini adalah menentukan
jumlah produksi berdasarkan persediaan.
4) Menetapkan fungsi tujuan :
Min C = ∑
−
5) Dengan batasan jumlah produksi yang dilakukan tidak melebihi kapasitas
produksi yang tersedia. Formulasi matematisnya, yaitu :
� −
+�
6) Menetapkan persamaan rekursif
Penyelesaian program dinamik dilakukan dengan perhitungan rekursif yang
berulang setiap tahap. Keputusan optimum pada suatu tahap adalah hasil optimum
pada tahap tersebut ditambah hasil optimum tahap sebelumnya.
=min{(
+ Y( ) +
(
))}
n = 1,2,3, . . . , 12
Persamaan rekursif di atas dapat ditulis, sebagai berikut :
:
=min{(
+ B( )) +
(
Rekursif mundur :
=min{(
+ B( )) +
(
Rekursif maju
Keterangan :
� −
� −
)}
)}
= biaya produksi minimum roti pada tahap n dalam banyak
persediaan S
= biaya produksi x buah roti dalam tahap n
B( ) = biaya perawatan yang dikenakan terhadap tahap n apabila dalam
banyaknya persediaan
�
=banyaknya permintaan atau penjualan dalam tahap n
Universitas Sumatera Utara