Program Stokastik Cacah Campuran Dua Tahap
PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN
DUA TAHAP
DISERTASI
Oleh
TOGI
098110014/ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN
DUA TAHAP
DISERTASI
Diajukan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Doktor dalam
Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
TOGI
098110014/ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
Judul Disertasi
: PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN
DUA TAHAP
Nama Mahasiswa
: Togi
Nomor Pokok
: 098110014
Program Studi
: Doktor Ilmu Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si)
Promotor
(Dr. Marwan Ramli, M.Si)
Co-Promotor
((Prof. Dr. Tulus, M.Si))
Co-Promotor
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 27 Januari 2016
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal : 27 Januari 2016
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua
: Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si.
Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si.
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si.
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
4. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam
disertasi saya yang berjudul:
PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN DUA TAHAP
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan bimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan jelas dituliskan sumbernya.
Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program
sejenis di perguruan tinggi lainnya. Semua data dan informasi yang digunakan
telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, Januari 2016
Penulis
Togi
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Program stokastik merupakan suatu alat untuk perencanaan dan pengambilan keputusan optimal dengan adanya ketidakpastian dalam data. Tipe objek
kajian adalah problem optimisasi acak dimana hasil (outcome) dari data acak
tidak terungkap pada waktu berjalan, dan keputusan yang akan dioptimalkan
tidak harus mengatisipasi hasil masa datang. Hal ini memberikan kaitan erat dengan optimisasi ”real time” yang dibutuhkan untuk keputusan optimal
”disini dan sekarang” dalam lingkungan data tak pasti.
Dalam penelitian ini diajukan suatu pendekatan baru untuk memperoleh optimisasi global model persoalan program stokastik cacah-campuran tak linier.
Penelitian memfokuskan pada persoalan stokastik dua-tahap dengan ketidak
linieran terdapat dalam fungsi objektif dan kendala. Variabel ditahap pertama
bernilai cacah sedangkan variabel tahap kedua campurah cacah dan kontinu.
Persoalan diformulasikan oleh representasi berbasis skenario.
Ide dasar untuk menyelesaikan persoalan program stokastik cacah - campuran tak linier ini adalah mentransformasikan model menjadi model ekivalen
yang berbentuk program cacah-campuran tak linier deterministik. Hal ini dimungkinkan karena ketidakpastian yang diasumsikan bersebaran diskrit, dapat
dimodelkan sebagai sejumlah skenario yang berhingga. Namun, ukuran model
ekivalen akan tumbuh secara cepat sebagai konsekuensi dari jumlah skenario
dan jumlah horizon waktu. Agar jumlah skenario dapat dibatasi (berhingga)
diperlukan teknik pembentukan skenario. Konsep ruang probabilitas terfilter
digabung dengan data mining akan dipergunakan untuk pembentukan skenario. Sehinnga untuk memperoleh metode penyelesaian problema program
cacah-campuran tak linier berskala besar dapat digunakan pendekatan konveksitas agar diperoleh penyelesaian optimal global.
Kata kunci: Program Stokastik tak-linier, Model Ekivalen,
Pembentukan Skenario
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Stochastic program is a tool for planning and optimal decision making with
uncertainty in the data. Type object of study is a random optimization problem
in which the results (outcomes) of random data is not revealed at run time, and
the decision should be optimized not anticipate future results. This provides
a close connection with the optimization of ”real time” needed for optimal
decision ”here and now” in the data environment uncertain.
In this study proposes a new approach to obtaining global optimization model of
problem nonlinear mixed-integer stochastic. The research focuses on to-stage
stochastic problems ith lack of nonlinearity present in the objective function
and constraints. The first stage is orth counting variable while the second
stage variable campurah chopped and continuous. The issue is formulated by
representation based scenarios.
The basic idea to resolve the probelm of nonlinear mix-integer stochastic program is to transform the model into a model equivalent in the form of mixinteger nonlinear deterministic program. This is possible because the uncertainty is assumed to be spread discrete, can be modeled as a finite number of
scenarios. However, the size of the equivalent model will grow rapidly as a
consequence of a number of scenarios and the amount of time horizon. So that
the number of scenarios can be limited (finite) necessary engineering formation scenarios. Filterred probability space concept combined with data mining
will be used for the formation of scenarios. So that to acquire problem solving
meghod program-mix minced no large-scale linear convexity approach can be
used in order to obtain a global optimal solution.
Keyword: Nonlinear Stochastic Programs, Equivalent model,
Scenarios Formation
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa,
karena berkat kasih dan karunia-Nyalah penulis dapat menyelesaikan disertasi
tepat pada waktunya. Disertasi ini berjudl ”Program Stokastik Cacah Campuran Dua Tahap” sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar
doktor pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Dalam menyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan
baik moril maupun materil dari berbagai pihak. Pada kesempatan yang baik
ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebesar0besarnya kepada:
1. Prof. Subhilhar, Ph.D. selaku Pjs. Rektor Universitas Sumatera Utara.
2. Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan
kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu
Matematika.
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Stdi S3 Ilmu
Matematika, yang dengan tulus, ikhlas dan sabar telah banyak memberi
bimbingan dan dukungan referensi dalam penulisan disertasi ini.
4. Dr. Saib Suwilo, M. Sc. selaku sekretaris Program Studi S3 Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara, dan juga sebagai anggota komisi penguji yang telah
banyak membantu dan mengarahkan penulisan disertasi ini.
iv
Universitas Sumatera Utara
5. Prof. Dr. Iryanto, M.Si. selaku Promotor yang dengan tulus dan
ikhlas telah memberikan bimbingan penulisan disertasi ini serta memberi dorongan dan semangat untuk menyelesaikan studi.
6. Dr. marwan Ramli, M.Si. selaku Co-Promotor, yang dengan ikhlas dan
sabar telah banyak memberi bimbingan dan dukungan dalam penulisan
disertasi ini.
7. Prof. Dr. Tulus, M.Si. selaku Co-Promotor, yang dengan ikhlas dan
sabar telah banyak memberi bimbingan dan dukungan dalam penulisan
disertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi S3 Ilmu Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,
yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
9. Rektor Universitas Negeri Medan, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Ketua Jurusan Matematika, dan Ketua Program
Studi Pendidikan/Non Kependidikan Matematika, yang telah memberikan
ijin belajar kepada penulis.
10. Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Doktor Ilmu Matematika
Universitas Sumatera Utara yang telah saling bekerjasama dan memberi
dorongan dalam belajar, diskusi dna menyelesaikan tugas-tugas perkuliahan sehingga dapat berhasil menyelesaikan studi ini.
11. Ibu Misiani, S.Si. selaku staf Administrasi program studi Doktor Ilmu Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan
pelayanan yang baik kepada penulis.
v
Universitas Sumatera Utara
Secara khusus penulis menyampaikan rasa terima kasih yang tak berhingga kepada istri tercinta Lenny Sinaga, S.Pd. dan anak-anakku tersayang Grace
Nikita Panjaitan, dan Robby Yacob Panjaitan yang dengan sabar, penuh perhatian dan kasih sayang memberikan dorongan, pengorbanan dan dukungan
doa selama penulis menyelesaikan pendidikan ini. Terimakasih yang sebesarbesarnya juga penulis sampaikan kepada seluruh keluarga yang telah turut
memberikan dorongan dan dukungan doa agar berhasil menyelesaikan studi
ini.
Akhirnya, penulis dengan sadar mengakui bahwa disertasi ini masih jauh
dari kesempurnaan, namun penulis berharap disertasi ini dapat bermanfaat
bagi pembaca, dan peneliti-peneliti selanjutnya maupn kontribusi pada ilmu
pengetahuan. Sehingga saran dan kritik yang bersifat konstruktif sanggat diharapkan untuk kesempurnaan hasil penelitian ini.
Medan, 27 Januari 2016
Penulis,
TOGI
vi
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Togi dilahirkan di Aek Kanopan pada tanggal 6 Juni 1961 dan merupakan anak kedua dari delapan bersaudara dari Ayah (Alm) P. Panjaitan
dan Ibu (Alm) R. Br. Aritonang. Menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri
3 Aek Kanopan pada tahun 1973, Sekolah Menengah Pertama di SMP St.
Yoseph Aek Kanopan pada tahun 1976, dan Sekolah Menengah Atas di SMA
Swasta Kualuh Aek Kanopan pada tahun 1980. Kemudian melanjutkan studi pada Program Sarjana (S1) di Jurusan Matematika, Fakultas Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Medan, tamat tahun 1986. Selanjutnya mengambil program pasca
sarjana (S2) di Program Studi Penelititan dan Evaluasi Pendidikan, Universitas Negeri Yogyakarta, tamat pada tahun 2001. Sejak tahun 2009 mengikuti
studi di program pasca sarjana (S3) di Program Doktor Ilmu Matematika,
Universitas Sumatera Utara (USU) Medan.
Penulis menikah tanggal 27 Desember 2003, telah dikaruniai Allah Yang Maha
Esa satu orang putra dan satu orang putri.
Penulis sampai dengan saat ini bekerja sebagai staf pengajar dengan pangkat
asisten ahli golongan III/b Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
5
1.3 Tujuan Penelitian
6
1.4 Manfaat Penelitian
7
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
8
BAB 3 PROGRAM STOKASTIK
12
3.1 Model Dasar Program Stokastik
12
3.1.1 Model Antisipatif
12
3.1.2 Model Adaptif
13
3.1.3 Model Recourse
13
3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen
3.2.1 Proses Formulasi
14
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.3 Pohon Skenario
18
BAB 4 PENENTUAN SKENARIO
20
4.1 Beberapa Pengertian
20
4.2 Langkah awal
23
4.3 Pohon Skenario dan Filtrasi
25
4.4 Degenerate Subfiltrasi
28
4.5 Prosedur Pemutahiran Pohon
29
4.6 Algoritma Pembentukan Skenario
30
4.7 Asumsi Batas Atas dan Bawah
32
BAB 5 PENDEKATAN KONVEKSITAS
35
5.1 Beberapa Pengertian
35
5.2 Sifat konveksitas
39
BAB 6 METODE PENYELESAIAN
42
6.1 Ide dasar
45
6.2 Algoritma dari Metode
46
BAB 7 KESIMPULAN
53
DAFTAR PUSTAKA
54
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
1
Judul
Produktivitas π (bahan i, prod j)
Halaman
49
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap
19
4.1
Pohon degenerate
29
4.2
Partisi Pertama
29
x
Universitas Sumatera Utara
DUA TAHAP
DISERTASI
Oleh
TOGI
098110014/ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN
DUA TAHAP
DISERTASI
Diajukan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Doktor dalam
Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
TOGI
098110014/ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
Judul Disertasi
: PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN
DUA TAHAP
Nama Mahasiswa
: Togi
Nomor Pokok
: 098110014
Program Studi
: Doktor Ilmu Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si)
Promotor
(Dr. Marwan Ramli, M.Si)
Co-Promotor
((Prof. Dr. Tulus, M.Si))
Co-Promotor
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 27 Januari 2016
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal : 27 Januari 2016
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua
: Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si.
Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si.
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si.
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
4. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam
disertasi saya yang berjudul:
PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN DUA TAHAP
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan bimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan jelas dituliskan sumbernya.
Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program
sejenis di perguruan tinggi lainnya. Semua data dan informasi yang digunakan
telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, Januari 2016
Penulis
Togi
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Program stokastik merupakan suatu alat untuk perencanaan dan pengambilan keputusan optimal dengan adanya ketidakpastian dalam data. Tipe objek
kajian adalah problem optimisasi acak dimana hasil (outcome) dari data acak
tidak terungkap pada waktu berjalan, dan keputusan yang akan dioptimalkan
tidak harus mengatisipasi hasil masa datang. Hal ini memberikan kaitan erat dengan optimisasi ”real time” yang dibutuhkan untuk keputusan optimal
”disini dan sekarang” dalam lingkungan data tak pasti.
Dalam penelitian ini diajukan suatu pendekatan baru untuk memperoleh optimisasi global model persoalan program stokastik cacah-campuran tak linier.
Penelitian memfokuskan pada persoalan stokastik dua-tahap dengan ketidak
linieran terdapat dalam fungsi objektif dan kendala. Variabel ditahap pertama
bernilai cacah sedangkan variabel tahap kedua campurah cacah dan kontinu.
Persoalan diformulasikan oleh representasi berbasis skenario.
Ide dasar untuk menyelesaikan persoalan program stokastik cacah - campuran tak linier ini adalah mentransformasikan model menjadi model ekivalen
yang berbentuk program cacah-campuran tak linier deterministik. Hal ini dimungkinkan karena ketidakpastian yang diasumsikan bersebaran diskrit, dapat
dimodelkan sebagai sejumlah skenario yang berhingga. Namun, ukuran model
ekivalen akan tumbuh secara cepat sebagai konsekuensi dari jumlah skenario
dan jumlah horizon waktu. Agar jumlah skenario dapat dibatasi (berhingga)
diperlukan teknik pembentukan skenario. Konsep ruang probabilitas terfilter
digabung dengan data mining akan dipergunakan untuk pembentukan skenario. Sehinnga untuk memperoleh metode penyelesaian problema program
cacah-campuran tak linier berskala besar dapat digunakan pendekatan konveksitas agar diperoleh penyelesaian optimal global.
Kata kunci: Program Stokastik tak-linier, Model Ekivalen,
Pembentukan Skenario
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Stochastic program is a tool for planning and optimal decision making with
uncertainty in the data. Type object of study is a random optimization problem
in which the results (outcomes) of random data is not revealed at run time, and
the decision should be optimized not anticipate future results. This provides
a close connection with the optimization of ”real time” needed for optimal
decision ”here and now” in the data environment uncertain.
In this study proposes a new approach to obtaining global optimization model of
problem nonlinear mixed-integer stochastic. The research focuses on to-stage
stochastic problems ith lack of nonlinearity present in the objective function
and constraints. The first stage is orth counting variable while the second
stage variable campurah chopped and continuous. The issue is formulated by
representation based scenarios.
The basic idea to resolve the probelm of nonlinear mix-integer stochastic program is to transform the model into a model equivalent in the form of mixinteger nonlinear deterministic program. This is possible because the uncertainty is assumed to be spread discrete, can be modeled as a finite number of
scenarios. However, the size of the equivalent model will grow rapidly as a
consequence of a number of scenarios and the amount of time horizon. So that
the number of scenarios can be limited (finite) necessary engineering formation scenarios. Filterred probability space concept combined with data mining
will be used for the formation of scenarios. So that to acquire problem solving
meghod program-mix minced no large-scale linear convexity approach can be
used in order to obtain a global optimal solution.
Keyword: Nonlinear Stochastic Programs, Equivalent model,
Scenarios Formation
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa,
karena berkat kasih dan karunia-Nyalah penulis dapat menyelesaikan disertasi
tepat pada waktunya. Disertasi ini berjudl ”Program Stokastik Cacah Campuran Dua Tahap” sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar
doktor pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Dalam menyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan
baik moril maupun materil dari berbagai pihak. Pada kesempatan yang baik
ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebesar0besarnya kepada:
1. Prof. Subhilhar, Ph.D. selaku Pjs. Rektor Universitas Sumatera Utara.
2. Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan
kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu
Matematika.
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Stdi S3 Ilmu
Matematika, yang dengan tulus, ikhlas dan sabar telah banyak memberi
bimbingan dan dukungan referensi dalam penulisan disertasi ini.
4. Dr. Saib Suwilo, M. Sc. selaku sekretaris Program Studi S3 Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara, dan juga sebagai anggota komisi penguji yang telah
banyak membantu dan mengarahkan penulisan disertasi ini.
iv
Universitas Sumatera Utara
5. Prof. Dr. Iryanto, M.Si. selaku Promotor yang dengan tulus dan
ikhlas telah memberikan bimbingan penulisan disertasi ini serta memberi dorongan dan semangat untuk menyelesaikan studi.
6. Dr. marwan Ramli, M.Si. selaku Co-Promotor, yang dengan ikhlas dan
sabar telah banyak memberi bimbingan dan dukungan dalam penulisan
disertasi ini.
7. Prof. Dr. Tulus, M.Si. selaku Co-Promotor, yang dengan ikhlas dan
sabar telah banyak memberi bimbingan dan dukungan dalam penulisan
disertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi S3 Ilmu Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,
yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
9. Rektor Universitas Negeri Medan, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Ketua Jurusan Matematika, dan Ketua Program
Studi Pendidikan/Non Kependidikan Matematika, yang telah memberikan
ijin belajar kepada penulis.
10. Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Doktor Ilmu Matematika
Universitas Sumatera Utara yang telah saling bekerjasama dan memberi
dorongan dalam belajar, diskusi dna menyelesaikan tugas-tugas perkuliahan sehingga dapat berhasil menyelesaikan studi ini.
11. Ibu Misiani, S.Si. selaku staf Administrasi program studi Doktor Ilmu Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan
pelayanan yang baik kepada penulis.
v
Universitas Sumatera Utara
Secara khusus penulis menyampaikan rasa terima kasih yang tak berhingga kepada istri tercinta Lenny Sinaga, S.Pd. dan anak-anakku tersayang Grace
Nikita Panjaitan, dan Robby Yacob Panjaitan yang dengan sabar, penuh perhatian dan kasih sayang memberikan dorongan, pengorbanan dan dukungan
doa selama penulis menyelesaikan pendidikan ini. Terimakasih yang sebesarbesarnya juga penulis sampaikan kepada seluruh keluarga yang telah turut
memberikan dorongan dan dukungan doa agar berhasil menyelesaikan studi
ini.
Akhirnya, penulis dengan sadar mengakui bahwa disertasi ini masih jauh
dari kesempurnaan, namun penulis berharap disertasi ini dapat bermanfaat
bagi pembaca, dan peneliti-peneliti selanjutnya maupn kontribusi pada ilmu
pengetahuan. Sehingga saran dan kritik yang bersifat konstruktif sanggat diharapkan untuk kesempurnaan hasil penelitian ini.
Medan, 27 Januari 2016
Penulis,
TOGI
vi
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Togi dilahirkan di Aek Kanopan pada tanggal 6 Juni 1961 dan merupakan anak kedua dari delapan bersaudara dari Ayah (Alm) P. Panjaitan
dan Ibu (Alm) R. Br. Aritonang. Menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri
3 Aek Kanopan pada tahun 1973, Sekolah Menengah Pertama di SMP St.
Yoseph Aek Kanopan pada tahun 1976, dan Sekolah Menengah Atas di SMA
Swasta Kualuh Aek Kanopan pada tahun 1980. Kemudian melanjutkan studi pada Program Sarjana (S1) di Jurusan Matematika, Fakultas Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Medan, tamat tahun 1986. Selanjutnya mengambil program pasca
sarjana (S2) di Program Studi Penelititan dan Evaluasi Pendidikan, Universitas Negeri Yogyakarta, tamat pada tahun 2001. Sejak tahun 2009 mengikuti
studi di program pasca sarjana (S3) di Program Doktor Ilmu Matematika,
Universitas Sumatera Utara (USU) Medan.
Penulis menikah tanggal 27 Desember 2003, telah dikaruniai Allah Yang Maha
Esa satu orang putra dan satu orang putri.
Penulis sampai dengan saat ini bekerja sebagai staf pengajar dengan pangkat
asisten ahli golongan III/b Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
5
1.3 Tujuan Penelitian
6
1.4 Manfaat Penelitian
7
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
8
BAB 3 PROGRAM STOKASTIK
12
3.1 Model Dasar Program Stokastik
12
3.1.1 Model Antisipatif
12
3.1.2 Model Adaptif
13
3.1.3 Model Recourse
13
3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen
3.2.1 Proses Formulasi
14
15
vii
Universitas Sumatera Utara
3.3 Pohon Skenario
18
BAB 4 PENENTUAN SKENARIO
20
4.1 Beberapa Pengertian
20
4.2 Langkah awal
23
4.3 Pohon Skenario dan Filtrasi
25
4.4 Degenerate Subfiltrasi
28
4.5 Prosedur Pemutahiran Pohon
29
4.6 Algoritma Pembentukan Skenario
30
4.7 Asumsi Batas Atas dan Bawah
32
BAB 5 PENDEKATAN KONVEKSITAS
35
5.1 Beberapa Pengertian
35
5.2 Sifat konveksitas
39
BAB 6 METODE PENYELESAIAN
42
6.1 Ide dasar
45
6.2 Algoritma dari Metode
46
BAB 7 KESIMPULAN
53
DAFTAR PUSTAKA
54
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
1
Judul
Produktivitas π (bahan i, prod j)
Halaman
49
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap
19
4.1
Pohon degenerate
29
4.2
Partisi Pertama
29
x
Universitas Sumatera Utara