Program Stokastik Cacah Campuran Dua Tahap
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Ketertarikan para peneliti dalam bidang penyelesaian program stokastik cacah (PSC) ini relatif baru. Klein-Haneveld, et. al., 1996) mengajukan
metode penyelesaian untuk PSC dua-tahap dengan tinjau ulang (recourse) cacah sederhana. Karena struktur khusus dari tahap kedua, pendekatan mereka
didasarkan pada pembentukan himpunan konveks fungsi nilai tahap kedua.
Laporte dan Louveaux (1993) mengusulkan pendekatan berbasis-dekomposisi
untuk PSC apabila peubah tahap pertama dan kedua biner. Mereka mengajukan pendekatan branch-and-bound dalam mana optimalitas mengiris pendekatan nilai fungsi tahap kedua tak konveks untuk penyelesaian biner tahap
pertama yang telah diperoleh. Sen dan Higle (2003) mengembangkan algoritma berbasis dekomposisi untuk menyelesaikan problema PSC dua-tahap
yang menekankan pada dekomposisi antara peubah cacah yang muncul dalam
tahap pertama dan kedua. Sheralli dan Fraticelli (2002) telah mengkaji pendekatan terkait dalam mana teknik reformulasi-linierisasi dipakai di dalam
skema dekomposisi.
Caroe dan R. Schultz (1999) memakai pendekatan dekomposisi skenario dari Rockafellar dan Wets (1991) untuk mengembangkan algoritma branch
and bound menyelesaikan PSC dua-tahap. Batas bawah yang diperoleh dari
dual Lagrange yang diturunkan oleh mendualkan kendala non-antisipasi. Subproblema dual Lagrange berkaitan dengan skenario dan mencakup peubah
dan kendala dari tahap pertama dan kedua. Subproblema ini lebih sulit diselesaikan dari pada metode berbasis dekomposisi Benders. Lebih lanjut lagi,
8
Universitas Sumatera Utara
9
walaupun dual Lagrange memberikan batas ketat, penyelesaiannya menghendaki pemakaian metode subgradien dan berakibat kesulitan dalam komputasi.
Ahmed et al. (2003) juga mengajukan algoritma branch and bound untuk
PSC dua-tahap dengan peubah cacah-campuran di tahap pertama dan peubah
cacah-murni di tahap kedua. Mereka memakai reformulasi yang yang mengeksploitasi struktur khusus yang muncul dari matriks tinjau-ulang tetap dalam
PSCC dua-tahap. Pendekatan relaksasi Lagrange untuk menyelesaikan PSC
dua-tahap diajukan oleh Takriti, et. al. (1996).
Schultz et al. (1998) mengajukan suatu skema berhingga untuk program stokastik dua-tahap dengan sebaran diskrit dan peubah tahap-kedua
cacah murni. Untuk problema ini, mereka mengamati bahwa hanya nilai cacah dari parameter ruas kanan yang relevan. Kenyataan ini dipakai untuk
mengidentifikasi hinpunan terhitung, yang disebut himpunan kandidat, dalam
ruang peubah tahap-pertama yang mengandung penyelesaian optimal. Dalam
bentuk dasarnya, dilakukan enumerasi lengkap dari himpunan kandidat untuk
mencari penyelesaian optimal. Evaluasi suatu elemen dari himpunan menghendaki penyelesaian subproblema cacah tahap-kedua yang berhubungan dangan
semua realisasi yang mungkin dari parameter tak pasti. Jadi, enumerasi eksplisit semua elemen, pada umumnya, tak mungkin secara komputasi. Pencarian
’neighborhood’ layak untuk menyelesaikan PSC dua tahap telah dikembangkan
oleh Erlinawaty dan Mawengkang (2006) dalam menyelesaikan model optimisasi portofolio.
Penelitian dalam program stokastik cacah campuran (PSCC) tahap ganda sebegitu jauh masih agak kurang. Lokketangen dan Woodruff (1993) mengaplikasikan heuristik dalam mana algoritma lindung nilai (hedging) progresif
Universitas Sumatera Utara
10
digabung dengan pencarian Tabu untuk menyelesaikan PSCC dengan peubah
biner. Mawengkang (2002) juga mengajukan heuristik harga ambang yang
mengeksploitasi struktur problema dengan adanya nilai ambang resiko (Value at risk) untuk menyelesaikan PSCC dalam optimisasi finansial. Caroe dan
Schultz (1999) mengusulkan relaksasi Lagrange untuk dipakai dalam algoritma
branch and bound terhadap PSCC tahap ganda. Namun hasil komputasinya
terbatas pada problema dua-tahap. Schultz dan Tiedemann (2003) mengkaji sifat kontinuitas dari fungsi objektif terhadap keputusan tahap pertama
dan mengintegrasi ukuran probabilitas untuk selanjutnya mereformulasi PSCC
dua-tahap menjadi program bilangan cacah campuran linier apabila sebaran
probabilitasnya diskrit dan berhingga. Algoritma Branch and Price diajukan
oleh Lulli dan Sen (2003) untuk menyelesaikan problema PSCC tahap ganda
yang memiliki struktur khusus. Huang dan Ahmed (2005) ] mengeksploitasi
sub-struktur tertentu problema perencanaan kapasitas dan kemudian mengembangkan skema pendekatan efisien untuk menyelesaikan problema PSC tahap
ganda.
Metode Pendekatan rata-rata sampel (PRS) telah diajukan oleh Ahmed
dan Shapiro (2002) untuk menyelesaikan program stokastik dengan recourse
cacah. Ide utama dari pendekatan PRS untuk menyelesaikan program stokastik adalah sebagai berikut: suatu sampel ξ 1 , . . . , ξ n dari N realisasi vektor
acak ξ(w) dibentuk dan akibatnya ekspektasi fungsi nilai E[Q(x, ξ(w))] diestiP
n
masi oleh fungsi rata-rata sampel N −1 N
n=1 Q(x, ξ ). Aproksimasi rata-rata
sampel yang diperoleh.
(
min ĝN (x) = cT x + N −1
x∈X
N
X
n=1
)
Q(x, ξ n )
dari program stokastik kemudian diselesaikan oleh algoritma optimisasi de-
Universitas Sumatera Utara
11
terministik. Pendekatan ini (dan variasinya) juga dikenal dengan beberapa
nama lainnya seperti metode stokastik counterpart (Rubinstein dan Shapiro
(1990)) dan metode optimisasi sampel lintasan (Plambeck et al. (1996) . v̂N
dan x̂N , masing-masing menyatakan nilai optimal dan penyelesaian optimal
problem PRS; kemudian v ∗ dan x∗ masing-masing menyatakan nilai optimal
dan penyelesaian optimal problem awal
Goyal dan Ierapetritou (2007) mengajukan metode penyelesaian untuk
PSCCTL dengan menggunakan pendekatan ”simplicial”. Pendekatan mereka ini merupakan gabungan antara pendekatan berbasis simplicial oleh Goyal
dan Ierapetritou (2004a, 2004b) dengan PRS. Pada setiap iterasi dari algoritma berbasis-simplicial, prosedur PRS diterapkan terhadap semua subproblem stokastik linier dan problema stokastik cacah campuran linier. Namum
dalam pendekatan ini program stokastik tak linier harus diselesaikan yang juga
bergantung pada jumlah skenario.
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Ketertarikan para peneliti dalam bidang penyelesaian program stokastik cacah (PSC) ini relatif baru. Klein-Haneveld, et. al., 1996) mengajukan
metode penyelesaian untuk PSC dua-tahap dengan tinjau ulang (recourse) cacah sederhana. Karena struktur khusus dari tahap kedua, pendekatan mereka
didasarkan pada pembentukan himpunan konveks fungsi nilai tahap kedua.
Laporte dan Louveaux (1993) mengusulkan pendekatan berbasis-dekomposisi
untuk PSC apabila peubah tahap pertama dan kedua biner. Mereka mengajukan pendekatan branch-and-bound dalam mana optimalitas mengiris pendekatan nilai fungsi tahap kedua tak konveks untuk penyelesaian biner tahap
pertama yang telah diperoleh. Sen dan Higle (2003) mengembangkan algoritma berbasis dekomposisi untuk menyelesaikan problema PSC dua-tahap
yang menekankan pada dekomposisi antara peubah cacah yang muncul dalam
tahap pertama dan kedua. Sheralli dan Fraticelli (2002) telah mengkaji pendekatan terkait dalam mana teknik reformulasi-linierisasi dipakai di dalam
skema dekomposisi.
Caroe dan R. Schultz (1999) memakai pendekatan dekomposisi skenario dari Rockafellar dan Wets (1991) untuk mengembangkan algoritma branch
and bound menyelesaikan PSC dua-tahap. Batas bawah yang diperoleh dari
dual Lagrange yang diturunkan oleh mendualkan kendala non-antisipasi. Subproblema dual Lagrange berkaitan dengan skenario dan mencakup peubah
dan kendala dari tahap pertama dan kedua. Subproblema ini lebih sulit diselesaikan dari pada metode berbasis dekomposisi Benders. Lebih lanjut lagi,
8
Universitas Sumatera Utara
9
walaupun dual Lagrange memberikan batas ketat, penyelesaiannya menghendaki pemakaian metode subgradien dan berakibat kesulitan dalam komputasi.
Ahmed et al. (2003) juga mengajukan algoritma branch and bound untuk
PSC dua-tahap dengan peubah cacah-campuran di tahap pertama dan peubah
cacah-murni di tahap kedua. Mereka memakai reformulasi yang yang mengeksploitasi struktur khusus yang muncul dari matriks tinjau-ulang tetap dalam
PSCC dua-tahap. Pendekatan relaksasi Lagrange untuk menyelesaikan PSC
dua-tahap diajukan oleh Takriti, et. al. (1996).
Schultz et al. (1998) mengajukan suatu skema berhingga untuk program stokastik dua-tahap dengan sebaran diskrit dan peubah tahap-kedua
cacah murni. Untuk problema ini, mereka mengamati bahwa hanya nilai cacah dari parameter ruas kanan yang relevan. Kenyataan ini dipakai untuk
mengidentifikasi hinpunan terhitung, yang disebut himpunan kandidat, dalam
ruang peubah tahap-pertama yang mengandung penyelesaian optimal. Dalam
bentuk dasarnya, dilakukan enumerasi lengkap dari himpunan kandidat untuk
mencari penyelesaian optimal. Evaluasi suatu elemen dari himpunan menghendaki penyelesaian subproblema cacah tahap-kedua yang berhubungan dangan
semua realisasi yang mungkin dari parameter tak pasti. Jadi, enumerasi eksplisit semua elemen, pada umumnya, tak mungkin secara komputasi. Pencarian
’neighborhood’ layak untuk menyelesaikan PSC dua tahap telah dikembangkan
oleh Erlinawaty dan Mawengkang (2006) dalam menyelesaikan model optimisasi portofolio.
Penelitian dalam program stokastik cacah campuran (PSCC) tahap ganda sebegitu jauh masih agak kurang. Lokketangen dan Woodruff (1993) mengaplikasikan heuristik dalam mana algoritma lindung nilai (hedging) progresif
Universitas Sumatera Utara
10
digabung dengan pencarian Tabu untuk menyelesaikan PSCC dengan peubah
biner. Mawengkang (2002) juga mengajukan heuristik harga ambang yang
mengeksploitasi struktur problema dengan adanya nilai ambang resiko (Value at risk) untuk menyelesaikan PSCC dalam optimisasi finansial. Caroe dan
Schultz (1999) mengusulkan relaksasi Lagrange untuk dipakai dalam algoritma
branch and bound terhadap PSCC tahap ganda. Namun hasil komputasinya
terbatas pada problema dua-tahap. Schultz dan Tiedemann (2003) mengkaji sifat kontinuitas dari fungsi objektif terhadap keputusan tahap pertama
dan mengintegrasi ukuran probabilitas untuk selanjutnya mereformulasi PSCC
dua-tahap menjadi program bilangan cacah campuran linier apabila sebaran
probabilitasnya diskrit dan berhingga. Algoritma Branch and Price diajukan
oleh Lulli dan Sen (2003) untuk menyelesaikan problema PSCC tahap ganda
yang memiliki struktur khusus. Huang dan Ahmed (2005) ] mengeksploitasi
sub-struktur tertentu problema perencanaan kapasitas dan kemudian mengembangkan skema pendekatan efisien untuk menyelesaikan problema PSC tahap
ganda.
Metode Pendekatan rata-rata sampel (PRS) telah diajukan oleh Ahmed
dan Shapiro (2002) untuk menyelesaikan program stokastik dengan recourse
cacah. Ide utama dari pendekatan PRS untuk menyelesaikan program stokastik adalah sebagai berikut: suatu sampel ξ 1 , . . . , ξ n dari N realisasi vektor
acak ξ(w) dibentuk dan akibatnya ekspektasi fungsi nilai E[Q(x, ξ(w))] diestiP
n
masi oleh fungsi rata-rata sampel N −1 N
n=1 Q(x, ξ ). Aproksimasi rata-rata
sampel yang diperoleh.
(
min ĝN (x) = cT x + N −1
x∈X
N
X
n=1
)
Q(x, ξ n )
dari program stokastik kemudian diselesaikan oleh algoritma optimisasi de-
Universitas Sumatera Utara
11
terministik. Pendekatan ini (dan variasinya) juga dikenal dengan beberapa
nama lainnya seperti metode stokastik counterpart (Rubinstein dan Shapiro
(1990)) dan metode optimisasi sampel lintasan (Plambeck et al. (1996) . v̂N
dan x̂N , masing-masing menyatakan nilai optimal dan penyelesaian optimal
problem PRS; kemudian v ∗ dan x∗ masing-masing menyatakan nilai optimal
dan penyelesaian optimal problem awal
Goyal dan Ierapetritou (2007) mengajukan metode penyelesaian untuk
PSCCTL dengan menggunakan pendekatan ”simplicial”. Pendekatan mereka ini merupakan gabungan antara pendekatan berbasis simplicial oleh Goyal
dan Ierapetritou (2004a, 2004b) dengan PRS. Pada setiap iterasi dari algoritma berbasis-simplicial, prosedur PRS diterapkan terhadap semua subproblem stokastik linier dan problema stokastik cacah campuran linier. Namum
dalam pendekatan ini program stokastik tak linier harus diselesaikan yang juga
bergantung pada jumlah skenario.
Universitas Sumatera Utara