Program Stokastik Cacah Campuran Dua Tahap
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dunia saat ini dilanda oleh adanya kondisi ketidakpastian yang tinggi,
namun pengambil keputusan tetap harus menentukan keputusan walau dalam
kondisi yang demikian. Persoalan keputusan sering diformulasikan sebagai
persoalan optimisasi, jadi dalam berbagai situasi, pengambil keputusan ingin
menyelesaikan persoalan optimisasi yang tergantung pada parameter yang tak
diketahui. Jika ketidakpastian ini tidak diperhitungkan dalam model penyelesaian, keputusan yang diambil dapat berada jauh dari nilai optimal, atau
bahkan tak layak.
Dalam sistem transportasi ketidakpastian ini dapat muncul pada variasi
antara permintaan aktual terhadap sumber daya transportasi dan ramalan permintaan; perubahan acak dalam kapasitas hubungan jaringan; dan perubahan
acak dalam kapasitas karena terjadinya kerusakan alat transportasi.
Program stokastik berkaitan dengan optimisasi pengambilan keputusan
dengan adanya ketidakpastian dalam data problema dari suatu periode waktu
ke periode waktu berikutnya. Tipe objek kajian adalah problema optimisasi
acak di mana hasil (outcome) dari data acak tidak terungkap pada waktu
berjalan, dan keputusan yang akan dioptimalkan tidak harus mengantisipasi
hasil masa datang (non-antisipatif). Hal ini memberikan kaitan erat dengan
optimisasi ’real time’ yang merupakan keputusan optimal ’di sini dan sekarang’
dalam suatu lingkungan data yang tak lengkap (atau tak pasti). Asalkan
1
Universitas Sumatera Utara
2
informasi probabilistik tersedia, model oprasional yang sesuai untuk optimisasi
’real-time’ dapat diformulasi sebagai program stokastik tahap-ganda. Secara
esensial model ini diajukan untuk menggantikan model deterministik, dimana
koefisien atau parameter yang tidak diketahui merupakan nilai acak dengan
adanya pengandaian sebaran peluang bebas dari variabel keputusan.
Program stokastik tak linier (PSTL) menyajikan suatu kelas dari persoalan optimisasi stokastik. Model demikian ini sering muncul dalam kehidupan nyata. Banyak sistem di alam ini mempunyai pola model tak linier, berakibat diperlukan metode program tak linier untuk menentukan optimisasinya.
Faktor lain yang kelihatan sudah menjadi suatu kewajaran adalah kondisi ketidakpastian. Boleh dikatakan sangat jarang parameter dari sistem diketahui
secara tepat. Yang sering muncul adalah parameter-parameter ini diketahui
dalam suatu rentang nilai atau, dalam beberapa kasus, dalam sebaran peluang. Terhadap persoalan dengan adanya ketidakpastian ini metode program
stokastik perlu dipakai.
Adakalanya dalam persoalan optimisasi keputusan demikian ini tercakup
didalamnya variabel yang nilainya harus merupakan bilangan cacah, atau biner(0 atau 1). Jadi, jika diberikan syarat cacah terhadap variabel keputusan,
maka model program stokastik tak linier ini disebut sebagai program stokastik cacah tak linier (PSCTL). Dalam penelitian ini model program stokastik
yang diteliti adalah program stokastik cacah-campuran tak linier (PSCCTL),
yang berarti bahwa disamping adanya variabel yang dipersyaratkan bernilai
bilangan cacah tetapi ada juga variabel yang dapat bernilai kontinu (pecahan).
Kebanyakan pemakaian dari PSCCTL berada pada bidang proses sistem rekayasa. Suatu review dalam bidang rekayasa proses diberikan dalam
Universitas Sumatera Utara
3
Diwekar (2003a) dan Sahinidis (2004). Pemakaian dalam proses sintesis dari
jaringan air terintegrasi (Karuppiah dan Grossmann, 2008). Pemakaian lainnya mencakup Proses jaringan perusahaan (Rya et.al., 2004), perencanaan dan
penjadwalan tugas terkait (Jung et.al., 2004; Lin et.al., 2004), aplikasi yang
terkait dengan lingkungan (Diwekar, 2003b; 2005; Kreawhom dan Hirao, 2004;
Aman dan Mawengkang, 2008), aplikasi dalam bidang finansial (Bastin et.al.,
2007; Mawengkang, 2007), aplikasi dalam perikanan (Albornor dan Canaler,
2006; Mawengkang, 2007) serta aplikasi dalam bidang jaringan transportasi
(Liu et al., 2009). Model persoalan PSCCTL yang diajukan dalam penelitian
ini dapat ditulis dalam bentuk berikut.
min f 1 (x) + Q(x)
x
g 1 (x) = 0,
h1 (x) 6 0,
g 1 : RnZ1 → Rme ,
h1 : Rn1 → Rmi ,
x ∈ Z+n1 .
(1.1)
dimana
Q(x) = Eξ Q(x, ξ(w))
Q(x, ξ(w)) = min f 2 (y(w), w)
y
g 2 (x, y(w), w) = 0
h2 (x, y(w), w) 6 0
g 2 : Rn1 +n2 × Ω → Rye
h2 : Rn1 +n2 × Ω → Ryi
y∈Y
(1.2)
Ω adalah ruang probabilitas yang dilengkapi dengan σ-aljabar F dan ukuran
probabilitas. ξ adalah variabel acak yang ukuran probabilitasnya ada, dan
f 1 , f 2 , g 1 , g 2 , h1 , h2 merupakan fungsi tak linier. x menyatakan variabel tahap
pertama, sedangkan y(w) menyajikan variabel tahap kedua. Himpunan Y
n2
merupakan gabungan dari dua himpunan bagian YR dan YZ , dengan YR ∈ R+
dan YZ ∈ Z+n2 . Jadi, dalam model di atas, beberapa variabel tahap kedua
(yang diindeks oleh himpunan YZ ) dipersyaratkan mengambil nilai cacah.
Universitas Sumatera Utara
4
Fitur utama dari model program stokastik dua tahap adalah adanya tindakan recourse (peninjauan ulang). Himpunan keputusan dibagi menjadi dua
kelompok. Sejumlah keputusan harus diambil sebelum parameter persoalan
diketahui: keputusan ini merupakan keputusan tahap pertama dan keputusan
ini diambil dalam tahap pertama. Keputusan lainnya dapat diambil setelah
ketidakpastian terungkap. Keputusan recourse merupakan fungsi dari realisasi
aktual parameter tak pasti dan dari keputusan tahap pertama. Sikuen dari
kejadian mengkarakterisasi model sebagai model recourse.
Terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam peroalan PSCCTL dua tahap, yaitu, konveksitas dan kontinuitas. Hal ini terutama disebabkan oleh persyaratan cacah. Jika variabel cacah hanya ditahap pertama,
sifat fungsi recourse sama seperti dalam kasus kontinu. Dalam kaus tak linier
kontinu jika f, h konveks dan g affine untuk semua ξ, problemanya konveks.
Apabila persyaratan cacah muncul ditahap kedua, walaupun untuk kasus linier fungsi recourse umumnya tak konveks. Kesulitan dalam dimensi tergantung
pada jumlah skenario.
Ekspektasi dalam (1.2) mencakup integrasi multi-dimensi. Agar persoalan dapat teratasi, ketidakpastian biasanya dinyatakan dalam sebaran diskrit
yang mendekati. Namun, kebutuhan untuk akurasi dalam pemodelan yang
berakibat terjadinya peningkatan dimensi dalam program optimisasi. Hal ini
menambah keterbatasan pada cara pemodelan program stokastik dan metode
penyelesaiannya masih pada tahap awal.
Adanya asumsi ruang probabilitas diskrit berakibat fungsi tujuan dapat
dituliskan sebagai jumlah berhingga dan kendala direplikasikan untuk setiap
elemen dalam Ω. Andaikan bahwa ξ mempunyai sebaran probabilitas diskrit
Universitas Sumatera Utara
5
pada Ω = 1, . . . , S dengan P (ξ = ξi ) = πi . Maka problema dapat ditulis lagi
dalam bentuk :
S
min f 1 (x) + Σ πs f 2 (x, y, ξs )
s=1
g 1 (x) = 0
h1 (x) 6 0
h2s (x, ys , ξs ) = 0
∀s = 1, · · · , S
gs2 (x, ys , ξs ) = 0
∀s = 1, · · · , S
∀s = 1, · · · , S
x ∈ Z+n1 , ys ∈ Ys
1
n1
me
g :R →R
h1 : Rn1 → Rmi
g 2 : Rn1 +n2 → Rte h2 : Rn1 +n2 → Rti , s = 1, · · · S
(1.3)
dimana πs menyatakan probabilitas bahwa skenario s terjadi. Formulasi deterministik ekivalen ini merupakan suatu problema program bilangan cacah tak
linier berskala besar dengan n1 + n2 s variabel dan me + mi + te s + ti s kendala
tak linier.
Karena adanya persyaratan cacah, fungsi recourse umumnya tak konveks
dan tak kontinu (lower semi-continuous). Metode Branch and Bound, yang
biasa dipakai untuk menyelesaikan problema program bilangan cacah linier,
tidak dapat diaplikasikan terhadap kondisi lower semi-continuous, karena akan
terdapat tak berhingga sub problema yang diperlukan sehingga batas bawah
dan batas atas menjadi sama. Akibatnya terminasi berhingga dari algoritma
ini tidak terjamin.
1.2 Perumusan Masalah
Situasi ketidakpastian yang tinggi melanda dunia global saat ini dan
diperkirakan masih akan berlangsung di masa-masa mendatang. Konsekuensinya, problema optimisasi pengambilan keputusan mengandung parameter
yang tak pasti (acak). Model optimisasi stokastik menjadi alternatif utama
untuk dipakai dalam menentukan alternatif keputusan. Di lapangan sering
kali dalam persoalan keputusan terdapat persyaratan cacah terhadap peubah,
Universitas Sumatera Utara
6
misalnya dalam penjadwalan produksi, telekomunikasi, optimisasi portofolio,
sehingga optimisasinya sekarang menjadi program stokastik cacah-campuran.
Model demikian ini dapat dibentuk, namun metode penyelesaiannya yang perlu diperoleh. Penelitian untuk menentukan metode terhadap model ini boleh
dikatakan masih baru. Metode yang banyak diajukan para peneliti adalah
untuk PSCC dua-tahap. Metode yang ada untuk PSCC tahap-ganda hanya
dapat terpakai untuk struktur tertentu dari model PSCC. Berdasarkan latar
belakang permasalahan di atas, masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut: Bagaimana pengembangan metode penyelesaian problema optimasi stokastik secara umum menggunakan model PSCC tak linier dua-tahap?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan permasalahan yang telah dirumuskan, maka tujuan dari
penelitian ini adalah:
1. Pengajuan suatu metode baru untuk menyelesaikan secara global Program Stokastik Cacah Campuran Tak Linier
2. Menyediakan alat untuk mendukung proses pengambilan keputusan yang
mengandung ketidakpastian.
3. Memberikan kerangka dasar untuk penelitian lebih lanjut dalam bidang
yang terkait, antara lain, metode untuk menyelesaikan Program Stokastik Cacah Murni Tahap-Ganda, Cara pembentukan Skenario yang
efisien, Stabilitas hasil penyelesaian, Menyelesaikan Program Stokastik
Tak-Linier.
Universitas Sumatera Utara
7
1.4 Manfaat Penelitian
Sesuai dengan tujuan penelitian, maka hasil penelitian ini diharapkan
akan memberikan manfaat, yaitu diperolehnya suatu metode untuk menyelesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian yang sering muncul dalam berbagai, seperti bidang finansial, transportasi,
perencanaan produksi, dan lain-lain
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dunia saat ini dilanda oleh adanya kondisi ketidakpastian yang tinggi,
namun pengambil keputusan tetap harus menentukan keputusan walau dalam
kondisi yang demikian. Persoalan keputusan sering diformulasikan sebagai
persoalan optimisasi, jadi dalam berbagai situasi, pengambil keputusan ingin
menyelesaikan persoalan optimisasi yang tergantung pada parameter yang tak
diketahui. Jika ketidakpastian ini tidak diperhitungkan dalam model penyelesaian, keputusan yang diambil dapat berada jauh dari nilai optimal, atau
bahkan tak layak.
Dalam sistem transportasi ketidakpastian ini dapat muncul pada variasi
antara permintaan aktual terhadap sumber daya transportasi dan ramalan permintaan; perubahan acak dalam kapasitas hubungan jaringan; dan perubahan
acak dalam kapasitas karena terjadinya kerusakan alat transportasi.
Program stokastik berkaitan dengan optimisasi pengambilan keputusan
dengan adanya ketidakpastian dalam data problema dari suatu periode waktu
ke periode waktu berikutnya. Tipe objek kajian adalah problema optimisasi
acak di mana hasil (outcome) dari data acak tidak terungkap pada waktu
berjalan, dan keputusan yang akan dioptimalkan tidak harus mengantisipasi
hasil masa datang (non-antisipatif). Hal ini memberikan kaitan erat dengan
optimisasi ’real time’ yang merupakan keputusan optimal ’di sini dan sekarang’
dalam suatu lingkungan data yang tak lengkap (atau tak pasti). Asalkan
1
Universitas Sumatera Utara
2
informasi probabilistik tersedia, model oprasional yang sesuai untuk optimisasi
’real-time’ dapat diformulasi sebagai program stokastik tahap-ganda. Secara
esensial model ini diajukan untuk menggantikan model deterministik, dimana
koefisien atau parameter yang tidak diketahui merupakan nilai acak dengan
adanya pengandaian sebaran peluang bebas dari variabel keputusan.
Program stokastik tak linier (PSTL) menyajikan suatu kelas dari persoalan optimisasi stokastik. Model demikian ini sering muncul dalam kehidupan nyata. Banyak sistem di alam ini mempunyai pola model tak linier, berakibat diperlukan metode program tak linier untuk menentukan optimisasinya.
Faktor lain yang kelihatan sudah menjadi suatu kewajaran adalah kondisi ketidakpastian. Boleh dikatakan sangat jarang parameter dari sistem diketahui
secara tepat. Yang sering muncul adalah parameter-parameter ini diketahui
dalam suatu rentang nilai atau, dalam beberapa kasus, dalam sebaran peluang. Terhadap persoalan dengan adanya ketidakpastian ini metode program
stokastik perlu dipakai.
Adakalanya dalam persoalan optimisasi keputusan demikian ini tercakup
didalamnya variabel yang nilainya harus merupakan bilangan cacah, atau biner(0 atau 1). Jadi, jika diberikan syarat cacah terhadap variabel keputusan,
maka model program stokastik tak linier ini disebut sebagai program stokastik cacah tak linier (PSCTL). Dalam penelitian ini model program stokastik
yang diteliti adalah program stokastik cacah-campuran tak linier (PSCCTL),
yang berarti bahwa disamping adanya variabel yang dipersyaratkan bernilai
bilangan cacah tetapi ada juga variabel yang dapat bernilai kontinu (pecahan).
Kebanyakan pemakaian dari PSCCTL berada pada bidang proses sistem rekayasa. Suatu review dalam bidang rekayasa proses diberikan dalam
Universitas Sumatera Utara
3
Diwekar (2003a) dan Sahinidis (2004). Pemakaian dalam proses sintesis dari
jaringan air terintegrasi (Karuppiah dan Grossmann, 2008). Pemakaian lainnya mencakup Proses jaringan perusahaan (Rya et.al., 2004), perencanaan dan
penjadwalan tugas terkait (Jung et.al., 2004; Lin et.al., 2004), aplikasi yang
terkait dengan lingkungan (Diwekar, 2003b; 2005; Kreawhom dan Hirao, 2004;
Aman dan Mawengkang, 2008), aplikasi dalam bidang finansial (Bastin et.al.,
2007; Mawengkang, 2007), aplikasi dalam perikanan (Albornor dan Canaler,
2006; Mawengkang, 2007) serta aplikasi dalam bidang jaringan transportasi
(Liu et al., 2009). Model persoalan PSCCTL yang diajukan dalam penelitian
ini dapat ditulis dalam bentuk berikut.
min f 1 (x) + Q(x)
x
g 1 (x) = 0,
h1 (x) 6 0,
g 1 : RnZ1 → Rme ,
h1 : Rn1 → Rmi ,
x ∈ Z+n1 .
(1.1)
dimana
Q(x) = Eξ Q(x, ξ(w))
Q(x, ξ(w)) = min f 2 (y(w), w)
y
g 2 (x, y(w), w) = 0
h2 (x, y(w), w) 6 0
g 2 : Rn1 +n2 × Ω → Rye
h2 : Rn1 +n2 × Ω → Ryi
y∈Y
(1.2)
Ω adalah ruang probabilitas yang dilengkapi dengan σ-aljabar F dan ukuran
probabilitas. ξ adalah variabel acak yang ukuran probabilitasnya ada, dan
f 1 , f 2 , g 1 , g 2 , h1 , h2 merupakan fungsi tak linier. x menyatakan variabel tahap
pertama, sedangkan y(w) menyajikan variabel tahap kedua. Himpunan Y
n2
merupakan gabungan dari dua himpunan bagian YR dan YZ , dengan YR ∈ R+
dan YZ ∈ Z+n2 . Jadi, dalam model di atas, beberapa variabel tahap kedua
(yang diindeks oleh himpunan YZ ) dipersyaratkan mengambil nilai cacah.
Universitas Sumatera Utara
4
Fitur utama dari model program stokastik dua tahap adalah adanya tindakan recourse (peninjauan ulang). Himpunan keputusan dibagi menjadi dua
kelompok. Sejumlah keputusan harus diambil sebelum parameter persoalan
diketahui: keputusan ini merupakan keputusan tahap pertama dan keputusan
ini diambil dalam tahap pertama. Keputusan lainnya dapat diambil setelah
ketidakpastian terungkap. Keputusan recourse merupakan fungsi dari realisasi
aktual parameter tak pasti dan dari keputusan tahap pertama. Sikuen dari
kejadian mengkarakterisasi model sebagai model recourse.
Terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam peroalan PSCCTL dua tahap, yaitu, konveksitas dan kontinuitas. Hal ini terutama disebabkan oleh persyaratan cacah. Jika variabel cacah hanya ditahap pertama,
sifat fungsi recourse sama seperti dalam kasus kontinu. Dalam kaus tak linier
kontinu jika f, h konveks dan g affine untuk semua ξ, problemanya konveks.
Apabila persyaratan cacah muncul ditahap kedua, walaupun untuk kasus linier fungsi recourse umumnya tak konveks. Kesulitan dalam dimensi tergantung
pada jumlah skenario.
Ekspektasi dalam (1.2) mencakup integrasi multi-dimensi. Agar persoalan dapat teratasi, ketidakpastian biasanya dinyatakan dalam sebaran diskrit
yang mendekati. Namun, kebutuhan untuk akurasi dalam pemodelan yang
berakibat terjadinya peningkatan dimensi dalam program optimisasi. Hal ini
menambah keterbatasan pada cara pemodelan program stokastik dan metode
penyelesaiannya masih pada tahap awal.
Adanya asumsi ruang probabilitas diskrit berakibat fungsi tujuan dapat
dituliskan sebagai jumlah berhingga dan kendala direplikasikan untuk setiap
elemen dalam Ω. Andaikan bahwa ξ mempunyai sebaran probabilitas diskrit
Universitas Sumatera Utara
5
pada Ω = 1, . . . , S dengan P (ξ = ξi ) = πi . Maka problema dapat ditulis lagi
dalam bentuk :
S
min f 1 (x) + Σ πs f 2 (x, y, ξs )
s=1
g 1 (x) = 0
h1 (x) 6 0
h2s (x, ys , ξs ) = 0
∀s = 1, · · · , S
gs2 (x, ys , ξs ) = 0
∀s = 1, · · · , S
∀s = 1, · · · , S
x ∈ Z+n1 , ys ∈ Ys
1
n1
me
g :R →R
h1 : Rn1 → Rmi
g 2 : Rn1 +n2 → Rte h2 : Rn1 +n2 → Rti , s = 1, · · · S
(1.3)
dimana πs menyatakan probabilitas bahwa skenario s terjadi. Formulasi deterministik ekivalen ini merupakan suatu problema program bilangan cacah tak
linier berskala besar dengan n1 + n2 s variabel dan me + mi + te s + ti s kendala
tak linier.
Karena adanya persyaratan cacah, fungsi recourse umumnya tak konveks
dan tak kontinu (lower semi-continuous). Metode Branch and Bound, yang
biasa dipakai untuk menyelesaikan problema program bilangan cacah linier,
tidak dapat diaplikasikan terhadap kondisi lower semi-continuous, karena akan
terdapat tak berhingga sub problema yang diperlukan sehingga batas bawah
dan batas atas menjadi sama. Akibatnya terminasi berhingga dari algoritma
ini tidak terjamin.
1.2 Perumusan Masalah
Situasi ketidakpastian yang tinggi melanda dunia global saat ini dan
diperkirakan masih akan berlangsung di masa-masa mendatang. Konsekuensinya, problema optimisasi pengambilan keputusan mengandung parameter
yang tak pasti (acak). Model optimisasi stokastik menjadi alternatif utama
untuk dipakai dalam menentukan alternatif keputusan. Di lapangan sering
kali dalam persoalan keputusan terdapat persyaratan cacah terhadap peubah,
Universitas Sumatera Utara
6
misalnya dalam penjadwalan produksi, telekomunikasi, optimisasi portofolio,
sehingga optimisasinya sekarang menjadi program stokastik cacah-campuran.
Model demikian ini dapat dibentuk, namun metode penyelesaiannya yang perlu diperoleh. Penelitian untuk menentukan metode terhadap model ini boleh
dikatakan masih baru. Metode yang banyak diajukan para peneliti adalah
untuk PSCC dua-tahap. Metode yang ada untuk PSCC tahap-ganda hanya
dapat terpakai untuk struktur tertentu dari model PSCC. Berdasarkan latar
belakang permasalahan di atas, masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut: Bagaimana pengembangan metode penyelesaian problema optimasi stokastik secara umum menggunakan model PSCC tak linier dua-tahap?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan permasalahan yang telah dirumuskan, maka tujuan dari
penelitian ini adalah:
1. Pengajuan suatu metode baru untuk menyelesaikan secara global Program Stokastik Cacah Campuran Tak Linier
2. Menyediakan alat untuk mendukung proses pengambilan keputusan yang
mengandung ketidakpastian.
3. Memberikan kerangka dasar untuk penelitian lebih lanjut dalam bidang
yang terkait, antara lain, metode untuk menyelesaikan Program Stokastik Cacah Murni Tahap-Ganda, Cara pembentukan Skenario yang
efisien, Stabilitas hasil penyelesaian, Menyelesaikan Program Stokastik
Tak-Linier.
Universitas Sumatera Utara
7
1.4 Manfaat Penelitian
Sesuai dengan tujuan penelitian, maka hasil penelitian ini diharapkan
akan memberikan manfaat, yaitu diperolehnya suatu metode untuk menyelesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian yang sering muncul dalam berbagai, seperti bidang finansial, transportasi,
perencanaan produksi, dan lain-lain
Universitas Sumatera Utara