Barisan Dan Deret Tak Hingga Infinite

Nurdinintya Athari (NDT)

BA RISA N DA N DERET

2

BA RISA N




De finisi

Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah
asal merupakan bilangan asli.
Notasi: f: N  R
n
f(n ) = an
Fungsi tersebut dikenal sebagai b a risa n b ila ng a n riil {an}
dengan an adalah suku ke-n.
Bentuk penulisan dari barisan :

1. bentuk e ksp lisit suku ke-n
2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya.
3. bentuk rekursi
an
 1 1 1

Contoh: a = 1
a

a

1
,
n 1
1
1, , , , ...
n
1  an
 2 3 4


n

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

3

KEKO NVERG ENA N BA RISA N
• De finisi:
Barisan {an} dikatakan ko nve rg e n menuju L atau berlimit L
dan ditulis sebagai
lim an  L
n 

Jika untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N
sehingga untuk
n  N  an  L  
Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L
yang terhingga dinamakan d ive rg e n.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

4

C A TA TA N
• Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan.
Kita akan menggunakan fakta berikut.
Jika lim f ( x )  L , maka
x 

lim f ( n )  L
n

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai
kaidah I’Hospital untuk soal peubah kontinu.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

5

SIFA TLIMIT BA RISA N
• Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke L dan
barisan {bn} konvergen ke M, maka
1. lim a n  b n   lim a n   lim b n   L  M
n 

n

n 

2. lim a n .b n   lim a n . lim b n   L.M
n

a
3. lim  n

n b
 n


n

n

a n  L
 lim
n
 

, untuk M  0


lim
b
M
 n n

Barisan {an} dikatakan

a. Monoton naik bila an+1  an
b. Monoton turun bila an+1  an

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

C O NTO H
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
1.

an 

n
2n  1

Jawab:

Ambil : f ( x ) 

x
2x  1

Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital,
x
1
lim f ( x )  lim

x 
x  2 x  1
2
Jadi,
n
1
lim

n  2 n  1
2

artinya barisan an konvergen menuju ½.
16-Mar-15

[MUG1B3] KALKULUS II

6

2.

 1
a n  1  
 n

C O NTO H

n

Jawab:
x
1



Ambil
f ( x )  1  



x


1


ln
1



x
x

x


1





 1
 1
lim 1    lim exp.ln 1    exp  lim x.ln 1     exp  lim
1
x 
x  
x 
 x 
x
 x
 x


x

2
Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital,

Jadi,



1   x 


   .



 exp  lim  x   x  1 
2
x 
1 

   
x  









x 

 exp  lim
  e1  e
 x  x  1 

n

1

lim 1    e
n 
n


artinya barisan a n konvergen menuju e .
16-Mar-15

[MUG1B3] KALKULUS II

7

8

LA TIHA N
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
1.

2.

3.

4.
5.

6.

[MUG1B3] KALKULUS II

4n 2  1
an  2
n  2n  3

3n 2  2
an 
n 1

an 
an 

n
n 1

 

an+1 = 1 +

8.

9.

n

4n
ln(n )
an 
n

7.

10.

1
an , a1=1
2

 1 2 3 4 
 , , , ...
 2 3 4 5 
2 3 4 5 

  1, , , , ...
3 5 7 9 





1
1
1
.
..
,
,
1
,


 1 1 1 2 1 3



4
3
2


4
3
2
 1

...
,
,
,

 2 1 3 1 4 1 5 1



5
4
3
2

16-Mar-15

9

DERETTA K HING G A
Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma,
sebagai berikut:


a

n

 a1  a2  a3  ...  an  ...

n 1

dengan an adalah suku ke-n.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

10

BA RISA N JUMLA H PA RSIA L
Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret


 a , maka
S =a
i

i 1

1

1

S2 = a1 + a2
.
.
.
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an =

n

a

i

i 1

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret
Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.
[MUG1B3] KALKULUS II



a

i

i 1

16-Mar-15

11

KEKO NVERG ENA N DERET TA K HING G A


Deret tak hingga

 a ko nve rg e n dan mempunyai jumlah S
i

i 1

jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn} ko nve rg e n ke S.
Sebaliknya, apabila {Sn} dive rg e n maka deret dive rg e n.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

12

DERET G EO METRI
• Bentuk umum deret geometri adalah


 ar

n 1

= a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...

n 1

dengan a  0.


Jumlah parsial deret ini adalah

Sn =

n

 ar
i 1

i 1

= a +ar +a r2 + ... + a rn-1





a 1 r n
dan dapat ditulis sebagai Sn =
, r  1.
1 r

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

13

SIFA T DERETG EO METRI
1. Jika r < 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena

lim r n = 0, maka deretnya konvergen ke

n 

a
1 r

2. Jika r > 1 maka barisan {rn} divergen karena lim r n =  ,
n 

maka deretnya juga divergen.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

14

1.

1 1 1 1
1
   
 . ..
2 4 8 16 32

C O NTO H [1]
(SELIDIKI KEKO NVERG ENA NNYA )

Jawab:
Kalau kita perhatikan

S1 =

S3 =

1
2

=1-

1
2

1 1 1 7
  =
2 4 8 8

S2 =

1 1

2 4

1
2

=

= 1 – ( )3

3
4

1
2

= 1 – ( )2

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya
dan

1
2

Sn = 1 – ( )n

1 n
) )=1
n 
n 
2
Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1,
maka deret di atas juga konvergen.

[MUG1B3] KALKULUS II

lim S n = lim (1 – (

16-Mar-15

15

2.

C O NTO H [2]

1

(Deret Kolaps)
i 1 i (i  1)


Jawab:
Kalau kita perhatikan

1
1
=
i(i  1) i

-

1
i 1

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

1
1 1
1 1
1
1  
1 
Sn = 1            . . .   
 = 1 



Dan

2   2

3   3

4 

 n

n 1



n 1

1 

lim S n = lim 1 
 =1
n 
n  
n 1

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1,
maka deret di atas juga konvergen.
[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

16

3.

1
(Deret Harmonik)

i
i 1


C O NTO H [3]

Jawab:
Dari sini kita dapatkan

Sn = 1 +

Sn = 1 +
1+
=1+

1 1 1 1 1 1 1
1
       . . .
2 3 4 5 6 7 8
n
1 1 1 1 1 1 1
1
       . . . 
2 3 4 5 6 7 8
n
1 1 1 1 1 1 1
1
       . . . 
2  4 4 8 8 8 8
n
1
1 1 1 1
    . . .
n
2 2 2 2

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga
harganya adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah
deret divergen.
[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

UJI KEDIVERG ENA N DENG A N SUKU KE- N


Apabila

a

n

konvergen, maka

n 1

ekivalen

lim an  0 ,

n

lim an  0 maka deret divergen.

n

C a ta ta n:


Jika

lim an  0 , maka belum tentu  an deret konvergen

n

n 1

(bisa konvergen atau divergen) sehingga perlu pengujian deret positif.

16-Mar-15

[MUG1B3] KALKULUS II

17

UJI KEDIVERG ENA N DENG A N SUKU KE- N
Contoh:
Buktikan bahwa



 3n
n 1

Bukti :

lim

n  3n 2

n2
 3n  4

=

n2
2

 3n  4

1
n 
3 4
3  2
n n
lim



Jadi terbukti bahwa

 3n
n 1

16-Mar-15

divergen.

=

n2
2

[MUG1B3] KALKULUS II

 3n  4

1
3

(Tidak Nol)

divergen.

18

19

MA SA LA H BA RU
Dalam banyak kasus bahwa lim a n = 0, tetapi dari sini
n 

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut
konvergen atau divergen.
Sebagai contoh deret harmonik,



n 1

1
n

=1 +

Jelas bahwa

1 1 1 1 1 1 1
1
       . . .  +...
2 3 4 5 6 7 8
n

lim a n = 0, tetapi deret harmonik adalah

n 

deret yang divergen.
Oleh karena itu, perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

UJI DERETPO SITIF
1. Te s Inte g ra l

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada
selang [1,)


a. Jika integral tak wajar


 f (n )

 f (x)
1

dx konvergen, maka deret

konvergen.

n 1





b. Jika integral tak wajar f ( x ) dx divergen, maka deret


 f (n) divergen.

1

n 1

16-Mar-15

[MUG1B3] KALKULUS II

20

21



1. Selidiki kekonvergenan dari

ne
n 1

Jawab:
Kita ambil


xe
1

x 2

f (x)  x e

dx = lim

b

x2

, sehingga

xe

x2

b 1

1
x 2
=  lim e
2 b 


Jadi karena

[MUG1B3] KALKULUS II

C O NTO H

n 2

xe
1

x 2

b
1
x2
e
d(x 2 )
dx = lim
2 b 1
b
1
1
1
=
=  lim
2e
1
2 b  e b 2  e 1





dx

konvergen, maka



2

n e  n juga konvergen.

n 1

16-Mar-15

22



2. Selidiki kekonvergenan dari


n 2

C O NTO H

1
n ln n

Jawab:
Kita ambil





2

f ( x) 

1
, sehingga
x ln x

b dx
dx
 lim
 lim
x ln x b   2 x ln x b



b

2

d (ln x )
ln x

 lim ln ln x   lim ln ln b   ln ln 2   
b

Jadi karena

[MUG1B3] KALKULUS II

b





2

dx
x ln x



divergen, maka


n 2

1
juga divergen.
n ln n
16-Mar-15

23

LA TIHA N
Selidiki kekonvergenan deret berikut:


1.

1

 n  2
n 3



2.
3.


n 1

[MUG1B3] KALKULUS II

2


n 1


1

 n ln
n 2


4.

2



5.

n

1
2n  1
1

 4n
n 1

2

1

1

4  3n 

3
2

16-Mar-15

UJI DERETPO SITIF
2. Uji De re t - P
Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum


1

p
i 1 i
Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan





1

1
dx  lim
p
t 
x



t

1

t

 x1 p 
1
t1 p  1
dx  lim 
  lim
p
t

x
1  p 1 t  1  p

Kalau kita perhatikan, untuk
1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen.
2. p > 1 maka
16-Mar-15

lim t 1 p

t 

= 0, sehingga diperoleh deret yang konvergen.

[MUG1B3] KALKULUS II

24

UJI DERETPO SITIF
3. p < 1 maka

lim t 1 p

t 

=∞, sehingga diperoleh deret yang divergen.
n

4. p < 0, suku ke-n deret

1

i
i 1

P

, yaitu,

1
tidak menuju 0.
nP

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n
Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:
1. Deret-p konvergen apabila p > 1
2. Deret-p divergen apabila 0  p  1

16-Mar-15

[MUG1B3] KALKULUS II

25

26

C O NTO H
Apakah deret berikut konvergen atau divergen?

1
1.  1, 001
n 1 n

1
Berdasarkan uji deret-p, deret  1, 001 konvergen karena p = 1,001 > 1
n 1 n


2.


n 1

1
n

1

2

Berdasarkan uji deret-p, deret

[MUG1B3] KALKULUS II




n 1

1
n

1

2

divergen karena p = ½ < 1

16-Mar-15

UJI DERETPO SITIF
3. Te s Pe rb a nd ing a n d e ng a n d e re t la in




Andaikan


1. Jika

b

a
n 1`

n

n

dan

b
n 1`

a

a

n

konvergen

n 1`



n

divergen, maka

b

n

divergen

n 1`

n 1`

16-Mar-15



konvergen, maka

n 1`


2. Jika

deret positif, jika an  bn maka

n

[MUG1B3] KALKULUS II

27

28

C O NTO H
Selidiki Kekonvergenan deret berikut:


1.

n
n 3

n
2

5

Jawab:
Akan kita bandingkan deret ini dengan


an =

n ,
1
dan bn 
n
n2  5

1
adalah deret harmonik dan
n
n 1

n
1
1

, sehingga karena
deret divergen, maka
2
n
n 5
n
n 1

kita tahu bahwa







n
n 2

[MUG1B3] KALKULUS II

n
2

5

deret yang divergen.

16-Mar-15

29

C O NTO H


2.

n
n 1

1
2

5

Jawab:
Akan kita bandingkan deret ini dengan bn=


kita tahu bahwa

1

1

n
n 1

2

1

1
n

2

dan an=

1
n2 5

adalah deret hiperharmonik dengan




1

, Sehingga karena
 2
deret
2
2
n 5
n 1 n
n

1
deret yang konvergen.
konvergen, maka
2
n 1 n  5

p = 2 >1 dan



[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

30

LA TIHA N
Selidiki kekonvergenan deret berikut


1.

n
n 1



2.

n
n 3


3.

2
n 1

[MUG1B3] KALKULUS II

n
2

5

1
2

5



4.

1

 n  2
n 3


5.


n 1

2

1
2n  1

1
n

1

16-Mar-15

31

UJI DERETPO SITIF
4. Te s Ba nd ing lim it
Andaikan an dan bn deret positif dan




a

1. Jika 0 < L <  maka

n

n 1`

dan

an
=L
n  b
n
lim

b

n

sama-sama

n 1`

konvergen atau divergen




2. Jika L = 0 dan

b

n

n 1`

[MUG1B3] KALKULUS II

konvergen maka

a

n

konvergen.

n 1`

16-Mar-15

32

C O NTO H

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :


1.

n
n 1

3

2n  3
 5n 2  7

Jawab:
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1
sehingga

a
lim n  lim
n  b
n 
n

2n  3

3

n
n 1

[MUG1B3] KALKULUS II

3

1

n
n 1



2

n3  5n 2  7  lim 2n  3n = 2
1 2
n   n 3  5n 2  7
n


Jadi karena L = 2 dan

n2

2

konvergen, maka deret

2n  3
konvergen.
 5n 2  7
16-Mar-15

33

C O NTO H

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :


2.


n 1

1
n2  4

Jawab:
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1
sehingga

a
lim n =
n  b
n

1
lim

n 

2

n
n 2  4 lim
=1
= n 
n2  4
1
n

1
divergen, maka deret
Jadi karena L=1 dan 
n
n 1


[MUG1B3] KALKULUS II

n




n 1

1
n2  4

divergen.

16-Mar-15

34

LA TIHA N
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

n

2
n 1 n  2 n  3

4.

3n  1

3
n 1 n  4

5.

ln n

2
n 1 n





1.



2.

n
n 1



3.


n 1

[MUG1B3] KALKULUS II

1
n 1



2n  3
n2

16-Mar-15

35

UJI DERETPO SITIF
5. Te s Ha sil Ba g i



 ak

Diketahui

k 1

merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif.

a k 1

k  a k

Misalkan lim
1. Jika

[MUG1B3] KALKULUS II



< 1 maka deret



ak
k 1

konvergen



2. Jika



3. Jika

 = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

> 1 maka deret

ak
k 1

divergen

16-Mar-15

36

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

C O NTO H

3n
1. 
n 1 n !


Jawab:

3n , maka suku ke-n+1
Misalkan suku ke-n adalah an =
n!
3n 1
adalah an+1=
sehingga
n  1!
a
lim n 1
n  a
n

3 n 1
 lim

n 

n  1 !

3n

n!

3 n 1 n !
3
 lim n
0
 lim
n   3 n  1 !
n   n  1 

3n
Karena nilai limit r = 0 ( < 1), maka deret 
konvergen
n
!
n 1
[MUG1B3] KALKULUS II



16-Mar-15

37

C O NTO H

n
3
2. 
2
n 1 n


Jawab:

3n
Misalkan suku ke-n adalah an = 2 , maka suku ke-n+1
n
n 1
adalah an+1= 3
sehingga
2
n  1
a
lim n 1  lim
n  a
n 
n

3 n 1

n  1 2

3n

 lim

n 

n2

3 n 1 n 2

3 n n  1 

2

 lim

n 

3n 2

n  1 2

3

3n
Karena nilai limit r = 3 (> 1), maka deret  2 divergen
n 1 n


[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

38

LA TIHA N
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

n!

n
n 1 n

4.

5n

n 1 n !

5.

n3

n 1 2 n !



1.







n

2.

n

n 1 2 n  !

3.

4n  n

n!
n 1


[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

UJI DERETPO SITIF
6. Te s A ka r



Diketahui  ak merupakan suatu deret dengan
k 1

suku-suku yang positif, misalkan lim k ak  a


1. Jika a< 1 maka deret

ak
k 1

k 

konvergen



2. Jika a > 1 maka deret  a k divergen
k 1

3. Jika a = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

16-Mar-15

[MUG1B3] KALKULUS II

39

40

C O NTO H

Selidiki kekonvergenan deret
 2n2

1.  
n 1  n  1 


n

Jawab:

 2n  2

Misalkan suku ke-n adalah an = 

1
n



n

maka nilai limitnya adalah

2n  2
2
n  n  1

lim n an  lim
n 

 2n  2 
 divergen
Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret  

1
n

n 1 


[MUG1B3] KALKULUS II

n

16-Mar-15

41

 n2 




2
1
n
n 1 



2.

C O NTO H

n

Jawab:

 n2 

Misalkan suku ke-n adalah an = 
 2n  1 

n

maka nilai limitnya adalah

n2 1

n  2n  1
2

lim n an  lim
n 

 2n  2 
Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret  
 konvergen

1
n

n 1 


[MUG1B3] KALKULUS II

n

16-Mar-15

42

LA TIHA N
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

 1 



n 1  ln n 


1.



2.

[MUG1B3] KALKULUS II

n

 n 




n
3
2

n 1 

3.

1 1
  

n
n 1  2

4.

 3n  2 




2
1
n

n 1 



n



n

n

16-Mar-15

43

DERET G A NTI TA NDA DA N
KEKO NVERG ENA N MUTLA K
• De re t G anti Tanda
Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut


  1n 1 a n  a1  a 2  a 3  a 4  ...
n 1

dengan an > 0, untuk semua n.
Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu


n 1



1

n 1

[MUG1B3] KALKULUS II

1
1
1
1
 1


 ...
n
2
3
4

16-Mar-15

44

UJI DERETG A NTI TA NDA
Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan
konvergen jika
1. an+1< an
2.

lim a n  0

n 

C o nto h

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

1 1 1
   ...
2 3 4
1 1 1
2. 1     . . .
2! 3! 4!
1.

[MUG1B3] KALKULUS II

1

16-Mar-15

45

C O NTO H
1. Ja wa b (uji g a nti ta nd a )

1
1
,
dan
a
=
Dari soal diatas kita punya an=
, deret
n+1
n 1
n

tersebut konvergen jika
1
a
n  n  1  1  1  1  an >an+1
n
a.

an 1 1
n
n
n 1
b.

1
0
n  n

lim an  lim
n 

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

46

C O NTO H
2. Ja wa b (uji g a nti ta nd a )

1
1
, dan an+1 =
Dari soal diatas kita punya an=
n  1!
n!
deret tersebut konvergen jika
a.

b.

an
an 1

1
 n!  n  1  1
1
( n  1)!

 an >an+1

1
0
n  n !

lim an  lim
n 

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.
[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

47

LA TIHA N
Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:


1.

  1
n 1

n 1

2
3n  1

n n3


1


n2  n
n 1



3.

n 1




2.

[MUG1B3] KALKULUS II

  1 n

4.

n


1


n 1

n
3n
1
n( n  1)

16-Mar-15

48

KO NVERG EN MUTLA K DA N
KO NVERG EN BERSYA RA T
Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga
mutlak deret tersebut konvergen.
Atau dengan kata lain :


b

n



dikatakan konvergen mutlak jika

n 1

b

n

n 1

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika


tetapi  b n konvergen.

konvergen.



b

n

divergen,

n 1

n 1

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

49

PENG UJIA N KEKO NVERG ENA N MUTLA K


Misalkan

a

n

n 1

dengan an  0 dan lim

n

an1
r
an

Maka
1. Jika r < 1, maka deret konvergen mutlak
2. Jika r > 1, maka deret divergen
3. Jika r = 1, maka tes gagal

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

50

C O NTO H
Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen


1.

  1
n 1

n 1

2n
n!

Jawab:
n 1
n
2
2

n
2
Dari soal diatas kita memiliki an   1 n 1 , dan an 1   1
n!
 n  1!
sehingga
n  2 2 n 1



1
an 1
n  1!  lim 2n1 n !
2
r  lim
 lim
0
lim

n
n  2 n  1!
n  a
n 
n  n  1
n 1 2 n
n
 1
n !
Menurut uji hasil bagi mutlak, deret ini konvergen mutlak
[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

51



2.

n 1
1




n 1

C O NTO H

1
n

Jawab:


Dengan uji deret ganti tanda deret


(buktikan!!), sedangkan


n 1



an 

  1 n1


n 1

n 1

1
konvergen
n

1
adalah deret divergen
n

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)


Jadi deret

[MUG1B3] KALKULUS II

  1
n 1

n 1

1
adalah konvergen bersyarat.
n

16-Mar-15

52

LA TIHA N
Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen
bersyarat atau divergen:


 1  nn 
5 
n 1

4.

(1) n 1

n 1 n ln n

5.

(1) n 1

n 1 n n  1

n

1.



2.

(1) n

n 1 3n  2

3.

1
 1

nn  1
n 1







[MUG1B3] KALKULUS II



n

16-Mar-15

53

DERETPA NG KA T
Deret pangkat secara umum ada dua bentuk
1. Deret pangkat dalam x didefinisikan


a

nx

n 0

n

= a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan


a
n 0

n

x  b n = a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk
harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.
[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

54

SELA NG KEKO NVERG ENA N
Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasil bagi
mutlak sebagai berikut:


Misalkan

 a x  b 

n 0

n

n

an 1 ( x  b ) n 1
dan L  lim
n
an ( x  b ) n

1. Jika L < 1, maka deret konvergen.
2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan  gunakan uji
deret sebelumnya.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

55

SO A L
Tentukan selang kekonvergenan deret


1.


n 0



2.



xn
(n  1)!



(n  1)! x n

n 0


3.

xn
(n  1)2n

n 0

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

56

JA WA B [1]
1. Kita akan gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak, untuk menyelidiki
kekonvergenan mutlak.

x n1
xn
x (n  1)
x
:
lim


L  lim n1
n 2
(n  2) (n  1)2n n 2 (n  2) 2
Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu –2 < x < 2
Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya, yaitu x = 2 atau x = -2 .


Pada x = 2



n 1

2n

 n  1 2n




n 1

1
 n  1

deret ini adalah deret harmonik yang divergen.
[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

57

JA WA B [2]


Pada x = –2

 2  n

n
1
2

n


n 1


1 n


 n  1
n 1


deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.
Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2  x < 2

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

58

JA WA B [3]
2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk
menyelidiki kekonvergenan mutlak.

x n1
xn
x
L  lim
:
 lim
0
n  n  2  !  n  1 !
n  n  2 
Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilai x.
Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

59

JA WA B [4]
3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk
menyelidiki kekonvergenan mutlak.

n  2  ! x n1

L  lim
n  n  1 ! x n

 0, jika x  0
 lim  n  2  x  
n
, jika x  0

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

60

TEO REMA 1


Himpunan kekonvergenan deret pangkat



an x n berbentuk

n 0

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
1. satu titik x = 0
2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya.
3. seluruh himpunan bilangan riil

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

61

TEO REMA 2


Himpunan kekonvergenan deret pangkat

 a n ( x  b) n

n 0

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga
jenis berikut :
1. satu titik x = b
2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya.
3. seluruh himpunan bilangan riil

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

62

LA TIHA N
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:


1.

( x  1) n

 n  1
n 0

2.

2

2

 x  2  ln 2
2.9

3



 x  2  ln 3
3.27

4



2
3




x

2
x

2
3.  x  2  

 ...

2!

[MUG1B3] KALKULUS II

 x  2  ln 4
4.81

 ...

3!

16-Mar-15

63

O PERA SI DERETPA NG KA T
Dalam pasal sebelumnya untuk 1  x  1 deret






ax 
n

n 0


n 1

ax n1 

a
1 x

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di


atas (misal S(x)=

 ax

n

) misalkan bagaimana jika S(x)

n 0

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

64

TEO REMA
• Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah
selang I, jadi


S ( x) 

a x

n

n

 a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  ...

n 0



maka : 1. S '( x) 


n 0

D  an x n   d [a0  a1x  a2 x 2  a3 x3  ...]
 a1  2a2 x  3a3 x 2  ...




a n x

n 1

n

n 1

2.

[MUG1B3] KALKULUS II



x

0



S (t ) dt 


n 0

x

0

1
1
ant dt  a0 x  a1 x 2  a2 x3  ... 
2
3
n




n 0

an n1
x
n 1
16-Mar-15

65

C O NTO H

Sesuai teorema di atas,

1
= 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x