Menyelesaikan persamaan linier dengan pe
Menyelesaikan persamaan linier dengan pendekatan matriks.
ELIMINASI GAUSS
Persamaan Umum Gauss
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3
…
a 1n Xn
a 21 X1 + a 22 X2 + a 23 X3
… a 2n Xn
= b2
E2
a 31 X1 + a 23 X2 + a 33 X3
… a 3n Xn
= b3
E3
= b1
E1
⋮ ⋮ ⋮
⋮
a m1 X1 + a m2 X2 + a m3 X3
Contoh soal
⋮
=
… a mn Xn
⋮
= bn
En
: Matriks 3X3
1. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 5X2 + 0X3
=4
E1
2X1 – 2X2 + 3X3
=8
E2
2X1 + 1X2 + 5X3
= 12
E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dari persamaan E2 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
a 11 ≠ 0
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 21
. a 12
a11
2
¿−2− (5)
4
¿−
a 23 ’ ¿ a 23 −
a 21
.a 13
a 11
9
2
b2 ’ ¿b2 −
2
¿ 3− (0)
4
a 21
.b1
a11
2
¿ 8− (4 )
4
¿3
¿6
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 11 ≠ 0 .
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
2
¿ 1− (5)
4
¿−
a 33 ’ ¿ a 33 −
a 31
.a 13
a 11
3
2
b3 ’ ¿b3 −
2
¿ 5− (0)
4
a 31
.b 1
a 11
2
¿ 12− ( 4)
4
¿5
¿ 10
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 5X2 + 0X3
=4
E1
−9
2
X2 + 3X3
=6
E2’
−3
2
X2 + 5X3
= 10
E3’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a
¿ a 32 ’ −
32’’
a32 '
. a 22 '
a 22'
−3
−3
2
−9
−
.
=
2
−9
2
2
( )(
=
a
)
0
¿ a 33 ’ −
33’’
a 32'
.a 23 ’
a22'
−3
2
.3
= 5−
−9
2
()
=8
4
Kemudian didapatkan :
a. X
3
X3
b.
−9
2
X2 + 3X3
−9
2
X2 + 3 ( 2 )
X2
=
b 3''
a33 ''
=
8
4
=
2
=
6
6
=
=
3’’
−3
2
.6
= 10−
−9
2
()
=
b
0
¿b3’ −
a 32 '
.b2 ’
a 22'
c.
4
X1 + 5X2 + 0X3 =
4
4
X1 + 5 ( 0 )
=
X1
4
1
=
2. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
2X1 + 5X2 + 4X3
=4
E1
2X1 + 7X2 + 3X3
=8
E2
9X1 – 2X2 + 6X3
= 12
E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dari persamaan E2 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 11 ≠ 0
a 21
. a 12
a11
2
¿ 7− (5)
2
¿2
a 23 ’ ¿ a 23 −
a 21
.a 13
a 11
b2 ’ ¿b2 −
a 21
.b1
a11
2
¿ 3− (4)
2
2
¿ 8− (4 )
2
¿−1
¿4
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat
a 11 ≠ 0 .
a 31
. a 11=0
a11
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
9
¿−2− (5)
2
¿−
a 33 ’ ¿ a 33 −
a 31
.a 13
a 11
49
2
b3 ’ ¿b3 −
9
¿ 6− (4)
2
9
¿ 12− (4)
2
¿−12
¿−6
a 31
.b 1
a 11
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 5X2 + 4X3
=4
E1
2X2 - X3
=4
E2’
−49
X2 - 12X3
2
= -6
E3’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a
32’’
¿ a 32 ’ −
a32 '
. a 22 '
a 22'
a
¿b3’ −
−49
2
. ( 2)
2
( )
=
−49
−
2
=
0
¿ a 33 ’ −
33’’
a 32'
.a 23 ’
a22'
b
3’’
a 32 '
.b2 ’
a 22'
−49
2
¿−12−
.−1
2
−49
2
¿−6−
.4
2
( )
¿−
( )
97
4
¿ 43
Kemudian didapatkan :
X3
X3
2X2 - 1X3
2X2 - 1
( −172
97 )
X2
X1
b 3''
a33 ''
=
43
−97
4
=
−172
97
=
4
=
4
108
97
=
2X1 + 5X2 + 4X3
2X1 + 5
=
( 108
97 )
=
+4
( −172
97 )
=
4
=
4
268
97
3. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 5X2 + 1X3
=4
E1
3X1 + 9X2 - 3X3
=8
E2
5X1 - 1X2 + 5X3
= 12
E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dari persamaan E2 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 11 ≠ 0
a 21
. a 12
a11
3
¿ 9− (5)
4
¿
a 23 ’ ¿ a 23 −
a 21
.a 13
a 11
b2 ’ ¿b2 −
3
¿−3− (1)
4
¿−
a 21
.b1
a11
3
¿ 8− (4 )
4
15
4
¿5
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat
a 31 ’ ¿ a 31 −
21
4
a 31
. a 11=0
a11
a 11 ≠ 0 .
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
5
¿−1− (5)
4
¿−
a 33 ’ ¿ a 33 −
5
¿ 5− (1)
4
¿
15
4
a 31
.a 13
a 11
29
4
b3 ’ ¿b3 −
5
¿ 12− ( 4)
4
¿7
a 31
.b 1
a 11
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 5X2 + 1X3
21
X2 4
-
=4
15
X3
4
29
15
X2 4
4
X3
E1
=5
E2’
=7
E3’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a
¿ a 32 ’ −
32’’
a32 '
. a 22 '
a 22'
−29
−29
4
21
−
.
=
4
21
4
4
( )( )
=
a
¿b3’ −
0
¿ a 33 ’ −
33’’
a 32'
.a 23 ’
a22'
b
a 32 '
.b2 ’
a 22'
−29
15
4
−15
−
.
=
4
21
4
4
( )(
=
−29
4
.5
= 7−
21
4
( )
)
−10
7
=
Kemudian didapatkan :
X3
=
b 3''
a33 ''
292
21
3’’
X3
21
X2
4
−15
X3
4
21
X2
4
−15 −146
4
15
(
=
−146
15
=
)
X2
=
4X1 + 5 (−6 )
+1
−6
=
4
( −146
15 )
=
X1
=
5
5
=
4X1 + 5X2 + 1X3
Contoh soal
=
292
21
−10
7
4
656
60
: Matriks 4X4
1. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
=4
E1
6X1 + 4X2 + 7X3 + 2X4
=8
E2
1X1 + 5X2 + 0X3 + 2X4
= 12
E3
3X1 + 8X2 + 4X3 + 3X4
= 16
E4
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dengan syarat
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E4 ’
= E4 – m41 . E1
m21
=
a 21
a 11
m41
=
a 41
a 11
E3 ’
a 11 ≠ 0 .
= E3 – m31 . E1
m31
=
a31
a 11
Pada E2 :
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
6
¿ 4− ( 2)
4
¿1
a 23 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
a 21
.a 13
a 11
a 24 ’
a 21
. a 14
a 11
6
¿ 7− (3)
4
¿
10
4
b2 ’ ¿b2 −
6
¿ 8− (4 )
4
¿2
6
¿ 2− (5)
4
¿−
a 21
.b1
a11
22
4
a 21
. a 12
a11
Pada E3 :
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
1
¿ 5− (2)
4
9
2
¿
a 33 ’ ¿ a 33 −
¿ a 34 −
a 31
.a 13
a 11
a 31
. a 14
a 11
1
¿ 0− (3)
4
¿−
1
¿ 12− (4)
4
¿ 11
1
¿ 2− (5)
4
3
4
b3 ’ ¿b3 −
Pada E4 :
a 34 ’
¿
a 31
.b 1
a 11
3
4
a 31
. a 12
a11
a 41 ’ ¿ a 41 −
a 41
. a 11=0
a 11
a 42 ’ ¿ a 42 −
a 41
. a 12
a 11
3
¿ 8− (2)
4
13
2
¿
a 43 ’ ¿ a 43 −
¿ a 44 −
a 41
. a 13
a 11
a 44 ’
a 41
. a14
a 11
3
¿ 4− ( 3)
4
¿
3
¿ 3− (5)
4
7
4
¿−
b4 ’ ¿b4 −
3
4
a 31
.b1
a11
3
¿ 16− (4)
4
¿ 13
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, dan E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
1X2 +
=4
E1
10
22
X3 X4 = 2
4
4
E2’
9
X 2 2
13
X2 +
2
3
X +
4 3
7
X 4 3
3
X
4 4
3
X
4 4
= 11
= 13
E3’
E4’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3 dan E4, dengan cara :
Pada E3 :
a
¿ a 33 ’ −
a
¿b3’ −
¿ a 32’ −
32’’
a 32 '
. a 22'
a 22'
a
33’’
a 32 '
. a 23 ’
a 22'
=
9
9
2
−
. ( 1)
2
1
9
2 10
= −3
−
.
4
1 4
=
0
=
()
()
¿ a 34 ’ −
34’’
−12
a 32'
.a 24 ’
a22'
b
3’’
a 32 '
.b2 ’
a 22'
=
9
3
2 −22
−
.
4
1
4
=
102
4
( )(
=
)
9
2
11−
.2
1
()
=2
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’ −
¿ a 42 ’ −
42’’
a 42 '
. a 22'
a 22'
a
a 42 '
. a 23 ’
a 22'
13
2
= 13
−
. ( 1)
2
1
( )
=
0
=
13
7
2 10
−
.
4
1
4
( )
=
−58
4
43’’
a
¿b4’ −
¿ a 44 ’ −
44’’
a 42 '
. a 24 ’
a 22'
b
4’’
a 42'
.b2 ’
a 22'
13
2
−22
= −3
−
.
4
1
4
( )(
=
13
2
=
13−
.2
1
( )
)
=0
35
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, dan E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
1X2 +
=4
E1
10
22
X3 X4 = 2
4
4
E2’
- 12
-
X3 +
102
4
58
X3 + 35 X4
4
X4
=2
E3’’
=0
E4’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4, dengan cara :
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’’ −
43’’’
a 43 ''
. a 33 ' '
a 33 ''
=
−58
−58
4
−
. (−12 )
4
−12
=
0
( )
a
¿ b 4 ’’ −
¿ a 44 ’’ −
44’’’
a 43''
. a34 ’’
a33 ''
b
4’’
’
a 43 ''
.b 3 ’’
a33 ''
−58
4
102
=
35−
.
−12
4
( )(
=
−58
4
=
0−
.2
−12
( )
)
201
48
=
−29
12
Setelah mengeliminasi X3 pada E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
1X2 +
=4
E1
10
22
X3 X4 = 2
4
4
E2’
- 12
X3 +
201
X4
48
-
102
4
=-
X4
=2
29
12
E4’’’
Kemudian didapatkan :
X4
X4
- 12
X3 +
- 12
X3
X3
102
X4
4
(
+102 −116
4
201
)
=
b 4 '''
a 44 '''
=
−29
12
201
48
=
−116
201
=
2
=
2
=
E3’’
−280
201
1X2 +
10
22
X3 X4
4
4
1X2 +
10 −280
4 201
(
)
22 −116
4 201
(
-
)
X2
X1 +
2
=
2
464
201
( 464
201 )
+
3
( −280
201 )
+
5
=
4
( −116
201 )
=
X1
Contoh soal
2
=
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
4
=
=
4
324
201
: Matriks 5X5
2. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
4X1 + 5X2 + 6X3 + 1X4 - 4X5
=8
E2
2X1 + 3X2 + 1X3 + 3X4 + 2X5
= 12
E3
0X1 + 2X2 + 5X3 + 1X4 - 2X5
= 16
E4
2X1 + 3X2 + 6X3 + 3X4 + 7X5
= 20
E5
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 pada E2 sampai E5 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
E4 ’
= E4 – m41 . E1
E5 ’
= E5 – m51 . E1
a 11 ≠ 0
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
m41
=
a 41
a 11
m51
=
a51
a 11
Pada E2 :
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 21
. a 12
a11
4
¿ 5− (3)
2
¿−1
a 23 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
Pada E3 :
a 24 ’
a 21
. a 14
a 11
4
¿ 6− (4 )
2
4
¿ 1− (3)
2
¿−2
¿−5
a 25 ’ ¿ a 25 −
¿b2 −
a 21
.a 13
a 11
a 21
.a 15
a 11
b2 ’
a 21
.b1
a11
4
¿−4− (−4 )
2
4
¿ 8− (4 )
2
¿4
¿0
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
2
¿ 3− (3)
2
¿0
a 33 ’ ¿ a 33 −
¿ a 34 −
a 31
.a 13
a 11
a 34 ’
a 31
. a 14
a 11
2
¿ 1− ( 4)
2
2
¿ 3− (3)
2
¿−3
¿0
a 35 ’ ¿ a 35 −
a 31
.a 15
a 11
b3 ’
a 31
.b 1
a 11
¿b3 −
2
¿ 2− (−4)
2
2
¿ 12− (4)
2
¿6
¿8
Pada E4 :
a 41 ’ ¿ a 41 −
a 41
. a 11=0
a 11
a 42 ’ ¿ a 42 −
a 41
. a 12
a 11
0
¿ 2− (3)
2
¿2
a 43 ’ ¿ a 43 −
¿ a 44 −
a 41
. a 13
a 11
a 44 ’
a 41
. a14
a 11
0
¿ 5− (4 )
2
0
¿ 1− (3)
2
¿5
¿1
a 45 ’ ¿ a 45 −
a 41
. a 15
a 11
b4 ’
a 41
.b1
a 11
¿b4 −
0
¿−2− (−4)
2
0
¿ 16− (4)
2
¿−2
¿ 16
Pada E5 :
a 51 ’ ¿ a 51 −
a 51
. a 11=0
a 11
a 52 ’ ¿ a 52 −
2
¿ 3− (3)
2
¿0
a 51
. a 12
a 11
a 53 ’ ¿ a 53 −
¿ a 54 −
a 51
. a 13
a 11
a 54 ’
a 51
. a 14
a 11
2
¿ 6− (4 )
2
2
¿ 3− (3)
2
¿2
¿0
a 55 ’ ¿ a 55 −
a 51
. a 15
a 11
b5 ’
a 51
.b1
a 11
¿b5 −
2
¿ 7− (−4)
2
2
¿ 20− (4)
2
¿ 11
¿ 16
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, E4, dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
0X2 - 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’
-1X2 + 2X3 + 1X4 - 2X5
= 16
E4’
0X2 + 2X3 + 0X4 + 11X5
= 16
E5’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, E4, dan E5 dengan cara :
Pada E3 :
a
¿ a 33 ’ −
32’’
¿ a 32’ −
a 32 '
. a 23 ’
a 22'
a 32 '
. a 22'
a 22'
a
33’’
a
¿ a 35 ’ −
b
( −10 ). (−1)
=
0−
=
0
=
( −10 ) .−2
−3−
=
¿ a 34 ’ −
34’’
−3
a 32'
.a 24 ’
a22'
a
35’’
a
43’’
a
45’’
a 32 '
. a 25 ’
a 22'
( −10 ). (−5)
=
0−
=
0
=
( −10 ). ( 4 )
6−
=
¿b3’ −
3’’
=
6
a 32 '
.b2 ’
a 22'
( −10 ). 0
8−
=8
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’ −
a
¿ a 45 ’ −
¿ a 42 ’ −
42’’
a 42 '
. a 22'
a 22'
a 42 '
. a 23 ’
a 22'
=
2−
=
0
44’’
(−12 ) . (−1)
=
5−
( −12 ) .−2
=
¿ a 44 ’ −
a 42 '
. a 25 ’
a 22'
a 42 '
. a 24 ’
a 22'
1
b
=
1−
=
−9
(−12 ) . (−5)
=
( −12 ) . 4
−2−
6
=
¿b4’ −
4’’
=
16−
a 42'
.b2 ’
a 22'
( −12 ). 0
= 16
Pada E5 :
a
¿ a 53 ’ −
a
¿ a 55 ’ −
b
¿ a 52’ −
52’’
a 52 '
. a 22'
a 22'
a
53’’
a
55’’
a 52 '
. a 23 ’
a 22'
( −10 ). (−1)
=
0−
=
0
=
2−
(−10 ) .−2
=
¿ a 54 ’ −
54’’
2
a 52'
. a 24 ’
a22'
a 52 '
. a 25 ’
a 22'
5’’
( −10 ). (−5)
=
0−
=
0
¿b5’ −
=
11−
( −10 ). 4
=
a 52 '
.b2 ’
a 22'
11
=
16−
( −10 ). 0
= 16
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, E4, dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’’
1X3 - 9X4 - 6X5
= 16
E4’’
2X3 + 0X4 + 11X5
= 16
E5’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4 dan E5, dengan cara :
Pada E4 :
a
¿ a 44 ’’ −
a
¿ b 4 ’’ −
¿ a 43 ’’ −
43’’’
a 43 ''
. a 32 ''
a 33 ''
a
44’’’
a 43''
. a34 ’’
a33 ''
=
1−
=
0
(−31 ) . (−3 )
45’’’
a 43 ''
.b 3 ’’
a33 ''
=
−9−
=
¿ a 45 ’’ −
a 43 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
(−31 ). ( 0)
−9
b
4’’
’
( −31 ) .( 6 )
=
6−
=
16−
=
8
=
56
3
( −31 ) .8
Pada E5 :
a
¿ a 54 ’’ −
a
¿ b 5 ’’ −
¿ a 53 ’’ −
53’’’
a 53 ''
. a 32 ''
a 33 ''
a
54’’’
b
5’’
a 53 ''
. a34 ’’
a 33 ''
=
2−
=
0
( −32 ). (−3)
=
( −32 ) .( 0 )
0−
=
¿ a 55 ’’ −
55’’’
0
a 53 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
’
a53 ''
. b 3 ’’
a 33 ''
=
11−
=
15
( −32 ) .( 6 )
=
16−
( −32 ) .8
=
64
3
Setelah mengeliminasi X3 pada E4 dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’’
-9X 4 + 8X5
0X 4 + 15X5
=
56
3
E4’’’
=
64
3
E5’’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X4 pada persamaan E5, dengan cara :
a
a
¿ b 5 ’’’ −
¿ a 54 ’’’ −
54’’’’
a 54 '''
. a 44 '''
a 44 '' '
( −90 ) .(−9 )
=
0−
=
0
¿ a 55 ’’’ −
55’’’’
a 54 '''
. a 45 '''
a 44 '' '
b
5’’
’ ’
a 54 '''
. b 4 ’’’
a 44 '' '
=
15−
=
15
( −90 ) .( 8 )
=
64
0
−
.40
3
−9
( )
=
64
3
Setelah mengeliminasi X4 pada E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’’
-9X 4 + 8X5
15X 5
=
56
3
E4’’’
=
64
3
E5’’’’
Kemudian didapatkan :
X5
=
b5 ''''
a55 ''''
=
64
3
15
X5
=
64
45
-9X4 + 8X5
=
56
3
-9X4 + 8
( 6445 )
X4
( −328
405 )
+6
( 6445 )
X3
( 458 )
=
8
=
8
8
45
=
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
-1X2 - 2
−328
405
=
- 3X3 + 0X4 + 6X5
- 3X3 + 0
56
3
=
-5
=
( −328
405 )
+4
X2
0
( 6445 )
=
( 3800
405 )
+4
X1
Contoh soal
( 458 )
+3
( −328
405 )
0
=
4
3800
405
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
2X1 + 3
=
-4
( 6445 )
=
: Matriks 6X6
3. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
=
−3390
405
4
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
E1
5X1 + 3X2 + 6X3 + 2X4 + 1X5 + 4X6 = 8
E2
3X1 + 2X2 + 1X3 + 1X4 + 4X5 + 5X6 = 12
E3
0X1 + 2X2 + 1X3 + 4X4 + 3X5 + 5X6
= 16
E4
2X1 + 1X2 + 4X3 + 3X4 + 5X5 + 6X6 = 20
E5
1X1 + 4X2 + 3X3 + 5X4 + 6X5 + 2X6 = 24
E6
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 pada E2 sampai E6 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
E4 ’
= E4 – m41 . E1
E5 ’
= E5 – m51 . E1
E6 ’
= E6 – m61 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
m41
=
a 41
a 11
m51
=
a51
a 11
m61
=
a 61
a 11
a 11 ≠ 0
Pada E2 :
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
5
¿ 3− (8)
4
¿−7
a 21
. a 12
a11
a 23 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
a 24 ’
a 21
. a 14
a 11
5
¿ 6− (4 )
4
5
¿ 2− (4)
4
¿1
¿−3
a 25 ’ ¿ a 25 −
¿ a 26 −
a 21
.a 13
a 11
a 21
.a 15
a 11
a 26 ’
a 21
. a16
a 11
5
¿ 1− (0)
4
5
¿ 4− (8)
4
¿1
¿−6
b2 ’ ¿b2 −
a 21
.b1
a11
5
¿ 8− (4 )
4
¿3
Pada E3 :
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
3
¿ 2− (8)
4
¿−4
a 31
. a 12
a11
a 33 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
a 34 ’
a 31
. a 14
a 11
3
¿ 1− (4)
4
3
¿ 1− (4)
4
¿−2
¿−2
a 35 ’ ¿ a 25 −
¿ a 26 −
a 31
.a 13
a 11
a 31
.a 15
a 11
a 36 ’
a31
. a16
a 11
3
¿ 4− (0)
4
3
¿ 5− (8)
4
¿4
¿−1
b3 ’ ¿b3 −
a 31
.b 1
a 11
3
¿ 12− ( 4)
4
¿9
Pada E4 :
a 41 ’ ¿ a 41 −
a 41
. a 11=0
a 11
a 42 ’ ¿ a 42 −
0
¿ 2− (8)
4
¿2
a 41
. a 12
a 11
a 43 ’ ¿ a 43 −
¿ a 44 −
a 44 ’
a 41
. a14
a 11
0
¿ 1− (4)
4
0
¿ 4− (4)
4
¿1
¿4
a 45 ’ ¿ a 45 −
¿ a 46 −
a 41
. a 13
a 11
a 41
. a 15
a 11
a 46 ’
a 41
.a 16
a11
0
¿ 3− (0)
4
0
¿ 5− (8)
4
¿3
¿5
b4 ’ ¿b4 −
a 41
.b1
a 11
0
¿ 16− (4)
4
¿ 16
Pada E5 :
a 51 ’ ¿ a 51 −
a 51
. a 11=0
a 11
a 52 ’ ¿ a 52 −
2
¿ 1− (8)
4
¿−3
a 51
. a 12
a 11
a 53 ’ ¿ a 53 −
¿ a 54 −
a 54 ’
a 51
. a 14
a 11
2
¿ 4− ( 4)
4
2
¿ 3− (4)
4
¿2
¿1
a 55 ’ ¿ a 55 −
¿ a 56 −
a 51
. a 13
a 11
a 51
. a 15
a 11
a 56 ’
a51
.a 16
a 11
2
¿ 5− (0)
4
2
¿ 6− (8)
4
¿5
¿2
b5 ’ ¿b5 −
a 51
.b1
a 11
2
¿ 20− (4)
4
¿ 18
Pada E6 :
a 61 ’ ¿ a 61 −
a 61
. a 11=0
a11
a 62 ’ ¿ a 62 −
1
¿ 4− ( 8)
4
¿2
a 61
. a 12
a11
a 63 ’ ¿ a 63 −
¿ a 64 −
a 64 ’
a 61
. a 14
a 11
1
¿ 3− (4)
4
1
¿ 5− (4)
4
¿2
¿4
a 65 ’ ¿ a 65 −
¿ a 66 −
a61
. a13
a 11
a61
. a15
a 11
a 66 ’
a 61
. a 16
a 11
1
¿ 6− (0)
4
1
¿ 2− (8)
4
¿6
¿0
b6 ’ ¿b6 −
a 61
.b1
a 11
1
¿ 24− ( 4)
4
¿ 23
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, E4,E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
E1
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
=3
E2’
-4X2 - 2X3 - 2X4 + 4X5 - 1X6
=9
E3’
2X2 + 1X3 + 4X4 + 3X5 + 5X6
= 16
E4’
-3X2 + 2X3 + 1X4 + 5X5 + 2X6 = 18
2X2 + 2X3 + 4X4 + 6X5 + 0X6
E5’
= 23
E6’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, E4,E5, dan E6 dengan cara :
Pada E3 :
a
¿ a 33 ’ −
a
¿ a 35 ’ −
a
¿b3’ −
¿ a 32’ −
32’’
a 32 '
. a 22'
a 22'
a
33’’
a
35’’
a 32 '
. a 23 ’
a 22'
. (−7 )
( −4
−7 )
=
−4−
=
0
=
.1
( −4
−7 )
−2−
=
¿ a 34 ’ −
34’’
−18
7
a 32'
.a 24 ’
a22'
a 32 '
. a 25 ’
a 22'
−2−
=
−2
7
36’’
a 32 '
.b2 ’
a 22'
. (−3 )
( −4
−7 )
=
=
4−
. (1)
( −4
−7 )
24
7
=
¿ a 36 ’ −
a32 '
. a 26 ’
a 22'
b
3’’
.−6
( −4
−7 )
=
−1−
=
17
7
=
.3
( −4
−7 )
9−
51
7
=
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’ −
a
¿b4’ −
Pada E5 :
a 42 '
. a 22'
a 22'
a
43’’
a
45’’
a 42 '
. a 23 ’
a 22'
=
2−
=
0
(−72 ). (−7)
=
1−
(−72 ).1
=
¿ a 44 ’ −
44’’
¿ a 45 ’ −
a
¿ a 42 ’ −
42’’
9
7
a 42 '
. a 24 ’
a 22'
a 42 '
. a 25 ’
a 22'
=
4−
=
22
7
( −72 ). (−3)
=
3−
( −72 ) .1
23
7
=
¿ a 46 ’ −
46’’
a 42 '
. a 26 ’
a 22'
b
4’’
a 42'
.b2 ’
a 22'
=
5−
=
23
7
( −72 ).−6
=
16−
( −72 ) .3
=
118
7
a
¿ a 53 ’ −
a
¿ a 55 ’ −
a
¿b5’ −
¿ a 52’ −
52’’
a 52 '
. a 22'
a 22'
a
53’’
a
55’’
a 52 '
. a 23 ’
a 22'
. (−7 )
( −3
−7 )
=
−3−
=
0
2−
−3
(−7
).1
=
¿ a 54 ’ −
54’’
=
11
7
a 52'
. a 24 ’
a22'
a 52 '
. a 25 ’
a 22'
=
1−
=
16
7
. (−3 )
(−3
−7 )
5−
.1
( −3
−7 )
32
7
=
¿ a 56 ’ −
56’’
=
a 52 '
. a 26 ’
a 22'
b
5’’
a 52 '
.b2 ’
a 22'
=
2−
=
32
7
−3
(−7
).−6
=
18−
.3
( −3
−7 )
117
7
=
Pada E6 :
a
¿ a 63 ’ −
¿ a 6 2’ −
62’’
a 62 '
. a 22'
a 22'
a
a 62 '
. a 23 ’
a 22'
=
2−
(−72 ). (−7)
=
2−
(−72 ).1
53’’
=
a
¿ a 65 ’ −
a
¿b6’ −
0
=
¿ a 64 ’ −
64’’
9
7
a 62'
. a24 ’
a 22'
a
65’’
a 62 '
. a 25 ’
a 22'
=
4−
=
22
7
( −72 ). (−3)
=
( −72 ) .1
6−
44
7
=
¿ a 66 ’ −
66’’
a 62'
. a 26 ’
a 22'
b
6’’
a62 '
.b2 ’
a 22'
( −72 ) .−6
=
0−
=
−12
7
=
23−
( −72 ) .3
=
167
7
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, E4, E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
E3’’
E1
=3
18
2
24
17
X3 X4 +
X5 +
X6
7
7
7
7
E2’
=
51
7
9
22
23
23
X3 +
X4 +
X5 +
X6
7
7
7
7
=
118
7
11
16
32
32
X3 +
X4 +
X5 +
X6
7
7
7
7
=
117
7
=
167
7
E4’’
E5’’
9
22
X3 +
7
7 X4 +
44
12
X5 7
7 X6
E6’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4, E5, dan E6 dengan cara :
Pada E4 :
a
¿ a 44 ’’ −
¿ a 43 ’’ −
43’’’
a 43 ''
. a 33 ' '
a 33 ''
( )(
=
¿ a 46 ’’ −
)
0
¿ a 45 ’’ −
45’’’
9
22
7
−2
−
.
=
7
−18
7
7
( )(
=
)
3
a 43 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
a
46’’’
a 43 ''
. a 36 ’’
a 33 ''
9
23
7
24
−
.
=
7
−18
7
7
( )( )
=
b
44’’’
a 43''
. a34 ’’
a33 ''
9
9
7
−18
−
.
=
7
−18
7
7
a
a
4’’
’
5
9
23
7
17
−
.
=
7
−18
7
7
( )( )
=
¿ b 4 ’’ −
a 43 ''
.b 3 ’’
a 32''
9
2
9
118
7
51
−
.
=
7
−18 7
7
( )
=
41
2
Pada E5 :
a
¿ a 54 ’’ −
¿ a 53 ’’ −
53’’’
a 53 ''
. a 33 ' '
a 33 ''
( )(
=
¿ a 56 ’’ −
)
0
¿ a 55 ’’ −
55’’’
11
16
7
−2
−
.
=
7
−18
7
7
( )(
=
)
19
9
a 53 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
a
56’’’
a53 ''
. a 36 ’’
a33 ''
11
32
7
24
−
.
=
7
−18
7
7
( )( )
=
b
54’’’
a 53 ''
. a34 ’’
a 33 ''
11
11
7
−18
−
.
=
7
−18
7
7
a
a
5’’
20
3
a53 ''
. b 3 ’’
a 33 ''
11
117
7
51
−
.
=
7
−18 7
7
( )
=
127
6
( )( )
=
¿ b 5 ’’ −
’
11
32
7
17
−
.
=
7
−18
7
7
109
18
Pada E6 :
a
¿ a 64 ’’ −
¿ a 63 ’’ −
63’’’
a63 ''
.a 33 ' '
a33 ''
( )(
=
¿ a 66 ’’ −
b
64’’’
a 63 ''
. a 34 ’’
a 33 ''
9
9
7
−18
−
.
=
7
−18
7
7
a
a
)
0
( )(
=
¿ a 65 ’’ −
65’’’
9
22
7
−2
−
.
=
7
−18
7
7
)
3
a63 ''
.a 35 ’’
a33 ''
a
66’’’
a 63''
. a36 ’’
a 33''
6’’
=
9
44
7
24
−
.
7
−18
7
7
9
−12
7
17
−
.
=
7
−18
7
7
=
8
=
( )( )
¿ b 6 ’’ −
’
a 63''
.b 3 ’’
a 33''
9
167
7
51
−
.
=
7
−18 7
7
( )
=
55
2
( )( )
−1
2
Setelah mengeliminasi X3 pada E4, E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
-
E1
=3
E2’
18
2
24
17
X3 X +
X5 +
X6
7
7 4
7
7
=
51
7
E3’’
3X4 + 5X5 +
9
2
X6
=
41
2
E4’’’
19
20
109
127
X4 +
X5 +
X6 =
9
3
18
6
3X4 + 8X5 -
1
2 X6
E5’’’
55
2
=
E6’’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X4 pada persamaan E5 dan E6, dengan cara :
Pada E5 :
a
¿ a 54 ’’’ −
54’’’’
¿ a 55 ’’’ −
a 54 '''
. a 44 '''
a 44 '' '
19
= 20
9
−
. ( 5)
3
3
85
=
27
( )
=
¿ b 5 ’’’ −
55’’’’
a 54 '''
. a 45 '''
a 44 '' '
19
= 19
9
−
. (3 )
9
3
a
a
( )
0
¿ a 56 ’’’ −
56’’’’
a 54 '''
. a 46 '''
a 44 '' '
b
’ ’
5’’
a 54 '''
. b 4 ’’’
a 44 '' '
19
9
9
= 109
−
.
18
3
2
( )( )
=
52
18
19
9 41
= 127
−
.
6
3
2
( )
=
182
27
Pada E6 :
a
¿ a 64 ’’’ −
64’’’’
¿ a 65 ’’’ −
3−
( 33 ) .( 3 )
=
¿ b 6 ’’’ −
a
55’’’’
a 64 '''
. a 45 '''
a 44 '' '
=
a
a 64 '''
.a 44 '''
a 44 '''
=
0
3
=
¿ a 66 ’’’ −
66’’’’
( 33 ) . (5 )
8−
a 64 '''
. a 46 '''
a 44 '' '
b
6’’
’ ’
a 64 '''
. b 4 ’’’
a 44 '' '
=
−1 3 9
−
.
2
3 2
=
55 3 41
−
.
2
3 2
=
−5
=
7
( )( )
()
Setelah mengeliminasi X4 pada E5 dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
-
E1
=3
E2’
18
2
24
17
X3 X +
X5 +
X6
7
7 4
7
7
=
51
7
E3’’
3X4 + 5X5 +
9
2
X6
=
41
2
85
52
X5 +
X
27
18 6
3X5 -5X6
E4’’’
=
=
7
182
27
E5’’’’
E6’’’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X5 pada persamaan E6, dengan cara :
Pada E6 :
a
¿ a 65 ’’’’ −
65’’’’’
¿ a 66 ’’’’ −
a 65 ''''
.a 55 ''''
a 55 ''''
3−
(
3
85
.
85
27
27
)( )
=
0
b
66’’’’’
a 65 ''''
. a 45 ''''
a 55 ''''
=
=
a
=
6’’
’ ’’
=
=
7−
¿ b 6 ’’’’ −
3
182
.
85
27
27
( )(
3
52
.
85 18
27
( )(
−5−
−659
85
a 65 ''''
.b 4 ’’’’
a 55 ''''
)
49
85
Kemudian didapatkan :
X6
X6
=
b 6 '''''
a 66 '''''
=
49
85
−659
85
=
−49
659
85
52
X5 +
X
27
18 6
=
182
27
85
52 −49
X +
27 5
18 659
=
182
27
( )
X5
=
78624
35586
)
3X4 + 5X5 +
3X4 + 5
9
2
X6
( 78624
35586 )
+
9
2
( −49
659 )
X4
=
41
2
=
41
2
116100
35586
=
18
2
24
17
X3 X +
X5 +
X6
7
7 4
7
7
-
=
51
7
18
2 116100
X3 7
7 35586
(
-
)
+
24 78624
7 35586
(
)
+
17 −49
7 659
( )
X3
-7X2 + 1
( −11394
35586 )
-3
( 116100
35586 )
+1
( 78624
35586 )
-6
X2
−11394
+4 (
( −53136
)
35586
35586 )
−49
+8 (
( 78624
)
35586
659 )
+0
=
3
( −49
659 )
=
=
+4
3
−53136
35586
=
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6
4X1 + 8
−11394
35586
=
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
51
7
=
4
( 116100
35586 )
=
4
X1
=
42444
35586
ELIMINASI GAUSS
Persamaan Umum Gauss
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3
…
a 1n Xn
a 21 X1 + a 22 X2 + a 23 X3
… a 2n Xn
= b2
E2
a 31 X1 + a 23 X2 + a 33 X3
… a 3n Xn
= b3
E3
= b1
E1
⋮ ⋮ ⋮
⋮
a m1 X1 + a m2 X2 + a m3 X3
Contoh soal
⋮
=
… a mn Xn
⋮
= bn
En
: Matriks 3X3
1. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 5X2 + 0X3
=4
E1
2X1 – 2X2 + 3X3
=8
E2
2X1 + 1X2 + 5X3
= 12
E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dari persamaan E2 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
a 11 ≠ 0
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 21
. a 12
a11
2
¿−2− (5)
4
¿−
a 23 ’ ¿ a 23 −
a 21
.a 13
a 11
9
2
b2 ’ ¿b2 −
2
¿ 3− (0)
4
a 21
.b1
a11
2
¿ 8− (4 )
4
¿3
¿6
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 11 ≠ 0 .
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
2
¿ 1− (5)
4
¿−
a 33 ’ ¿ a 33 −
a 31
.a 13
a 11
3
2
b3 ’ ¿b3 −
2
¿ 5− (0)
4
a 31
.b 1
a 11
2
¿ 12− ( 4)
4
¿5
¿ 10
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 5X2 + 0X3
=4
E1
−9
2
X2 + 3X3
=6
E2’
−3
2
X2 + 5X3
= 10
E3’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a
¿ a 32 ’ −
32’’
a32 '
. a 22 '
a 22'
−3
−3
2
−9
−
.
=
2
−9
2
2
( )(
=
a
)
0
¿ a 33 ’ −
33’’
a 32'
.a 23 ’
a22'
−3
2
.3
= 5−
−9
2
()
=8
4
Kemudian didapatkan :
a. X
3
X3
b.
−9
2
X2 + 3X3
−9
2
X2 + 3 ( 2 )
X2
=
b 3''
a33 ''
=
8
4
=
2
=
6
6
=
=
3’’
−3
2
.6
= 10−
−9
2
()
=
b
0
¿b3’ −
a 32 '
.b2 ’
a 22'
c.
4
X1 + 5X2 + 0X3 =
4
4
X1 + 5 ( 0 )
=
X1
4
1
=
2. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
2X1 + 5X2 + 4X3
=4
E1
2X1 + 7X2 + 3X3
=8
E2
9X1 – 2X2 + 6X3
= 12
E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dari persamaan E2 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 11 ≠ 0
a 21
. a 12
a11
2
¿ 7− (5)
2
¿2
a 23 ’ ¿ a 23 −
a 21
.a 13
a 11
b2 ’ ¿b2 −
a 21
.b1
a11
2
¿ 3− (4)
2
2
¿ 8− (4 )
2
¿−1
¿4
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat
a 11 ≠ 0 .
a 31
. a 11=0
a11
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
9
¿−2− (5)
2
¿−
a 33 ’ ¿ a 33 −
a 31
.a 13
a 11
49
2
b3 ’ ¿b3 −
9
¿ 6− (4)
2
9
¿ 12− (4)
2
¿−12
¿−6
a 31
.b 1
a 11
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 5X2 + 4X3
=4
E1
2X2 - X3
=4
E2’
−49
X2 - 12X3
2
= -6
E3’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a
32’’
¿ a 32 ’ −
a32 '
. a 22 '
a 22'
a
¿b3’ −
−49
2
. ( 2)
2
( )
=
−49
−
2
=
0
¿ a 33 ’ −
33’’
a 32'
.a 23 ’
a22'
b
3’’
a 32 '
.b2 ’
a 22'
−49
2
¿−12−
.−1
2
−49
2
¿−6−
.4
2
( )
¿−
( )
97
4
¿ 43
Kemudian didapatkan :
X3
X3
2X2 - 1X3
2X2 - 1
( −172
97 )
X2
X1
b 3''
a33 ''
=
43
−97
4
=
−172
97
=
4
=
4
108
97
=
2X1 + 5X2 + 4X3
2X1 + 5
=
( 108
97 )
=
+4
( −172
97 )
=
4
=
4
268
97
3. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 5X2 + 1X3
=4
E1
3X1 + 9X2 - 3X3
=8
E2
5X1 - 1X2 + 5X3
= 12
E3
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dari persamaan E2 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 11 ≠ 0
a 21
. a 12
a11
3
¿ 9− (5)
4
¿
a 23 ’ ¿ a 23 −
a 21
.a 13
a 11
b2 ’ ¿b2 −
3
¿−3− (1)
4
¿−
a 21
.b1
a11
3
¿ 8− (4 )
4
15
4
¿5
Langkah kedua eliminasi X1 dari E3 dengan syarat
a 31 ’ ¿ a 31 −
21
4
a 31
. a 11=0
a11
a 11 ≠ 0 .
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
5
¿−1− (5)
4
¿−
a 33 ’ ¿ a 33 −
5
¿ 5− (1)
4
¿
15
4
a 31
.a 13
a 11
29
4
b3 ’ ¿b3 −
5
¿ 12− ( 4)
4
¿7
a 31
.b 1
a 11
Setelah mengeliminasi X1 pada persamaan E2 dan E3, maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 5X2 + 1X3
21
X2 4
-
=4
15
X3
4
29
15
X2 4
4
X3
E1
=5
E2’
=7
E3’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, dengan cara :
a
¿ a 32 ’ −
32’’
a32 '
. a 22 '
a 22'
−29
−29
4
21
−
.
=
4
21
4
4
( )( )
=
a
¿b3’ −
0
¿ a 33 ’ −
33’’
a 32'
.a 23 ’
a22'
b
a 32 '
.b2 ’
a 22'
−29
15
4
−15
−
.
=
4
21
4
4
( )(
=
−29
4
.5
= 7−
21
4
( )
)
−10
7
=
Kemudian didapatkan :
X3
=
b 3''
a33 ''
292
21
3’’
X3
21
X2
4
−15
X3
4
21
X2
4
−15 −146
4
15
(
=
−146
15
=
)
X2
=
4X1 + 5 (−6 )
+1
−6
=
4
( −146
15 )
=
X1
=
5
5
=
4X1 + 5X2 + 1X3
Contoh soal
=
292
21
−10
7
4
656
60
: Matriks 4X4
1. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
=4
E1
6X1 + 4X2 + 7X3 + 2X4
=8
E2
1X1 + 5X2 + 0X3 + 2X4
= 12
E3
3X1 + 8X2 + 4X3 + 3X4
= 16
E4
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 dengan syarat
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E4 ’
= E4 – m41 . E1
m21
=
a 21
a 11
m41
=
a 41
a 11
E3 ’
a 11 ≠ 0 .
= E3 – m31 . E1
m31
=
a31
a 11
Pada E2 :
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
6
¿ 4− ( 2)
4
¿1
a 23 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
a 21
.a 13
a 11
a 24 ’
a 21
. a 14
a 11
6
¿ 7− (3)
4
¿
10
4
b2 ’ ¿b2 −
6
¿ 8− (4 )
4
¿2
6
¿ 2− (5)
4
¿−
a 21
.b1
a11
22
4
a 21
. a 12
a11
Pada E3 :
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
1
¿ 5− (2)
4
9
2
¿
a 33 ’ ¿ a 33 −
¿ a 34 −
a 31
.a 13
a 11
a 31
. a 14
a 11
1
¿ 0− (3)
4
¿−
1
¿ 12− (4)
4
¿ 11
1
¿ 2− (5)
4
3
4
b3 ’ ¿b3 −
Pada E4 :
a 34 ’
¿
a 31
.b 1
a 11
3
4
a 31
. a 12
a11
a 41 ’ ¿ a 41 −
a 41
. a 11=0
a 11
a 42 ’ ¿ a 42 −
a 41
. a 12
a 11
3
¿ 8− (2)
4
13
2
¿
a 43 ’ ¿ a 43 −
¿ a 44 −
a 41
. a 13
a 11
a 44 ’
a 41
. a14
a 11
3
¿ 4− ( 3)
4
¿
3
¿ 3− (5)
4
7
4
¿−
b4 ’ ¿b4 −
3
4
a 31
.b1
a11
3
¿ 16− (4)
4
¿ 13
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, dan E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
1X2 +
=4
E1
10
22
X3 X4 = 2
4
4
E2’
9
X 2 2
13
X2 +
2
3
X +
4 3
7
X 4 3
3
X
4 4
3
X
4 4
= 11
= 13
E3’
E4’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3 dan E4, dengan cara :
Pada E3 :
a
¿ a 33 ’ −
a
¿b3’ −
¿ a 32’ −
32’’
a 32 '
. a 22'
a 22'
a
33’’
a 32 '
. a 23 ’
a 22'
=
9
9
2
−
. ( 1)
2
1
9
2 10
= −3
−
.
4
1 4
=
0
=
()
()
¿ a 34 ’ −
34’’
−12
a 32'
.a 24 ’
a22'
b
3’’
a 32 '
.b2 ’
a 22'
=
9
3
2 −22
−
.
4
1
4
=
102
4
( )(
=
)
9
2
11−
.2
1
()
=2
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’ −
¿ a 42 ’ −
42’’
a 42 '
. a 22'
a 22'
a
a 42 '
. a 23 ’
a 22'
13
2
= 13
−
. ( 1)
2
1
( )
=
0
=
13
7
2 10
−
.
4
1
4
( )
=
−58
4
43’’
a
¿b4’ −
¿ a 44 ’ −
44’’
a 42 '
. a 24 ’
a 22'
b
4’’
a 42'
.b2 ’
a 22'
13
2
−22
= −3
−
.
4
1
4
( )(
=
13
2
=
13−
.2
1
( )
)
=0
35
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, dan E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
1X2 +
=4
E1
10
22
X3 X4 = 2
4
4
E2’
- 12
-
X3 +
102
4
58
X3 + 35 X4
4
X4
=2
E3’’
=0
E4’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4, dengan cara :
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’’ −
43’’’
a 43 ''
. a 33 ' '
a 33 ''
=
−58
−58
4
−
. (−12 )
4
−12
=
0
( )
a
¿ b 4 ’’ −
¿ a 44 ’’ −
44’’’
a 43''
. a34 ’’
a33 ''
b
4’’
’
a 43 ''
.b 3 ’’
a33 ''
−58
4
102
=
35−
.
−12
4
( )(
=
−58
4
=
0−
.2
−12
( )
)
201
48
=
−29
12
Setelah mengeliminasi X3 pada E4 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
1X2 +
=4
E1
10
22
X3 X4 = 2
4
4
E2’
- 12
X3 +
201
X4
48
-
102
4
=-
X4
=2
29
12
E4’’’
Kemudian didapatkan :
X4
X4
- 12
X3 +
- 12
X3
X3
102
X4
4
(
+102 −116
4
201
)
=
b 4 '''
a 44 '''
=
−29
12
201
48
=
−116
201
=
2
=
2
=
E3’’
−280
201
1X2 +
10
22
X3 X4
4
4
1X2 +
10 −280
4 201
(
)
22 −116
4 201
(
-
)
X2
X1 +
2
=
2
464
201
( 464
201 )
+
3
( −280
201 )
+
5
=
4
( −116
201 )
=
X1
Contoh soal
2
=
4X1 + 2X2 + 3X3 + 5X4
4
=
=
4
324
201
: Matriks 5X5
2. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
4X1 + 5X2 + 6X3 + 1X4 - 4X5
=8
E2
2X1 + 3X2 + 1X3 + 3X4 + 2X5
= 12
E3
0X1 + 2X2 + 5X3 + 1X4 - 2X5
= 16
E4
2X1 + 3X2 + 6X3 + 3X4 + 7X5
= 20
E5
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 pada E2 sampai E5 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
E4 ’
= E4 – m41 . E1
E5 ’
= E5 – m51 . E1
a 11 ≠ 0
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
m41
=
a 41
a 11
m51
=
a51
a 11
Pada E2 :
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
a 21
. a 12
a11
4
¿ 5− (3)
2
¿−1
a 23 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
Pada E3 :
a 24 ’
a 21
. a 14
a 11
4
¿ 6− (4 )
2
4
¿ 1− (3)
2
¿−2
¿−5
a 25 ’ ¿ a 25 −
¿b2 −
a 21
.a 13
a 11
a 21
.a 15
a 11
b2 ’
a 21
.b1
a11
4
¿−4− (−4 )
2
4
¿ 8− (4 )
2
¿4
¿0
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
a 31
. a 12
a11
2
¿ 3− (3)
2
¿0
a 33 ’ ¿ a 33 −
¿ a 34 −
a 31
.a 13
a 11
a 34 ’
a 31
. a 14
a 11
2
¿ 1− ( 4)
2
2
¿ 3− (3)
2
¿−3
¿0
a 35 ’ ¿ a 35 −
a 31
.a 15
a 11
b3 ’
a 31
.b 1
a 11
¿b3 −
2
¿ 2− (−4)
2
2
¿ 12− (4)
2
¿6
¿8
Pada E4 :
a 41 ’ ¿ a 41 −
a 41
. a 11=0
a 11
a 42 ’ ¿ a 42 −
a 41
. a 12
a 11
0
¿ 2− (3)
2
¿2
a 43 ’ ¿ a 43 −
¿ a 44 −
a 41
. a 13
a 11
a 44 ’
a 41
. a14
a 11
0
¿ 5− (4 )
2
0
¿ 1− (3)
2
¿5
¿1
a 45 ’ ¿ a 45 −
a 41
. a 15
a 11
b4 ’
a 41
.b1
a 11
¿b4 −
0
¿−2− (−4)
2
0
¿ 16− (4)
2
¿−2
¿ 16
Pada E5 :
a 51 ’ ¿ a 51 −
a 51
. a 11=0
a 11
a 52 ’ ¿ a 52 −
2
¿ 3− (3)
2
¿0
a 51
. a 12
a 11
a 53 ’ ¿ a 53 −
¿ a 54 −
a 51
. a 13
a 11
a 54 ’
a 51
. a 14
a 11
2
¿ 6− (4 )
2
2
¿ 3− (3)
2
¿2
¿0
a 55 ’ ¿ a 55 −
a 51
. a 15
a 11
b5 ’
a 51
.b1
a 11
¿b5 −
2
¿ 7− (−4)
2
2
¿ 20− (4)
2
¿ 11
¿ 16
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, E4, dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
0X2 - 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’
-1X2 + 2X3 + 1X4 - 2X5
= 16
E4’
0X2 + 2X3 + 0X4 + 11X5
= 16
E5’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, E4, dan E5 dengan cara :
Pada E3 :
a
¿ a 33 ’ −
32’’
¿ a 32’ −
a 32 '
. a 23 ’
a 22'
a 32 '
. a 22'
a 22'
a
33’’
a
¿ a 35 ’ −
b
( −10 ). (−1)
=
0−
=
0
=
( −10 ) .−2
−3−
=
¿ a 34 ’ −
34’’
−3
a 32'
.a 24 ’
a22'
a
35’’
a
43’’
a
45’’
a 32 '
. a 25 ’
a 22'
( −10 ). (−5)
=
0−
=
0
=
( −10 ). ( 4 )
6−
=
¿b3’ −
3’’
=
6
a 32 '
.b2 ’
a 22'
( −10 ). 0
8−
=8
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’ −
a
¿ a 45 ’ −
¿ a 42 ’ −
42’’
a 42 '
. a 22'
a 22'
a 42 '
. a 23 ’
a 22'
=
2−
=
0
44’’
(−12 ) . (−1)
=
5−
( −12 ) .−2
=
¿ a 44 ’ −
a 42 '
. a 25 ’
a 22'
a 42 '
. a 24 ’
a 22'
1
b
=
1−
=
−9
(−12 ) . (−5)
=
( −12 ) . 4
−2−
6
=
¿b4’ −
4’’
=
16−
a 42'
.b2 ’
a 22'
( −12 ). 0
= 16
Pada E5 :
a
¿ a 53 ’ −
a
¿ a 55 ’ −
b
¿ a 52’ −
52’’
a 52 '
. a 22'
a 22'
a
53’’
a
55’’
a 52 '
. a 23 ’
a 22'
( −10 ). (−1)
=
0−
=
0
=
2−
(−10 ) .−2
=
¿ a 54 ’ −
54’’
2
a 52'
. a 24 ’
a22'
a 52 '
. a 25 ’
a 22'
5’’
( −10 ). (−5)
=
0−
=
0
¿b5’ −
=
11−
( −10 ). 4
=
a 52 '
.b2 ’
a 22'
11
=
16−
( −10 ). 0
= 16
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, E4, dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’’
1X3 - 9X4 - 6X5
= 16
E4’’
2X3 + 0X4 + 11X5
= 16
E5’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4 dan E5, dengan cara :
Pada E4 :
a
¿ a 44 ’’ −
a
¿ b 4 ’’ −
¿ a 43 ’’ −
43’’’
a 43 ''
. a 32 ''
a 33 ''
a
44’’’
a 43''
. a34 ’’
a33 ''
=
1−
=
0
(−31 ) . (−3 )
45’’’
a 43 ''
.b 3 ’’
a33 ''
=
−9−
=
¿ a 45 ’’ −
a 43 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
(−31 ). ( 0)
−9
b
4’’
’
( −31 ) .( 6 )
=
6−
=
16−
=
8
=
56
3
( −31 ) .8
Pada E5 :
a
¿ a 54 ’’ −
a
¿ b 5 ’’ −
¿ a 53 ’’ −
53’’’
a 53 ''
. a 32 ''
a 33 ''
a
54’’’
b
5’’
a 53 ''
. a34 ’’
a 33 ''
=
2−
=
0
( −32 ). (−3)
=
( −32 ) .( 0 )
0−
=
¿ a 55 ’’ −
55’’’
0
a 53 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
’
a53 ''
. b 3 ’’
a 33 ''
=
11−
=
15
( −32 ) .( 6 )
=
16−
( −32 ) .8
=
64
3
Setelah mengeliminasi X3 pada E4 dan E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’’
-9X 4 + 8X5
0X 4 + 15X5
=
56
3
E4’’’
=
64
3
E5’’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X4 pada persamaan E5, dengan cara :
a
a
¿ b 5 ’’’ −
¿ a 54 ’’’ −
54’’’’
a 54 '''
. a 44 '''
a 44 '' '
( −90 ) .(−9 )
=
0−
=
0
¿ a 55 ’’’ −
55’’’’
a 54 '''
. a 45 '''
a 44 '' '
b
5’’
’ ’
a 54 '''
. b 4 ’’’
a 44 '' '
=
15−
=
15
( −90 ) .( 8 )
=
64
0
−
.40
3
−9
( )
=
64
3
Setelah mengeliminasi X4 pada E5 maka persamaan linear tersebut menjadi :
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
=4
E1
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
=0
E2’
- 3X3 + 0X4 + 6X5
=8
E3’’
-9X 4 + 8X5
15X 5
=
56
3
E4’’’
=
64
3
E5’’’’
Kemudian didapatkan :
X5
=
b5 ''''
a55 ''''
=
64
3
15
X5
=
64
45
-9X4 + 8X5
=
56
3
-9X4 + 8
( 6445 )
X4
( −328
405 )
+6
( 6445 )
X3
( 458 )
=
8
=
8
8
45
=
-1X2 - 2X3 - 5X4 + 4X5
-1X2 - 2
−328
405
=
- 3X3 + 0X4 + 6X5
- 3X3 + 0
56
3
=
-5
=
( −328
405 )
+4
X2
0
( 6445 )
=
( 3800
405 )
+4
X1
Contoh soal
( 458 )
+3
( −328
405 )
0
=
4
3800
405
2X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 - 4X5
2X1 + 3
=
-4
( 6445 )
=
: Matriks 6X6
3. Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan persamaan berikut
=
−3390
405
4
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
E1
5X1 + 3X2 + 6X3 + 2X4 + 1X5 + 4X6 = 8
E2
3X1 + 2X2 + 1X3 + 1X4 + 4X5 + 5X6 = 12
E3
0X1 + 2X2 + 1X3 + 4X4 + 3X5 + 5X6
= 16
E4
2X1 + 1X2 + 4X3 + 3X4 + 5X5 + 6X6 = 20
E5
1X1 + 4X2 + 3X3 + 5X4 + 6X5 + 2X6 = 24
E6
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama, adalah dengan mengeliminasi X 1 pada E2 sampai E6 dengan syarat
.
Rumus :
E2 ’
= E2 – m21 . E1
E3 ’
= E3 – m31 . E1
E4 ’
= E4 – m41 . E1
E5 ’
= E5 – m51 . E1
E6 ’
= E6 – m61 . E1
m21
=
a 21
a 11
m31
=
a31
a 11
m41
=
a 41
a 11
m51
=
a51
a 11
m61
=
a 61
a 11
a 11 ≠ 0
Pada E2 :
a 21 ’ ¿ a 21 −
a 21
. a 11=0
a11
a 22 ’ ¿ a 22 −
5
¿ 3− (8)
4
¿−7
a 21
. a 12
a11
a 23 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
a 24 ’
a 21
. a 14
a 11
5
¿ 6− (4 )
4
5
¿ 2− (4)
4
¿1
¿−3
a 25 ’ ¿ a 25 −
¿ a 26 −
a 21
.a 13
a 11
a 21
.a 15
a 11
a 26 ’
a 21
. a16
a 11
5
¿ 1− (0)
4
5
¿ 4− (8)
4
¿1
¿−6
b2 ’ ¿b2 −
a 21
.b1
a11
5
¿ 8− (4 )
4
¿3
Pada E3 :
a 31 ’ ¿ a 31 −
a 31
. a 11=0
a11
a 32 ’ ¿ a 32 −
3
¿ 2− (8)
4
¿−4
a 31
. a 12
a11
a 33 ’ ¿ a 23 −
¿ a 24 −
a 34 ’
a 31
. a 14
a 11
3
¿ 1− (4)
4
3
¿ 1− (4)
4
¿−2
¿−2
a 35 ’ ¿ a 25 −
¿ a 26 −
a 31
.a 13
a 11
a 31
.a 15
a 11
a 36 ’
a31
. a16
a 11
3
¿ 4− (0)
4
3
¿ 5− (8)
4
¿4
¿−1
b3 ’ ¿b3 −
a 31
.b 1
a 11
3
¿ 12− ( 4)
4
¿9
Pada E4 :
a 41 ’ ¿ a 41 −
a 41
. a 11=0
a 11
a 42 ’ ¿ a 42 −
0
¿ 2− (8)
4
¿2
a 41
. a 12
a 11
a 43 ’ ¿ a 43 −
¿ a 44 −
a 44 ’
a 41
. a14
a 11
0
¿ 1− (4)
4
0
¿ 4− (4)
4
¿1
¿4
a 45 ’ ¿ a 45 −
¿ a 46 −
a 41
. a 13
a 11
a 41
. a 15
a 11
a 46 ’
a 41
.a 16
a11
0
¿ 3− (0)
4
0
¿ 5− (8)
4
¿3
¿5
b4 ’ ¿b4 −
a 41
.b1
a 11
0
¿ 16− (4)
4
¿ 16
Pada E5 :
a 51 ’ ¿ a 51 −
a 51
. a 11=0
a 11
a 52 ’ ¿ a 52 −
2
¿ 1− (8)
4
¿−3
a 51
. a 12
a 11
a 53 ’ ¿ a 53 −
¿ a 54 −
a 54 ’
a 51
. a 14
a 11
2
¿ 4− ( 4)
4
2
¿ 3− (4)
4
¿2
¿1
a 55 ’ ¿ a 55 −
¿ a 56 −
a 51
. a 13
a 11
a 51
. a 15
a 11
a 56 ’
a51
.a 16
a 11
2
¿ 5− (0)
4
2
¿ 6− (8)
4
¿5
¿2
b5 ’ ¿b5 −
a 51
.b1
a 11
2
¿ 20− (4)
4
¿ 18
Pada E6 :
a 61 ’ ¿ a 61 −
a 61
. a 11=0
a11
a 62 ’ ¿ a 62 −
1
¿ 4− ( 8)
4
¿2
a 61
. a 12
a11
a 63 ’ ¿ a 63 −
¿ a 64 −
a 64 ’
a 61
. a 14
a 11
1
¿ 3− (4)
4
1
¿ 5− (4)
4
¿2
¿4
a 65 ’ ¿ a 65 −
¿ a 66 −
a61
. a13
a 11
a61
. a15
a 11
a 66 ’
a 61
. a 16
a 11
1
¿ 6− (0)
4
1
¿ 2− (8)
4
¿6
¿0
b6 ’ ¿b6 −
a 61
.b1
a 11
1
¿ 24− ( 4)
4
¿ 23
Setelah mengeliminasi X1 pada E2, E3, E4,E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
E1
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
=3
E2’
-4X2 - 2X3 - 2X4 + 4X5 - 1X6
=9
E3’
2X2 + 1X3 + 4X4 + 3X5 + 5X6
= 16
E4’
-3X2 + 2X3 + 1X4 + 5X5 + 2X6 = 18
2X2 + 2X3 + 4X4 + 6X5 + 0X6
E5’
= 23
E6’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X2 pada persamaan E3, E4,E5, dan E6 dengan cara :
Pada E3 :
a
¿ a 33 ’ −
a
¿ a 35 ’ −
a
¿b3’ −
¿ a 32’ −
32’’
a 32 '
. a 22'
a 22'
a
33’’
a
35’’
a 32 '
. a 23 ’
a 22'
. (−7 )
( −4
−7 )
=
−4−
=
0
=
.1
( −4
−7 )
−2−
=
¿ a 34 ’ −
34’’
−18
7
a 32'
.a 24 ’
a22'
a 32 '
. a 25 ’
a 22'
−2−
=
−2
7
36’’
a 32 '
.b2 ’
a 22'
. (−3 )
( −4
−7 )
=
=
4−
. (1)
( −4
−7 )
24
7
=
¿ a 36 ’ −
a32 '
. a 26 ’
a 22'
b
3’’
.−6
( −4
−7 )
=
−1−
=
17
7
=
.3
( −4
−7 )
9−
51
7
=
Pada E4 :
a
¿ a 43 ’ −
a
¿b4’ −
Pada E5 :
a 42 '
. a 22'
a 22'
a
43’’
a
45’’
a 42 '
. a 23 ’
a 22'
=
2−
=
0
(−72 ). (−7)
=
1−
(−72 ).1
=
¿ a 44 ’ −
44’’
¿ a 45 ’ −
a
¿ a 42 ’ −
42’’
9
7
a 42 '
. a 24 ’
a 22'
a 42 '
. a 25 ’
a 22'
=
4−
=
22
7
( −72 ). (−3)
=
3−
( −72 ) .1
23
7
=
¿ a 46 ’ −
46’’
a 42 '
. a 26 ’
a 22'
b
4’’
a 42'
.b2 ’
a 22'
=
5−
=
23
7
( −72 ).−6
=
16−
( −72 ) .3
=
118
7
a
¿ a 53 ’ −
a
¿ a 55 ’ −
a
¿b5’ −
¿ a 52’ −
52’’
a 52 '
. a 22'
a 22'
a
53’’
a
55’’
a 52 '
. a 23 ’
a 22'
. (−7 )
( −3
−7 )
=
−3−
=
0
2−
−3
(−7
).1
=
¿ a 54 ’ −
54’’
=
11
7
a 52'
. a 24 ’
a22'
a 52 '
. a 25 ’
a 22'
=
1−
=
16
7
. (−3 )
(−3
−7 )
5−
.1
( −3
−7 )
32
7
=
¿ a 56 ’ −
56’’
=
a 52 '
. a 26 ’
a 22'
b
5’’
a 52 '
.b2 ’
a 22'
=
2−
=
32
7
−3
(−7
).−6
=
18−
.3
( −3
−7 )
117
7
=
Pada E6 :
a
¿ a 63 ’ −
¿ a 6 2’ −
62’’
a 62 '
. a 22'
a 22'
a
a 62 '
. a 23 ’
a 22'
=
2−
(−72 ). (−7)
=
2−
(−72 ).1
53’’
=
a
¿ a 65 ’ −
a
¿b6’ −
0
=
¿ a 64 ’ −
64’’
9
7
a 62'
. a24 ’
a 22'
a
65’’
a 62 '
. a 25 ’
a 22'
=
4−
=
22
7
( −72 ). (−3)
=
( −72 ) .1
6−
44
7
=
¿ a 66 ’ −
66’’
a 62'
. a 26 ’
a 22'
b
6’’
a62 '
.b2 ’
a 22'
( −72 ) .−6
=
0−
=
−12
7
=
23−
( −72 ) .3
=
167
7
Setelah mengeliminasi X2 pada E3, E4, E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
E3’’
E1
=3
18
2
24
17
X3 X4 +
X5 +
X6
7
7
7
7
E2’
=
51
7
9
22
23
23
X3 +
X4 +
X5 +
X6
7
7
7
7
=
118
7
11
16
32
32
X3 +
X4 +
X5 +
X6
7
7
7
7
=
117
7
=
167
7
E4’’
E5’’
9
22
X3 +
7
7 X4 +
44
12
X5 7
7 X6
E6’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X3 pada persamaan E4, E5, dan E6 dengan cara :
Pada E4 :
a
¿ a 44 ’’ −
¿ a 43 ’’ −
43’’’
a 43 ''
. a 33 ' '
a 33 ''
( )(
=
¿ a 46 ’’ −
)
0
¿ a 45 ’’ −
45’’’
9
22
7
−2
−
.
=
7
−18
7
7
( )(
=
)
3
a 43 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
a
46’’’
a 43 ''
. a 36 ’’
a 33 ''
9
23
7
24
−
.
=
7
−18
7
7
( )( )
=
b
44’’’
a 43''
. a34 ’’
a33 ''
9
9
7
−18
−
.
=
7
−18
7
7
a
a
4’’
’
5
9
23
7
17
−
.
=
7
−18
7
7
( )( )
=
¿ b 4 ’’ −
a 43 ''
.b 3 ’’
a 32''
9
2
9
118
7
51
−
.
=
7
−18 7
7
( )
=
41
2
Pada E5 :
a
¿ a 54 ’’ −
¿ a 53 ’’ −
53’’’
a 53 ''
. a 33 ' '
a 33 ''
( )(
=
¿ a 56 ’’ −
)
0
¿ a 55 ’’ −
55’’’
11
16
7
−2
−
.
=
7
−18
7
7
( )(
=
)
19
9
a 53 ''
. a 35 ’’
a 33 ''
a
56’’’
a53 ''
. a 36 ’’
a33 ''
11
32
7
24
−
.
=
7
−18
7
7
( )( )
=
b
54’’’
a 53 ''
. a34 ’’
a 33 ''
11
11
7
−18
−
.
=
7
−18
7
7
a
a
5’’
20
3
a53 ''
. b 3 ’’
a 33 ''
11
117
7
51
−
.
=
7
−18 7
7
( )
=
127
6
( )( )
=
¿ b 5 ’’ −
’
11
32
7
17
−
.
=
7
−18
7
7
109
18
Pada E6 :
a
¿ a 64 ’’ −
¿ a 63 ’’ −
63’’’
a63 ''
.a 33 ' '
a33 ''
( )(
=
¿ a 66 ’’ −
b
64’’’
a 63 ''
. a 34 ’’
a 33 ''
9
9
7
−18
−
.
=
7
−18
7
7
a
a
)
0
( )(
=
¿ a 65 ’’ −
65’’’
9
22
7
−2
−
.
=
7
−18
7
7
)
3
a63 ''
.a 35 ’’
a33 ''
a
66’’’
a 63''
. a36 ’’
a 33''
6’’
=
9
44
7
24
−
.
7
−18
7
7
9
−12
7
17
−
.
=
7
−18
7
7
=
8
=
( )( )
¿ b 6 ’’ −
’
a 63''
.b 3 ’’
a 33''
9
167
7
51
−
.
=
7
−18 7
7
( )
=
55
2
( )( )
−1
2
Setelah mengeliminasi X3 pada E4, E5, dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
-
E1
=3
E2’
18
2
24
17
X3 X +
X5 +
X6
7
7 4
7
7
=
51
7
E3’’
3X4 + 5X5 +
9
2
X6
=
41
2
E4’’’
19
20
109
127
X4 +
X5 +
X6 =
9
3
18
6
3X4 + 8X5 -
1
2 X6
E5’’’
55
2
=
E6’’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X4 pada persamaan E5 dan E6, dengan cara :
Pada E5 :
a
¿ a 54 ’’’ −
54’’’’
¿ a 55 ’’’ −
a 54 '''
. a 44 '''
a 44 '' '
19
= 20
9
−
. ( 5)
3
3
85
=
27
( )
=
¿ b 5 ’’’ −
55’’’’
a 54 '''
. a 45 '''
a 44 '' '
19
= 19
9
−
. (3 )
9
3
a
a
( )
0
¿ a 56 ’’’ −
56’’’’
a 54 '''
. a 46 '''
a 44 '' '
b
’ ’
5’’
a 54 '''
. b 4 ’’’
a 44 '' '
19
9
9
= 109
−
.
18
3
2
( )( )
=
52
18
19
9 41
= 127
−
.
6
3
2
( )
=
182
27
Pada E6 :
a
¿ a 64 ’’’ −
64’’’’
¿ a 65 ’’’ −
3−
( 33 ) .( 3 )
=
¿ b 6 ’’’ −
a
55’’’’
a 64 '''
. a 45 '''
a 44 '' '
=
a
a 64 '''
.a 44 '''
a 44 '''
=
0
3
=
¿ a 66 ’’’ −
66’’’’
( 33 ) . (5 )
8−
a 64 '''
. a 46 '''
a 44 '' '
b
6’’
’ ’
a 64 '''
. b 4 ’’’
a 44 '' '
=
−1 3 9
−
.
2
3 2
=
55 3 41
−
.
2
3 2
=
−5
=
7
( )( )
()
Setelah mengeliminasi X4 pada E5 dan E6 maka persamaan linear tersebut menjadi :
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6 = 4
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
-
E1
=3
E2’
18
2
24
17
X3 X +
X5 +
X6
7
7 4
7
7
=
51
7
E3’’
3X4 + 5X5 +
9
2
X6
=
41
2
85
52
X5 +
X
27
18 6
3X5 -5X6
E4’’’
=
=
7
182
27
E5’’’’
E6’’’’
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi X5 pada persamaan E6, dengan cara :
Pada E6 :
a
¿ a 65 ’’’’ −
65’’’’’
¿ a 66 ’’’’ −
a 65 ''''
.a 55 ''''
a 55 ''''
3−
(
3
85
.
85
27
27
)( )
=
0
b
66’’’’’
a 65 ''''
. a 45 ''''
a 55 ''''
=
=
a
=
6’’
’ ’’
=
=
7−
¿ b 6 ’’’’ −
3
182
.
85
27
27
( )(
3
52
.
85 18
27
( )(
−5−
−659
85
a 65 ''''
.b 4 ’’’’
a 55 ''''
)
49
85
Kemudian didapatkan :
X6
X6
=
b 6 '''''
a 66 '''''
=
49
85
−659
85
=
−49
659
85
52
X5 +
X
27
18 6
=
182
27
85
52 −49
X +
27 5
18 659
=
182
27
( )
X5
=
78624
35586
)
3X4 + 5X5 +
3X4 + 5
9
2
X6
( 78624
35586 )
+
9
2
( −49
659 )
X4
=
41
2
=
41
2
116100
35586
=
18
2
24
17
X3 X +
X5 +
X6
7
7 4
7
7
-
=
51
7
18
2 116100
X3 7
7 35586
(
-
)
+
24 78624
7 35586
(
)
+
17 −49
7 659
( )
X3
-7X2 + 1
( −11394
35586 )
-3
( 116100
35586 )
+1
( 78624
35586 )
-6
X2
−11394
+4 (
( −53136
)
35586
35586 )
−49
+8 (
( 78624
)
35586
659 )
+0
=
3
( −49
659 )
=
=
+4
3
−53136
35586
=
4X1 + 8X2 + 4X3 + 4X4 + 0X5 + 8X6
4X1 + 8
−11394
35586
=
-7X2 + 1X3 - 3X4 + 1X5 - 6X6
51
7
=
4
( 116100
35586 )
=
4
X1
=
42444
35586