4.2. DERET PANGKAT - Matematika Teknik 2 – Bab 6 – Deret Pangkat, Taylor, & Fourier

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} 4. 2. DERET PANGKAT

  Deret pangkat dari (x-m) merupakan deret t ak hingga yang bent uk umumnya adalah :

  ∞ i

  2 C (z − m) = C C (z − m) C (z − m) ..... + + + i

  1

  2 ∑ i 0 =

  ( 4-1 ) C , C , . . . = konst ant a disebut koef isien deret

  1

  2

  m = konst ant a disebut t it ik pusat ( ) deret

  cent er

  z = Variabel i = Bilangan int eger posit ip Bila m = 0, t erbent uk deret pangkat khusus ( ) dari z

  part icul ar ∞ i

  2

  2 C z = C C z C z C z ....... + + + + i

  1

  2

  3 ∑ i 0 =

  ( 4-2 )

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} 4. 2. 1. Konvergensi Deret Teorema 1

  Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada t it ik z = a, maka deret it u akan konvergen unt uk set iap z bila :

  | z-a| < | z –a|

  o

  Ini menunuj ukkan bahwa set iap z berada di dalam lingkaran yang melewat i z di sekit ar a.

  o

  Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen unt uk z , berlaku :

  o n

  C (z – a) → 0 unt uk n → ∞

  n o

  Bila diimplemant asikan unt uk z =z , maka

  o

  deret j adi dibat asi, misal :

  n | C (z – a) | < M unt uk set iap n = 0, 1, 2. . . . . n o

  Sehingga dapat dibent uk

  n n ⎛ ⎞ z-a z-a n n

  C (z-a) = C (z -a) < M n n

  ⎜ ⎟ z -a z -a _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} ⎝ ⎠

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Karena it u :

  n n ∞ ∞ ∞ z - a z - a n

  C ( z - a ) = M = M n

  ∑ ∑ ∑ z - a z - a n = 0 n = 0 n = 0

  ( 4-3 ) Jika diasumsikan | z-a| < | z – a| , maka dapat

  o

  dibent uk pert idaksamaan ( inequal it y ) :

  z - a < 1 z - a

  Dengan pert idaksamaan di at as t erbukt i bahwa deret (pers. 4-1 ) akan konvergen j ika : | z-a| < | z –a|

  o

  Ruas kanan pers (4-3) adalah deret geomet ris yang konvergen.

  Ruas kiri pers. (4-3) j uga merupakan deret yang konvergen.

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Dari t eorema 1: Unt uk seluruh z di dalam lingkaran, dengan radius R dan pusat a, berlaku : Deret akan konvergen bila

  | z-a | < R ( 4-4 ) Deret akan divergen bila

  | z-a | > R | z-a | = R

  Disebut Lingkaran Konvergensi bila R disebut Radius Konvergensi y

  R a

  a-R a+R x

  x

A. B.

_{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} Gbr. 4. 1. Lingkaran dan int erval konvergensi

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} Teorema 2 (Radius Konvergensi)

  Bila t erdapat urut an ( )

  squence n c , n= 1, 2, . . . . . . . n

  Akan kovergence dengan limit L dan radius R pun akan konvergen pula, j ika :

  1 = R

  ( 4-5a )

  L ∞

  Termasuk di dalamnya L = 0 ket ika R = Bila sequence nya t idak konvergen t api nilainya t erbat as, berlaku rumus Cauchy - Hadamard

1 R =

  ( 4-5b )

  A adalah t it ik limit t erbesar dari sequence .

  A

  Bila t ak t erbat as, maka R = 0 dan

  sequence _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} deret hanya akan konvergen pada z = a.

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

Teorema 3 (Produk Cauchy dari Deret Pangkat )

  Produk Cauchy (Cauchy Product ) dari 2 buah deret pangkat merupakan konvergensi mut lak set iap z di dalam lingkaran konvergen dari masing-masing deret konvergen.

  Bila j umlah masing-masing deret t ersebut g(z) dan h(z), maka Produk Cauchy berj umlah : s(z) = g(z)h(z)

  ( 4-6 ) Cont oh Soal :

  1. Konvergensi pada sebuah pringan. Deret

  ∞

  geomet ri

  2

  3 z = + + 1 z z z ...........

• m

  ∑ m

  Konvergen mut lak ket ika | z| < 1 dan divergen ket ika | z| > 1.

  2. Konvergensi pada seluruh bidang t erbat as.

  Deret Pangkat

  n

  2

  3 ∞ z z z = + + 1 z ...........

• n! 2! 3! _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA}

  ∑

  n

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Persamaan t ersebut akan konvergen mut lak unt uk set iap bidang (t erbat as) z ,

• n 1

  z

  n 1 ! z

• ∞

  ( ) _n = → 0 ; n → ∞ ∑ _n z n+ 1 n !

  3. Konvergen hanya pada t it ik pusat

  ∞ n

  

2

  3 = + + + + n !.z

  1 z 2z 6z ...........

  ∑ n

  konvergen hanya pada t it ik z = 0, t et api divergen unt uk set iap z ≠ 0, karena : ^{n 1}

• ∞

  (n 1)! . z _n → ∞ + = (n 1) z ; n → ∞ ∑ _m n ! . z

  z ≠ 0 (f ixed)

  4. Produk Cauchy

  2

  3 Deret geomet ris 1 + z + z + z + . . . . .

  berj umlah 1/ (1-z) ket ika | z| < 1

  2 ∞ ∞ ⎛

  1 k m

  2

  2 ⎞ = = + + + + z z 1 z z .... 1 z z ....

  ( )( ) ⎜ ⎟

  ∑ ∑ 1 z − k 0 = m 0 =

  ⎝ ⎠ ∞

  2 < n 1 .z ; ( z 1)

• n

  = 1 + 2z + 3z + . . . =

  ( ) ∑ _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} n 0 =

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} 4. 2. 2 REPRESENTASI FUNGSI DENGAN DERET PANGKAT

  ∞ _n c z _n

  ∑ =

  Misalkan adalah deret pangkat t ak n t ent u dengan radius R ≠ 0, konvergen. Jumlah f ungsi ini merupakan f ungsi z ; f (z)

  ∞ n

  2

  3 f(z) = c .z = + + c c c z c z ...... ( z < R) + + n

  1

  2

  3 ∑ n 0 =

  ( 4-7 )

  Teorema 1 (Kontinyuitas)

  Fungsi f (z) dengan R > 0 akan kont inyu pada z = 0 ( 4-8 )

  lim f(z) = f(0) = c z →

  

Teorema 2 (Teorema identitas deret pangkat)

  Misalkan t erdapat 2 buah deret :

  ∞ ∞ n n a . z n

  ∑ b . z n

  dan

  ∑ n 0 → n →

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Bila kedua deret ident ik, maka : a = b ( 4-9 )

  n n unt uk seluruh n = 0, 1, 2. . . . . . . . . . .

  2

  2

  a + a z + a z + . . . = b + b z + b z + . . . ( 4-10 )

  1

  2

  1

  2 Unt uk | z| < R ∞ n 1 −

  2

  ( 4-11 ) n.c . z = c + 2 c z + 3 c z +......

  n

  1

  2

  3 ∑ n

  Disebut sebagai deret pengembangan dari deret pangkat t ersedia.

  Teorema 3 (Differensiasi)

  Deret pengembangan dari deret pangkat memiliki radius konvergensi yang sama dengan _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} deret asli (original) nya.

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} Teorema 4 (Integrasi)

  Misalkan sebuah deret pangkat

  ∞ c c c

• n 1

  2

  3 n

  1

  2

.z = c z z z

+ + +

  ∑

• n 1

  2

  3 n 0 =

  Deret pangkat t ersebut dibent uk oleh pengint e-

  2

  grasian deret c + c z + c z + . . . . t ahap demi

  1

  2

  t ahap, memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originaknya.

  Teorema 5 (Fungsi Analitis. Penurunan)

  Deret pangkat dengan radius konvergensi R ≠ merepresent asikan f ungsi analit is pada set iap t it ik di dalamnya hingga membent uk lingkaran konvergensi. Penurunan f ungsi ini akan diben- t uk oleh dif erensiasi deret original t ahap demi t ahap ; Seluruh deret yang dibent uk memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originalnya.

  n n b − a n 1 −

  ( 4-12a )

  − na = (b a)A − n _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} b a −

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  dan

  n - 2 n - 3 n - 4 n - 2 A = b + 2 ab + 3 a b +.....+ (n-1) a n

  2

  ( 4-12b )

  ∞

n - 2

∆ z c n n-1 R ( 4-13 ) n ( )

  ∑ n 2 = n-1 = koef isien t erbesar 1, 2, 3 . . . , n-1.

  n = j umlah t ahapan ( t erm ). Deret dalam pers. (4-13) berhubungan erat dengan penurunan kedua deret yang memper- hit ungkan t it ik pada R .

  Penurunan ke m f ungsi f (m)(z) direpresent asi- kan oleh :

  ∞ (m) n m −

  ( 4-14 )

  f (z) = n( n-1 ) .....( n - m + 1 ) c z n

  ∑ n m =

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} 4. 2. 3. SOLUSI PD DENGAN DERET PANGKAT

  Menyelesaikan PD dengan mencari harga-harga koef isien yang t ak diket ahui set elah f ungsi PD berubah bent uk menj adi deret pangkat .

  Langkah-langkah peneyelesaian PD :

  1. Represent asikan f ungsi persamaan dalam bent uk deret pangkat x at au (x-m).

  ∞

  2 3 m y c c x c x c x ...... c x

• =

  =

  1

  2 3 m ∑

  = m 0

  2. Dif erensialkan (t ingkat pert ama) f ungsi y di at as, sehingga berbent uk :

  ∞ 2 m 1 − y' c = + 2c x 3c x ...... = mc x + +

  1

  2 3 m ∑ m 0 =

  3. Dif erensilkan kembali (t ingkat kedua dst ) f ungsi y t ersebut .

  ∞ m 2 − y'' 2c = 6c x ...... = m(m 1)c x − + +

  2 3 m ∑ m 0 =

  4. Samakan dengan nol (Nolkan) semua koef i- sien yang t ak diket ahui set elah dalam bent uk _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} deret pangkat . Selesaikan PD.

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Cont oh Soal dan Penyelesaian

  1. Carilah solusi dari PD berikut ini : y’ – y = 0 Jawab : Penyelesaian dengan pendekat an deret pangkat .

  2

  2

  (c + 2c x + 3c x + . . . ) – (c + c x + c x +

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  c x +. . . . . ) = 0

  3

  2

  (c -c ) + (2c -c ) x + (3c -c ) x + . . . . . = 0

  1

  2

  1

  3

  2 Samakan koef isien-koef isien persamaan

  dengan nol c - c = 0 ; 2c - c = 0 ; 3c - c = 0

  1

  

2

  1

  3

  2

  c = c ; c = c / 2 = c / 2! ; c = c / 3 = c / 3!

  1

  2

  1

  3

  2 c z

  2

  3 = + + + +

y c c x x x ..........

  2! 3!

  1

  1

  2 3 z = + + = + + y c (1 x x x .......... x e _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA}

2! 3!

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  2. Carilah solusi dari PD berikut ini y” + y = 0 Jawab : Penyelesaian dengan pendekat an deret pangkat .

  

2

  2

  (2c + 3. 2c x + 4. 3c x + . . . ) + (c + c x + c x

  2

  3

  4

  1

  2

  3

• c x +. . . . . ) = 0

  3

  2

  (2c + c )+(3. 2c + c )x +(4. 3c + c )x + . . . = 0

  2

  3

  1

  4

  2

  2c + c = 0 ; 3. 2c + c = 0 ; 4. 3c + c = 0

  2

  3

  1

  4

  2

  c = -( c / 2! ) ; c = -(c / 3! )

  2

  3

  1

  c = -[ c / (4. 3)] = -(c / 4! )

  4

  2 c c c

  

2

  3

  4

  1 2! 3! 4!

  1 y = c c x − x − x x ....... + + +

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  1

  1

  1

  2

  

3

  4 y = c (1 − x x x − + ... ....) + + + 2! 3! 4!

  1

  1

  3

  5 c (x- x + x -...+......)

  1 3! 5!

  Solusi Umum : y = cos x + sin x

  3. Carilah solusi dari PD berikut ini (x+1)y’ – (x+2)y = 0

  Jawab : Penyelesaian dng pendekat an deret pangkat .

  

2

  (x+1)(c + 2c x + 3c x +…. . ) -(x+2)(c + c x +

  1

  2

  3

  1

  2

  c x + …. . ) = 0

  2

  2

  3

  4 5 m

  c x + 2c x + 3c x + 4c x + 5c x +. . + mc x

  1

  2

  3

  4 5 m

  2

  3

  4

  5

• c + 2c
• x + 3c x + 4c x + 5c x + 6c x

  1

  2

  3

  4

  5

  5 m

  2

  3

  4

  5

• – (m+1)c x + …. c x - c x - c x - c x - c x

  m+1

  1

  2

  3

  4 m

  2

  3

  4

  . . . - c x

• …2c -2c x - 2c x - 2c x -2c x

  m-1

  

1

  2

  3

  4 m

  . . . -2c x -… = 0 _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} m

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  c - 2c =0 ; 2c – c – c =0 ………dst

  1

  2

  1 m

  mc + (m+1)c – c x - 2c = 0 ( 4-15 )

  m+ m+1 m-1 m

  c = 2c ; ( 4-16a )

  1

  1

• c = c x c + − (2 m)c

  ( 4-16b )

  [ ] + +

  m 1

• m 1 m 1 m

  m = konst ant a int eger = 1, 2……………

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA Rumus (4-16b) disebut Rumus Rekursi.

  Dengan rumus ini dapat dihit ung c2, c3, …dst . , dapat pula menggunakan t abel di bawah ini :

  m C _m-1 (2-m)C _m

  Jumlah S+1 C _m+1 sebagai f ungsi C

• =
• ₁
• ₂

  2 C ₁ = 2 C

  1 C

  4 −

  4

  24 = ^{3 2} C C

  5 C C

  4

  3 =

  2 C C

  3 ³

  2 =

  2 C ₁ C ₁

  3 C C

  2

  1 C C ₁ C +C ₁

  C C

  S 1

  4 … …. ………… ………… …… ………… ………… ^{S 1} Jumlah C

  3 C ₂ -C ₃ C ₂ -C ₃

  3

  2

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Solusi umum, lihat persamaan umum soal no. 1 dan t abel rekursi

  3

  2

  5

  

2

  3

  4

y c (1 2x x x x ....)

+ =

  2

  3

  2

  at au

  x

  y= c ( 1 + x ) e SOAL-SOAL LATIHAN (DERET PANGKAT) Carilah solusi PD di bawah ini dengan pendekat an deret pangkat

  2

  1. y’ = 3y 6. ( 1-x ) y’ = y 2. y’ + 2y = 0 7. y” - y = 0 3. y’ – 2xy = 0 8. y” - y’ = 0 4. y’ – xy = 0 9. y” + 9y = 0 5. (1-x)y’ =y 10. y” + 2y’ = 0

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} 4. 3. DERET TAYLOR 4. 3. 1 Konsep Dasar

  y z* z

• C a x

  Bila f (z) berada di dalam domain D dan z = a pada set iap t it ik di dalam lingkat ran C, dan sebuah lingkaran denan pusat a, maka menurut Cauchy:

  

1 f (z*)

f (z) = d(z)

  (4. 3-1)

  ∫ 2 i z * z π − c

  Z = sembarang t it ik di dalam lingkaran C Z* = variabel kompleksint egrasi

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Jika pada pers. (4. 3-1) dikembangkan 1/ (z*-z) sebagai f ungsi z-a, maka didapat kan :

  1

  1

  1 = = z a − − − − − ⎛ ⎞ z * z z * a (z a) − − z * a

  1 ( )

  ⎜ ⎟ − z * a ⎝ ⎠

  (4. 3-2) Selanj ut nya diasumasikan z* pada lignkaran dan z di dalam lingkaran C.

  z a −

  Sehingga (4. 3-3)

  <

  1 z * a

−

  Dari persamaan deret geomet ris

• n 1

  1 q −

  ≠

  ; q

  1

  1 q q + + + ..... q = 1 q −

• 2 n

  Sehingga dapat dibuat hubungan

• n 1

  1 q n

  = + + + + 1 q ...... q _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} 1 q − 1 q −

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Jika didef inisikan q =(z-a)/ (z*-a), maka :

  1 = 1 − (z −

  a) /(z * a) − [ ]

  2 n z − a z − a z − a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

• ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ z * a − z * a − z * a − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  1 ..... + + +

• n 1

  − − (z a) /(z * a) [ ]

  − − z * z /(z * a) ( )

  Subst it usikan ke dalam pers. (4. 3-1) dan keluarkan (z-a) dari t anda int egral, sehingga :

  1 f (z*) z − a f (z*)

f (z) = dz * dz * ....

+ +

  2 ∫ ∫

  2 i π z * a − 2 i π z * a − C C ( ) n z − a

  ( ) f (z*) ∫

• dz * R (z)
• n n 1

  π 2 i − z * a

  C ( )

  (4. 3-4) Bagian akhir dari f unsi di at as adalah :

• n 1

  (z a) − f (z*)

  (4. 3-5)

  R (z) dz* =

• n n 1

  ∫

  2 i π z a − z* z − _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} C ( ) ( )

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Dengan penurunan dan analit is, maka f ungsi di at as berkembang menj adi :

  2 z a − z a

  

− ( )

+ + + f (z) = f (a) f '(a) f ''(a) ........ 1! 2! n z a −

  ( )

  f (a) n!

• (n)

  ( 4. 3-6) Persamaan (4. 3-6) adalah rumus Taylor at au Deret Taylor dengan pusat a.

  Bent uk umum Deret Taylor adalah sebagai berikut :

  (m) ∞ m f (a)

  ( 4. 3-7)

  f(z) = z a − ( )

  ∑ m! m 0 =

  Bila a = 0, maka deret (pers. 4. 3-7) disebut dengan Deret Maclaurin.

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  Dari persamaan-persamaan di at as diket ahui bahwa pada Deret Taylor f ungsi f (z) dapat di-t urunkan berdasarkan variabel bebasnya sampai pada t ingkat t ak hingga.

  Teorema Taylor

  1. Bila f (z) t erlet ak di dalam domain D dan z=a adalah sembarang t it ik di dalam domain D t ersebut , maka f (z) sebenarnya merupaka bent uk deret pangkat .

  2. Set iap deret pangkat dengan radius konvergen t idak nol (R = 0), maka

  c

  deret pangkat t ersebut adalah deret Taylor.

  4. 3. 2. Fungsi-fungsi Elementer Deret Taylor

  a. Deret Geomet ris

  ∞

  1 n

  2

  ; | z| <1 (4. 3-8) = z = + + + 1 z z .......

  ∑ 1 z −

  = n 0 AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

  MATEMATIKA LANJUT ^{D E R E T} AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

  2 z n=0 z z e 1 z ....... n! 2!

  ( 2n + 1 ) ! 3! 5! ∞

  5 n=0 z z z

sinh z = z + + + ......

  3

  ∑ 2n + 1

  ∞ =

= = − + − +

  1 ....... (2n)! 2! 4!

  4 n n z z z cos z (1)

  2

  ∑ 2n

  ∞ = = + + +

  ∑ n

  b. Fungsi Eksponensial (4. 3-9)

  ∞ =

  5 n n = 0 z z z

sin z (-1) = z - + - + ......

(2n+1)! 3! 5!

  3

  2n+1

  = ∑

  (2n)! 2! 4! ∞

  4 n = 0 z z z

cosh z = 1 + + + ......

  2

  2n

  c. Fungsi Trigonomet ri dan Hiperbolik (4. 3-10) (4. 3-11)

  = ∑

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  d. Fungsi Logarit mik

  2 3 n z z z + ln(1 z) z ....

• = − + − +

  2 3 n

  (4. 3-12)

  2 3 n 1 z z z ln(1 z) ln = z ...... − − =

• 1 z −

  2 3 n

  (4. 3-13)

  

3

5 n ⎛

  ⎞

• + (1 z) z z z

  + + + ln = + 2 z .....

  ⎜ ⎟ (1 z) −

  3 5 n ⎝ ⎠

  (4. 3-14) Unt uk seluruh persamaan di at as | z| < 1

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  Jawab : f (x) = sin x f ( π / 4) = ½ √ 2 f ’ (x) = cos x f ’ ( π / 4) = ½ √

  

2! 3!

  3 x x x e = 1 + x + + + .............

  1! 2!

  x f '(0) f ''(0)

e = f(0) + x + .....

  2

  √

  / 4) = -½

  π

  2 f ’ ’ (x) = -sin x f ’ ’ ( π / 4) = -½ √ 2 f ’ ’ ’ (x) = sin x f ’ ’ ’ (

  f ’ ’ (0) = 1 2. f (x) = sin x, uraikan dengan deret Taylor pada x = ( π / 4) !

  ^{D E R E T} AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

  x

  f ’ (0) = 1 f ’ ’ (x) = e

  x

  1 f ’ (x) = e

  f (0) =

  x

  , uraikan menurut deret Maclaurin pada t it ik x=0 Jawab : f (x) = e

  x

  Cont oh Soal dan Penyelesaian 1. f (x) = e

• 2

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

  sin x = f (x - π / 4)

  π π

f '( ) f "( )

π π π

  2

  4

  4 sin x = f( ) + (x- ) + (x- ) +.... 4 1! 4 2!

  4

  1

  1

  2

  2 1 π π

  2

  2

  2 sin x = 2 + (x - ) - (x - ) - 2 1! 4 2!

  4

  1

  1

  2 2 π

  π

  3 n

  2 2 (x - ) + ............+ (x - )

  3! 4 n!

  4 SOAL-SOAL LATIHAN ( DERET TAYLOR )

  Uraikan dengan deret Taylor at u Maclaurin

  x

  1. cos 2x , a = 1 7. e , a=1

  2 x

  2. sin x , a = 0 8. e , a=0 3. cos x , a = - π / 4 9. 1/ (a-x) , a=1

  π

  4. sin x , a = / 2 10. 1/ (a-x) , a = ½

  2

  5. cos x , a = 0 11. 1/ z , a = - 1

  2 x

  6. sin x , a = 0 12. e , a= π

  AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T} 4. 4. DERET FOURIER

  Bila t erdef inisikan suat u f ungsi (t ) yang periodik dengan harga real pada sumbu x dan periode T sert a kont inyu pada int erval :

  ( 0, T ) dan (-T/ 2, T/ 2) Maka f ungsi t ersebut dapat dit uliskan dengan :

  ∞ Ao ω + + f (t) = A cos n. t B sin n. ω t

  [ n o n o ] ∑

  2 n 1 =

  (4. 4-1) dengan :

  T

  2

  (4. 4-2)

  = A f (t) dt o

  ∫ T T

  2

  (4. 4-3)

  = ω A f (t) cos n. t dt n

  ∫ T T

  2 = ω B f (t) sin n. t dt (4. 4-4) n

  ∫ T _{AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA} n = 1, 2, 3, . . . . . . . . . . . .

MATEMATIKA LANJUT

  4

8 -8

• 4

  8

  ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦

  8 −

  2 = ( ) .8 (t) t = 2 4 - ( 0+4 ) = 0

  4

  4

  ∫ ∫ [ ]

  2 = 8 dt 8 dt T

  − ⎡ ⎤

  4

  4

  ⎬ ⎨ ⎭ ⎩

  ∫ ( -4 , 4 ) 8 ; 0 < t < 4 f (t) = ( 0 , 8 ) -8 ; -4 < t < 0 ⎫ ⎧

  2 A f (t) dt T =

  T

  Cont oh : Int erval : Periode T dit ent ukan ; T = 8

  ^{D E R E T} AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

• − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

MATEMATIKA LANJUT

  5 2 sin t sin t sin t ....

  = − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

  ∫ ∫ n 1

  16 f (t) (1 cos n. ) sin n t n.

  4

  16

  2

  3

  2

  4

  8 −

  3

  4

  5

  4 ∞ =

  π ⎡ ⎤ = − π ⎢ ⎥

  π ⎣ ⎦ π π π ⎡

  ⎤ = + + + ⎢

  ⎥ π ⎣ ⎦

  ∑

  ⎡ ⎤ π π

  ^{D E R E T} AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

  [ ] n o n o n 1

  8

  Ao f (t) A cos n. t B sin n. t

  2 ∞ =

  

= + ω + ω

∑

  [ ]

  4 n

  4

  2

  2

  2 B 8 sin n.t dt 8 sin n.t dt 8 8

  16 1 cos n n

  8

  − ⎡

  ⎤ π π = − ⎢

  ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − π

  π ∫ ∫

  4 n

  4

  2

  2

  2 A 8 cos n t dt 8 cos n t dt

  8

MATEMATIKA LANJUT

  = + ω + ω ∑

  ( 4. 4-7 )

  ∫

  2 A f (t) cos n. t dt T = ω

  ∫ T n n

  2 Bn f (t) sin n. t dt T = ω

  ∑ T n

  ∞ = = ω + ω

  [ ] n o n o n 1 d

f '(t) A cos n. t B sin n. t

dt

  ^{D E R E T} AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

  4. 4. 1. FUNGSI DENAP DAN FUNGSI GANJIL

  Ao

f (t) A cos n. t B sin n. t

  [ ] n o n o n 1

  Bila :

  A. Diferensial

  4. 4. 2. DIFERENSIAL DAN INTEGRAL

  ( 4. 4-6 )

  B. Fungsi Ganj il Fungsi ganj il f (t ) dalam Deret Fourier merupakan f ungsi sinus, lihat pers. 4. 4. -1

  Fungsi genap f (t ) dalam Deret Fourier merupakan f ungsi cosinus, lihat pers. 4. 4. -1 ( 4. 4-5 )

  A. Fungsi Genap

  2 ∞ =

MATEMATIKA LANJUT

  ^{D E R E T}

B. Integral

  t t

  2

  2 ∞ Ao t − t

  (

  2 1 ) f (t) = A cos n. ω + t B sin n. ω t dt n o n o

• 2

  

[

]

  ∑ ∫ ∫

  n 1 = t t

  1

  1

  (4. 4-8) SOAL-SOAL LATIHAN Uraikan dengan deret Fourier : 1. f (t ) = 1 (-1<t <1), f (t ) = 0 (1<t <3), T = 4

  π π π

  2. f (t ) = 1 (- / 8 <t < / 8), f (t ) = / 4 – 1

  π π π (- / 8 < t < 3 / 8) , T = / 2.

  3.

  0 - < t < 0 π ⎧ f(t) = ⎨ t 0 < x < π ⎩ t- 0 < t < 0 π

  4. ⎧

  f(t) = ⎨

• t < t < 2 π π ⎩

  5. f (t ) = | sin t | (- π < t < π )

• | t |

  6. f (t ) = e (- π < t < π )

  π π

  7. f (t ) = | sin t | (- < t < )

3 AGUS. R. UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

  8. f (t ) = t (- π < t < π )