C.2.3. Matematika Bangunan - Materi Pertemuan 10-11: Integral Lipat

INTEGRAL LIPAT DUA
x

Y

m

y
k
O

r

s

X

Luas daerah yang diarsir (merah)  a : y . x

Apabila y  0 ; x  0 maka luas bidang tersebut menjadi integral yang

ditulis sebagai berikut :

A

  dy . dx

x s y  m

x r y  k

Untuk menghitungnya dimulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.

A





x s

x r

ym

yk

dy . dx

ym


y
 y k dx

x s

x r

x s


m  k dx  m  k xx r
x r



x s

A m  k .s  r 38

KESIMPULAN

A 

Pernyataan

y2

y1

 f x, ydx dy

x2

x1

disebut Integral lipat dua / Double Integral

Langkah penyelesaian :
1) f (x,y) diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan) dengan
batas x=x1 dan x=x2.
2) Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y dengan batas y=y1 dan y=y2.

Contoh soal :
Hitunglah

Jawab :

I 

2

1

I 



1

2

1



2

2

 x  2 ydx dy
4

2

 x  2 ydx dy
4

2


1 2
x
xy
2

 dy
2
2

4

8  8 y  2  4 ydy



  6  4 y dy  6 y  2 y 2
1

2

1

= (12+8) – (6+2)
= 20-8 = 12

39



2

1

PENERAPAN
Y
y1 =

Tentukan luas daerah yang

4x
5

dibatasi oleh y=

y
x

O

dan ordinat pada x = 5.
5

X

PENYELESAIAN

Luas elemen yang diarsir = y . x
Jika y  0 dan x  0, maka :

A 



5 y1

dy dx

   y dx   y1 dx
0 0

5

0

Tetapi y1 

y1
0

4x
sumbu x,
5

5

0

4x
, maka :
5

 2 x2 
4x
A 
dx  
 10 satuan luas.
0 5
5

0
5

5

40

Contoh Penerapan 2
Tentukan momen kedua dari
empat persegi panjang 6m x
4m mengelilingi sumbu yang
melalui

salah

satu

titik

sudutnya

dan

tegak

lurus

kepada

bidang

panjang tersebut.

Jawab :

a = y . x

= a (op)2

Momen kedua p terhadap oz

= y . x (x2 + y2)

Jika x  0 dan y  0 maka :

A 

 x

6 4

0 0



2



 y2 dy dx

6
 2
y3 
64 
2
x
y
dx
4
x




 dx



0
3 0
3


4

6

0

 4 x3 64 x 
4


  288  128  416 cm
3 0
 3
6

41

persegi

BENTUK PENULISAN LAIN INTEGRAL LIPAT DUA

Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit
berbeda, sebagai berikut :

Hitunglah :



3

0





dx x  x2 dy
1

0

Kunci pengerjaannya :

Diselesaikan mulai integral yang paling

kanan, kemudian berurut-urutan kekiri.
Penyelesaian :





I   dx x  x2 dy
3

1



  dx xy  x y
0

0

3



2

  dx x  x2
0

3





  x  x 2 dx
0

3

0





1
0

1 2 1 3
= 2 x  3 x 
0

3

9
  9  4,5
2

42

INTEGRAL LIPAT TIGA

Urutan penyelesaiannya dari paling dalam

   f x, y, zdx . dy . dz
b

d

a

c

Contoh :

f

e

   f x  2 y  z dx. dy . dz
3 1

Hitunglah :
Jawab :

I 

1

1 0

  x  2 y  zdx. dy. dz

3 1

1

2

2

1 0

1

    x2  2 xy  xz  dy . dz
1 1 2

0
2

3 1





 2  2 y

3 1

1
3

1

2



 2 z 1 dz

2  2  2 z   2  2  2 zdz

  4  4 z  dz
1



3

1

1



 4 z  2 z2 1

3

= (12-18) – (4-2) = -8
43

Penentuan Volume dengan Integral Lipat

Elemen volume x . y . z
1. Penjumlahan elemen tersebut kearah kolom menghasilkan :

Vc 

  x.y .z
y y z 0


y



y2 z



z1



1

2. Jika sekarang jumlahkan kolom-kolom di antara y = y1 dan y
= y2, diperoleh volume irisan.

Vs 

y
y

 y z  0 x.y .z



y2 z



z1



1

3. Kemudian, penjumlahan terhadap semua irisan diantara x=x1
dan x=x2 memberikan volume total.

x  x2 y  y2 z  z2
V 

 x.y .z
x  x1 y  y1 z  0

Selanjutnya, seperti biasa, jika x  0, y  0, dan z  0,

V  x 2 y 2 0 1 dx. dy . dz
x

y

1

1

44

z

Contoh 1.
Sebuah benda dilingkupi oleh bidang z = 0, bidang x = 1, x = 4,
y = 2, y = 5 dan permukaan z = x + y. Tentukanlah volume benda
tersebut.

Jawab :
Pertama-tama seperti apakah bentuk bendanya?
Bidang z = 0 adalah bidang x-y dan bidang x = 1 mempunyai
posisi sebagai berikut :

Dengan cara yang sama, gambarkanlah bidang-bidang sisi
vertikalnya.
Sampai disini gambarnya nampak seperti ini :

45

Jika sekarang tandai ketinggian, yang dihitung pada masingmasing perpotongnnya (z = x + y), didapatkan

Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu
bagaimana menangani integralnya.
Untuk tahap perhitungannya, pindahkan kebingkai berikut.

46

 x . y . z

1) Volume elemen



z  ( x y)

 x . y

2) Volume kolom

0

z

5
z  x y
dy
 x  dy 
y  2
z  0


y

3) Volume irisan

 dx y  2 dy z 
x 1



4) Volume total benda

x



4

y





5

z






x y

0

dz

Kemudian, sebagaimana biasanya, jika x  0, y  0, z  0,

V   dx

hubungan ini menjadi :

4

1

V  1 dx2 dy0
4

x y

5

1

5

2

dy

0

x y

z

dz   dx dyx  y
4

5

1

  dx ( x  y)dy  
4

2

5

2


y2 
dx xy  
2 2

5

4

1

47

4
21 
25

 4 
  dx5 x   2 x  2    3x   dx
1
2
2

 1 





 3x2 21x  1 2
4

3
x

21
x



1
2 1 2
 2
4



1
48  84 3  21 1 132  24 = 54 satuan3
2
2

Contoh :
Hitunglah isi benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = a2, bidang
z = y dan z = 0.

Penyelesaian :
Pada gambar tersebut diberikan ¼ bagian dari benda batas-batasnya :
z1 = 0 ;
y1 = 0 ;

z2 = y

y2 = a 2  x2
48

x1 = 0 ;
Jadi,

x2 = a

I  4

I  4

a

0
a

0

0

0

a 2  x2
a 2  x2

dz . dy . dx

y . dy . dx

1 
I  4  y2 
0 2
0
a

0

y

a 2  x2

y  dx
I  2 a  x dx
I  2

a

a 2  x2

2

0

0

a

dx

2

2

0

1 
1 


I  2a 2 x  x3   2  a 3  a 3 
3 0
3 


a

4
I  a3
3

49

KESIMPULAN

Kunci untuk menyelesaikan integral lipat tiga/dua :
1. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

y1 x1
y

2

x

f x, y dx . dy

2

Pengerjaannya mulai dari dalam keluar.

2. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

y1
y

2

dy

x

2

x1

Pengerjaannya dari kanan ke kiri

50

f x, y dx