SYARAT KUHN TUCKER eni
1
SYARAT KUHN-TUCKER
BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM
2
Kasus 1
•Sebagai
syarat agar menjadi solusi optimal bagi
NLP dengan kendala pertidaksamaan :
Maks/min
s.t.
≤
.
.
.
≤
Kendala ≥ dirubah menjadi negatif dari ≤
3
Teorema 1
•Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, yang memenuhi :
- = 0 j = 1, …, n (1)
=0
i = 1, …, m (2)
≥0
i = 1, …, m (3)
adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:
- Jika rhs kendala ke – I : b b + maka z naik sebesar :
- Kendala – kendala: penggunaan sumber daya
4
TEOREMA 1’
•Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, yang memenuhi :
+ = 0 j = 1, …, n (1)
=0
i = 1, …, m (2)
≥0
i = 1, …, m (3)
adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:
- Jika rhs kendala ke – I : b b + maka z turun sebesar :
5
Kasus 2
•Adanya kendala nonnegative untuk seluruh peubah
Maks/ min
s.t.
≤
.
.
.
≤
--
6
Teorema 2
•Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :
- +=0
j = 1, …, n
=0
i = 1, …, m
=0
j = 1, …, n
≥0
i = 1, …, m
j = 1, …, n
7
Theorema 2’
•Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :
+ -=0
j = 1, …, n
=0
i = 1, …, m
=0
j = 1, …, n
≥0
i = 1, …, m
j = 1, …, n
8
Penjelasan Untuk kasus maksimisasi syarat (1)
•Pada saat kita gunakan unit resource i dan b i unit sumber
daya tersedia.
Jika kita tingkatkan sebesar (yang kecil), maka
nilai dari fungsi objective meningkat sebesar
Nilai kendala ke – i berubah menjadi
+ atau
Atau rhs meningkatkan sebesar
shg perubahan pada z adalah
total perubahan z karena peningkatan peningkatan xj
sebesar adalah
Jika term dalam kurung lebih dari 0, kita dapat
meningkatkan f dengan memilih > 0
9
• Sebaliknya, jika term tersebut kurang dari 0, kita dapat
meningkatkan f dengan memilih < 0.
• Sehingga agar optimal maka syarat (1) harus terpenuhi
10
Penjelasan syarat (2)
•Syarat 2 merupakan generalisasi dari kondisi
complementary of slackness untuk Pemrograman Linier.
Syarat (2) berimplikasi bahwa
Jika i > 0 maka ( kendala ke –i binding)
Jika maka = 0
11
Penjelasan syarat (3)
•Jika untuk > 0 kita tingkatkan rhs kendala ke I dari b i ke
bi + , maka nilai fungsi tujuan optimal akan meningkat
atau tetap sehingga ≥ 0
12
Pengertian
i = nilai resources yang digunakan untuk membuat
sebuah barang – harga jual barang tersebut
Sehingga jika i > 0, perusahaan rugi sehingga lebih baik
tidak produksi atau xi = 0
Sedangkan jika xi > 0 untuk solusi optimal maka i =0,
Setiap variabel xi sebagai basic variabel , marginal
revenue yang didapatkan dari produksi satu unit xi harus
sama dengan marginal cost resources yang digunakan
untuk memproduksi satu unit xi
13
Theorema 3.
•Misalkan kasus 1 adalah masalah maksimisasi.
Jika adalah fungsi konkaf dan ,…, adalah fungsi konveks,
maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada theorema
1 adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah
masalah maksimisasi, adalah fungsi konkaf dan ,…,
adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi
hipotesis pada theorema 2 adalah soludi optimal
14
Theorema 3’
•Misalkan kasus 1 adalah masalah minimisasi
Jika adalah fungsi konveks dan ,…, adalah fungsi
konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada
Theorema 1’ adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika
kasus 2 adalah masalah minimisasi, adalah fungsi konveks
dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang
memenuhi hipotesis pada Theorema 2’ adalah solusi
optimal
15
Contoh
•Selesaikan masalah optimisasi berikut
s.t
Gunakan syarat berikut
- =0
j = 1, …, n (1)
=0
i = 1, …, m (2)
≥0
i = 1, …, m (3)
Kemudian kombinasikan nilai i > atau = 0 dan carilah
solusi yang tidak melanggar semua syarat
16
Soal - soal
•Gunakan syarat KT untuk menemukan solusi optimal dari
permasalahan berikut:
s.t
s.t 2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 , x2 ≥ 0
SYARAT KUHN-TUCKER
BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM
2
Kasus 1
•Sebagai
syarat agar menjadi solusi optimal bagi
NLP dengan kendala pertidaksamaan :
Maks/min
s.t.
≤
.
.
.
≤
Kendala ≥ dirubah menjadi negatif dari ≤
3
Teorema 1
•Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, yang memenuhi :
- = 0 j = 1, …, n (1)
=0
i = 1, …, m (2)
≥0
i = 1, …, m (3)
adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:
- Jika rhs kendala ke – I : b b + maka z naik sebesar :
- Kendala – kendala: penggunaan sumber daya
4
TEOREMA 1’
•Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, yang memenuhi :
+ = 0 j = 1, …, n (1)
=0
i = 1, …, m (2)
≥0
i = 1, …, m (3)
adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:
- Jika rhs kendala ke – I : b b + maka z turun sebesar :
5
Kasus 2
•Adanya kendala nonnegative untuk seluruh peubah
Maks/ min
s.t.
≤
.
.
.
≤
--
6
Teorema 2
•Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :
- +=0
j = 1, …, n
=0
i = 1, …, m
=0
j = 1, …, n
≥0
i = 1, …, m
j = 1, …, n
7
Theorema 2’
•Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik
tersebut harus
1. Memenuhi kendala – kendala
2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :
+ -=0
j = 1, …, n
=0
i = 1, …, m
=0
j = 1, …, n
≥0
i = 1, …, m
j = 1, …, n
8
Penjelasan Untuk kasus maksimisasi syarat (1)
•Pada saat kita gunakan unit resource i dan b i unit sumber
daya tersedia.
Jika kita tingkatkan sebesar (yang kecil), maka
nilai dari fungsi objective meningkat sebesar
Nilai kendala ke – i berubah menjadi
+ atau
Atau rhs meningkatkan sebesar
shg perubahan pada z adalah
total perubahan z karena peningkatan peningkatan xj
sebesar adalah
Jika term dalam kurung lebih dari 0, kita dapat
meningkatkan f dengan memilih > 0
9
• Sebaliknya, jika term tersebut kurang dari 0, kita dapat
meningkatkan f dengan memilih < 0.
• Sehingga agar optimal maka syarat (1) harus terpenuhi
10
Penjelasan syarat (2)
•Syarat 2 merupakan generalisasi dari kondisi
complementary of slackness untuk Pemrograman Linier.
Syarat (2) berimplikasi bahwa
Jika i > 0 maka ( kendala ke –i binding)
Jika maka = 0
11
Penjelasan syarat (3)
•Jika untuk > 0 kita tingkatkan rhs kendala ke I dari b i ke
bi + , maka nilai fungsi tujuan optimal akan meningkat
atau tetap sehingga ≥ 0
12
Pengertian
i = nilai resources yang digunakan untuk membuat
sebuah barang – harga jual barang tersebut
Sehingga jika i > 0, perusahaan rugi sehingga lebih baik
tidak produksi atau xi = 0
Sedangkan jika xi > 0 untuk solusi optimal maka i =0,
Setiap variabel xi sebagai basic variabel , marginal
revenue yang didapatkan dari produksi satu unit xi harus
sama dengan marginal cost resources yang digunakan
untuk memproduksi satu unit xi
13
Theorema 3.
•Misalkan kasus 1 adalah masalah maksimisasi.
Jika adalah fungsi konkaf dan ,…, adalah fungsi konveks,
maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada theorema
1 adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah
masalah maksimisasi, adalah fungsi konkaf dan ,…,
adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi
hipotesis pada theorema 2 adalah soludi optimal
14
Theorema 3’
•Misalkan kasus 1 adalah masalah minimisasi
Jika adalah fungsi konveks dan ,…, adalah fungsi
konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada
Theorema 1’ adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika
kasus 2 adalah masalah minimisasi, adalah fungsi konveks
dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang
memenuhi hipotesis pada Theorema 2’ adalah solusi
optimal
15
Contoh
•Selesaikan masalah optimisasi berikut
s.t
Gunakan syarat berikut
- =0
j = 1, …, n (1)
=0
i = 1, …, m (2)
≥0
i = 1, …, m (3)
Kemudian kombinasikan nilai i > atau = 0 dan carilah
solusi yang tidak melanggar semua syarat
16
Soal - soal
•Gunakan syarat KT untuk menemukan solusi optimal dari
permasalahan berikut:
s.t
s.t 2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 , x2 ≥ 0