Optimalisasi Hasil Produksi dengan Metode Kuhn Tucker pada Pabrik Rori WN
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Pemrograman Non Linier
Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau
bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya lebih
dari satu. Salah satu bentuk umum masalah pemrograman non linier adalah untuk
(
menentukan
Maksimumkan/minimiumkan
) sehingga mencapai tujuan untuk:
:
Dengan kendala
dan
:
:
Dengan
dan
merupakan fungsi yang diketahui dengan
variabel keputusan.
Terdapat banyak jenis makalah pemrograman non linier dalam berbagai bentuk. Hal
ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya .Program Non linier juga
memiliki penyelesaian kompleks berdasarkan kendala-kendala untuk Pemrograman
persamaan Kuadratis atau cembung. Pemrograman nonlinier dapat mempunyai kendala
ataupun tidak mempunyai kendala(Hemmecke, 2009).
2.1.1. Pemrograman Non Linier Tak Berkendala
Pemrograman non linier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki
batasan-batasan, sehingga untuk
Maksimumkan/minimumkan
(
:
) mempunyai fungsi tujuan adalah:
Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian
optimal saat
pada
merupakan penyelesaian
merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah
untuk
Universitas Sumatera Utara
Sebuah pemrograman nonlinear satu variabel tanpa kendala berbentuk:
Optimisasi:
di mana
adalah sebuah fungsi (nonlinear) dari variabel tunggal , dan pencarian nilai
optimumnya (maksimum dan minimum) ditinjau dari selang tak terhingga
.
Untuk kasus multivariabel tanpa kendala berbentuk:
Optimisasi :
dimana
Sebagai maksimisasi, jika
diganti dengan –
maka semua hasilnya dapat
diterapkan pada pemrograman minimisasi. Dalam masalah pemrograman nonlinear, fungsi
nonlinear yang akan dioptimalkan disebut fungsi objektif. Setiap titik
yang
akan koordinatnya tidak negatif yang memenuhi sistem dari tanpa kendala disebut nilai akhir.
Jadi masalahnya adalah menentukan satu titik nilai akhir yang meminimumkan atau
memaksimumkan fungsi objektif (Taha, 2007).
Dimana
solusi untuk
dengan
merupakan fungsi konkaf,kondisi ini juga mencukupi ,sehingga mencari
tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem
persamaan yang diperoleh
turunan parsial sama dengan nol. (Stewart,1999).
2.1.2.Pemrograman Non Linier Berkendala
Pemrograman non linier berkendala merupakan masalah optimasi yang memiliki batasanmaka bentuk standard untuk program-program
batasan , sehingga untuk
tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan (equality) adalah
Maksimumkan/minimiumkan
:
Dengan kendala
:
Disini
(jumlah kendala lebih kecil daripada variabel), jika terjadi bahwa
,maka
biasanya tidak dapat diselesaiakan. Pada program minimasi dapat diubah ke dalam bentuk
program maksimasi dengan mengalikan fungsi objektif -1.
Universitas Sumatera Utara
Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini adalah
metode pengali Lagrange. Metode penggali lagrange dipilih karena prinsip kerjanya
sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi
Lagrangean yang didefinisikan sebagai:
∑
Dimana
adalah fungsi Lagrange yang disusun sebagai teknik optimasi pendukung metode
Kuhn Tucker dalam perhitungan program non linier yang memiliki kendala ketidaksamaan.
adalah suatu fungsi kerangka dalam penyusunan fungsi Lagrange. Dan
variabel-variabel keputusan yang merupakan tujuan optimasi,
optimasi kendala. Sementara
adalah
adalah suatu pengali dalam
adalah merupakan kendala-kendala yang muncul dalam
optimisasi.
Syarat perlu bagi sebuah fungsi
dengan kendala
agar mempunyai minimum relatif pada titik
adalah derivasi parsial pertama dari
(
fungsi Lagrange-nya yang didefinisikan sebagai
, dengan
) terhadap
setiap argumennya mempunyai nilai nol. (Stewart, 1999).
Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan terdapat permasalahan
optimasi dengan ssatu kendala sebagai berikut:
Maksimumkan/ Minimumkan :
Dengan kendala
:
Fungsi Lagrange-nya adalah
Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah
untuk
(
)
dan
Persamaan di atas menghasilkan
Universitas Sumatera Utara
untuk
atau
Maka:
untuk
∑
∑
∑
Karena ∑
∑
dan ∑
adalah
adalah
∑
Maka persamaan final dari ∑
adalah
atau
Dari persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa pada penyelesaian optimum,
perubahan fungsi tujuan
, berbanding lurus dengan perubahan kendala
dengan faktor
sebesar pengali lagrange .
Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala
ketidaksamaan adalah:
Maksimumkan/ Minimumkan
Dengan kendala
:
untuk
Universitas Sumatera Utara
Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidaksamaan
menjadi persamaan dengan menambah variabel slack . Masalah pemrograman ini ditandai
dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya dengan pemrograman linier. Semua
adalah linier,tetapi fungsi tujuan
fungsi kendala
berbentuk non linier. Masalah ini
dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi non linier yang
diperhitungkan, bersama dengan daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma
khusus yang didasari atas perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk
memperhitungkan fungsi tujuan yang nonlinier.
2.2
Hasil Produksi
2.2.1 Definisi Hasil Produksi
Secara umum, istilah “produksi” diartikan sebagai penggunaan atau pemanfaatan sumber
daya yang mengubah suatu komoditi menjadi komoditi lainnya yang sama sekali berbeda,
baik dalam pengertian apa, dan dimana atau kapan komoditi-komoditi itu dilokasikan,
maupun dalam pengertian apa yang dapat dikerjakan oleh konsumen terhadap komoditi itu.
Istilah produksi berlaku untuk barang maupun jasa, karena istilah “komoditi” memang
mengacu pada barang dan jasa. Keduanya sama-sama dihasilkan dengan mengerahkan modal
dan tenaga kerja. Produksi merupakan konsep arus (flow concept), maksudnya adalah
produksi merupakan kegiatan yang diukur sebagai tingkat-tingkat output per unit
periode/waktu. Sedangkan outputnya sendiri senantiasa diasumsikan konstan kualitasnya
(Warsana. 2007).
2.2.2 Fungsi Produksi
Perkembangan atau pertambahan produksi dalam kegiatan ekonomi tidak lepas dari peranan
faktor-faktor produksi atau input. Untuk menaikkan jumlah output yang diproduksi dalam
perekonomian dengan faktor-faktor produksi, para ahli teori pertumbuhan neoklasik
menggunakan
konsep
produksi.
Fungsi
produksi
adalah
hubungan
teknis
yang
menghubungkan antara faktor produksi (input) dan hasil produksi (output). Disebut faktor
produksi karena bersifat mutlak, supaya produksi dapat dijalankan untuk menghasilkan
produk (Warsana. 2007).
Universitas Sumatera Utara
2.2.3 Optimisasi Hasil Produksi
Optimasi merupakan pendekatan normatif dengan mengidentifikasi penyelesaian terbaik dari
suatu permasalahan yang diarahkan pada titik maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan .
Optimasi produksi diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumberdaya yang
digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang
diharapkan, sehingga perusahaan dapat mencapai tujuannya. Optimasi produksi adalah
penggunaan faktor-faktor produksi yang terbatas seefisien mungkin. Faktor-faktor produksi
tersebut adalah modal, mesin, peralatan, bahan baku, bahan pembantu dan tenaga kerja .
Berdasarkan langkah-langkah optimasi setelah masalah diidentifikasi dan tujuan ditetapkan
maka langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematik yang meliputi tiga
tahap , yaitu:
1. Menentukan variabel yang tidak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol
matematik,
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai hubungan linier (bukan perkalian) dari
variabel keputusan,
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang
mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah tersebut.
Setiap perusahaan akan berusaha mencapai keadaan optimal dengan memaksimalkan
keuntungan atau dengan meminimalkan biaya yang dikeluarkan dalam proses produksi.
Perusahaan mengharapkan hasil yang terbaik dengan keterbatasan sumberdaya yang dimiliki,
namun dalam mengatasi permasalahan dengan teknik optimasi jarang menghasilkan suatu
solusi yang terbaik. Hal tersebut dikarenakan berbagai kendala yang dihadapi berada diluar
jangkauan perusahaan. Optimasi dapat ditempuh dengan dua cara yaitu maksimisasi dan
minimisasi. Maksimisasi adalah optimasi produksi dengan menggunakan atau mengalokasian
input yang sudah tertentu untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal. Sedangkan
minimisasi adalah optimasi produksi untuk menghasilkan tingkat output tertentu dengan
menggunakan input atau biaya yang paling minimal. Persoalan optimasi dibagi menjadi dua
jenis yaitu tanpa kendala dan dengan kendala. Pada optimasi tanpa kendala, faktor-faktor
yang menjadi kendala atau keterbatasan-keterbatasan yang ada terhadap fungsi tujuan
diabaikan sehingga dalam menentukan nilai maksimum atau minimum tidak terdapat batasan-
Universitas Sumatera Utara
batasan terhadap berbagai pilihan alternatif yang tersedia. Sedangkan pada optimasi dengan
kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diperhatikan dalam
menentukan titik maksimum atau minimum fungsi tujuan . Optimasi dengan kendala pada
dasarnya merupakan persoalan dalam menentukan nilai variabel suatu fungsi menjadi
maksimum atau minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada.
Keterbatasan-keterbatasan itu meliputi input atau faktor-faktor produksi seperti modal, bahan
baku, tenaga kerja dan mesin. Optimasi produksi dengan kendala perlu memperhatikan
faktor-faktor yang menjadi kendala pada fungsi tujuan karena kendala menentukan nilai
maksimum dan minimum. Fungsi tujuan merupakan suatu pernyataan matematis yang
digunakan untuk mempresentasikan kriteria dalam mengevaluasi solusi suatu masalah.
Fungsi tujuan dalam teknik optimasi produksi merupakan unsur yang penting karena akan
menentukan kondisi optimal suatu keadaan . Fungsi tujuan dan kendala merupakan suatu
fungsi garis lurus atau linier. Salah satu metode untuk memecahkan masalah optimasi
produksi yang mencakup fungsi tujuan dan kendala adalah metode Linear Programming.
Metode ini adalah suatu teknik perencanaan analitis dengan menggunakan model matematika
yang bertujuan untuk menemukan beberapa kombinasi alternatif solusi.
2.3 Persyaratan Karush Kuhn Tucker
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimasi yang dapat digunakan
untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi berkendala. Metode Karush Kuhn Tucker ini
dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang optimum darisuatu fungsi tanpa memandang
sifat dari fungsi tersebut apakah linier atau non linier. Jadi metode Karush Kuhn Tucker ini
bersifat teknik yang umum dalam pencarian titik optimum dari setiap fungsi.Metode Krush
Kuhn Tucker dapat digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun
linier.
Jika menghadapi masalah optimasi dalam bentuk:
Maksimumkan/minimumkan : Z=f(X) dengan X={
Dengan kendala
: (X)
(1)
dengan i=1,2,3,...,m
(X)
X 0
m n(jumlah kendala lebih kecil dari variabel)
Universitas Sumatera Utara
Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negatif seperti
0,
0,...,
, sehingga himpunan kendalanya adalah m+n persyaratan ketidaksamaan
yang masing-masing dengan tanda lebih kecil daripada atau sama dengan. Kemudian
tambahkan variabel-variabel kurang
,
, ...,
berturut-turut pada ruas kiri dari
kendala-kendala tadi, yang demikian merubah tiap-tiap ketidaksamaan menjadi suatu
kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack variabels) yang ditambahkan di sini berbentuk
suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi
lagrange:
∑
Untuk
]– ∑
[
[
]
(2)
adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem
persamaan:
(i= 1, 2, ..., m+ n)
(3)
(j= 1, 2, ..., m+ n)
(4)
(j= 1, 2, ..., m+ n )
(5)
Persamaan-persamaan (3),(4),(5),di atas membentuk Persyaratan Kuhn-Tucker untuk
maksimasi/minimasi program linier dan non linier.
Syarat Kuhn-Tucker untuk persamaan:
Minimumkan
:
Dengan kendala
:
Z=f(X) dengan X={
(X)
(X)
i=1,2,3,..., m
dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut:
∑
i=1, 2, ..., n
(6)
j=1, 2, ..., m
j=1, 2, ..., m
j=1, 2, ..., m
(7)
Universitas Sumatera Utara
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan bukan meminimumkan, maka
kendalanya adalah
, maka
dan jika kendalanya adalah
, jika
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan
0, maka
.
Menurut (Luknanto dan Djoko,2000) ,penyelesaian optimasi secara analitis sudah
jarang dipakai di lapangan yang sangat kompleks. Namun, metode Lagrange dan Kuhn
Tucker dapat dipilih dalam teknik optimasi karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah
dimengerti. Dalam penggunaannya syarat perlu bagi sebuah fungsi
dengan
dengan kendala
agar mempunyai minimun relatif pada titik
adalah
derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
(Hillier
dan
Lieberman,
2001)
membuat
suatu
asumsi
bahwa
merupakan fungsi yang dapat diturunkan sehingga
menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya
jika terdapat sejumlah
bilangan
, sehingga semua syarat kondisi Kuhn
Tucker berikut terpenuhi :
(vii)
(viii) (
(ix)
∑
∑
)
pada
untuk
pada
untuk
untuk
(x)
untuk
(xi)
untuk
(xii)
untuk
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1
Pemrograman Non Linier
Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau
bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya lebih
dari satu. Salah satu bentuk umum masalah pemrograman non linier adalah untuk
(
menentukan
Maksimumkan/minimiumkan
) sehingga mencapai tujuan untuk:
:
Dengan kendala
dan
:
:
Dengan
dan
merupakan fungsi yang diketahui dengan
variabel keputusan.
Terdapat banyak jenis makalah pemrograman non linier dalam berbagai bentuk. Hal
ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya .Program Non linier juga
memiliki penyelesaian kompleks berdasarkan kendala-kendala untuk Pemrograman
persamaan Kuadratis atau cembung. Pemrograman nonlinier dapat mempunyai kendala
ataupun tidak mempunyai kendala(Hemmecke, 2009).
2.1.1. Pemrograman Non Linier Tak Berkendala
Pemrograman non linier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki
batasan-batasan, sehingga untuk
Maksimumkan/minimumkan
(
:
) mempunyai fungsi tujuan adalah:
Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian
optimal saat
pada
merupakan penyelesaian
merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah
untuk
Universitas Sumatera Utara
Sebuah pemrograman nonlinear satu variabel tanpa kendala berbentuk:
Optimisasi:
di mana
adalah sebuah fungsi (nonlinear) dari variabel tunggal , dan pencarian nilai
optimumnya (maksimum dan minimum) ditinjau dari selang tak terhingga
.
Untuk kasus multivariabel tanpa kendala berbentuk:
Optimisasi :
dimana
Sebagai maksimisasi, jika
diganti dengan –
maka semua hasilnya dapat
diterapkan pada pemrograman minimisasi. Dalam masalah pemrograman nonlinear, fungsi
nonlinear yang akan dioptimalkan disebut fungsi objektif. Setiap titik
yang
akan koordinatnya tidak negatif yang memenuhi sistem dari tanpa kendala disebut nilai akhir.
Jadi masalahnya adalah menentukan satu titik nilai akhir yang meminimumkan atau
memaksimumkan fungsi objektif (Taha, 2007).
Dimana
solusi untuk
dengan
merupakan fungsi konkaf,kondisi ini juga mencukupi ,sehingga mencari
tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem
persamaan yang diperoleh
turunan parsial sama dengan nol. (Stewart,1999).
2.1.2.Pemrograman Non Linier Berkendala
Pemrograman non linier berkendala merupakan masalah optimasi yang memiliki batasanmaka bentuk standard untuk program-program
batasan , sehingga untuk
tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan (equality) adalah
Maksimumkan/minimiumkan
:
Dengan kendala
:
Disini
(jumlah kendala lebih kecil daripada variabel), jika terjadi bahwa
,maka
biasanya tidak dapat diselesaiakan. Pada program minimasi dapat diubah ke dalam bentuk
program maksimasi dengan mengalikan fungsi objektif -1.
Universitas Sumatera Utara
Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini adalah
metode pengali Lagrange. Metode penggali lagrange dipilih karena prinsip kerjanya
sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi
Lagrangean yang didefinisikan sebagai:
∑
Dimana
adalah fungsi Lagrange yang disusun sebagai teknik optimasi pendukung metode
Kuhn Tucker dalam perhitungan program non linier yang memiliki kendala ketidaksamaan.
adalah suatu fungsi kerangka dalam penyusunan fungsi Lagrange. Dan
variabel-variabel keputusan yang merupakan tujuan optimasi,
optimasi kendala. Sementara
adalah
adalah suatu pengali dalam
adalah merupakan kendala-kendala yang muncul dalam
optimisasi.
Syarat perlu bagi sebuah fungsi
dengan kendala
agar mempunyai minimum relatif pada titik
adalah derivasi parsial pertama dari
(
fungsi Lagrange-nya yang didefinisikan sebagai
, dengan
) terhadap
setiap argumennya mempunyai nilai nol. (Stewart, 1999).
Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan terdapat permasalahan
optimasi dengan ssatu kendala sebagai berikut:
Maksimumkan/ Minimumkan :
Dengan kendala
:
Fungsi Lagrange-nya adalah
Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah
untuk
(
)
dan
Persamaan di atas menghasilkan
Universitas Sumatera Utara
untuk
atau
Maka:
untuk
∑
∑
∑
Karena ∑
∑
dan ∑
adalah
adalah
∑
Maka persamaan final dari ∑
adalah
atau
Dari persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa pada penyelesaian optimum,
perubahan fungsi tujuan
, berbanding lurus dengan perubahan kendala
dengan faktor
sebesar pengali lagrange .
Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala
ketidaksamaan adalah:
Maksimumkan/ Minimumkan
Dengan kendala
:
untuk
Universitas Sumatera Utara
Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidaksamaan
menjadi persamaan dengan menambah variabel slack . Masalah pemrograman ini ditandai
dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya dengan pemrograman linier. Semua
adalah linier,tetapi fungsi tujuan
fungsi kendala
berbentuk non linier. Masalah ini
dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi non linier yang
diperhitungkan, bersama dengan daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma
khusus yang didasari atas perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk
memperhitungkan fungsi tujuan yang nonlinier.
2.2
Hasil Produksi
2.2.1 Definisi Hasil Produksi
Secara umum, istilah “produksi” diartikan sebagai penggunaan atau pemanfaatan sumber
daya yang mengubah suatu komoditi menjadi komoditi lainnya yang sama sekali berbeda,
baik dalam pengertian apa, dan dimana atau kapan komoditi-komoditi itu dilokasikan,
maupun dalam pengertian apa yang dapat dikerjakan oleh konsumen terhadap komoditi itu.
Istilah produksi berlaku untuk barang maupun jasa, karena istilah “komoditi” memang
mengacu pada barang dan jasa. Keduanya sama-sama dihasilkan dengan mengerahkan modal
dan tenaga kerja. Produksi merupakan konsep arus (flow concept), maksudnya adalah
produksi merupakan kegiatan yang diukur sebagai tingkat-tingkat output per unit
periode/waktu. Sedangkan outputnya sendiri senantiasa diasumsikan konstan kualitasnya
(Warsana. 2007).
2.2.2 Fungsi Produksi
Perkembangan atau pertambahan produksi dalam kegiatan ekonomi tidak lepas dari peranan
faktor-faktor produksi atau input. Untuk menaikkan jumlah output yang diproduksi dalam
perekonomian dengan faktor-faktor produksi, para ahli teori pertumbuhan neoklasik
menggunakan
konsep
produksi.
Fungsi
produksi
adalah
hubungan
teknis
yang
menghubungkan antara faktor produksi (input) dan hasil produksi (output). Disebut faktor
produksi karena bersifat mutlak, supaya produksi dapat dijalankan untuk menghasilkan
produk (Warsana. 2007).
Universitas Sumatera Utara
2.2.3 Optimisasi Hasil Produksi
Optimasi merupakan pendekatan normatif dengan mengidentifikasi penyelesaian terbaik dari
suatu permasalahan yang diarahkan pada titik maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan .
Optimasi produksi diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumberdaya yang
digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang
diharapkan, sehingga perusahaan dapat mencapai tujuannya. Optimasi produksi adalah
penggunaan faktor-faktor produksi yang terbatas seefisien mungkin. Faktor-faktor produksi
tersebut adalah modal, mesin, peralatan, bahan baku, bahan pembantu dan tenaga kerja .
Berdasarkan langkah-langkah optimasi setelah masalah diidentifikasi dan tujuan ditetapkan
maka langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematik yang meliputi tiga
tahap , yaitu:
1. Menentukan variabel yang tidak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol
matematik,
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai hubungan linier (bukan perkalian) dari
variabel keputusan,
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang
mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah tersebut.
Setiap perusahaan akan berusaha mencapai keadaan optimal dengan memaksimalkan
keuntungan atau dengan meminimalkan biaya yang dikeluarkan dalam proses produksi.
Perusahaan mengharapkan hasil yang terbaik dengan keterbatasan sumberdaya yang dimiliki,
namun dalam mengatasi permasalahan dengan teknik optimasi jarang menghasilkan suatu
solusi yang terbaik. Hal tersebut dikarenakan berbagai kendala yang dihadapi berada diluar
jangkauan perusahaan. Optimasi dapat ditempuh dengan dua cara yaitu maksimisasi dan
minimisasi. Maksimisasi adalah optimasi produksi dengan menggunakan atau mengalokasian
input yang sudah tertentu untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal. Sedangkan
minimisasi adalah optimasi produksi untuk menghasilkan tingkat output tertentu dengan
menggunakan input atau biaya yang paling minimal. Persoalan optimasi dibagi menjadi dua
jenis yaitu tanpa kendala dan dengan kendala. Pada optimasi tanpa kendala, faktor-faktor
yang menjadi kendala atau keterbatasan-keterbatasan yang ada terhadap fungsi tujuan
diabaikan sehingga dalam menentukan nilai maksimum atau minimum tidak terdapat batasan-
Universitas Sumatera Utara
batasan terhadap berbagai pilihan alternatif yang tersedia. Sedangkan pada optimasi dengan
kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diperhatikan dalam
menentukan titik maksimum atau minimum fungsi tujuan . Optimasi dengan kendala pada
dasarnya merupakan persoalan dalam menentukan nilai variabel suatu fungsi menjadi
maksimum atau minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada.
Keterbatasan-keterbatasan itu meliputi input atau faktor-faktor produksi seperti modal, bahan
baku, tenaga kerja dan mesin. Optimasi produksi dengan kendala perlu memperhatikan
faktor-faktor yang menjadi kendala pada fungsi tujuan karena kendala menentukan nilai
maksimum dan minimum. Fungsi tujuan merupakan suatu pernyataan matematis yang
digunakan untuk mempresentasikan kriteria dalam mengevaluasi solusi suatu masalah.
Fungsi tujuan dalam teknik optimasi produksi merupakan unsur yang penting karena akan
menentukan kondisi optimal suatu keadaan . Fungsi tujuan dan kendala merupakan suatu
fungsi garis lurus atau linier. Salah satu metode untuk memecahkan masalah optimasi
produksi yang mencakup fungsi tujuan dan kendala adalah metode Linear Programming.
Metode ini adalah suatu teknik perencanaan analitis dengan menggunakan model matematika
yang bertujuan untuk menemukan beberapa kombinasi alternatif solusi.
2.3 Persyaratan Karush Kuhn Tucker
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimasi yang dapat digunakan
untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi berkendala. Metode Karush Kuhn Tucker ini
dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang optimum darisuatu fungsi tanpa memandang
sifat dari fungsi tersebut apakah linier atau non linier. Jadi metode Karush Kuhn Tucker ini
bersifat teknik yang umum dalam pencarian titik optimum dari setiap fungsi.Metode Krush
Kuhn Tucker dapat digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun
linier.
Jika menghadapi masalah optimasi dalam bentuk:
Maksimumkan/minimumkan : Z=f(X) dengan X={
Dengan kendala
: (X)
(1)
dengan i=1,2,3,...,m
(X)
X 0
m n(jumlah kendala lebih kecil dari variabel)
Universitas Sumatera Utara
Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negatif seperti
0,
0,...,
, sehingga himpunan kendalanya adalah m+n persyaratan ketidaksamaan
yang masing-masing dengan tanda lebih kecil daripada atau sama dengan. Kemudian
tambahkan variabel-variabel kurang
,
, ...,
berturut-turut pada ruas kiri dari
kendala-kendala tadi, yang demikian merubah tiap-tiap ketidaksamaan menjadi suatu
kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack variabels) yang ditambahkan di sini berbentuk
suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi
lagrange:
∑
Untuk
]– ∑
[
[
]
(2)
adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem
persamaan:
(i= 1, 2, ..., m+ n)
(3)
(j= 1, 2, ..., m+ n)
(4)
(j= 1, 2, ..., m+ n )
(5)
Persamaan-persamaan (3),(4),(5),di atas membentuk Persyaratan Kuhn-Tucker untuk
maksimasi/minimasi program linier dan non linier.
Syarat Kuhn-Tucker untuk persamaan:
Minimumkan
:
Dengan kendala
:
Z=f(X) dengan X={
(X)
(X)
i=1,2,3,..., m
dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut:
∑
i=1, 2, ..., n
(6)
j=1, 2, ..., m
j=1, 2, ..., m
j=1, 2, ..., m
(7)
Universitas Sumatera Utara
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan bukan meminimumkan, maka
kendalanya adalah
, maka
dan jika kendalanya adalah
, jika
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan
0, maka
.
Menurut (Luknanto dan Djoko,2000) ,penyelesaian optimasi secara analitis sudah
jarang dipakai di lapangan yang sangat kompleks. Namun, metode Lagrange dan Kuhn
Tucker dapat dipilih dalam teknik optimasi karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah
dimengerti. Dalam penggunaannya syarat perlu bagi sebuah fungsi
dengan
dengan kendala
agar mempunyai minimun relatif pada titik
adalah
derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
(Hillier
dan
Lieberman,
2001)
membuat
suatu
asumsi
bahwa
merupakan fungsi yang dapat diturunkan sehingga
menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya
jika terdapat sejumlah
bilangan
, sehingga semua syarat kondisi Kuhn
Tucker berikut terpenuhi :
(vii)
(viii) (
(ix)
∑
∑
)
pada
untuk
pada
untuk
untuk
(x)
untuk
(xi)
untuk
(xii)
untuk
Universitas Sumatera Utara