Optimalisasi Hasil Produksi dengan Metode Kuhn Tucker pada Pabrik Rori WN

DAFTAR PUSTAKA

Amalia.2009. Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis.Medan: Universitas Sumatera Utara.

Asih, Ni Made dan Widana, I Nyoman.2012 .Aplikasi Metode Kuhn Tucker dalam Penjualan Oli Mobil(Studi Kasus: PT Anugrah Mitra Dewata).Bali:Universitas Udayana.

Ferreira, M. A. M., Andrade, M., Matos, M. C. P., Filipe, J.A. dan Voelho, M. P. 2010. Kuhn Tuckers Theorem The Fundamental Result In Convex Programming Applied to Finance and Economic Sciences. International Journal of Latest Trends In Finance & Economic Sciences. 2 : 111 116.

Gupta, Prem Kumar dan Hira D.S.2007 Operations Research. New Delhi: S.Chand &Company Ltd.

Hemmeke, R, Kppe, M., Lee, J dan Weismatel, R. 2009. Nonlinear Integer Programming. Magdeburg. Germany.

Hiller, Frederick S dan Lieberman,Gerald J.2001.Introduction to Operation Research .USA:McGrow-Hill.

Luknanto, Djoko . 2000. Pengantar Optimasi Nonlinier. Yogyakarta: Universitas Gajah Mada.

Mulyono, Sri.2007.Riset Operasi.Jakarta: LP FE UI.

Stewart, J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed ke- 4. Mahanani, N. Erlangga. Jakarta.

Taha, H. A. 2007. Operation Research An Introduction. Ed ke 8. Fayetteville : University of Arkansas.

Warsana.2007. Analisis Efisiensi Dan Keuntungan Usaha Tani Jagung (Studi Di Kecamatan Randublatung Kabupaten Blora). [Tesis]. Semarang: Unniversitas Diponegoro, Program Pasca sarjana.

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data

3.1.1 Gambaran Umum Pengambilan Data

Data yang diperoleh merupakan data sekunder dari Pabrik Roti WN Pasar Baru Padang Bulan Medan. Dimana data tersebut adalah data proses produksi serta bahan baku tetap setiap produksi per hari nya.

3.1.2 Data Bahan Baku, Modal dan Proses Produksi

Data yang digunakan dalam penelitian ini meliputi data Bahan Baku, besarnya modal, harga jual dalam satuan rupiah. Data tersebut dapat dilihat seperti pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Data Bahan Baku (Kg), Modal dan Harga Jual (Rupiah) Roti WN Pasar Baru Padang Bulan Medan.

Bahan Baku Komposisi Untuk Satu roti(gram) Bahan yang tersedia per hari(kg) Roti

Coklat

Roti Keju Roti Kelapa

Donat

Tepung

Terigu 15 25 15 8 160

Pelembut 10 20 15 7 145

Pengembang 1 2 1.2 2 12

Mentega 17 35 20 10 210

Gula 2.5 5 3.5 1.6 40

Garam 1.5 3.3 2 1 19

Coklat 3 0 0 0 10

Keju 0 2.5 0 0 4

Kelapa 0 0 8 0 18

Minyak

Tabel 3.2 Data Modal dan lama waktu pembuatan Roti per detik WN Pasar Baru Padang Bulan Medan.

Roti Coklat Roti Keju Roti Kelapa Roti Donat Batasan Modal per

roti(rupiah) 200 350 200 100 4000000

Harga jual per

roti(rupiah) 500 700 550 500 800

Waktu pembuatan Per

Roti(detik) 38 38 38 6 432000

Berdasarkan tabel 3.2 batasan pada Modal, harga jual dan waktu dalam pembuatan masing-masing roti adalah merupakan prakiraan dari pihak pabrik roti WN. Dan selisih antara harga jual dengan modal pembuatan per roti akan menjadi fungsi tujuan yang akan dioptimalisasikan.

Tabel 3.3 Data Proses Pembuatan dan Lama Waktu per adonan Pembuatan Roti WN Pasar Baru Padang Bulan Medan.

Proses Waktu Yang diperlukan(Menit)

Roti Coklat Roti Keju Roti Kelapa Roti Donat Pembuatan

Resep 0 0 0 0

Pembuatan

Adonan 15 15 15 15

Penyetakan

Adonan 5 5 5 5

Pengembangan 180 180 180 -

Pembakaran 15 15 15

Peenggorengan - - - 5

Pengemasan 10 10 10 10

Jumlah

Mesin Pengembang 1

Mesin Adonan 2

Mesin Pembakar 2

Jumlah Karyawan 15

3.2 Pengolahan Data

3.2.1 Pembentukan Variabel Keputusan

Pengolahan data terlebih dahulu dimulai dengan identifikasi variabel keputusan. Berdasarkan jenis produk yang telah dilihat melalui data pada Pabrik Roti WN, maka dapat disimpulkan bahwa ada 4 jeniss produk yang diproduksi yaitu Roti Coklat, Roti Keju Roti Kelapa dan Roti Donat. Maka dengan demikian, akan diambil variabel keputusan sebagai berikut:

Roti Coklat = , Roti Keju = , Roti Kelapa = ,Roti Donat =

3.2.2 Pembentukan Fungsi Tujuan

Fungsi Tujuan adalah Fungsi yang harus dioptimalkan sebagai hasil akhir dari perkiraan produksi yang optimal. Fungsi Tujuan di sini dapat diperoleh dengan melihat tabel 3.2 mengenai modal dan harga jual tiap produk. Untuk mencapai fungsi tujuan maka jumlah harga jual setiap produk harus dikurangi dengan harga jualnya sehingga di dapat surplus per produk. Sehingga surplus inilah yang akan menjadi pengali bagi nilai jumlah produksi yang optimal.

Fungsi tujuan yang diperoleh setelah mencaari selisih harga jual dan modal adalah: . . 300 + 350 + 350 + 400

3.2.3 Pembentukan Fungsi Kendala

Fungsi kendala adalah representasi dari kendala-kendala yang muncul dalam hal pengoptimalan. Dalam suatu produksi kendala-kendala ini biasa disebut sebagai hambatan

atau suatu keterbatasan. Misalnya ketersediaan bahan baku dan tenaga kerja.Sederhananya fungsi kendala adalah fungsi yang memiliki batasan tertentu.Dalam hal ini fungsi yang merupakan bentuk dari keterbatasan dalam produksi di Pabrik Roti WN Pasar Baru Padang Bulan Medan adalah sebagai berikut:

200 +350 +200 +100 4.000.000 38 + 38 + 38 + 6 432.000 15 + 25 + 15 + 8 160.000 10 + 20 + 15 + 7 145.000 10 + 20 + 12 + 5 120.000 17 + 35 + 20 + 10 210.000 2.5 + 5 + 3.5 + 1.6 40.000 1.5 + 3.3 +2 + 1 19.000 3 10.000

2.5 40.000 8 18.000 2 10.000

3.2.4 Pembentukan Syarat Kuhn Tucker

Secara umum persyaratan Kuhn Tucker dapat didefinisikan seperti berikut: ∑

Dapat juga dijabarkan menjadi:

Sebelum diselesaikan dengan syarat Kuhn Tucker terlebih dahulu fungsi tujuan di konversi menjadi fungsi lagrange yang merupakan fungsi tujuan akhir.Fungsi Lagrange dibentuk melalui aturan sebagai berikut:

∑

Berdasarkan data di atas, maka dapat dibentuk suatu fungsi lagrange seperti di bawah ini:

Fungsi lagrange ini akan menjadi fungsi tujuan untuk mencapai nilai hasil produksi dan keuntungan yang optimal.

Syarat Kuhn Tucker

Syarat Kuhn Tucker yang ditulis di sini merupakan implementasi dari persamaan

Yang dapat dibuat menjadi serangkaian persamaan di bawah ini:

(1)

(2)

(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

– (13)

(14) (15) (16)

Untuk mendapatkan nilai maka perlu diperhatikan persamaan (1),(2),(3), dan(4).Dengan mensubstitusi masing-masing persamaan tersebut akan muncul persamaan-persamaan baru.

Substitusi persamaan(1) dan (2) menghasilkan:

(17)

Substitusi persamaan(1) dan (3) menghasilkan:

Substitusi persamaan(1) dan (4) menghasilkan:

(19)

Substitusi persamaan(2) dan (3) menghasilkan:

(20)

Substitusi persamaan(2) dan (4) menghasilkan:

(21)

Substitusi persamaan(3) dan (4) menghasilkan:

(22)

Substitusi persamaan(21) dan (22) menghasilkan:

(23)

Substitusi persamaan(22) dan (23) menghasilkan:

(24)

Berdasarkan persamaan (1)-(4) dan (17)-(24) maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan linier untuk mengidentifikasi nilai . Persamaan tersebut ditulis kembali dengan tampilan sebagai berikut:

Kemudian persamaan di atas ditulis menjadi persamaan matriks ordo 12. Matriks yang di buat berordo 12 karena kendala yang terdapat yaitu sebanyak 12 kendala. Jika di proses secara manual akan membutuhkan waktu yang lama dan pengerjaan yang rumit. Dengan demikian dapat digunakan software matlab 6.1. Sehingga proses perhitungan input masing masing kendala pada matlab untuk mengidentifikasi nilai dapat dilakukan dengan lebih mudah. Pertama disusun suatu matriks A sebagai jumlah masing-masing variabel dari tiap-tiap kendala. Dapat dilihat pada gambar 3.1.

Gambar 3.1 Input Jumlah Masing-masing Variabel

Selanjutnya dibuat Suatu matriks yang merupakan jumlahan dari tiap-tiap kendala. Matriks tersebut adalah matriks 1 x 12 yang merupakan hasil dari jumlah keseluruhan perkalian antara A dengan . Matriks tersebut adalah matriks B dan dapat dilihat pada gambar 3.2.

Gambar 3.2 Input hasil dari jumlah keseluruhan perkalian antara A dengan

Berdasarkan aturan perkalian matriks, untuk mencari nilai maka perlu dicari invers dari matriks A karena untuk mendapatkan matriks memiliki rumusan . Matriks

_{adalah merupakan invers dari matriks A yang dapat dicari dengan Matlab dan}

ditampilkan pada gambar 3.3.

Dengan demikian dapat diperoleh nilai dari melalui rumusan dan dapat dihitung melalui software matlab. Hasil dari perhitungan tersebut dapat dilihat pada gambar 3.4.

Gambar 3.4 Hasil dari Menggunakan Matlab Dengan demikian, melalui software Matlab diperoleh bahwa hasil:

Berdasarkan syarat Kuhn Tucker bahwa ,maka yang memenuhi adalah , , , ,

. Maka dengan demikian untuk mencapai nilai optimal

yang dipakai adalah dan tidak dipakai.

Untuk nilai dari yang optimal dapat dicari melalui persamaan-persamaan (13)-(16) yaitu:

– (13)

(14)

(15)

(16)

Melalui persamaan-persamaan(13)-(16) maka dapat diperoleh bahwa nilai dari antara lain adalah , , , . Sedangkan untuk keuntungan dapat dicari melalui fungsi Lagrange yang merupakan fungsi tujuan untuk mencapai nilai hasil produksi dan keuntungan yang optimal yaitu:

3.072.190

Jadi, jumlah produksi yang optimal setiap hari adalah Roti Coklat = 3.333 buah, Roti Keju = 1.600 buah, Roti Kelapa = 2.250 buah dan Roti Donat = 5000 buah dengan keuntungan yang maksimum adalah Rp 3.072.190

Tabel 3.5 Tabel Jumlah produksi roti optimal

Jenis –Jenis Roti yang diproduksi Jumlah produksi yang optimal

Roti Coklat 3.333

Roti Keju 1.600

Roti Kelapa 2.250

Roti Donat 5.000

Berdasarkan hasil tersebut maka dapat dibuat sebuah gambaran hasil produksi yang optimal melalui tabel 3.5. Di mana jumlah yang paling sedikit diproduksi yaitu roti keju dan yang paling banyak diproduksi yaitu roti donat. Dan berdasarkan syarat Kuhn-Tucker keuntungan maksimum yang dapat dicapai yaitu sekitar Rp 3.072.190 dengan kisaran produksi roti sebanyak 12.183 sesuai dengan tabel tersebut.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan mengenai Aplikasi Metode Kuhn Tucker dapat diambil kesimpulan:

1. Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan metode Kuhn Tucker, maka didapat hasil produksi yang optimal pada Pabrik Roti WN yaitu: Roti Coklat = 3.333 buah, Roti Keju = 1.600 buah, Roti Kelapa = 2.250 buah dan Roti Donat = 5000 buah dengan keuntungan yang maksimum adalah Rp 3.072.190

2. Metode Kuhn Tucker dapat digunakan untuk menentukan solusi optimum khususnya untuk bidang industri dalam memperoleh hasil produksi serta keuntungan penjualan yang optimal tanpa memandang fungsi bersifat Linier maupun Nonlinier .

3. Dengan menggunakan software Matlab penyelesaian masalah optimasi dengan Metode Kuhn Tucker akan sangat mudah terutama dalam menentukan nilai variabel dan identifikasi nilai .

4.2 Saran

Pada tugas akhir ini, dalam mengoptimalkan hasil produksi Roti dengan metode Kuhn Tucker, variabel keputusan yang digunakan adalah jenis Roti yang diproduksi. Serta kendala yang digunakan adalah berupa modal produksi, bahan baku pembuatan Roti, ketersidaan waktu dan tenaga kerja. Dalam hal ini jumlah kendala yang digunakan untuk pengoptimalan hasil produksi Roti lumayan banyak. Sementara variabel keputusan atau jenis produksi yang ada tidak seimbang dengan jumlah kendala. Untuk selanjutnya disarankan agar Metode Kuhn Tucker digunakan dalam pengoptimalan yang memiliki jumlah variabel yang lebih banyak lagi. Selain itu perlu juga untuk menambahkan variabel - variabel lain yang berkaitan dan mempengaruhi hasil produksi dan pengoptimalan keuntungan.

BAB 2

LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non Linier

Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya lebih dari satu. Salah satu bentuk umum masalah pemrograman non linier adalah untuk menentukan ( ) sehingga mencapai tujuan untuk:

Maksimumkan/minimiumkan :

Dengan kendala : dan :

Dengan dan merupakan fungsi yang diketahui dengan variabel keputusan. Terdapat banyak jenis makalah pemrograman non linier dalam berbagai bentuk. Hal ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya .Program Non linier juga memiliki penyelesaian kompleks berdasarkan kendala-kendala untuk Pemrograman persamaan Kuadratis atau cembung. Pemrograman nonlinier dapat mempunyai kendala ataupun tidak mempunyai kendala(Hemmecke, 2009).

2.1.1. Pemrograman Non Linier Tak Berkendala

Pemrograman non linier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan-batasan, sehingga untuk ( ) mempunyai fungsi tujuan adalah: Maksimumkan/minimumkan :

Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian merupakan penyelesaian optimal saat merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah

Sebuah pemrograman nonlinear satu variabel tanpa kendala berbentuk: Optimisasi:

di mana adalah sebuah fungsi (nonlinear) dari variabel tunggal , dan pencarian nilai optimumnya (maksimum dan minimum) ditinjau dari selang tak terhingga .

Untuk kasus multivariabel tanpa kendala berbentuk: Optimisasi : dimana

Sebagai maksimisasi, jika diganti dengan – maka semua hasilnya dapat diterapkan pada pemrograman minimisasi. Dalam masalah pemrograman nonlinear, fungsi nonlinear yang akan dioptimalkan disebut fungsi objektif. Setiap titik yang akan koordinatnya tidak negatif yang memenuhi sistem dari tanpa kendala disebut nilai akhir. Jadi masalahnya adalah menentukan satu titik nilai akhir yang meminimumkan atau memaksimumkan fungsi objektif (Taha, 2007).

Dimana merupakan fungsi konkaf,kondisi ini juga mencukupi ,sehingga mencari solusi untuk tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem persamaan yang diperoleh dengan turunan parsial sama dengan nol. (Stewart,1999).

2.1.2.Pemrograman Non Linier Berkendala

Pemrograman non linier berkendala merupakan masalah optimasi yang memiliki batasan-batasan , sehingga untuk maka bentuk standard untuk program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan (equality) adalah

Maksimumkan/minimiumkan :

Dengan kendala :

Disini (jumlah kendala lebih kecil daripada variabel), jika terjadi bahwa ,maka biasanya tidak dapat diselesaiakan. Pada program minimasi dapat diubah ke dalam bentuk program maksimasi dengan mengalikan fungsi objektif -1.

Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini adalah metode pengali Lagrange. Metode penggali lagrange dipilih karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrangean yang didefinisikan sebagai:

∑

Dimana adalah fungsi Lagrange yang disusun sebagai teknik optimasi pendukung metode Kuhn Tucker dalam perhitungan program non linier yang memiliki kendala ketidaksamaan. adalah suatu fungsi kerangka dalam penyusunan fungsi Lagrange. Dan adalah variabel-variabel keputusan yang merupakan tujuan optimasi, adalah suatu pengali dalam optimasi kendala. Sementara adalah merupakan kendala-kendala yang muncul dalam optimisasi.

Syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala , dengan agar mempunyai minimum relatif pada titik adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrange-nya yang didefinisikan sebagai ( ) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol. (Stewart, 1999).

Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan terdapat permasalahan optimasi dengan ssatu kendala sebagai berikut:

Maksimumkan/ Minimumkan : Dengan kendala : Fungsi Lagrange-nya adalah

( ) Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah

untuk dan

untuk atau Maka: untuk ∑ ∑ ∑ ∑

Karena ∑

adalah dan ∑ adalah

Maka persamaan final dari ∑

∑ adalah atau

Dari persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan , berbanding lurus dengan perubahan kendala dengan faktor sebesar pengali lagrange .

Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala ketidaksamaan adalah:

Maksimumkan/ Minimumkan :

Dengan kendala untuk

Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambah variabel slack . Masalah pemrograman ini ditandai dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya dengan pemrograman linier. Semua fungsi kendala adalah linier,tetapi fungsi tujuan berbentuk non linier. Masalah ini dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi non linier yang diperhitungkan, bersama dengan daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma khusus yang didasari atas perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk memperhitungkan fungsi tujuan yang nonlinier.

2.2 Hasil Produksi

2.2.1Definisi Hasil Produksi

Secara umum, istilah “produksi” diartikan sebagai penggunaan atau pemanfaatan sumber

daya yang mengubah suatu komoditi menjadi komoditi lainnya yang sama sekali berbeda, baik dalam pengertian apa, dan dimana atau kapan komoditi-komoditi itu dilokasikan, maupun dalam pengertian apa yang dapat dikerjakan oleh konsumen terhadap komoditi itu. Istilah produksi berlaku untuk barang maupun jasa, karena istilah “komoditi” memang mengacu pada barang dan jasa. Keduanya sama-sama dihasilkan dengan mengerahkan modal dan tenaga kerja. Produksi merupakan konsep arus (flow concept), maksudnya adalah produksi merupakan kegiatan yang diukur sebagai tingkat-tingkat output per unit periode/waktu. Sedangkan outputnya sendiri senantiasa diasumsikan konstan kualitasnya (Warsana. 2007).

2.2.2Fungsi Produksi

Perkembangan atau pertambahan produksi dalam kegiatan ekonomi tidak lepas dari peranan faktor-faktor produksi atau input. Untuk menaikkan jumlah output yang diproduksi dalam perekonomian dengan faktor-faktor produksi, para ahli teori pertumbuhan neoklasik menggunakan konsep produksi. Fungsi produksi adalah hubungan teknis yang menghubungkan antara faktor produksi (input) dan hasil produksi (output). Disebut faktor produksi karena bersifat mutlak, supaya produksi dapat dijalankan untuk menghasilkan produk (Warsana. 2007).

2.2.3Optimisasi Hasil Produksi

Optimasi merupakan pendekatan normatif dengan mengidentifikasi penyelesaian terbaik dari suatu permasalahan yang diarahkan pada titik maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan . Optimasi produksi diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumberdaya yang digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga perusahaan dapat mencapai tujuannya. Optimasi produksi adalah penggunaan faktor-faktor produksi yang terbatas seefisien mungkin. Faktor-faktor produksi tersebut adalah modal, mesin, peralatan, bahan baku, bahan pembantu dan tenaga kerja . Berdasarkan langkah-langkah optimasi setelah masalah diidentifikasi dan tujuan ditetapkan maka langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematik yang meliputi tiga tahap , yaitu:

1. Menentukan variabel yang tidak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol matematik,

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan,

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah tersebut.

Setiap perusahaan akan berusaha mencapai keadaan optimal dengan memaksimalkan keuntungan atau dengan meminimalkan biaya yang dikeluarkan dalam proses produksi. Perusahaan mengharapkan hasil yang terbaik dengan keterbatasan sumberdaya yang dimiliki, namun dalam mengatasi permasalahan dengan teknik optimasi jarang menghasilkan suatu solusi yang terbaik. Hal tersebut dikarenakan berbagai kendala yang dihadapi berada diluar jangkauan perusahaan. Optimasi dapat ditempuh dengan dua cara yaitu maksimisasi dan minimisasi. Maksimisasi adalah optimasi produksi dengan menggunakan atau mengalokasian input yang sudah tertentu untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal. Sedangkan minimisasi adalah optimasi produksi untuk menghasilkan tingkat output tertentu dengan menggunakan input atau biaya yang paling minimal. Persoalan optimasi dibagi menjadi dua jenis yaitu tanpa kendala dan dengan kendala. Pada optimasi tanpa kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala atau keterbatasan-keterbatasan yang ada terhadap fungsi tujuan diabaikan sehingga dalam menentukan nilai maksimum atau minimum tidak terdapat

batasan-batasan terhadap berbagai pilihan alternatif yang tersedia. Sedangkan pada optimasi dengan kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diperhatikan dalam menentukan titik maksimum atau minimum fungsi tujuan . Optimasi dengan kendala pada dasarnya merupakan persoalan dalam menentukan nilai variabel suatu fungsi menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasan-keterbatasan itu meliputi input atau faktor-faktor produksi seperti modal, bahan baku, tenaga kerja dan mesin. Optimasi produksi dengan kendala perlu memperhatikan faktor-faktor yang menjadi kendala pada fungsi tujuan karena kendala menentukan nilai maksimum dan minimum. Fungsi tujuan merupakan suatu pernyataan matematis yang digunakan untuk mempresentasikan kriteria dalam mengevaluasi solusi suatu masalah. Fungsi tujuan dalam teknik optimasi produksi merupakan unsur yang penting karena akan menentukan kondisi optimal suatu keadaan . Fungsi tujuan dan kendala merupakan suatu fungsi garis lurus atau linier. Salah satu metode untuk memecahkan masalah optimasi produksi yang mencakup fungsi tujuan dan kendala adalah metode Linear Programming. Metode ini adalah suatu teknik perencanaan analitis dengan menggunakan model matematika yang bertujuan untuk menemukan beberapa kombinasi alternatif solusi.

2.3 Persyaratan Karush Kuhn Tucker

Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimasi yang dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi berkendala. Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang optimum darisuatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier atau non linier. Jadi metode Karush Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam pencarian titik optimum dari setiap fungsi.Metode Krush Kuhn Tucker dapat digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun linier.

Jika menghadapi masalah optimasi dalam bentuk:

Maksimumkan/minimumkan : Z=f(X) dengan X={ (1) Dengan kendala : (X) dengan i=1,2,3,...,m

(X) X 0

Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negatif seperti 0, 0,..., , sehingga himpunan kendalanya adalah m+n persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil daripada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang , , ..., berturut-turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang demikian merubah tiap-tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack variabels) yang ditambahkan di sini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi lagrange:

∑ [ ]– ∑ [ ] (2)

Untuk adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan:

(i=1, 2, ..., m+n) (3)

(j=1, 2, ..., m+n) (4)

(j=1, 2, ..., m+n ) (5)

Persamaan-persamaan (3),(4),(5),di atas membentuk Persyaratan Kuhn-Tucker untuk maksimasi/minimasi program linier dan non linier.

Syarat Kuhn-Tucker untuk persamaan:

Minimumkan : Z=f(X) dengan X={ Dengan kendala : (X)

(X) i=1,2,3,..., m

dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut:

∑ i=1, 2, ..., n (6)

j=1, 2, ..., m j=1, 2, ..., m

Jika permasalahannya adalah memaksimumkan bukan meminimumkan, maka , jika kendalanya adalah , maka Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah 0, maka .

Menurut (Luknanto dan Djoko,2000) ,penyelesaian optimasi secara analitis sudah jarang dipakai di lapangan yang sangat kompleks. Namun, metode Lagrange dan Kuhn Tucker dapat dipilih dalam teknik optimasi karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Dalam penggunaannya syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala dengan agar mempunyai minimun relatif pada titik adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

(Hillier dan Lieberman, 2001) membuat suatu asumsi bahwa merupakan fungsi yang dapat diturunkan sehingga

menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya jika terdapat sejumlah bilangan , sehingga semua syarat kondisi Kuhn Tucker berikut terpenuhi :

(vii)

∑

pada untuk (viii) (

∑

) pada untuk

(ix) untuk

(x) untuk

(xi) untuk

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang

Pengoptimalan merupakan ilmu Matematika terapan dan bertujuan untuk mencapai suatu titik optimum. Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Pengoptimalan bertujuan untuk mengoptimalkan suatu hal yang memiliki kendala-kendala tertentu sesuai konteks masalah. Tujuan akhir dalam pengoptimalan ini disebut sebagai fungsi tujuan. Fungsi tujuan dapat bersifat minimasi atau maksimasi.

Saat ini, dalam industri khususnya industri yang bergerak dalam bidang produksi yang berkaitan dengan taraf permintaan dan penawaran pastinya sudah memiliki suatu sistem pemasaran. Sistem pemasaran di sini merupakan fungsi tujuan dalam penjualan hasil produksi yang diharapkan dapat mencapai keuntungan maksimum. Sistem pemasaran bisa saja sudah mencapai keadaan yang optimal dan mungkin belum optimal.

Perusahaan-perusahaan yang bergerak dalam bidang produksi tentunya tahu bagaimana sistem yang dibuat agar pemasaran hasil produksi dapat mencapai kondisi yang optimal atau mendapat keuntungan yang besar sekalipun ada beberapa kendala. Adanya suatu kendala tidak akan menjadi masalah besar jika dalam hal ini perusahaan tersebut tahu bagaimana membuat kondisi menjadi optimal. Dengan demikian perusahaan tersebut akan memiliki kondisi yang stabil bahkan mampu bersaing dengan perusahaan lainnya.

Pabrik Roti WN merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang produksi di Indonesia. Bahan-bahan yang diproduksi yaitu dalam bentuk makanan jadi. Sebagai salah satu produsen makanan ,Pabrik Roti WN memiliki tingkat penjualan dan secara otomatis akan mencapai keuntungan yang maksimum pada titik optimum sesuai sistem yang sudah berlaku pada perusahaan tersebut. Dengan demikian metode dan fungsi tujuan dalam pengoptimalan mungkin sudah banyak di aplikasikan di Pabrik Roti WN. Namun metode dan fungsi tujuan dalam pengoptimalan bisa saja dibuat berbeda dari sebelumnya karena kemungkinan kendala yang berubah dalam setiap periode. Salah satunya yaitu dengan

menggunakan syarat Karush Kuhn-Tucker untuk mengoptimalkan penjualan. Metode Kuhn Tucker juga dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat. Metode Kuhn Tucker dapat berbentuk linier atau nonlinier.

1.2 Perumusan Masalah

Masalah yang akan di bahas adalah bagaimana mengoptimalkan keuntungan agar bertambah berdasarkan taraf penawaran dan permintaan.

1.3Batasan Masalah

Agar dalam pelaksanaannya lebih mengarah pada maksud dan tujuan penelitian, maka ditentukan batasan masalah sebagai berikut:

1. Data yang diambil yaitu data jumlah penjualan dan harga penjualan setiap produk. 2. Data yang diambil berupa bahan baku, modal, ketersediaan waktu dan tenaga kerja. 3. Mesin yang dipakai dianggap normal.

1.4 Kajian Pustaka

(Mulyono, 2007) memaparkan bahwa pengoptimalan dengan kendala persamaan dapat dilakukan dengan Lagrange Multiplier. Kuhn dan Tucker telah memperluas teori untuk menyelesaikan masalah program nonlinier umum baik dengan kendala persamaan maupun pertidaksamaan. Metode Kuhn Tucker memiliki beberapa syarat perlu. Syarat perlu Kuhn Tucker yang dimaksud, bertujuan untuk mengidentifikasi titik stasioner dari suatu masalah non linier dengan kendala pertidaksamaan. Dalam batas-batas tertentu syarat-syarat ini juga merupakan syarat cukup. Dan peranan syarat Kuhn Tucker di sini dapat diaplikasikan dalam menentukan suatu keadaan optimum sesuai kendala-kendala yang ada.

Peranan Matematika dalam industri khususnya produksi sangat penting. Metode Matematika untuk pengembangan industri dapat meningkatkan efisiensi dan produktivitas, sehingga menjadikan industri lebih kompetitif. Metode Kuhn Tucker merupakan suatu syarat dalam pengoptimalan dan dapat dimodifikasi dari metode pengali lagrange untuk satu pembatasan ketidaksamaan, dan syarat-syarat Kuhn Tucker untuk pembahasan pertidaksamaan akan memberikan hasil pemecahan yang sama. Kebaikan dari syarat-syarat

Kuhn Tucker ialah bahwa mereka dapat digeneralisasikan (dibuat lebih umum) untuk lebih dari satu pembatasan pertidaksamaan (J.Supranto,2005) .

Menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) suatu fungsi matematika multivariabel dalam teori optimasi dengan domain atau kendala (constraints) berupa suatu persamaan adalah suatu masalah optimasi yang sering ditemukan dalam teori maksimum dan minimum yang terdapat dalam kalkulus. Adapun metode matematika untuk hal tersebut dapat digunakan metode pengali Lagrange. Sedangkan mementukan nilai optimum suatu fungsi matematika multivariabel dengan kendala berupa suatu pertidaksamaan adalah hal khusus yang perlu dipelajari lebih lanjut dalam teori optimasi, diantaranya Metode Faktor Pengali Kuhn Tucker. Metode Kuhn Tucker adalah suatu metode di dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan domain atau kendala berupa suatu pertidaksamaan. Prosedur menggunakan metode Kuhn Tucker untuk memecahkan suatu masalah optimasi dengan kendala berupa pertidaksamaan, secara esensial melibatkan langkah-langkah yang sama seperti halnya dalam menggunakan metode Lagrange untuk memecahkan masalah optimasi dengan kendala berupa persamaan (Asih & Widana,2012).

(Gupta & Hira,2007) mengemukakan suatu rumusan untuk program nonlinier dengan lebih dari satu kendala ketidaksamaan menggunakan syarat Kuhn Tucker. Perhatikan masalah umum program non linier untuk jenis maksimasi.

Maksimumkan Z=

;

Persamaan kendala dapat ditulis dalam bentuk

yang dapat lebih dimodifikasi menjadi kendala kesamaan dengan menambah slack variables.

∑

[ ]

Kondisi yang diperlukan untuk memaksimalkan yaitu:

[ ] , (ii)

, (iii)

Kondisi (ii) dan (iii) dapat diganti dengan set kondisi berikut, dengan melakukan analisis similar seperti yang dilakukan dalam kendala pertidaksamaan tunggal

Dengan demikian, kondisi Kuhn Tucker dalam program nonlinier untuk masalah maksimasi

dengan kendala , dapat diringkas menjadi:

∑

Sehingga dapat ditunjukkan bahwa kondisi Kuhn Tucker untuk masalah maksimasi adalah:

∑

Kondisi Kuhn Tucker juga merupakan syarat cukup untuk kondisi:

- Untuk maksimasi, jika adalah konkaf dan semua adalah konveks di X - Untuk minimasi, jika adalah konveks dan semua adalah konkaf di X

Baik dalam masalah maksimasi dan minimasi, pengali Lagrange disesuaikan dengan kendala kesamaan dan harus dibatasi dalam tanda. Dalam masalah maksimasi semua kendala harus bertanda , sementara dalam kasus minimasi semua kendala harus bertanda . kondisi ini dapat diperoleh dengan melakukan transformasi yang diperlukan seperti yang dibahas dalam pemrograman linear (Ferreira,2010).

Sementara , (Amalia,2009) memaparkan bahwa, Jika menghadapi masalah optimasi dalam bentuk:

Maksimumkan/minimumkan : Z=f(X) dengan X={ (1) Dengan kendala : (X) dengan i=1,2,3,...,m

(X) X 0

m n(jumlah kendala lebih kecil dari variabel)

Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negatif seperti

0, 0,..., , sehingga himpunan kendalanya adalah m+n persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil daripada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang , , ..., berturut-turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang demikian merubah tiap-tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack variabels) yang ditambahkan di sini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi lagrange:

∑ [ ]– ∑ [ ] (2)

Untuk adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan:

(i=1, 2, ..., m+n) (3)

(j=1, 2, ..., m+n) (4)

Persamaan-persamaan (3), (4), (5), di atas membentuk Persyaratan Kuhn-Tucker untuk maksimasi/minimasi program linier dan non linier.

Syarat Kuhn-Tucker untuk persamaan:

Minimumkan : Z=f(X) dengan X={ Dengan kendala : (X)

(X) i=1,2,3,..., m

dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut:

∑ i=1, 2, ..., n (6)

j=1, 2, ..., m

j=1, 2, ..., m

j=1, 2, ..., m (7)

Jika permasalahannya adalah memaksimumkan bukan meminimumkan, maka , jika kendalanya adalah , maka Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah 0, maka .

Menurut (Luknanto dan Djoko,2000) , penyelesaian optimasi secara analitis sudah jarang dipakai di lapangan yang sangat kompleks. Namun, metode Lagrange dan Kuhn Tucker dapat dipilih dalam teknik optimasi karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Dalam penggunaannya syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala

dengan agar mempunyai minimun relatif pada titik adalah

derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai

terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

(Hillier dan Lieberman, 2001) membuat suatu asumsi bahwa

merupakan fungsi yang dapat diturunkan sehingga

menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier

hanya jika terdapat sejumlah bilangan , sehingga semua syarat kondisi Kuhn Tucker berikut terpenuhi :

(i)

∑

pada untuk

(ii) (

∑

) pada untuk

(iii) untuk (iv) untuk

(v) untuk

(vi) untuk

1.4Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah:

1. Memperoleh total biaya produksi secara menyeluruh. 2. Menentukan jumlah produksi yang optimal.

1.6 Kontribusi Penelitian Manfaat penelitian ini adalah:

1. Sebagai salah satu penerapan ilmu dan pengetahuan yang diperoleh selama masa perkuliahan ke dunia nyata.

2. Sebagai bahan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika terlebih bagi mahasiswa yang melakukan penelitian serupa.

3. Sebagai masukan kepada Pabrik Roti WN.

1.7 Metodologi Penelitian

Penelitian ini merupakan studi kasus pada Pabrik Roti WN khusunya pada sistem produksi yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Studi Literatur dengan Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya yang berhubungan dengan Program Nonlinier dan pengoptimalan dengan metode Kuhn Tucker.

2. Menyaring pokok-pokok penting dan merangkum definisi-definisi mengenai Metode Kuhn Tucker dan membuat suatu ringkasan.

3. Pengumpulan data dari Pabrik Roti WN.

4. Mengolah data dari Pabrik Roti WN dengan metode Kuhn Tucker.

5. Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang telah diselesaikan.

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

ABSTRAK

Mendapatkan keuntungan optimal adalah tujuan utama dalam setiap usaha. Dan Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui hasil produksi dan keuntungan maksimum berdasarkan ketersediaan bahan baku, waktu dan tenaga kerja. Karena dengan mengoptimalkan hasil produksi maka keuntugan akan optimum. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk mengoptimasi hasil produksi dan keuntungan maksimum, salah satunya adalah dengan menggunakan metode Kuhn Tucker. Metode ini merupakan metode optimasi pada program Non Linier, namun dapat juga diaplikasikan dalam program linier. Dengan bantuan software MATLAB 6.1. Metode Kuhn-Tucker dapat memetakan suatu input kedalam suatu output dengan variabel dan kendala yang banyak. Dan dari hasil penelitian menunjukan bahwa Metode Kuhn Tucker dapat mengoptimasi hasil produksi Roti per harinya berdasarkan data yang tersedia.

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

ABSTRACT

Getting the optimal profit is the main goal in every business. And the purpose of this study was to determine the yield of production and maximum benefit based on the availability of raw materials, time and labor. Because by optimizing production hence profit be optimum. Many ways can be done to optimize the yield and maximum profit, one of which is by using the method of Kuhn Tucker. This method is a method of non-linear optimization of the program, but can also be applied in a linear program. With the help of software MATLAB 6.1. Kuhn-Tucker method can map an input into an output with a lot of variables and constraints. And the results of the study showed that the method can optimize the Kuhn Tucker Bread production of a day based on available data.

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN

TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

SKRIPSI

ANTA DIKA KARO-KARO

110803035

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN

TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

ANTA DIKA KARO-KARO

110803035

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

Judul : Optimalisasi Hasil Produksi dengan Metode Kuhn- Tucker pada Pabrik Rori WN

Kategori : Skripsi

Nama : Anta Dika Karo-karo

Nomor Induk Mahasiswa : 110803035

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, April 2016

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si Dra. Normalina Napitupulu M.Sc. NIP. 194604041971071001 NIP. 196311061989022001 Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP. 196209011988031002

PERNYATAAN

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, April 2016

Anta Dika Karo-karo 100803035

PENGHARGAAN

Segala pujian dan ucapan syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan anugrah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul Aplikasi Metode Kuhn Tucker dalam Pengoptimalan Hasil Produksi (Studi Kasus : Pabrik Roti WN)

Dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terimakasih kepada:

1. Ibu Dra. Normalina Napitupulu M.Sc. selaku pembimbing I dan Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Bapak Drs. Marihat Situmorang M.kom. dan Bapak Dr. Suyanto, M.Kom. selaku dosen penguji atau pembanding yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, sebagai ketua Departemen Matematika dan Ibu Dra.Mardiningsih, M.Si sebagai Sekretaris Departemen Matematika.

4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

5. Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA USU yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama masa studi serta seluruh Staf Administrasi di Departemen Matematika FMIPA USU

6. Sahabat-sahabat penulis yaitu untuk teman-teman seperjuangan stambuk 2011 (Golden Generation 11) yang telah memberikan semangat, motivasi dan dukungan baik dalam pengerjaan skripsi ini maupun dalam proses belajar sehari-hari.

7. Adik-adik Mahasiswa Matematika USU stambuk 2012, 2013, 2014 yang tetap memberikan semangat untuk penulis.

8. Teristimewa untuk ibunda tercinta E.br Ginting , adik–adik (Monika ,Sherly, Trisa) , keluarga Kila dan Bibik (Roger Samosir dan Robianna Sinambela S.KM) serta seluruh keluarga besar atas doa, nasehat, bimbingan dan dukungan moril dan materil, yang menjadi sumber motivasi bagi penulis untuk tetap semangat dalam perkuliahan dan penulisan skripsi ini.

9. Dan kepada semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan dalam penyampaian dan pemaparan yang mungkin didasari oleh keterbatasan pengetahuan serta pengalaman penulis. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari semua pihak untuk kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih dan Tuhan Yesus menyertai kita.

Medan, April 2016

Anta Dika Karo-karo 110803035

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

ABSTRAK

Mendapatkan keuntungan optimal adalah tujuan utama dalam setiap usaha. Dan Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui hasil produksi dan keuntungan maksimum berdasarkan ketersediaan bahan baku, waktu dan tenaga kerja. Karena dengan mengoptimalkan hasil produksi maka keuntugan akan optimum. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk mengoptimasi hasil produksi dan keuntungan maksimum, salah satunya adalah dengan menggunakan metode Kuhn Tucker. Metode ini merupakan metode optimasi pada program Non Linier, namun dapat juga diaplikasikan dalam program linier. Dengan bantuan software MATLAB 6.1. Metode Kuhn-Tucker dapat memetakan suatu input kedalam suatu output dengan variabel dan kendala yang banyak. Dan dari hasil penelitian menunjukan bahwa Metode Kuhn Tucker dapat mengoptimasi hasil produksi Roti per harinya berdasarkan data yang tersedia.

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

ABSTRACT

Getting the optimal profit is the main goal in every business. And the purpose of this study was to determine the yield of production and maximum benefit based on the availability of raw materials, time and labor. Because by optimizing production hence profit be optimum. Many ways can be done to optimize the yield and maximum profit, one of which is by using the method of Kuhn Tucker. This method is a method of non-linear optimization of the program, but can also be applied in a linear program. With the help of software MATLAB 6.1. Kuhn-Tucker method can map an input into an output with a lot of variables and constraints. And the results of the study showed that the method can optimize the Kuhn Tucker Bread production of a day based on available data.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Kajian Pustaka 2

1.5 Tujuan Penelitian 7

1.6 Kontribusi Penelitian 8

1.7 Metodologi Penelitian 8

Bab 2. Landasan Teori

2.1 Pemrograman Non Linier 9

2.1.1 Pemrograman Non Linier Tak Berkendala 9

2.1.2 Pemrograman Non Linier Berkendala 10

2.2 Hasil Produksi 13

2.2.1 Defenisi Hasil Produksi 13

2.2.2 Fungsi Produksi 13

2.2.3 Optimisasi Hasil Produksi 14

2.3 Persyaratan Karush Kuhn Tucker 16

Bab 3. Hasil dan Pembahasan

3.1 Pengumpulan Data 19

3.1.1 Gambaran Umum Pengambilan Data 19

3.1.2 Data Bahan Baku, Modal dan Proses Produksi 19

3.2Pengolahan Data 21

3.2.1Pembentukan Variabel Keputusan 21

3.2.2Pembentukan Fungsi Tujuan 21

3.2.3Pembentukan Fungsi Kendala 21 3.2.4Pembentukan Syarat Kuhn Tucker 22

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 32

4.1 Kesimpulan 32

Daftar Pustaka 33

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1 Data Bahan Baku (Kg), Modal dan Harga Jual (Rupiah) Roti WN Pasar Baru Padang

Bulan Medan 19

3.2 Data Modal dan lama waktu pembuatan Roti WN 20

3.3 Data Proses Pembuatan Roti WN 20

3.4 Data Fasilitas dan Infarastruktur Pabrik Roti WN 20 3.5 Tabel Jumlah produksi roti optimal 30

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

3.1 Input Jumlah Masing-masing Variabel Menggunakan Matlab 25 3.2 Input hasil dari jumlah keseluruhan perkalian antara A dengan 26 3.3 Input Matriks Menggunakan Matlab 26

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

ABSTRAK

Mendapatkan keuntungan optimal adalah tujuan utama dalam setiap usaha. Dan Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui hasil produksi dan keuntungan maksimum berdasarkan ketersediaan bahan baku, waktu dan tenaga kerja. Karena dengan mengoptimalkan hasil produksi maka keuntugan akan optimum. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk mengoptimasi hasil produksi dan keuntungan maksimum, salah satunya adalah dengan menggunakan metode Kuhn Tucker. Metode ini merupakan metode optimasi pada program Non Linier, namun dapat juga diaplikasikan dalam program linier. Dengan bantuan software MATLAB 6.1. Metode Kuhn-Tucker dapat memetakan suatu input kedalam suatu output dengan variabel dan kendala yang banyak. Dan dari hasil penelitian menunjukan bahwa Metode Kuhn Tucker dapat mengoptimasi hasil produksi Roti per harinya berdasarkan data yang tersedia.

OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN

ABSTRACT

Getting the optimal profit is the main goal in every business. And the purpose of this study was to determine the yield of production and maximum benefit based on the availability of raw materials, time and labor. Because by optimizing production hence profit be optimum. Many ways can be done to optimize the yield and maximum profit, one of which is by using the method of Kuhn Tucker. This method is a method of non-linear optimization of the program, but can also be applied in a linear program. With the help of software MATLAB 6.1. Kuhn-Tucker method can map an input into an output with a lot of variables and constraints. And the results of the study showed that the method can optimize the Kuhn Tucker Bread production of a day based on available data.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Kajian Pustaka 2

1.5 Tujuan Penelitian 7

1.6 Kontribusi Penelitian 8

1.7 Metodologi Penelitian 8

Bab 2. Landasan Teori

2.1 Pemrograman Non Linier 9

2.1.1 Pemrograman Non Linier Tak Berkendala 9

2.1.2 Pemrograman Non Linier Berkendala 10

2.2 Hasil Produksi 13

2.2.1 Defenisi Hasil Produksi 13

2.2.2 Fungsi Produksi 13

2.2.3 Optimisasi Hasil Produksi 14

2.3 Persyaratan Karush Kuhn Tucker 16

Bab 3. Hasil dan Pembahasan

3.1 Pengumpulan Data 19

3.1.1 Gambaran Umum Pengambilan Data 19

3.1.2 Data Bahan Baku, Modal dan Proses Produksi 19

3.2Pengolahan Data 21

3.2.1Pembentukan Variabel Keputusan 21

3.2.2Pembentukan Fungsi Tujuan 21

3.2.3Pembentukan Fungsi Kendala 21 3.2.4Pembentukan Syarat Kuhn Tucker 22

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 32

4.1 Kesimpulan 32

Daftar Pustaka 33

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1 Data Bahan Baku (Kg), Modal dan Harga Jual (Rupiah) Roti WN Pasar Baru Padang

Bulan Medan 19

3.2 Data Modal dan lama waktu pembuatan Roti WN 20

3.3 Data Proses Pembuatan Roti WN 20

3.4 Data Fasilitas dan Infarastruktur Pabrik Roti WN 20 3.5 Tabel Jumlah produksi roti optimal 30

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

3.1 Input Jumlah Masing-masing Variabel Menggunakan Matlab 25 3.2 Input hasil dari jumlah keseluruhan perkalian antara A dengan 26 3.3 Input Matriks Menggunakan Matlab 26 3.4 Hasil dari Menggunakan Matlab 27