KONDISI (L) DAN KONDISI (K) PADA ALJABAR GRAF.
KONDISI
DAN KONDISI
PADA ALJABAR GRAF
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika Konsentrasi Aljabar
Oleh:
Ni’matullah Taufiquzzaman
1000131
PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
(2)
KONDISI
DAN KONDISI
PADA ALJABAR GRAF
Oleh
Ni’ atullah Taufiquzza a
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Ni’ atullah Taufiquzza a 2015 Universitas Pendidikan Indonesia
Februari 2015
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
(3)
NI’MATULLAH TAUFIQUZZAMAN
KONDISI
DAN KONDISI
PADA ALJABAR GRAF
Disetujui dan disahkan oleh pembimbing Pembimbing I
Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si NIP. 196901191993031001
Pembimbing II
Isnie Yusnitha, S.si,. M.Ed NIP. 198506092012122002
Mengetahui
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
Dr. Turmudi, M.Ed., M.Sc NIP. 196101121987031003
(4)
iii
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
KONDISI DAN KONDISI PADA ALJABAR GRAF
Ni’matullah Taufiquzzaman
Untuk graf berarah , aljabar graf adalah bentuk umum dari aljabar- dibangun oleh proyeksi ortogonal dan isometri parsial yang dikaitkan dengan titik-titik dan sisi-sisi pada graf dan memenuhi persamaan Cuntz-Krieger. Kita sebut graf berarah memenuhi kondisi
jika setiap cycle di memiliki entri. Suatu graf berarah dikatakan memenuhi kondisi jika setiap titik dari graf tidak memuat cycle atau terdapat dua cycle. Tujuan kita adalah melihat sifat dari aljabar graf jika graf berarah memenuhi kondisi ataupun kondisi
.
Kata kunci : Aljabar- , proyeksi ortogonal, isometri parsial, graf berarah, aljabar graf, kondisi , kondisi .
(5)
iv
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
ABSTRACT
CONDITION (L) AND CONDITION (K) ON GRAPH ALGEBRA Ni’matullah Taufiquzzaman
For a directed graph , the graph algebra is the universal -algebra generated by projection and partial isometris satisfying Cuntz-Krieger relations. We say the graph satisfies condition if every cycle in has an entry. We say the graph satisfies condition if every vertex of graph there is no cycle or there are two cycle based at that. Our goal is to see charactersitic of graph algebra if directed graph satisfies condition either or condition .
Key word : -Algebra, orthogonal projection, partial isometric, directed graph, graph algebra, condition , condition .
(6)
v
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN...
UCAPAN TERIMAKASIH...
ABSTRAK...
ABSTRACT...
DAFTAR ISI...
SIMBOL DAN NOTASI...
BAB I: PENDAHULUAN...
BAB II: LANDASAN TEORI...
2.1 Aljabar Operator
...
2.1.1 Aljabar-
...
2.1.2 Operator pada Ruang Hilbert
...
2.2 Aljabar Cuntz-Krieger pada Graf
...
2.2.1 Graf Baris Berhingga.
...
2.2.2 Keluarga Cuntz Krieger
...
BAB III: METODE PENELITIAN...
BAB IV: KONDISI (L) DAN KONDISI (K) PADA ALJABAR GRAF...
i
ii
iii
iv
v
vii
1
4
4
4
8
12
12
16
31
32
32
(7)
vi
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
4.1
Hereditary dan Saturated...
4.2 Kondisi dan Kondisi
...
BAB V: KESIMPULAN...
DAFTAR PUSTAKA...
DAFTAR RIWAYAT HIDUP...
35
46
47
(8)
1
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini, akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, tujuan, manfaat penelitian serta sistematika penulisan tugas akhir.
1.1 Latar Belakang Masalah
Graf berarah terdiri dari dua himpunan dan disertai dua buah fungsi . Graf disebut graf baris berhingga jika dan hanya jika untuk setiap baris dari matriks entri-entrinya berhingga.
Operator pada ruang Hilbert yaitu operator proyeksi ortogonal dan isometri parsial yang kemudian keluarganya disebut keluarga Cuntz Krieger– dapat merepresentasikan graf baris berhingga dimana titik direpresentasikan oleh operator proyeksi ortogonal dan sisi direpresentasikan oleh operator isometri parsial. Aljabar- yang dibangun oleh keluarga tersebut disebut aljabar graf.
Pada suatu graf berarah baris berhingga terdapat kondisi khusus yang cukup menarik untuk dipelajari, yaitu kondisi dan kondisi . Kondisi yakni kondisi suatu graf ketika setiap cycle-nya memiliki entri. Kondisi yakni kondisi suatu graf ketika setiap titiknya tidak memuat cycle atau terdapat dua lintasan yang kembali pada titik tersebut.
Hal yang menarik perhatian penulis adalah sifat aljabar graf jika graf yang bersesuaian memenuhi salah satu dari kedua kondisi diatas. Hal inilah yang menjadi dasar dari masalah yang penulis ambil.
(9)
2
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, selanjutnya dirumuskanlah masalah sebagai berikut :
1) Bagaimana sifat aljabar graf dari graf berarah baris berhingga yang memenuhi kondisi
2) Bagaimana sifat aljabar graf dari graf berarah baris berhingga yang memenuhi kondisi
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini antara lain untuk mempelajari sifat aljabar graf dari graf berarah baris berhingga yang memenuhi kondisi ataupun kondisi .
1.4 Manfaat Penelitian
Dalam melakukan penelitian, manfaat yang penulis rasakan antara lain ialah bertambahnya wawasan penulis mengenai konsep aljabar graf. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat antara lain sebagai referensi, rujukan atau acuan untuk penelitian berikutnya.
(10)
3
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Sistematika penulisan tugas akhir ini tersusun atas lima bab. Pada bab pertama berisi latar belakang masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan sistematika penulisan. Pada bab kedua berisi teori-teori dasar yang menjadi landasan penelitian yaitu teori-teori dasar mengenai aljabar dan operator-operator pada ruang Hilbert beserta teori-teori dasar tentang graf berarah dan keluarga Cuntz Kriger. Pada bab ketiga berisi tentang metode penelitian. Pada bab keempat berisi mengenai sifat dari aljabar graf bila graf yang bersesuaiannya memenuhi kondisi dan kondisi . Pada bab kelima berisi kesimpulan yang penulis peroleh dari penelitian secara keseluruhan.
(11)
31
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian yang dilakukan menggunakan metode analisis terhadap graf baris berhingga yang memenuhi kondisi dan graf baris berhingga yang memenuhi kondisi menggunakan pendekatan aljabar operator. Melalui pendekatan ini, graf baris berhingga yang memenuhi kondisi dan graf baris berhingga yang memenuhi kondisi tersebut dikaitkan dengan operator proyeksi ortogonal dan operator isometri parsial untuk dapat melihat sifat aljabar nya.
Penelitian dilakukan dalam beberapa tahapan, tahap pertama adalah meneliti tentang teori-teori dasar ruang Hilbert dan aljabar- . Tahap kedua meneliti tentang operator-operator pada ruang Hilbert, dalam hal ini dibatasi hanya pada operator proyeksi ortogonal dan operator isometri parsial saja. Tahap ketiga meneliti tentang graf baris berhingga yang kemudian direpresentasikan oleh operator proyeksi ortogonal dan operator isometri parsial untuk kemudian graf baris berhingga tersebut diberikan kondisi husus, yaitu kondisi dan kondisi .
Penelitian ini dilakukan dalam 4 semester (2 tahun). Penelitian tahap pertama dilakukan di semester 6 pada mata kuliah Aljabar Operator, penelitian tahap ke dua dan ketiga dilakukan di semester 7 pada mata kuliah Kapita Selekta yang kemudian dilanjutkan ketika semester 8, 9 dan 10 saat penyusunan skripsi.
(12)
46
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB V
KESIMPULAN
Dari penjelasan yang telah diuraikan pada bab-bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1) Suatu graf baris berhingga yang memenuhi kondisi , jika graf tersebut kofinal maka aljabar- adalah simpel.
2) Jika merupakan graf baris berhingga yang memenuhi kondisi , maka untuk dan suatu ideal yang dibangun oleh , koset isomorfik dengan dan
(13)
47
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR PUSTAKA
[1]. A. Erdos. (2003). -Algebras. London: Department of Mathematics King’s College. [2]. G. J. Murphy. (1990). -Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
[3]. I. Raeburn. (2005). Graph Algebra. USA: Conference Board of the Mathematical Sciences. [4]. Siu Sing Chow. (2011).Graph Algebras of Real Rank Zero. Kanada:University of Waterloo. [5]. Vassili Gelfreich. (2010). Functional Analysis I.
(1)
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF
Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini, akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, tujuan, manfaat penelitian serta sistematika penulisan tugas akhir.
1.1 Latar Belakang Masalah
Graf berarah terdiri dari dua himpunan dan disertai dua buah fungsi . Graf disebut graf baris berhingga jika dan hanya jika untuk setiap baris dari matriks entri-entrinya berhingga.
Operator pada ruang Hilbert yaitu operator proyeksi ortogonal dan isometri parsial yang kemudian keluarganya disebut keluarga Cuntz Krieger– dapat merepresentasikan graf baris berhingga dimana titik direpresentasikan oleh operator proyeksi ortogonal dan sisi direpresentasikan oleh operator isometri parsial. Aljabar- yang dibangun oleh keluarga tersebut disebut aljabar graf.
Pada suatu graf berarah baris berhingga terdapat kondisi khusus yang cukup menarik untuk dipelajari, yaitu kondisi dan kondisi . Kondisi yakni kondisi suatu graf ketika setiap cycle-nya memiliki entri. Kondisi yakni kondisi suatu graf ketika setiap titiknya tidak memuat cycle atau terdapat dua lintasan yang kembali pada titik tersebut.
Hal yang menarik perhatian penulis adalah sifat aljabar graf jika graf yang bersesuaian memenuhi salah satu dari kedua kondisi diatas. Hal inilah yang menjadi dasar dari masalah yang penulis ambil.
(2)
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF
Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, selanjutnya dirumuskanlah masalah sebagai berikut :
1) Bagaimana sifat aljabar graf dari graf berarah baris berhingga yang memenuhi kondisi
2) Bagaimana sifat aljabar graf dari graf berarah baris berhingga yang memenuhi kondisi
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini antara lain untuk mempelajari sifat aljabar graf dari graf berarah baris berhingga yang memenuhi kondisi ataupun kondisi .
1.4 Manfaat Penelitian
Dalam melakukan penelitian, manfaat yang penulis rasakan antara lain ialah bertambahnya wawasan penulis mengenai konsep aljabar graf. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat antara lain sebagai referensi, rujukan atau acuan untuk penelitian berikutnya.
(3)
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF
Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Sistematika penulisan tugas akhir ini tersusun atas lima bab. Pada bab pertama berisi latar belakang masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan sistematika penulisan. Pada bab kedua berisi teori-teori dasar yang menjadi landasan penelitian yaitu teori-teori dasar mengenai aljabar dan operator-operator pada ruang Hilbert beserta teori-teori dasar tentang graf berarah dan keluarga Cuntz Kriger. Pada bab ketiga berisi tentang metode penelitian. Pada bab keempat berisi mengenai sifat dari aljabar graf bila graf yang bersesuaiannya memenuhi kondisi dan kondisi . Pada bab kelima berisi kesimpulan yang penulis peroleh dari penelitian secara keseluruhan.
(4)
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF
Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian yang dilakukan menggunakan metode analisis terhadap graf baris berhingga yang memenuhi kondisi dan graf baris berhingga yang memenuhi kondisi menggunakan pendekatan aljabar operator. Melalui pendekatan ini, graf baris berhingga yang memenuhi kondisi dan graf baris berhingga yang memenuhi kondisi tersebut dikaitkan dengan operator proyeksi ortogonal dan operator isometri parsial untuk dapat melihat sifat aljabar nya.
Penelitian dilakukan dalam beberapa tahapan, tahap pertama adalah meneliti tentang teori-teori dasar ruang Hilbert dan aljabar- . Tahap kedua meneliti tentang operator-operator pada ruang Hilbert, dalam hal ini dibatasi hanya pada operator proyeksi ortogonal dan operator isometri parsial saja. Tahap ketiga meneliti tentang graf baris berhingga yang kemudian direpresentasikan oleh operator proyeksi ortogonal dan operator isometri parsial untuk kemudian graf baris berhingga tersebut diberikan kondisi husus, yaitu kondisi dan kondisi .
Penelitian ini dilakukan dalam 4 semester (2 tahun). Penelitian tahap pertama dilakukan di semester 6 pada mata kuliah Aljabar Operator, penelitian tahap ke dua dan ketiga dilakukan di semester 7 pada mata kuliah Kapita Selekta yang kemudian dilanjutkan ketika semester 8, 9 dan 10 saat penyusunan skripsi.
(5)
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF
Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu BAB V KESIMPULAN
Dari penjelasan yang telah diuraikan pada bab-bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1) Suatu graf baris berhingga yang memenuhi kondisi , jika graf tersebut kofinal maka aljabar- adalah simpel.
2) Jika merupakan graf baris berhingga yang memenuhi kondisi , maka untuk dan suatu ideal yang dibangun oleh , koset isomorfik dengan dan
(6)
Ni’matullah Taufiquzzaman, 2015
KOND ISI DAN KOND ISI PAD A ALJABAR GRAF
Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR PUSTAKA
[1]. A. Erdos. (2003). -Algebras. London: Department of Mathematics King’s College. [2]. G. J. Murphy. (1990). -Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
[3]. I. Raeburn. (2005). Graph Algebra. USA: Conference Board of the Mathematical Sciences. [4]. Siu Sing Chow. (2011).Graph Algebras of Real Rank Zero. Kanada:University of Waterloo. [5]. Vassili Gelfreich. (2010). Functional Analysis I.