BAB 8 RUANG VEKTOR DAN SUB RUANG VEKTOR - Matriks – BAB 8 Ruang Vektor dan Sub Ruang Vektor
BAB 8
8.1
RUANG VEKTOR DAN SUB RUANG VEKTOR
VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER
DEFINISI :
Himpunan m buah vektor { u1,u2,u3, . . ., um } disebut bergantung linier (linierly
dependent, tidak bebas linier) bila terdapat skalar-skalar λ 1, λ 2, λ 3, … λ m yang tidak
semua nol sedemikian sehingga λ 1 u1+ λ 2 u2 + λ 3 u3+ … + λ m u m = 0….(*).
(0 = vektor nol ).
Himpunan m buah
vektor {u1,u2,u3, . . ., um } disebut bebas linier (linierly
independent,) apabila λ 1 u1+ λ 2 u2 + λ 3 u3+ … + λ m u m = 0 hanya terpenuhi oleh λ 1 =
λ 2 = λ 3 = … = λ m = 0 …..(**)
Catatan 1 :
Kalau m = 1, artinya himpunan hanya mempunyai 1 anggota, yaitu u maka :
(*)
Bila u = 0 (vektor nol), akan bergantung linier, karena λ u = 0 → λ0 = 0, terpenuhi pula
untuk λ ≠ 0.
(**)
Bila u ≠ 0, akan bebas linier karena λ u= 0 hanya terpenuhi oleh λ = 0.
Catatan 2 :
Kalau dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1,u2,u3, . . .,,0,…., um } maka himpunan
itu bergantung linier. λ 1 u1+
λ 2 u2 + λ 3 u3+ … + λ i0 + … + λ m u m = 0, jelas harga λ i ≠ 0
juga memenuhi.
Contoh 1 :
Pandang Ruang vektor R3dengan a = [3,1,2,], b = [1,2,1], c = [2,-1,1] є R3. Ke-3 vektor
tersebut adalah bergantung linier karena : λ 1 a + λ 2b + λ 3c = 0 → λ 1]3,1,2] + λ 2[1,2,1] + λ 3
[2,-1,1] = [0,0,0], ada λ yang ≠ 0, yaitu misalnya λ 1 = 1, λ 2= λ 3 = -1 memenuhi.
Contoh 2 :
[2,3] dan [1,3] adalah bebas linier karena : λ 1[2,3] + λ 2[1,3] = [0,0] atau :
2λ1 + λ2 = 0
3 λ 1 + 3 λ 2 = 0 …..diperoleh hanya λ 1= λ 2= 0
Catatan 3 :
Biasanya kita menyingkat saja ketika mengatakan “ himpunan vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um
} bebas/bergantung linier” menjadi “ vektor-vektor u1,u2,u3, . . ., um bebas/bergantung linier”.
Catatan 4 :
Bila u dan v dua vektor yang berkelipatan, u = αv, maka mereka bergantung linier. Sebab u =
αv → 1u - αv = 0, artinya terdapat λ ≠ 0 pada λ 1u + λ 2v = 0.
Pada Rn , 2 vektor yang berkelipatan dapat kita lihat dari komponen-komponen (seletak) yang
berkelipatan sama.
Teorema (1) :
Jika sebagian (himpunan bagian) dari m vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um }
bergantung linier, maka keseluruhan m vektor-vektor tersebut
adalah
bergantung linier.
Pembuktian Teorema (1) :
Misalkan p vektor,p < m, bergantung linier, sebutlah u1,u2,u3, . . ., u p maka terdapat skalarskalar λ 1, λ 2, λ 3, … λ p yang tidak semua sedemikian sehingga : λ 1 u1+
λ 2 u2 + λ 3 u 3 + … +
λ p u p = 0….(*).Kita ambil kemudian λ p+1 = λ p+2 = λ p+3 = … = λ m = 0.. menjadi : λ 1 u1+ λ 2
u2 + λ 3 u3+ … + λ p u p + λ p+1 u p+1 + λ m u m = 0, dimana terdapat λ 1 ≠ 0 ( λ 1 λ 2,… λ p). Jadi m
vektor tersebut bergantung linier.
Contoh 3 :
a = [2,3,1,4], b = [6,9,3,12], c = [2,0,3,1], d = [0,0,1,4]. Maka karena a dan b berkelipatan,
mereka bergantung linier. Berdasarkan Teorema (1) di atas maka a, b, c dan d bergantung
linier.
Teorema (2) :
Jika himpunan m vektor {u1,u2,u3, . . ., um } bebas linier maka sebagian (himpunan
bagian)-nya juga bebas linier.
Pembuktian Teorema (2) :
Andaikata himpunan bagian
tersebut bergantung linier, menurut teorema sebelumnya
keseluruhan m vektor adalah bergantung linier. Suatu kontradiksi. Pengandaian kita di atas
tidak benar. Jadi haruslah himpunan bagian tersebut bebas linier.
Contoh 4 :
Dapat diselidiki bahwa a = [3,1,2], b = [2,1,1], c = [4,3,3] bebas linier. Maka mudah dilihat
bahwa a Dan b adalah bebas linier.
8.2
KOMBINASI LINIER
DEFINISI :
Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., un } bila
terdapat skalar-skalar { λ 1, λ 2, λ 3, … λ n} sedemikian sehingga v = λ 1 u1 + λ 2 u2 + λ 3 u3
+ … + λ n un
Contoh 1 :
Diketahui vektor-vektor sebagai berikut : a = [2,1,2], b= [1,0,3] dan c = [3,1,5]. Kita hendak
menyatakan atau menuliskan apakah a sebagai kombinasi linier dari b dan c ? Buktikan !
Jawab :
Pertama-tama kita menuliskan v = λ 1 u1 + λ 2 u2 dengan variabel-variabel tidak diketahui yaitu
λ 1, λ 2 yaitu a = λ 1 b + λ 2 c atau [2,1,2] = λ 1 [1,0,3] + λ 2[3,1,5] atau :
2=¿ λ1 +¿ 3 λ2 … … ..(1)
1=¿ 0 λ 1+ ¿ λ2 … …(2)
2=¿3 λ 1+ ¿5 λ 2 … … …(3)
Kita mempunyai 3 persamaan dengan 2 variabel. Kita selesaikan dulu persamaan (1) dan (2),
yang hasilnya λ 2 = 1 dan λ 1 = -1. Kemudian nilai tersebut disubstitusikan ke (3) ternyata
memenuhi pula sehinga bisa dikatakan a kombinasi linier dari b dan c. Jadi , penulisan yang
diminta adalah : a = -b + c.
Contoh 2:
Diketahui vektor-vektor sebagai berikut :
p = [2,1,3], q = [0,1,2] dan r = [2,2,4].Apakah p bisa dikatakan kombinasi linier dari q dan
r ? Buktikan !
Jawab :
Pertama-tama kita menuliskan v = λ 1 u1 + λ 2 u2 dengan variable-variabel tidak diketahui yaitu
λ 1, λ 2 yaitu p = λ 1 q + λ 2 r atau [2,1,3] = λ 1 [0,1,2] + λ 2[2,2,4] atau :
2=¿ 0 λ 1+ ¿ 2 λ 2 … … ..(1)
1=¿ λ 1+¿ 2 λ 2 … . …(2)
3=¿ 2 λ 1+ ¿ 4 λ 2 … … … (3)
Persamaan (1) dan (2) diselesaikan, akan diperoleh λ 2 = 1 dan λ 1 = -1 , akan tetapi nilai-nilai
tersebut tidak memenuhi persamaan (3) sehingga dapat dikatakan bahwa p bukan kombinasi
linier dari q dan r.
Teorema 1 :
Jika m (m>1) vektor {u1,u2,u3, . . ., um } bergantung linier, maka paling sedikit terdapat
satu vektor dapat ditulis sebagai linier dari vektor-vektor selebihnya.
Teorema 2 :
Jika satu di antara m vektor {u1,u2,u3, . . ., um } adalah kombinasi linier dari vektor
selebihnya maka m vektor tersebut bergantung linier.
Contoh 3 :
Selidikilah bahwa vektor-vektor berikut : a = [2,1,2], b = [0,1,0] , c = [2,0,2] , apakah a
kombinasi linier dari b dan c? Dan Apakah bergantung linier juga ?
Jawab :
Misalkan a = λ 1 b + λ 2 c atau [2,1,2] = λ 1 [0,1,0] + λ 2[2,0,2] atau :
2=¿ 0 λ1 +¿ 2 λ2 … … ..(1)
1=¿ λ1 +¿ 0 λ2 … . …(2)
2=¿ 0 λ1 +¿ 2 λ 2 … … …(3)
Persamaan (1) dan (2) diselesaikan, akan diperoleh λ 1 = 1 dan λ 2 = 1. Berarti a kombinasi
linier dari b dan c. Sehingga {a,b,c} bergantung linier.
Teorema 3 :
Jika m vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um } bebas linier dan (m+1) vektor-vektor {u1,u2,u3
, . . ., um . v } bergantung linier , maka v adalah kombinasi linier dari {u1,u2,u3, . . ., um }
Teorema 4 :
Pandang S suatu himpunan bagian dari ruang vektor W. Misalkan S = { u1,u2,u3, . . ., um
}, maka himpunan semua kombinasi linier dari S, ditulis L(S) merupakan Ruang
Vektor bagian dari W, sebab :
(1) LS ≠ 0, karena 0 = 0u1 + 0u2 + 0u3 + … = 0 0um kombinasi linier dari S, berarti
0 є L(S).
(2) Misalkan v є L(S), berarti v = λ 1 u1 + λ 2 u2 + λ 3 u3 + … + λ m u m , w є L(S), berarti
w = λ 1 u1 + λ 2 u2 + λ 3 u3 + … + λ m u m, v + w = ( λ 1 + µ1 )u1 + … + ( λ m + µm)um
merupakan kombinasi linier dari S, berarti v + w є L(S).
(3) Bila α skalar maka αv = (α λ 1)u1 + (α λ 2)u2 + … + (α λ m)um juga merupakan
kombinasi linier dari S , berarti α є L(S).
Ruang vektor L(S) disebut ruang vektor yang dibentuk (dibangun generated) oleh S. S
disebut suatu sistem pembentuk atau sistem generator. Kita definisikan sebagai berikut :
8.3
DEFINISI RUANG VEKTOR YANG DIBENTUK
Suatu himpunan vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um } disebut sistem pembentuk dari
ruang vektor V, ditulis V = L {u1,u2,u3, . . ., um } bila setiap vektor v є V dapat
ditulis sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,u3, . . ., um }
Contoh 4 :
Vektor-vektor a = [2,1,0] , b = [3,2,1] , c = [5,3,1] adalah pembentuk ruang Vektor L{a,b,c}.
Untuk menyelidiki apakah vektor d = [1,1,1] є L, kita selidiki apakah d kombinasi linier dari
{a,b,c}. Ternyata d = -a + b + c, jadi d kombinasi dari {a,b,c} yang berarti d є L.
Teorema 5 :
Setiap n vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., un } yang bebas linier dari V , ruang vektor
berdimensi n , pasti merupakan sistem pembentuk dari V.
8.4
DIMENSI DAN BASIS
DEFINISI DIMENSI :
Suatu ruang vektor V
dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu
himpunan n vektor-vektor є V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n+1)
vektor-vektor є V selalu
bergantung linier,
dengan perkataan lain, banyaknya
maksimum vektor-vektor є V yang bebas linier adalah n.
Teorema 6 :
Setiap n vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., un } yang bebas linier dari V, ruang vektor berdimensi
n, pasti merupakan sistem pembentuk dari V.
DEFINISI BASIS :
Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut Basis dari ruang vektor tersebut.
Setiap himpunan n vektor-vektor yang bebas linier { u1,u2,u3, . . ., un } dari ruang
vektor berdimensi n , disebut basis dari ruang vektor.
Catatan 1 :
Karena vektor-vektor є V tak berhingga banyaknya, kecuali ruang vektor yang
dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0}, dan misalnya dimensi V berhingga =
n, maka kita dapat mencari banyak sekali himpunan n vektor-vektor є V yang
bebas linier. Sehingga kita dapat memilih banyak basis untuk V.
Contoh 5 :
Misalkan S = { a = [1,1,1], b = [2,1,1], c = [3,2,2] }
S membentuk ruang vektor L(S) = L {a,b,c}.
S = {a,b,c} adalah sistem pembentuk dari L.
Kita selidiki bahwa c = a + b, jadi {a,b,c} bergantung linier. Kemudian {a,b} bebas linier
karena tidak berkelipatan.
Jadi, {a,b} adalah sistem pembentuk yang bebas linier berarti basis dari L.
Maka dimensi L adalah = 2. Seperti diterangkan pada Catatan 1 di atas, kita boleh memilih
basis L yang lain, yaitu himpunan 2 vektor є L yang bebas linier.
Contohnya : {a,c} atau {b,c} ataupun yang lain dari a, b atau c.
Catatan 2 :
L{0}, ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol, hanya beranggotakan vektor nol
saja. 0 bergantung linier, jadi vektor yang bebas linier є L {0} tidak ada, berarti
dimensi L{0} = 0.
Catatan 3 :
Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n. Hal ini karena kita dapat menemukan n
vektor-vektor satuan : E = { € 1, € 2, € 3, . . ., € n}, dimana € 1= [1,0,…,0]
€ 2= [0,1,…,0]
..
..
€ n= [0,0,1]
Mudah ditunjukan bahwa E bebas linier. Juga setiap vektor є Rn adalah kombinasi linier dari
E. Jadi, E merupakan basis dari Rn , yang biasanya kita sebut basis alam (natural basis). Juga
dari sini dapat dicatat bahwa setiap m vektor-vektor є Rn, dengan m > n, adalah
bergantung linier.
Contoh 6 :
Vektor a = [1,-1,2,3] є R4 dapat ditulis sebagai kombinasi linier basis E sebagai berikut :
a = [1,-1,2,3] = 1[1,0,0,0] -1[0,1,0,0] +2[0,0,1,0] + 3[0,0,0,1]
a = 1€1 - 1€2 + 2€3 + 3 €4
8.5
LATIHAN
DAN
TUGAS
8.1
RUANG VEKTOR DAN SUB RUANG VEKTOR
VEKTOR YANG BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINIER
DEFINISI :
Himpunan m buah vektor { u1,u2,u3, . . ., um } disebut bergantung linier (linierly
dependent, tidak bebas linier) bila terdapat skalar-skalar λ 1, λ 2, λ 3, … λ m yang tidak
semua nol sedemikian sehingga λ 1 u1+ λ 2 u2 + λ 3 u3+ … + λ m u m = 0….(*).
(0 = vektor nol ).
Himpunan m buah
vektor {u1,u2,u3, . . ., um } disebut bebas linier (linierly
independent,) apabila λ 1 u1+ λ 2 u2 + λ 3 u3+ … + λ m u m = 0 hanya terpenuhi oleh λ 1 =
λ 2 = λ 3 = … = λ m = 0 …..(**)
Catatan 1 :
Kalau m = 1, artinya himpunan hanya mempunyai 1 anggota, yaitu u maka :
(*)
Bila u = 0 (vektor nol), akan bergantung linier, karena λ u = 0 → λ0 = 0, terpenuhi pula
untuk λ ≠ 0.
(**)
Bila u ≠ 0, akan bebas linier karena λ u= 0 hanya terpenuhi oleh λ = 0.
Catatan 2 :
Kalau dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1,u2,u3, . . .,,0,…., um } maka himpunan
itu bergantung linier. λ 1 u1+
λ 2 u2 + λ 3 u3+ … + λ i0 + … + λ m u m = 0, jelas harga λ i ≠ 0
juga memenuhi.
Contoh 1 :
Pandang Ruang vektor R3dengan a = [3,1,2,], b = [1,2,1], c = [2,-1,1] є R3. Ke-3 vektor
tersebut adalah bergantung linier karena : λ 1 a + λ 2b + λ 3c = 0 → λ 1]3,1,2] + λ 2[1,2,1] + λ 3
[2,-1,1] = [0,0,0], ada λ yang ≠ 0, yaitu misalnya λ 1 = 1, λ 2= λ 3 = -1 memenuhi.
Contoh 2 :
[2,3] dan [1,3] adalah bebas linier karena : λ 1[2,3] + λ 2[1,3] = [0,0] atau :
2λ1 + λ2 = 0
3 λ 1 + 3 λ 2 = 0 …..diperoleh hanya λ 1= λ 2= 0
Catatan 3 :
Biasanya kita menyingkat saja ketika mengatakan “ himpunan vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um
} bebas/bergantung linier” menjadi “ vektor-vektor u1,u2,u3, . . ., um bebas/bergantung linier”.
Catatan 4 :
Bila u dan v dua vektor yang berkelipatan, u = αv, maka mereka bergantung linier. Sebab u =
αv → 1u - αv = 0, artinya terdapat λ ≠ 0 pada λ 1u + λ 2v = 0.
Pada Rn , 2 vektor yang berkelipatan dapat kita lihat dari komponen-komponen (seletak) yang
berkelipatan sama.
Teorema (1) :
Jika sebagian (himpunan bagian) dari m vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um }
bergantung linier, maka keseluruhan m vektor-vektor tersebut
adalah
bergantung linier.
Pembuktian Teorema (1) :
Misalkan p vektor,p < m, bergantung linier, sebutlah u1,u2,u3, . . ., u p maka terdapat skalarskalar λ 1, λ 2, λ 3, … λ p yang tidak semua sedemikian sehingga : λ 1 u1+
λ 2 u2 + λ 3 u 3 + … +
λ p u p = 0….(*).Kita ambil kemudian λ p+1 = λ p+2 = λ p+3 = … = λ m = 0.. menjadi : λ 1 u1+ λ 2
u2 + λ 3 u3+ … + λ p u p + λ p+1 u p+1 + λ m u m = 0, dimana terdapat λ 1 ≠ 0 ( λ 1 λ 2,… λ p). Jadi m
vektor tersebut bergantung linier.
Contoh 3 :
a = [2,3,1,4], b = [6,9,3,12], c = [2,0,3,1], d = [0,0,1,4]. Maka karena a dan b berkelipatan,
mereka bergantung linier. Berdasarkan Teorema (1) di atas maka a, b, c dan d bergantung
linier.
Teorema (2) :
Jika himpunan m vektor {u1,u2,u3, . . ., um } bebas linier maka sebagian (himpunan
bagian)-nya juga bebas linier.
Pembuktian Teorema (2) :
Andaikata himpunan bagian
tersebut bergantung linier, menurut teorema sebelumnya
keseluruhan m vektor adalah bergantung linier. Suatu kontradiksi. Pengandaian kita di atas
tidak benar. Jadi haruslah himpunan bagian tersebut bebas linier.
Contoh 4 :
Dapat diselidiki bahwa a = [3,1,2], b = [2,1,1], c = [4,3,3] bebas linier. Maka mudah dilihat
bahwa a Dan b adalah bebas linier.
8.2
KOMBINASI LINIER
DEFINISI :
Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., un } bila
terdapat skalar-skalar { λ 1, λ 2, λ 3, … λ n} sedemikian sehingga v = λ 1 u1 + λ 2 u2 + λ 3 u3
+ … + λ n un
Contoh 1 :
Diketahui vektor-vektor sebagai berikut : a = [2,1,2], b= [1,0,3] dan c = [3,1,5]. Kita hendak
menyatakan atau menuliskan apakah a sebagai kombinasi linier dari b dan c ? Buktikan !
Jawab :
Pertama-tama kita menuliskan v = λ 1 u1 + λ 2 u2 dengan variabel-variabel tidak diketahui yaitu
λ 1, λ 2 yaitu a = λ 1 b + λ 2 c atau [2,1,2] = λ 1 [1,0,3] + λ 2[3,1,5] atau :
2=¿ λ1 +¿ 3 λ2 … … ..(1)
1=¿ 0 λ 1+ ¿ λ2 … …(2)
2=¿3 λ 1+ ¿5 λ 2 … … …(3)
Kita mempunyai 3 persamaan dengan 2 variabel. Kita selesaikan dulu persamaan (1) dan (2),
yang hasilnya λ 2 = 1 dan λ 1 = -1. Kemudian nilai tersebut disubstitusikan ke (3) ternyata
memenuhi pula sehinga bisa dikatakan a kombinasi linier dari b dan c. Jadi , penulisan yang
diminta adalah : a = -b + c.
Contoh 2:
Diketahui vektor-vektor sebagai berikut :
p = [2,1,3], q = [0,1,2] dan r = [2,2,4].Apakah p bisa dikatakan kombinasi linier dari q dan
r ? Buktikan !
Jawab :
Pertama-tama kita menuliskan v = λ 1 u1 + λ 2 u2 dengan variable-variabel tidak diketahui yaitu
λ 1, λ 2 yaitu p = λ 1 q + λ 2 r atau [2,1,3] = λ 1 [0,1,2] + λ 2[2,2,4] atau :
2=¿ 0 λ 1+ ¿ 2 λ 2 … … ..(1)
1=¿ λ 1+¿ 2 λ 2 … . …(2)
3=¿ 2 λ 1+ ¿ 4 λ 2 … … … (3)
Persamaan (1) dan (2) diselesaikan, akan diperoleh λ 2 = 1 dan λ 1 = -1 , akan tetapi nilai-nilai
tersebut tidak memenuhi persamaan (3) sehingga dapat dikatakan bahwa p bukan kombinasi
linier dari q dan r.
Teorema 1 :
Jika m (m>1) vektor {u1,u2,u3, . . ., um } bergantung linier, maka paling sedikit terdapat
satu vektor dapat ditulis sebagai linier dari vektor-vektor selebihnya.
Teorema 2 :
Jika satu di antara m vektor {u1,u2,u3, . . ., um } adalah kombinasi linier dari vektor
selebihnya maka m vektor tersebut bergantung linier.
Contoh 3 :
Selidikilah bahwa vektor-vektor berikut : a = [2,1,2], b = [0,1,0] , c = [2,0,2] , apakah a
kombinasi linier dari b dan c? Dan Apakah bergantung linier juga ?
Jawab :
Misalkan a = λ 1 b + λ 2 c atau [2,1,2] = λ 1 [0,1,0] + λ 2[2,0,2] atau :
2=¿ 0 λ1 +¿ 2 λ2 … … ..(1)
1=¿ λ1 +¿ 0 λ2 … . …(2)
2=¿ 0 λ1 +¿ 2 λ 2 … … …(3)
Persamaan (1) dan (2) diselesaikan, akan diperoleh λ 1 = 1 dan λ 2 = 1. Berarti a kombinasi
linier dari b dan c. Sehingga {a,b,c} bergantung linier.
Teorema 3 :
Jika m vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um } bebas linier dan (m+1) vektor-vektor {u1,u2,u3
, . . ., um . v } bergantung linier , maka v adalah kombinasi linier dari {u1,u2,u3, . . ., um }
Teorema 4 :
Pandang S suatu himpunan bagian dari ruang vektor W. Misalkan S = { u1,u2,u3, . . ., um
}, maka himpunan semua kombinasi linier dari S, ditulis L(S) merupakan Ruang
Vektor bagian dari W, sebab :
(1) LS ≠ 0, karena 0 = 0u1 + 0u2 + 0u3 + … = 0 0um kombinasi linier dari S, berarti
0 є L(S).
(2) Misalkan v є L(S), berarti v = λ 1 u1 + λ 2 u2 + λ 3 u3 + … + λ m u m , w є L(S), berarti
w = λ 1 u1 + λ 2 u2 + λ 3 u3 + … + λ m u m, v + w = ( λ 1 + µ1 )u1 + … + ( λ m + µm)um
merupakan kombinasi linier dari S, berarti v + w є L(S).
(3) Bila α skalar maka αv = (α λ 1)u1 + (α λ 2)u2 + … + (α λ m)um juga merupakan
kombinasi linier dari S , berarti α є L(S).
Ruang vektor L(S) disebut ruang vektor yang dibentuk (dibangun generated) oleh S. S
disebut suatu sistem pembentuk atau sistem generator. Kita definisikan sebagai berikut :
8.3
DEFINISI RUANG VEKTOR YANG DIBENTUK
Suatu himpunan vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., um } disebut sistem pembentuk dari
ruang vektor V, ditulis V = L {u1,u2,u3, . . ., um } bila setiap vektor v є V dapat
ditulis sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,u3, . . ., um }
Contoh 4 :
Vektor-vektor a = [2,1,0] , b = [3,2,1] , c = [5,3,1] adalah pembentuk ruang Vektor L{a,b,c}.
Untuk menyelidiki apakah vektor d = [1,1,1] є L, kita selidiki apakah d kombinasi linier dari
{a,b,c}. Ternyata d = -a + b + c, jadi d kombinasi dari {a,b,c} yang berarti d є L.
Teorema 5 :
Setiap n vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., un } yang bebas linier dari V , ruang vektor
berdimensi n , pasti merupakan sistem pembentuk dari V.
8.4
DIMENSI DAN BASIS
DEFINISI DIMENSI :
Suatu ruang vektor V
dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu
himpunan n vektor-vektor є V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n+1)
vektor-vektor є V selalu
bergantung linier,
dengan perkataan lain, banyaknya
maksimum vektor-vektor є V yang bebas linier adalah n.
Teorema 6 :
Setiap n vektor-vektor {u1,u2,u3, . . ., un } yang bebas linier dari V, ruang vektor berdimensi
n, pasti merupakan sistem pembentuk dari V.
DEFINISI BASIS :
Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut Basis dari ruang vektor tersebut.
Setiap himpunan n vektor-vektor yang bebas linier { u1,u2,u3, . . ., un } dari ruang
vektor berdimensi n , disebut basis dari ruang vektor.
Catatan 1 :
Karena vektor-vektor є V tak berhingga banyaknya, kecuali ruang vektor yang
dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0}, dan misalnya dimensi V berhingga =
n, maka kita dapat mencari banyak sekali himpunan n vektor-vektor є V yang
bebas linier. Sehingga kita dapat memilih banyak basis untuk V.
Contoh 5 :
Misalkan S = { a = [1,1,1], b = [2,1,1], c = [3,2,2] }
S membentuk ruang vektor L(S) = L {a,b,c}.
S = {a,b,c} adalah sistem pembentuk dari L.
Kita selidiki bahwa c = a + b, jadi {a,b,c} bergantung linier. Kemudian {a,b} bebas linier
karena tidak berkelipatan.
Jadi, {a,b} adalah sistem pembentuk yang bebas linier berarti basis dari L.
Maka dimensi L adalah = 2. Seperti diterangkan pada Catatan 1 di atas, kita boleh memilih
basis L yang lain, yaitu himpunan 2 vektor є L yang bebas linier.
Contohnya : {a,c} atau {b,c} ataupun yang lain dari a, b atau c.
Catatan 2 :
L{0}, ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol, hanya beranggotakan vektor nol
saja. 0 bergantung linier, jadi vektor yang bebas linier є L {0} tidak ada, berarti
dimensi L{0} = 0.
Catatan 3 :
Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n. Hal ini karena kita dapat menemukan n
vektor-vektor satuan : E = { € 1, € 2, € 3, . . ., € n}, dimana € 1= [1,0,…,0]
€ 2= [0,1,…,0]
..
..
€ n= [0,0,1]
Mudah ditunjukan bahwa E bebas linier. Juga setiap vektor є Rn adalah kombinasi linier dari
E. Jadi, E merupakan basis dari Rn , yang biasanya kita sebut basis alam (natural basis). Juga
dari sini dapat dicatat bahwa setiap m vektor-vektor є Rn, dengan m > n, adalah
bergantung linier.
Contoh 6 :
Vektor a = [1,-1,2,3] є R4 dapat ditulis sebagai kombinasi linier basis E sebagai berikut :
a = [1,-1,2,3] = 1[1,0,0,0] -1[0,1,0,0] +2[0,0,1,0] + 3[0,0,0,1]
a = 1€1 - 1€2 + 2€3 + 3 €4
8.5
LATIHAN
DAN
TUGAS