Untuk SMAMA Kelas XI

Kata Sambutan

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2007 tanggal 25 Juni 2007. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/ penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.

Jakarta, Februari 2009 Kepala Pusat Perbukuan

Kata Pengantar

uji syukur patut kalian panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena

dengan rahmat dan karunia-Nya kalian memperoleh kesempatan untuk melanjutkan belajar ke jenjang berikutnya.

Saat ini kalian akan diajak kembali belajar tentang Fisika. Fisika merupakan salah satu cabang IPA yang mendasari perkembangan teknologi maju dan konsep hidup harmonis dengan alam.

Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini, sedikit banyak dipicu oleh temuan-temuan di bidang fisika material melalui penemuan piranti mikroelektronika yang mampu memuat banyak informasi dengan ukuran yang sangat kecil. Oleh karena itu, sebagai seorang pelajar kalian perlu memiliki kemampuan berpikir, bekerja, dan bersikap ilmiah serta berkomunikasi sebagai salah satu aspek penting kecakapan hidup di era globalisasi ini.

Buku ini ditulis untuk memenuhi kebutuhan kalian akan pengetahuan, pemahaman, dan sejumlah kemampuan yang dipersyaratkan untuk memasuki jenjang pendidikan yang lebih tinggi serta mengembangkan ilmu dan teknologi. Selain itu, juga untuk membantu kalian mengembangkan kemampuan bernalar, mengembangkan pengalaman, memupuk sikap ilmiah, dan membentuk sikap positif terhadap fisika. Buku ini memuat aspek materi fisika yang menekankan pada segala bentuk fenomena alam dan pengukurannya, gerak benda dengan berbagai hukumnya, penerapan gejala gelombang dalam berbagai bidang ilmu fisika, dan lain-lain yang disusun secara sistematis, komprehensif, dan terpadu. Dengan demikian, kalian akan memperoleh pemahaman yang lebih luas dan mendalam tentang aspek-aspek tersebut.

Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat bagi kalian dalam memperoleh pengetahuan, pemahaman, dan kemampuan menganalisis segala hal yang berkaitan dengan fenomena alam sehingga kalian mampu hidup selaras berdasarkan hukum alam, mampu mengelola sumber daya alam dan lingkungan, serta mampu mengurangi dampak bencana alam di sekitar kalian.

Selamat belajar, semoga sukses. Juli, 2007

Penulis

iii

1 KINEMATIKA DENGAN

ANALISIS VEKTOR

Jet tempur bergerak di udara pada Sumber: Encarta Encyclopedia, 2006 bidang horizontal dan vertikal.

S tempur bergerak melakukan akrobatik di udara. Jet tempur itu bergerak

etiap benda dapat bergerak, daun-daun bergerak, hewan berpindah tempat, dan mobil melaju. Benda dikatakan bergerak apabila posisinya berubah terhadap titik acuan. Perhatikan gambar di atas, jet

pada bidang horizontal dan vertikal. Untuk mengetahui posisi benda pada w aktu tertentu digunakan persamaan gerak yang meliputi posisi, kecepatan,

percepatan, dan hubungan ketiganya.

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

Pada saat kelas X, kalian telah mempelajari gerak. Coba ingat kembali, apakah yang dimaksud gerak? Gerak merupakan perubahan posisi benda terhadap suatu titik

acuan. Gerak benda sudah menjadi bagian dari kejadian

gerak lurus,

gerak melingkar,

nyata dalam kehidupan sehari-hari. Mobil bergerak, buah

gerak parabola,

kelapa jatuh dari tangkainya, pesawat terbang di angkasa,

kecepatan, percepatan,

bahkan bulan adalah contoh dari benda bergerak.

posisi, waktu

Ilmu yang mempelajari gerak disebut mekanika. M ekanika dibedakan menjadi dua yaitu kinematika dan

d inamika. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak tanpa memerhatikan penyebabnya. Apa saja yang dipelajari

d alam kinematika? Konsep kinematika berhubungan

d engan posisi, kecepatan, percepatan, dan waktu yang berkaitan erat, yaitu perubahan posisi dalam selang waktu tertentu menyebabkan adanya kecepatan, dan perubahan kecepatan menyebabkan adanya percepatan.

Sebuah mobil yang sedang bergerak lurus memiliki kecepatan yang setiap saat dapat kita baca nilainya dari spidometer yang ada pada kendaraan tersebut, tetapi tidak

Sumber: Dokumen Penerbit, 2006

d apat langsung menyatakan posisi di mana kita berada.

Gambar 1.1 Mobil berjalan

Untuk mengetahui posisi benda pada waktu tertentu,

dikatakan melakukan gerak lurus.

kalian akan mempelajari hubungan antara posisi, kecepatan,

d an percepatan yang dinyatakan dalam persamaan gerak. Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari

bab ini adalah vektor, fungsi turunan, dan integral.

A. Posisi Titik Materi pada Suatu Bidang

Posisi suatu benda dapat diketahui dengan meng-

gambarkannya dalam suatu bidang. Posisi titik materi pada suatu bidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor. Oleh karena itu terlebih dahulu kita bahas tentang vektor

satuan dalam bidang.

1. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan.

zk

D alam sistem koordinat kartesius ada tiga jenis vektor satuan, yaitu i, j, k yang saling tegak lurus dan masing-

Gambar 1.2 Vektor satuan

masing menyatakan arah sumbu x, y, dan z positif.

pada sumbu x, y, dan z adalah

Perhatikan Gambar 1.2 di samping.

i, j, dan k.

Vektor-vektor satuan tersebut dapat dioperasikan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. M isalnya, vektor A berada pada bidang x dan y (Gambar

1.3) maka vektor A dapat dinyatakan berikut ini.

Fisika XI untuk SMA/MA

Jika komponen vektor A ditulis dalam vektor satuan, maka:

A x =A x i = (Acos

D )i

D )j sehingga: A y =A y j

A y =A y j = (Asin

A=A x +A y

A=A x i+A y j

D )i + (Asin D )j ..................................... (1.1) Besarnya vektor A adalah:

A = (Acos

i A x =A x i x Gambar 1.3 Vektor A dalam

2 A= 2 A

A y ............................................... (1.2)

vektor satuan i dan j.

2. Vektor Posisi

Posisi atau kedudukan suatu titik materi dinyatakan

oleh vektor posisi, yaitu vektor yang dibuat dari titik acuan ke arah titik materi tersebut. Perhatikan Gambar 1.4,

sebuah titik materi terletak di A ( x 1 , y 1 ), maka vektor posisi

yj

A(x 1 , y 1 )

titik tersebut dituliskan dengan: r= xi + yj ................................................................ (1.3) Besarnya vektor posisi adalah:

r=

x x y ......................................................... (1.4) Arah vektor r (

xi

D ) dapat ditentukan dengan persamaan:

Gambar 1.4 Posisi titik materi

y tan pada bidang XOY. D = ............................................................... (1.5) x

Jika terjadi perpindahan tempat, maka vektor posisi juga

berubah. Perpindahan adalah perubahan posisi suatu benda pada waktu tertentu. Perhatikan Gambar 1.5, A(x

sebuah titik materi mula-mula berada di A ( x 1 , y 1 ) dengan

v y 2 ektor posisi r

A , kemudian bergerak dengan lintasan

B(x , y A 2 2 )

sembarang sampai di B ( x 2 , y 2 ), dengan vektor posisi r B .

Besarnya perpindahan titik materi tersebut ( ' r ) adalah: ' r =r B –r A ............................................................. (1.6)

Persamaan (1.6) dapat dinyatakan dalam vektor satuan:

' r =( x 2 i+ y 2 j) – ( x 1 i+ y 1 j)

' Gambar 1.5 Perpindahan r = x

2 i– x 1 i+ y 2 j– y 1 j

' titik materi.

r =( x 2 – x 1 )i + ( y 2 – y 1 )j

' r = ' xi + ' yj ....................................................... (1.7) Besarnya perpindahan adalah:

' r = x 2 ' ' y 2 .............................................. (1.8) dengan:

Pada saat t = t 1 , maka vektor

' r = besarnya perpindahan; ' x=x 2 – x 1 posisinya r 1 t = t dan pada saat

2 ' , maka vektor posisinya –

y=y 2 y

1 r 2 dan perpindahan partikel

adalah ' r =r 2 –r 1 .

Arah perpindahannya adalah: tan D = ' x

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

Contoh Soal Sebuah materi bergerak pada bidang datar dengan lintasan sembarang dari titik

A (3,5) ke titik B (5,1), tentukan:

b. besarnya perpindahan! Penyelesaian:

a. v ektor perpindahan,

D iketahui: r A = 3i + 5j r B = 5i + j

D itanya:

a. vektor ' r = ... ?

b. r = ... ? Jawab:

a. Vektor perpindahan

b. Besarnya perpindahan ' r = ( ' x i ' y j )

=( x 2 – x 1 )i +( y 2 – y 1 )j

(-4) ' r = 2i – 4j

2 = 2 2 = (5 – 3)i +(1 – 5)j

Uji Kemampuan 1.1

2 Sebuah materi memiliki vektor posisi yang dinyatakan dengan r = (2 2 t )i + (2 t + t)j. Tentukan vektor perpindahan materi tersebut jika t = 1 s dan t = 2 s! Tentukan

pula besar perpindahannya!

B. Kecepatan

Kecepatan merupakan perpindahan (perubahan posisi) suatu benda terhadap satuan waktu. Kecepatan merupakan besaran vektor karena memiliki arah.

1. Kecepatan Rata-Rata

B Berdasarkan Gambar 1.6 dapat diketahui bahwa perubahan posisi benda (titik materi) dari A ke B adalah

'r

' r =r B –r A , sedangkan selang waktu yang diperlukan r B adalah ' t=t B – t A . Hasil bagi antara perpindahan dan

A selang waktu tersebut adalah kecepatan rata-rata yang

d irumuskan:

r A 'r

= ' ............................................. (1.9)

Gambar 1.6 Kecepatan rata-

dengan:

rata memiliki arah yang sama

= kecepatan rata-rata (m/s) ' r = perpindahan (m) ' t = selang waktu (s)

dengan arah perpindahan.

Fisika XI untuk SMA/MA

Persamaan (l.9) apabila dinyatakan dalam vektor satuan, maka:

v = v x i+ v y j ....................................................... (1.10) dengan:

v = kecepatan rata-rata

Sumber: CD ClipArt

' x Gambar 1.7 Kecepatan

v= x = komponen kecepatan rata-rata pada sumbu ' x

t rata-rata roller coaster

' dihitung dari jarak lintasan y

v y = = komponen kecepatan rata-rata pada sumbu y ' dibagi waktu yang t

diperlukan.

Tanda garis di atas besaran v menyatakan harga rata-rata, arah kecepatan rata-rata v searah dengan perpindahan ' r .

2. Kecepatan Sesaat

Jika kalian mengendarai sepeda motor sepanjang jalan yang lurus sejauh 100 km dalam waktu 2 jam, besar kecepatan rata-ratanya adalah 50 km/jam. Walaupun

d emikian, tidak mungkin kalian mengendarai sepeda motor tersebut tepat 50 km/jam setiap saat. Untuk

mengetahui situasi ini, kita memerlukan konsep kecepatan sesaat yang merupakan kecepatan pada suatu waktu. Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata pada limit selang waktu ' t mendekati nol. Secara matematis kecepatan sesaat dituliskan:

= Sumber: Jawa Pos, 18 Juni 2006 .............................................. (1.11)

lim '

' t o 0 ' r t dt

Gambar 1.8 Ketika

mengendarai sepeda motor dt

adalah turunan pertama fungsi vektor posisi terhadap

memerlukan konsep kecepatan

w aktu.

sesaat.

Jika r = xi + yj dan ' r = ' xi + ' yj M aka,

v = v x i+ v y j ......................................................... (1.12) dengan:

v = vektor kecepatan sesaat (m/s)

v Notasi turunan dari fungsi x = dt = komponen kecepatan sesaat pada sumbu x (m/s)

dx

vektor diperkenalkan oleh

dy Gottfried Wilhelm Leibniz

v y = = komponen kecepatan sesaat pada sumbu y (m/s)

(1646 - 1716) seorang ahli

dt

matematika dari Jerman.

Arah kecepatan sesaat merupakan arah garis singgung lintasan di titik tersebut.

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

Contoh Soal

1. Sebuah partikel mula-mula berada pada posisi A (4 m, 5 m). Setelah 2 sekon partikel berada pada posisi B (6 m, 3 m), tentukan:

a. v ektor perpindahan,

b. besarnya perpindahan,

c. v ektor kecepatan rata-rata, dan

d . besarnya kecepatan rata-rata! Penyelesaian:

D iketahui: r A = (4i +5j) m r B = (6i + 3j) m

' t =2s

D itanyakan: a. vektor ' r = ... ?

b. ' r = ... ?

c. vektor v = ... ?

d . v = ... ?

Jawab:

a. Vektor perpindahan ' r =( x B – x A )i + ( y B – y A )j = (6 – 4)i + (3 – 5)j = 2i – 2j

b. Besarnya perpindahan ' 2 r = 2 2 ' 2 x ' y = 2 (-2) = 4 4 = 8 =2 2 m

c. Vektor kecepatan rata-rata

2 (- 2 )

d . Besarnya kecepatan rata-rata

2 . Sebuah partikel bergerak lurus ke arah sumbu x dengan persamaan x = 5t 2 +4 t – 1, x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan sesaat pada waktu t = 2 sekon! Penyelesaian:

D iketahui: 2 Persamaan posisi partikel r = (5t +4 t –1)i

D itanya: v = ... ? ( t = 2 s) Jawab:

Untuk t=2s v = (10)(2) + 4 = 20 + 4 = 24 m/s

Fisika XI untuk SMA/MA

3. Menentukan Posisi dari Fungsi Kecepatan

Berdasarkan persamaan (1.11) kecepatan dapat dicari

d engan turunan dari fungsi posisinya. Sebaliknya, jika fungsi kecepatan diketahui, fungsi posisi dapat ditentukan

d engan mengintegralkan fungsi kecepatan tersebut.

Rumus menentukan posisi dari fungsi kecepatan:

= dr

v = v(t) = v x i+v y j dt

dr = v.dt

r=r 0 + ³ v dt = xi + yj

Apabila persamaan tersebut diintegralkan, maka:

r 0 =x 0 i+y 0 j

³ d r = v ³ . dt

= v ³ . r dt

r– r

0 = ³ . dt

=r 0 + v ³ . dt ................................................ (1.13) t dengan: 0

r 0 = posisi awal (m) r = posisi pada waktu t (m) v = kecepatan yang merupakan fungsi waktu (m/s) Komponen posisi pada arah sumbu x dan sumbu y adalah:

x= x 0 v t ³

x dt .

y= y 0 v .dt y .................................................... (1.14)

Kegiatan

Tujuan : Memeragakan metode yang digunakan para pelaut pertama untuk menentukan kecepatan kapal. Alat dan bahan : Gunting, pensil, tali, penggaris, stopwatch.

Cara Kerja:

1. Potonglah tali sepanjang 3 m dan buatlah simpul di setiap ujungnya.

2 . Potonglah sepuluh buah tali yang berukuran 10 cm.

3. Ikatlah satu potong tali pada setiap jarak 30 cm di sepanjang tali yang panjang. Ikatlah potongan-potongan tali tersebut dengan kuat sehingga tidak mudah bergeser.

30 cm ^ ^ 10 cm

3m

4. Gulunglah tali yang panjang ke bagian tengah pensil.

5. Peganglah pensil dengan kedua tanganmu.

6. Mintalah kepada teman untuk memegang ujung tali yang tidak tergulung

d an mulailah menghitung waktunya menggunakan stopwatch.

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

7 . Ketika temanmu berkata ‘mulai’ dengan perlahan mulailah berjalan mundur, biarkanlah gulungan tali terbuka, dan hitunglah simpul yang melewati ibu

jari dan jari tengahmu.

8. Berhentilah ketika temanmu berkata ‘waktu sudah 2 menit’.

9. Gulunglah kembali tali ke pensil, ulangi kembali langkah ke-5 sampai ke-8. Akan tetapi kali ini berjalanlah secepat mungkin.

10. Bandingkan panjang tali yang tidak tergulung. Diskusi: Bagaimana hasilnya ketika kalian berjalan biasa dengan berjalan lebih cepat?

M engapa demikian? Pelaut akhirnya menggunakan kata knot atau simpul untuk mengukur kecepatan kapal laut. Satu

knot adalah 1 nautikal mil per jam. Adapun 1 nautikal mil sama dengan 6.076 kaki (= 1.823 m).

Contoh Soal Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan kecepatan v = 2t – 2,

v dalam m/s dan t dalam s. Pada saat t = 0, posisi benda x 0 = 3 m, tentukan:

a. persamaan posisi setiap waktu,

b. jarak yang ditempuh benda setelah bergerak 5 sekon pertama! Penyelesaian:

D iketahui: v = (2 t – 2) m/s

t 0 =0 o x 0 =3m

D itanyakan: a. x = ... ?

b. x t = ... ? ( t = 5 s) Jawab:

a. x=x 0 + v dt x .

0 dt = x 0 + >@ t 2 t 0 = 3+ >@ t 2 t =( t –2 0 t + 3) m

b. untuk t=5s x 2

t = (5) – (2)(5) + 3 = (25 – 10 + 3) m = 18 m

Uji Kemampuan 1.2

Sebuah partikel bergerak di bidang datar dengan persamaan x = 3t 2 + 3 dan y = 6t 2 +3 t (x dan y dalam meter dan t dalam sekon). Tentukan:

a. koordinat titik pada t = 2 s,

b. vektor perpindahan pada t = 0 sampai t = 2 s,

c. v ektor kecepatan rata-rata pada t = 0 sampai t = 2 s, dan

d . besarnya kecepatan pada t = 2 s!

Fisika XI untuk SMA/MA

C. Percepatan

Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan w aktu. Seperti kecepatan, percepatan juga merupakan

besaran vektor.

1. Percepatan Rata-Rata y

Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan

d ibagi dengan waktu yang diperlukan untuk perubahan

tersebut. Perhatikan Gambar 1.9. Pada saat t 1 , sebuah

partikel berada di A dengan kecepatan sesaat v 1 dan pada

saat t 2 partikel berada di B dengan kecepatan sesaat v 2 ,

percepatan rata-rata selama bergerak dari A ke B adalah:

'v ........................................ (1.15) t 2 t 1 ' t

dengan:

2 Gambar 1.9 Percepatan

a = percepatan rata-rata (m/s )

rata-rata suatu benda yang

' v = perubahan kecepatan (m/s)

bergerak dari A ke B.

' t = selang waktu (s) Persamaan (1.15) jika diciptakan dalam vektor satuan,

maka:

a = a x i a y j ......................................................... (1.16) dengan:

' v x v x 2 v x1

2. Percepatan Sesaat

Percepatan sesaat didefinisikan sebagai limit kecepatan rata-rata untuk interval waktu mendekati nol.

a = ' t o 0 ' v t dt .............................................. (1.17) Jika v = v x i+ v y j , maka:

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

0 t D ari persamaan (1.18) dapat dikatakan bahwa percepatan merupakan turunan dari fungsi kecepatan terhadap waktu.

Gambar 1.10 Percepatan

Percepatan juga merupakan turunan kedua fungsi posisi

sesaat merupakan kemiringan grafik kecepatan terhadap

terhadap waktu.

Karena v x =

dan v = , maka persamaan (1.18) dapat

d ituliskan: dt

Rumus percepatan sesaat

Sehingga percepatan sesaat menjadi:

Contoh Soal

1. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan kecepatan v = (3+4 2 t)i + (3t )j,

v dalam m/s dan t dalam s, tentukan:

a. besar percepatan rata-rata dari = 0 sampai t = 2 s,

b. besar percepatan saat t = 1 s dan t = 2 s! Penyelesaian:

a. Percepatan rata-rata

t 2 =0 s o v

0 = (3 + (4)(0))i + 3(0) j = 3i

t 2 =2s o v=v 2 = (3 + (4)(2))i + 3(2)

Besarnya percepatan rata-rata:

a y = 4 6 = 16 36 = 52 = 2 13 m/s

Fisika XI untuk SMA/MA Fisika XI untuk SMA/MA

Besarnya percepatan:

t =1 s o a 1 = 4i + (6)(1)j

1 = 4 6 = 52 = 2 13 m/s

Besarnya percepatan:

t =2s o a 2 = 4i + (6)(2)j = 4i + 12j

2 = 4 12 = 16 144 = 4 10 m/s

2 . Suatu partikel bergerak lurus dengan persamaan gerak r = 2 t 3 –2 t + 10 t + 3, r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:

a. kecepatan saat t = 2 sekon,

b. percepatan saat t = 2 sekon,

c. percepatan rata-rata untuk t = 1 s dan t = 3 s! Penyelesaian:

t =2s 2 o v = 3(2) – 4(2) + 10 = 12 – 8 + 10 = 14 m/s

b. a dv = =6 t–4

dt

t =2s 2 o a = (6)(2) – 4 = 8 m/s

c. 2 t =1 s o

1 v = (3)(1) – (4)(1) + 10 = 9 m/s 2

t =3 s o v 3 = (3)(3) – (4)(3) + 10 = 25 m/s

3. Menentukan Kecepatan dari fungsi Percepatan Berdasarkan persamaan (1.17), maka: a= dv

dt o dv = a.dt

F ungsi kecepatan dapat ditentukan dengan meng-

Rumus kecepatan dari fungsi

integralkan fungsi percepatan tersebut. percepatan

a = a(t ) = a x i+a y j

³ v d = ³ a dt

v=v 0 + a dt =v x i+v y j

Apabila saat t 0 kecepatannya v 0 dan pada saat t

v 0 =v 0x i +v 0y j

kecepatannya v, maka batas-batas integralnya adalah:

d v = ³ a dt v ³ 0 t 0

0 = ³ a dt

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

t dengan: 0

0 = kecepatan awal, pada saat t 0 (m/s)

v = kecepatan pada saat t (m/s)

a = percepatan yang merupakan fungsi waktu (m/s 2 ) Apabila vektor kecepatan dan percepatan dinyatakan

d alam komponen-komponennya, maka:

=v 0x + ³ a x dt

=v 0y + ³ a y dt .................................................... (1.22)

Contoh Soal

1. Partikel bergerak lurus dengan persamaan percepatan a = 3i + (4 2 t)j, a dalam m/s

d an t dalam s. Jika kecepatan awal partikel v 0 = 2i + 3j, tentukan persamaan kecepatan partikel tersebut! Penyelesaian:

D iketahui:

a = 3i + (4 t)j

0 = 2i + 3j

D itanya: v = ... ? Jawab:

v =v

(3 (4 ) i t dt ³ )j a dt = (2i + 3j) + ³

= 2i + 3j + (3 t)i + (2t )j = (2 + 3 t)i + (3 + 2t )j

Jadi, persamaan kecepatannya v = (2 + 3 t)i + (3 + 2t 2 )j

2 . Sebuah benda bergerak lurus dengan persamaan percepatan

a = 2 + 4t,

a dalam m/s 2 dan t dalam sekon. Jika kecepatan awal dan posisi awal benda masing-masing 2 m/s dan 5 m, tentukan:

a. persamaaan kecepatan,

b. posisi benda saat t = 3 s! Penyelesaian:

D iketahui: a =2+4 t

0 = 2 m/s r 0 =5 m

D itanya:

a. v = ... ?

b. r = ... ? Jawab:

a. v =v 0 + ³ a dt =2+ ³ ( 2 4 t ) dt

=2+2 t + 2t Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = (2 + 2 2 t + 2t ) m/s

Fisika XI untuk SMA/MA

2 2 b. r = r 2 0 + ³ v dt =5+ ³ ( 2 t 2 t ) dt 2 =5+2 t+t + t 3

3 Pada saat t = 3 sekon, maka:

2 r= 2 (3 3 )+3 + 2(3) + 5 = 18 + 9 + 6 + 5 = 38 m

Uji Kemampuan 1.3

1. Sebuah materi bergerak dengan kecepatan yang ditentukan oleh persamaan

x =2 t + 4 dan v y =3 t , v dalam m/s dan t dalam s. Tentukan:

a. besar percepatan rata-rata dari t = 0 sampai t = 2 s,

b. besar percepatan saat t = 1 s!

2 . Sebuah benda bergerak dengan percepatan yang ditentukan oleh persamaan

a=3 2 t + 6, a dalam m/s dan t dalam s. Jika kecepatan awal 3 m/s dan posisi awal 3 m, tentukan:

a. besar kecepatan saat t = 2 s,

b. posisi benda saat t = 1 s!

D. Gerak Lurus

Gerak lurus berubah beraturan merupakan gerak dengan percepatan konstan. Selama geraknya percepatan a tidak berubah baik besar maupun arahnya, karena itu komponen- komponen a juga tidak berubah, a x konstan dan a y konstan.

D engan demikian, kita memiliki suatu keadaan yang dapat

d inyatakan sebagai jumlah dari dua komponen gerak pada

d ua arah yang berbeda, masing-masing dengan percepatan konstan dan terjadi secara serempak.

Sumber: Encarta Encyclopedia, 2006

Persamaan untuk percepatan konstan dapat kalian lihat

Gambar 1.11 Kereta api

pada Tabel 1.1, diterapkan untuk komponen x dan y dari

melakukan gerak lurus

v berubah beraturan. ektor posisi r, vektor kecepatan v, dan vektor percepatan a.

Tabel 1.1 Persamaan-persamaan untuk percepatan konstan

Persamaan gerak dalam arah x Persamaan gerak dalam arah y v x =v 0x +a x t

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

Apabila gerak lurus yang terjadi merupakan perpaduan beberapa gerak maka dinyatakan dalam vektor resultan. Perpindahannya berdasarkan analisis komponen-komponen v ektornya pada sumbu x dan y.

Vektor resultan s dapat dinyatakan ke dalam vektor s 1 dan

s 2 sebagai berikut:

s =s +s 2

1 Kita dapat menuliskan besar komponen-komponen

berikut:

s 1x = s 1 .cos T 1 s 1y = s 1 .sin T 1 s 2 x = s 2 .cos T 2 s 2 y = s 2 .sin T 2

Gambar 1.12 Resultan vektor perpindahan.

sehingga:

s x =s 1x +s 2 x =s 1 cos T 1 +s 2 cos T 2 s y = s 1y + s 2 y = s 1 sin T 1 +s 2 sin T 2

Besar vektor resultan dinyatakan:

s y ................................................... (1.23) Contoh Soal

Seorang tukang sayur berjalan sejauh 100 m ke Timur kemudian berbelok ke Selatan sejauh 120 m, dan ke Barat Daya sejauh 80 m. Hitunglah besar dan arah perpindahannya! Penyelesaian:

y 100 m

Komponen y:

s 1y = s 1 .sin T 1 = (100)(sin 0) = 0 s 2 y = s 2 .sin = (120)(sin(-90 o T 2 )) = -120 s 3y = s 3 .sin T 3 = (80)(sin 135 o ) = 56,6

s 1 Timur

s 2 120 m

s y = -120 + 56,6 = -63,4 Komponen x:

s 1x = s 1 .cos 3 T 1 = (100)(cos 0 o ) = 100

Selatan

80 m

s 2 x = s 2 .cos T 2 = (120)(cos (-90 o )) = 0

= s 3 .cos T 3 = (80)(cos 135 ) = -56,6 s x = 100 + 0 – 56,6 = 43,4

Barat daya

3x

Besar perpindahan:

s y = (43,4) (-63,4) = 76,83 m Arah perpindahan:

s y § 63,4 D · = arc tan

s = arc tan x ¨ - ¸ = -55,6 (searah jarum jam dari Timur)

Fisika XI untuk SMA/MA

Uji Kemampuan 1.4

Sebuah bus dengan rute perjalanan melalui tiga kali persinggahan seperti ditunjukkan

gambar di samping. OA = 40 km s 3

AB = 30 km BC = 20 km

Berapakah besar dan arah perpindahannya? R

60 o

E. Gerak Parabola

Perhatikan Gambar 1.13. Bagaimana lintasan yang

d itempuh atlet tersebut? Atlet menempuh lintasan parabola (melengkung). Gerak parabola merupakan perpaduan

gerak lurus beraturan (GLB) pada arah horizontal dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) pada arah vertikal. Gerak parabola juga dikenal dengan gerak peluru. Lemparan bola, bola yang ditendang, peluru yang ditembakkan dari senapan, atlet yang melakukan lompat jauh atau lompat tinggi, merupakan contoh gerak parabola. Pada pembahasan

Sumber: Ensiklopedi Umum untuk Pelajar Jilid 1, PT Ichtiar Baru van

ini kita mengabaikan gesekan udara, dan tidak akan

Hoeve, 2005

memperhitungkan dengan proses bagaimana benda

Gambar 1.13 Atlet yang

d ilemparkan, tetapi hanya memerhatikan geraknya setelah

melakukan lompat tinggi.

d ilempar dan bergerak bebas di udara dengan pengaruh gravitasi semata. Oleh karena itu, percepatan benda

tersebut disebabkan oleh percepatan gravitasi ( g) yang arahnya ke bawah (menuju pusat Bumi).

Perhatikan Gambar 1.14. Sebuah y benda mula-mula berada di pusat

v y =0v=v 0x

koordinat, dilemparkan ke atas dengan

kecepatan v 0 dan sudut elevasi D . Pada v 0y

arah sumbu v x, benda bergerak dengan h y v kecepatan konstan, atau percepatan nol

(a = 0), sehingga komponen kecepatan

D Ev x =v 0x

mempunyai besar yang sama pada setiap titik lintasan tersebut, yaitu

A v 0x

v y = -v 0y

v sama dengan nilai awalnya v = -v pada 0

0x

sumbu y, benda mengalami percepatan Gambar 1.14 Lintasan gerak peluru. gravitasi g.

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

Untuk menganalisis gerak peluru, kita tinjau gerak

d alam arah sumbu x dan sumbu y.

1. Vektor kecepatan awal (titik A) Komponen vektor kecepatan awal pada sumbu x

d an y adalah:

= v 0 .cos D ............................................... (1.24)

0x

v 0y = v 0 .sin D

2 . Kecepatan benda setiap saat (titik B).

Pada arah sumbu x (GLB)

=v 0x = v 0 .cos D ....................................... (1.25)

Pada arah sumbu y (GLBB) v y = v 0y – gt

= v 0 . sin D – gt ........................................ (1.26)

Sumber: CD ClipArt

Besarnya kecepatan adalah:

Gambar 1.15 Bola yang dilempar membentuk lintasan

parabola.

3. Posisi benda setiap saat - Pada arah sumbu x x=v 0x . t

x=v 0 .cos D . t ........................................ (1.27a)

- Pada arah sumbu y . t – 1 y=v 2 0y 2 gt

y=v .sin D 0 2 . t– 1 2 gt ............................ (1.27b)

4. Tinggi maksimum benda ( h)

Pada saat benda mencapai ketinggian maksimum, misalnya, di titik C kecepatan arah vertikal sama dengan 0.

Gerak parabola merupakan

perpaduan dari gerak lurus beraturan yang mengarah

v 0 .sin D – gt = 0

horizontal dan gerak lurus

0 .sin D

= g.t

berubah beraturan yang

mengarah vertikal.

v . sin D

d engan t adalah waktu untuk mencapai ketinggian maksimum. Jika t kita substitusikan ke persamaan (1.27b), maka:

D · 1 § v 0 . sin y D = v

§ 2 v sin

0 .sin D ¨

h = tinggi maksimum

Fisika XI untuk SMA/MA

5. Jarak jangkauan benda ( R) Pada saat benda menyentuh tanah, misalnya di titik E, posisi vertikal benda adalah nol. y

=0 y 2 = v

. sin t 2 g.t

Pada gerak parabola berlaku: 1 2 v x =v cos D

2 g . = v 0 .sin D . t

y=v sin D .t – 1 gt 2

2 v 0 . sin D 0 2

t R = ......................................... (1.30)

0 sin g 2 L D

d engan t adalah waktu yang diperlukan benda untuk

h=

menyentuh tanah.

L 2 0 sin 2 D

Jika persamaan (1.30) kita substitusikan ke persamaan R=

(1.27a), maka: x = v 0 .cos . D t = R

§ 2 v 0 .sin D ·

R = ( .cos ) v 0 D¨

v 0 . 2 sin . D cos D

; dengan 2sin D .cos D = sin 2 D

g v 2 . sin

R= 0 2 D ...................................... (1.31)

g Berdasarkan persamaan (1.31), jarak jangkauan

benda ditentukan oleh sudut elevasi ( D ). Benda akan

mencapai jarak jangkauan maksimum jika nilai sin 2 D maksimum.

v 2 0 . sin 2 D

, R maksimum jika sin 2 D maksimum

sin 2 D =1 sin 2 D = sin 90 o

D = 45 o

Contoh Soal

1. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 40 m/s dan sudut elevasi

30 2 o . Tentukan tinggi maksimum dan jarak jangkauan peluru ( g = 10 m/s )! Penyelesaian:

D iketahui: 2 v

0 = 40 m/s; D = 30 o ; g = 10 m/s

D itanya:

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

2 . Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat terbang yang bergerak horizontal

d engan kelajuan 360 km/jam pada ketinggian 500 m. Tentukan jarak horizontal jatuhnya benda tersebut!

Penyelesaian:

D iketahui: v 0 = 360 km/jam = 100 m/s

y = 500 m

D =0 o (horizontal)

D itanyakan: R = ... ? Jawab:

v . sin D . t 1 y 2 = 0 2 gt , karena D =0 o , maka:

y = -500 m

t = 10 sekon Pada arah horizontal

o R= v

0 . cos D . t = 100 . cos 0 . 10 = 1.000 m

Kegiatan

Tujuan : Melakukan percobaan gerak parabola dengan semburan air. Alat dan bahan : Bak air, selang, penyangga selang, busur derajat, penggaris, pegas per, bak penampung,

d an kertas grafik. Cara Kerja:

1. Susunlah alat dan bahan seperti gambar

Bak air Penggaris

d i samping.

2 . Arahkan ujung selang pada penyangga

d engan arah sudut D .

3. Isilah bak dengan air secukupnya, dan getarkan elektromagnetik sehingga aliran air sesuai getaran pegas.

4. Pada air ketinggian h terhadap moncong pipa, lihatlah titik tertinggi pancaran

air y, demikian juga pancaran terjauhnya x.

5. Ulangilah langkah-langkah di atas dengan sudut pancaran yang berbeda-beda.

6. Ulangilah langkah-langkah di atas dengan ketinggian air h yang berbeda-beda.

7 . Catatlah hasil percobaan dengan mengikuti format berikut ini.

h (m) v 0 2 gh x (m)

y (m)

Fisika XI untuk SMA/MA

Diskusi:

1. Bagaimana cara untuk menghitung tinggi maksimum dan jarak tembak mendatar dari gerak parabola?

2 . Tulislah kesimpulan dari percobaan yang telah kalian lakukan!

Uji Kemampuan 1.5

Peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 45 o . Tentukan tinggi maksimum dan jarak jangkauan terjauh peluru tersebut! ( 2 g = 10 m/s )

F. Gerak Melingkar

D alam bab ini kita akan mempelajari mengenai posisi T(rad) sudut, kecepatan sudut, dan percepatan sudut sebagai

persamaan fungsi terhadap waktu. Secara berturut-turut

d inyatakan T ( t), Z ( t), dan D ( t).

1. Posisi Sudut Q

Posisi sudut dari suatu titik zat yang bergerak melingkar

'T T 1 P

d inyatakan: T = T ( t), T ( t) merupakan fungsi dari waktu.

'T

2. Kecepatan sudut

t 1 t 2 t(s)

Kecepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi perubahan posisi sudut dengan selang waktu tertentu (Gambar 1.16)

Gambar 1.16 Grafik posisi sudut terhadap waktu.

= ' ............................................. (1.32)

t t 2 t 1 Apabila selang waktu ' t mendekati nol, maka kecepatan benda tersebut adalah kecepatan sesaat, dirumuskan:

Kecepatan sudut sesaat merupakan turunan pertama dari

fungsi posisi sudut terhadap waktu. Dalam sebuah grafik fungsi posisi sudut terhadap waktu ( T – t), kecepatan sudut sesaat ditentukan dari kemiringan grafik tersebut (Gambar

1.17). Jika E adalah sudut kemiringan garis singgung grafik

T – t, maka kecepatan sudut sesaat dituliskan:

Gambar 1.17 Kemiringan

Z grafik menunjukkan = tan E ............................................................. (1.34)

besarnya kecepatan sudut.

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

Posisi sudut dapat dicari dari fungsi kecepatan sudut sesaat. Apabila kecepatan sudut suatu benda diketahui, kita dapat menentukan fungsi posisi benda dengan mengintegralkan fungsi kecepatan sudut tersebut.

dt

d T = Z . dt ³ d T = ³ Z dt .

Jika pada saat t = 0 posisi sudut T 0 dan pada saat t=t

posisi sudut T , maka:

0 ³ Z . T dt 0

Sumber: Jendela Iptek Teknologi,

T T 0 = ³ Z . dt

PT Balai Pustaka, 2000

Gambar 1.18 Semakin cepat

kincir berputar maka kecepatan

T = T 0 ³ Z . dt ................................................. (1.35)

sudut semakin besar.

dengan: T 0 = posisi sudut awal (rad) T = posisi sudut pada saat t (rad) Z = kecepatan sudut (rad/s)

t = waktu (s)

3. Percepatan Sudut

Percepatan sudut rata-rata adalah perubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu.

2 D 1 = = ............................................ (1.36)

Jika selang waktu ' t mendekati nol, maka percepatan yang

d imiliki benda adalah percepatan sesaat yang dirumuskan:

lim ' Z

D = ' t o 0 ' t = d D Z .............................................................. (1.37)

dt

karena Z

, maka:

dt dd 2 T

= d D T 2 .............................................. (1.38)

dt dt

dt

Percepatan sudut merupakan turunan pertama fungsi

E kecepatan sudut atau turunan kedua dari fungsi posisi sudut.

D alam sebuah grafik kecepatan sudut terhadap waktu ( Z ), percepatan sudut ditentukan dari kemiringan grafik t

tersebut (Gambar 1.19). Jika E adalah sudut kemiringan

garis singgung grafik Z , maka percepatan sudut sesaat t

Gambar 1.19 Kemiringan

grafik menunjukkan besarnya

d ituliskan:

percepatan sudut.

D = tan E ............................................................. (1.39)

Fisika XI untuk SMA/MA

Kecepatan sudut dapat dicari dari fungsi percepatan sudut sesaat. Fungsi kecepatan sudutnya ditentukan dengan mengintegralkan fungsi percepatan sudut tersebut.

D = Z d dt

= D . dt ³ d Z = D . dt

Jika pada saat t = 0 kecepatan sudutnya Z 0 d an pada

saat t = t kecepatan sudutnya Z , maka:

³ d Z = D . dt

Z Z 0 = D . dt

0 ³ dengan:

Z t = Z 0 D . dt .............................................. (1.40)

Z 0 = kecepatan sudut awal (rad/s) Z t = kecepatan sudut pada saat t (rad/s)

D = percepatan sudut (rad/s 2 ) t = waktu

Contoh Soal

1. Sebuah titik pada roda berotasi dengan persamaan posisi sudut 2 22 t 3 t, T dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan:

a. posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 s,

b. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 sampai t = 3 s, dan

c. kecepatan sudut pada saat t = 2 s! Penyelesaian:

a. Posisi sudut T 2 =2+2 t + t 3

t=2s

o 2 T = 2 + (2)(2) +2 3 = 18 rad

b. Kecepatan sudut rata-rata

t=0 o T 0 = 2 rad t=3 o T = 2 + (2)(3) + 3 3 3 = 35 rad

= 33 = = 11 rad/s

c. Kecepatan sudut sesaat

t=2s 2 o Z = (4)(2) + (3)(2) = 20 rad/s

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

2 . Sebuah benda mula-mula diam, kemudian berotasi dengan persamaan percepatan sudut D = (6 t 2 + 12 t) rad/s 2 . Tentukan:

a. kecepatan sudut pada saat t = 2 s (jika kecepatan awal sudut 0 rad/s),

b. persamaan posisi sudut benda jika saat t = 2 s posisi sudutnya T = 2 rad! Penyelesaian:

Persamaan percepatan sudut: 2 D =6 t + 12 t

a. Kecepatan sudut Z t

= Z 0 D dt

= ³ ( 6 t 12 t ) dt = 2 3 t 2 6 t

3 untuk 2 o Z

t = (2)(2) + (6)(2) = 40 rad/s

b. Posisi sudut

T t = T 0 ³ Z . dt

= 0 ³ (2 t 3 6) t dt

untuk t=2s o T t = 2 rad, maka:

= (-22 + 2 t + 2 t ) rad

4. Kinematika Rotasi

a. Gerak Rotasi Beraturan

Gerak rotasi beraturan didefinisikan sebagai gerak rotasi dengan kecepatan sudut konstan atau percepatan sudut nol. Berdasarkan persamaan (1.35) diperoleh:

T t = T 0 ³ Z . dt

Karena kecepatan sudut Z konstan, maka:

= T 0 Z ³ dt

= T 0 + Z >@ t 0 = T 0 Z ( t 0 )

T t = T 0 Z t ....................................................... (1.41)

Sumber: Jendela Iptek Gaya dan Gerak,

dengan:

PT Balai Pustaka, 2000

T 0 = posisi sudut awal (rad)

Gambar 1.20 Permainan T t = posisi sudut pada saat kincir ini melakukan gerak t (rad) rotasi beraturan.

Z = kecepatan sudut (rad/s) t = waktu (s)

Fisika XI untuk SMA/MA Fisika XI untuk SMA/MA

gerak rotasi dengan percepatan sudut konstan. Berdasarkan persamaan (1.40) diperoleh:

= Z 0 ³ D . dt Karena percepatan sudut 0

D konstan, maka:

Z Sumber: Dokumen Penerbit, 2006

= Z 0 D t ...................................................... (1.42)

Gambar 1.21 Roda pada

Posisi sudut T dapat ditentukan dengan memasukkan

dokar melakukan gerak rotasi.

persamaan (1.42) ke persamaan (1.35), sehingga:

T t = T 0 ³ Z . dt

= T 0 ³ ( Z 0 D . t ) dt

T t = T 0 + Z 0 . t 2 D t ......................................... (1.43) dengan: T 0 = posisi sudut awal (rad) T t = posisi sudut pada saat t (rad)

Z 0 = kecepatan sudut awal (rad/s)

D 2 = percepatan sudut (rad/s ) t = waktu (s)

Contoh Soal

1. Sebuah benda dengan jari-jari 20 cm berotasi dengan percepatan sudut tetap

2 rad/s 2 . Pada saat t = 0 s, kecepatan sudut dan posisi sudutnya masing- masing 5 rad/s dan 10 rad. Tentukan:

a. kecepatan sudut saat t = 5 s,

b. kecepatan linier saat t = 5 s,

c. posisi sudut saat t = 3 s, dan

d . panjang lintasan yang ditempuh selama 4 s! Penyelesaian:

D iketahui: R = 20 cm = 0,2 m

Z 0 = 5 rad/s

D = 2 rad/s 2 T 0 = 10 rad

D itanya:

a. Z t = ... ? ( t = 5 s)

c. T t = ... ? ( t = 3 s)

d . s = ... ? (t = 4 s) Jawab:

b. v = ... ? (t = 5 s)

a. Z t = Z 0 + D . t = 5 + (2)(5) = 15 rad/s

b. v= Z .R = (15)(0,2) = 3 m/s

2 c. 2 T t = T 0 + Z

0 t. + 2 1t D . = 10 + (5)(5) + 1 2 (2)(5) = 10 + 25 + 25 = 60 rad

d . s= T . R = (60)(0,2) = 12 m

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

2 . Sebuah roda berputar dengan kecepatan 300 putaran per menit, kemudian

d irem dan 5 sekon kemudian kecepatannya menjadi 60 putaran per menit. Tentukan sudut roda tersebut! Penyelesaian:

iketahui: 60 Z

2 rad/s 60 S t

60 S rad/s

=5 s

D itanya:

D = -1,6 2 S rad/s

Uji Kemampuan 1.6

1. Sebuah roda dengan jari-jari 25 cm

berputar seperti tampak pada gambar di 5 m/s samping. Jika satu titik pada roda me-

25 cm

miliki laju 5 m/s, berapa kecepatan roda berputar?

2 . Sebuah piringan (CD) berputar dengan posisi sudut 2 T =6 t +4 t – 2, t dalam sekon dan T dalam radian. Tentukan:

a. kecepatan sudutnya saat t = 0 s dan t = 2 s,

b. percepatan sudutnya!

Percikan Fisika

Jalur-Jalur Peluru Jalur peluru-peluru meriam dalam gambar

cetakan dari abad ke-18 di samping ditunjuk- kan sebagai parabola. Seperti yang dibuktikan Galileo. Gambar ini menunjukkan bahwa jarak maksimum dicapai ketika meriam dimiringkan

45 o . Bahkan dewasa ini penembak meriam menggunakan perhitungan yang mirip dengan ini untuk mengkalkulasi ketinggian dan arah tembakan. Setiap faktor yang mungkin memengaruhi gerak peluru juga diperhitungkan, seperti jarak dengan sasaran, angin, suhu, tekanan udara, dan perputaran.

" Fisika XI untuk SMA/MA

F F F F Fiesta iesta iesta iesta iesta

Fisikawan Kita

Augustin Louis Cauchy

Ia seorang ahli matematika yang mencetuskan analisis dan teori grup substitusi. Sumbangannya pada bidang matematika adalah dia memperjelas prinsip kalkulus yang saat ini dianggap penting untuk meng- analisis. Ia juga menciptakan teorema integral Cauchy. Teorema integralnya sangat penting dalam masalah fisika dan rekayasa. Ia juga memberi gagasan yang teliti tentang limit pada tahun 1821.

¯ D alam koordinat kartesius, sebuah vektor dapat dinyatakan dalam vektor-vektor satuan i, j, dan k.

i, vektor satuan pada arah sumbu x j, vektor satuan pada arah sumbu y k, vektor satuan pada arah sumbu z

¯ Vektor posisi suatu titik dapat dinyatakan dengan vektor satuan. r= xi + yj

2 |r| = r = 2 x y Arah r terhadap sumbu x + dinyatakan:

tan D = y x ¯ Kecepatan rata-rata dalam selang waktu tertentu adalah:

' j t ' t ' t ¯ Kecepatan sesaat dinyatakan:

v= r ' t o 0 ' = dr ' t dt ¯ Posisi benda dapat ditentukan dari fungsi kecepatannya, dengan metode integral v = dr o dr = v.dt

¯ Percepatan rata-rata dalam selang waktu tertentu dituliskan:

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

¯ Percepatan sesaat dinyatakan:

lim '

' t dt

¯ Kecepatan dapat ditentukan dari fungsi percepatan dengan cara:

a = dv o d v = a. dt o v=v 0 + ³ a . dt

dt

t ¯ 0 Gerak parabola merupakan perpaduan gerak lurus beraturan pada arah horizontal

d engan gerak lurus berubah beraturan pada arah vertikal. ¯ Komponen kecepatan awal pada sumbu x dan sumbu y masing-masing adalah:

0x =v 0 cos D v 0y =v 0 sin D

d engan D adalah sudut elevasi. ¯ Kecepatan benda setiap saat dinyatakan:

=v 0x =v 0 .cos D dan v y

= v 0 .sin D

v y ¯ Koordinat posisi benda setiap saat adalah:

x =v 0x . t=v 0 .cos D . t

2 y 2 =v

0x . t – 2 1t g . = v 0 .sin D . t – 1t 2 g .

¯ Tinggi maksimum yang dicapai benda (

h) dirumuskan:

0 . sin D ( v

0 . sin

¯ Jarak jangkauan benda pada arah mendatar, dinyatakan: v 0 . sin 2 D

R=

; dengan sin 2 D = 2sin D .cos D

g ¯ Posisi sudut suatu titik zat yang bergerak melingkar dinyatakan: T = T ( t ) o fungsi dari waktu

¯ Kecepatan sudut rata-rata dituliskan:

¯ Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:

d Z= T ' t o 0 ' = t dt

lim ' T

¯ Posisi sudut dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatan sudutnya T t

= T 0 ³ Z . dt

¯ Percepatan sudut rata-rata:

$ Fisika XI untuk SMA/MA

¯ Percepatan sudut sesaat:

D lim ' = Z

' t o 0 ' t = dt ¯ Kecepatan sudut dapat ditentukan dengan mengintegralkan percepatan sudutnya. Z t

t = 0 ³ D . dt

¯ Pada gerak rotasi beraturan, posisi sudut dinyatakan: T t = T 0 Z t ¯ Pada gerak rotasi berubah beraturan, kecepatan sudut dan posisi sudutnya adalah: Z t = Z 0 + t D .

= T 0 + Z 0 t 2 1t D

Uji Kompetensi

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat!

1. Sebuah benda bergerak lurus sepanjang sumbu 2 x dengan persamaan r = 2t +6 t, r dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan benda setelah bergerak 5 sekon

2 . Benda bergerak pada arah sumbu x dengan kecepatan v = (2t +8)i m/s. Jika posisi awal benda tersebut adalah r 0 = -5i m, maka posisi benda setelah bergerak

3. Suatu titik zat bergerak dengan persamaan posisi r = ¨ t 3 4 t 6 i 2 t ¸ 3 ¨ 3 t ¸ j ,

r dalam meter. Kecepatan titik zat setelah 2 sekon adalah ... .

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

4. Sebuah partikel pada saat t = 1 s berada di P (2, 4) dan pada saat t = 3 s berada

d i Q (8, 12). Besarnya perpindahan dan kecepatan rata-rata partikel tersebut adalah ... .

5. Sebuah benda dilemparkan horizontal dari puncak menara yang tingginya 45 m

d engan kecepatan 10 m/s. Jarak tempuh benda tersebut dalam arah mendatar

d ihitung dari kaki menara adalah ... . ( 2 g = 10 m/s )

6. Peluru A dan B ditembakkan dari senapan yang sama dengan sudut elevasi berbeda. Peluru A dengan sudut 30 o dan peluru B dengan sudut 60 o . Perbandingan tinggi maksimum yang dicapai peluru A dengan peluru B adalah ... .

7 . Sebuah bola golf dipukul dengan kecepatan 9,8 m/s membentuk sudut D

4 terhadap horizontal. Bila sin 2 D = , g = 9,8 m/s d an lapangan golf datar,

maka lama waktu yang diperlukan bola golf untuk sampai ke permukaan lapangan lagi adalah ... .

e. 1,75 s

c. 1,6 s

8. Sebuah benda berotasi dengan posisi sudut 2 T = t +2 t + 5, T dalam rad dan t dalam sekon. Kecepatan rata-rata benda selama 5 detik pertama adalah ... .

a. 3 rad/s

d . 8 rad/s

b. 5 rad/s

e. 10 rad/s

c. 7 rad/s

9. Partikel melakukan gerak rotasi dengan persaman posisi sudut T = t 3 – 2 t + 5, T dalam radian dan t dalam sekon. Percepatan sudut partikel tersebut saat t = 2 s adalah ... .

2 a. 2 4 rad/s d . 10 rad/s

2 b. 6 rad/s 2 e. 15 rad/s

c. 2 8 rad/s

& Fisika XI untuk SMA/MA

10. Sebuah benda bergerak rotasi dengan persamaan kecepatan sudut Z = 2t + 5, Z dalam rad/s, t dalam sekon. Jika posisi sudut awal 10 rad, persamaan

posisi sudutnya adalah ... .

B. Jawablah dengan singkat dan benar!

1. Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan r 2 = t 3 –6 t + 4, r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:

a. posisi partikel mula-mula ( t = 0),

b. kecepatan pada saat t = 2 s dan t = 3 s, dan

c. percepatan pada saat t = 2 s!

2 . Suatu titik zat bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan percepatan

2 a = (4 2 t 3 –3 t + 2) m/s , dengan kecepatan awal v

0 = 4 m/s. Hitunglah:

a. kecepatan setelah bergerak 2 sekon,

b. posisi benda pada saat t = 2 sekon!

3. Peluru ditembakkan dari tanah mendatar dengan kecepatan awal 100 m/s

d an sudut elevasi 2 D (cos D = 3 ). Jika g = 10 m/s , hitunglah:

a. posisi peluru setelah 2 sekon,

b. kecepatan peluru setelah 2 sekon,

c. tinggi maksimum peluru, dan

d . jarak tembakan mendatar!

4. Sebuah benda bergerak rotasi dengan posisi sudut T = (8 t + 2t 2 ) rad, dengan t dalam sekon. Hitunglah:

a. kecepatan sudut awal,

b. kecepatan sudut pada saat t = s sekon, dan

c. kecepatan sudut rata-rata selama 5 sekon pertama!

5. Benda bergerak rotasi dengan percepatan sudut 2 rad/s 2 . Kecepatan awal

d an posisi awal masing-masing 5 rad/s dan 10 rad. Hitunglah kecepatan sudut rata-rata selama 5 sekon pertama!

Bab 1 Kinematika dengan Analisis Vektor

PET PET PETA K PET PET AK AK AK A KONSEP ONSEP ONSEP ONSEP ONSEP

Bab 2 Gravitasi Planet dalam Sistem Tata Surya

Gravitasi

Gravitasi planet

Hukum Gravitasi Newton Hukum Kepler

Menentukan Orbit satelit

Hukum II Hukum III massa bumi

Hukum I

bumi

Kepler

Kepler Kepler

Fisika XI untuk SMA/MA

GRAVITASI PLANET DALAM SISTEM TATA SURYA

Planet dalam sistem tata surya Sumber: Encarta Encyclopedia, 2006 beredar pada orbitnya karena gaya gravitasi.

P kertas terbang? Semua terjadi karena ada gaya gravitasi pada masing-masing

ernahkah kalian memikirkan bagaimana benda-benda langit yang beredar pada orbitnya masing-masing tidak saling bertabrakan? Bagaimana pula kita dapat berjalan di tanah, tidak melayang-layang di udara seperti

benda tersebut.

Bab 2 Gravitasi Planet dalam Sistem Tata Surya

Kalian tentu sering mendengar istilah gravitasi. Apa yang kalian ketahui tentang gravitasi? Apa pengaruhnya terhadap planet-planet dalam sistem tata surya? Gravitasi merupakan gejala adanya interaksi yang berupa tarik-

gerak, gravitasi,

menarik antara benda-benda yang ada di alam ini karena

orbit, percepatan, periode, planet

massanya. Konsepsi adanya gaya tarik-menarik atau

d ikenal dengan gaya gravitasi antara benda-benda di alam pertama kali dikemukakan oleh Sir Isaac Newton pada tahun 1665. Berdasarkan analisisnya, Newton menemukan bahwa gaya yang bekerja pada buah apel yang jatuh dari pohon dan gaya yang bekerja pada Bulan yang bergerak mengelilingi Bumi mempunyai sifat yang sama. Setiap benda pada permukaan bumi merasakan gaya gravitasi yang arahnya menuju pusat bumi. Gaya gravitasi bumi inilah yang menyebabkan buah apel jatuh dari pohon

d an yang menahan Bulan pada orbitnya. Pada bab ini kalian akan mempelajari interaksi

gravitasi yang bersifat universal. Dalam pengertian, interaksi bekerja dengan cara yang sama di antara benda- benda di alam ini, antara Matahari dengan planet dan planet dengan satelitnya.

A. Hukum Gravitasi Newton

Ketika duduk di kelas X, kalian telah mempelajari hukum-hukum Newton. Salah satunya pada tahun 1687, Newton mengemukakan Hukum Gravitasi yang dapat

serat

d inyatakan berikut ini. “Setiap benda di alam semesta menarik benda lain dengan

cermin skala

gaya yang besarnya berbanding lurus dengan hasil kali massa- massanya dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya”.

batang sumber

Besarnya gaya gravitasi, secara matematis dituliskan:

cahaya (berkas

A cahaya tipis)

dengan:

F = gaya gravitasi (N)

m 1 ,m 2 = massa masing-masing benda (kg)

Gambar 2.1 Diagram

skematik neraca Cavendish

= jarak antara kedua benda (m)

untuk menentukan nilai

G 2 = konstanta gravitasi (Nm kg -2 )

konstanta gravitasi G.

G ditentukan dari hasil percobaan yang dilakukan oleh Henry Cavendish pada tahun 1798 dengan menggunakan peralatan tampak seperti pada Gambar 2.1.

Nilai konstanta gravitasi

! Fisika XI untuk SMA/MA

Neraca Cavendish terdiri dari dua buah bola kecil bermassa m yang ditempatkan pada ujung-ujung sebuah batang horizontal yang ringan. Batang tersebut digantung

d i tengah-tengahnya dengan serat yang halus. Sebuah

Penemuan gaya gravitasi

cermin kecil diletakkan pada serat penggantung yang diawali oleh ketertarikan

Newton terhadap Bulan yang

memantulkan berkas cahaya ke sebuah mistar untuk

selalu mengelilingi Bumi. Saat

mengamati puntiran serat. Dua bola besar bermassa M

duduk di bawah pohon apel, ia melihat sebuah apel jatuh dari

d idekatkan pada bola kecil m. Adanya gaya gravitasi antara

pohon. Ia berpikir mengapa

kedua bola tersebut menyebabkan serat terpuntir. Puntiran

buah jatuh ke bawah.

ini menggeser berkas cahaya pada mistar. Dengan mengukur gaya antara dua massa, serta massa masing-masing bola, Cavendish mendapatkan nilai

G sebesar:

2 G = 6,67 2 10 Nm /kg

Contoh Soal

1. Massa bumi adalah 6 2 u 10 4 kg dan massa bulan adalah 7,4 Bulan u 22 10 kg. Apabila jarak rata-

rata Bumi dengan Bulan adalah 3,8 u 10 8 m

d 2 an 2 G = 6,67 u 10 -11 Nm /kg , tentukan gaya

gravitasi antara Bumi dengan Bulan! Penyelesaian: R

Bumi

D iketahui: 2 M=6 u 10 4 kg m = 7,4 u 22 10 kg R = 3,8 u 10 8 m

G = 6,67 u 10 -11

2 Nm 2 /kg

D itanya:

F = …?

Jawab: Mm .

F=G r 2

= 6,67 u 10 -11 (6 10 )(7,4 10 ) u u 82

= 2,05 2 u 10 0 N

2 . Tiga buah benda A, B, C diletakkan seperti pada gambar.

10 m 10 m

M assa A, B, C berturut-turut 5 kg, 4 kg, dan 10 kg.

2 2 F AC Jika F G = 6,67 u 10 Nm /kg , tentukan besarnya A

gaya gravitasi pada benda A akibat pengaruh benda

A B dan C! B

F AB 10 m

Bab 2 Gravitasi Planet dalam Sistem Tata Surya

Penyelesaian:

D iketahui: m A =5 kg m B = 4 kg

m C = 10 kg r AB =r AC = r BC = 10 m

G 2 = 6,67 u 10 -11 2 Nm /kg

D itanya:

F AB = G 2 = 6,67 u 10 -11 2 = 1,33 u 10 -11 N

r AB 10

mm A . C u -11 5 u 10

F = G = 6,67 10 = 3,34 10 AC -11 2 2 u N

r AC 10

A = F AB F AC 2 AB . AC cos D

(1,33 10 ) -11 u (3,34 10 ) u (2 1,33 10 u u 3,34 10 u u cos60 ) q

= 4,17 u 10 -11 N

Uji Kemampuan 2.1