BAB 3 LIMIT - BAB 3 Limit Fungsi

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

7. B.

1. A.

 x x 4   2  4 . 2   4

2 lim 2

lim

2. C.

8. B.

2 3. D. 2 

 x  5x   2   

f  

pilih   1  x  5   x  2   7  x  2  7  10 . 000   10 . 000 

pilih   min  1 ,  , maka 0  x  2  

10. A.

f  a  b  c   a  b  c 

berarti x  3 x  10  x  5 x  2  8  

a  b  c  2  ab  ac  bc 

5. C.

0  x  1   4 x 3  3 x  2  24 x  22  5  

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

2 4 2 x  7 x  17  4 

x  1   x  1   20

pilih   min  1 ,  , maka 0  x  1  

 e.

c. 0 f. 1

6. D.

0  x  1     2 x  9 x  4    3 

2 2. a. untuk setiap

terdapat

sedemikian sehingga f  t M  

 x  1  2 x  7   

berlaku untuk semua t yang memenuhi pilih  2 

sedemikian sehingga g  u  LI  

berlaku untuk semua u yang memenuhi  2  4  6

Bukti formal : andaikan

c. untuk setiap

terdapat

h  z P  

   min  1 ,  sehingga

sedemikian sehingga

pilih

berlaku untuk semua z yang memenuhi  6 

0 berarti  z  4   0  x  3  

d. untuk setiap   0 terdapat   0 2 x   2 x  3  x  3 x  1  . 6  

sedemikian sehingga h  z Q  

 Tertunjuk

berlaku untuk semua z yang memenuhi

d. 0  x  2    2 x  4 x  3  3 

3. a. 0  x  3    5 x  11  4  

Bukti formal :

5 x  11  4   5 x  15  

Andaikan   0

5x 3  

Pilih   min  1 ,  sehingga

0  x  2   , berarti

2 x  4 x  3  3  2 x x  21  8 .   Pilih  

5  Tertunjuk 

untuk   0 terdapat  

 5 x  11   4  5 x  15  x  5  x  5 

x  5  Tertunjuk

 5x  3  5  

x 5  

0 Pilih  x  2    

b.

Untuk   0 terdapat   sehingga 

x 2  25

 10  x  5    x  5

2  Tertunjuk

 Pilih

2 b. 0  x  1  7 

untuk   0 terdapat   sehingga

 x  6  x  1 

0  x  2    x 1  

2 x  4  8  2 x  2  2   Pilih   

 Tertunjuk Untuk   0 terdapat   sehingga 

c. 2 0  x  3   

x  3  x  1 

 x  1    Tertunjuk  x  1    Tertunjuk

Pilih M  sehingga

2 x  3  x  1 

 Tertunjuk

2x 1  

b. Misalkan M  0 dan terdapat   0

Pilih   x

Untuk   0 terdapat   sehingga x  1  x  1

2x  1  2  

 Tertunjuk

d. 0  x   

2 Pilih  

x 1

 Tertunjuk  x 

3 c. x x  M   1 

Pilih  

Untuk x  1 x  2 M  2

  0 terdapat   sehingga

3 Berarti,

1 M  2   Tertunjuk

 3x  3  

 Tertunjuk

5. a. lim  

d. Jika x p  1 maka  M x  0 x

x 1 Misalkan M bilangan positif yang sangat

besar dan   0 

Berarti,

bukti formal :

andai   0 , pilih   min  ,  x  1 2

 Tertunjuk

1 1 c .  x  x c xc

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. c  0

x  c  x  c

 Terbukti

2 b. 2 0  x  c    x  c   x  c

andaikan   0

 maka, 

pilih   min 1 ,

x  c c c untuk

0  x  c   berarti Bukti formal :

2 Misalkan 2   0 x  c  x  c x  c Pilih   c , maka

 x  c  2 c x  c Untuk 0  x  c   berarti

 x  c  x  c 

x  c 1  2 c x  c  Terbukti

3. Andaikan L  M dan andaikan

L M  2  terdapat bilangan – bilangan

positif

dan

 Terbukti sehingga  1  2

(i) 0  x  c   1  f  x  L  

2. a. Misalkan terdapat sembarang   0 (ii) 0  x  c  

2  f  x  M  

Andai  min   1 ,  2  , maka

 . . x  c  L  f  x  f x  M

 f  x  L  f  x  M

     2  x  c  x  c Jadi, 2   2  , yang merupakan

kontradisksi

pilih   , maka x 

kita juga mensyaratkan 

sehingga . . x  c  c . .

Latihan Kompetensi Siswa 2 7. C.

x 3  27 lim

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

 lim

1. E.

3  x  7 3  x  7 lim 2 . x  2 x  x  6 3 8. B.  x  7

1 1  y  4 y  6   lim

y   x  3  x  2  3  x  7 y  2   y  y  1  2 y  3   

lim

 lim

5 6 30 y  2 y  2   y  y  1  2 y  3   

lim

x  a 2  2 x  a  x  ax  a

lim

 lim

x  2 4  x  2  3 x  3  5 x  1 10. B.

2 6 12 lim

  g  x 

4. A.

 lim 3  3

lim g  x x  a

lim .

 11. E.

2  x  2  x   2  2 x 

 lim

lim  4 

  h  x 

 lim 4 

lim h  x

5. D.

5 x  4  3 5 x  4  3 3 x  1  2 12. B.

lim g  x . lim h  x  0 .   0

lim

x  2  t  3  t  2 

14. A.

6. C.

lim

lim

x  7 x  7  x  2    

 lim

 2 7  lim 2  0

15. C.

20. B.

3 2 2 x  a  3 x 2 x  a  3 x x  3 x  3 x  4 lim

lim

x  4   x  x  1   21

 lim

 lim

21. B.

1 4 a 2 lim

3 2 3 a 9 4 a b  2  0

4 a b  2

16. E.

 2 x  3   x  1  x  1 Menggunakan Lopital :

b  2  4 a .....(1)

lim

2 x  x  3 a x   1 2 x lim 3 

2 x  3  x  1 

 lim

2 x  3  x  1   x  1 

x  2 a 2 x 2  4 a  2 x  1  x  1  3

lim

 3 x  2  x  1  5

 lim

23. C.

 1 lim

 x  2  x  1   1

 0 ,  5 x  3  x  1   2

x  2 a x  2 a lim x  1 

24. C.

lim

 lim

18. B.

 x  a   2 ax  2 a x

lim

lim   x  a   2 ax   2 a

x  2 x 3  1 lim

2 a b  0

b  2  a

x  1    x 3  1 x 3  x 3  1 

 lim  1 2 1   0 Menggunakan Lopital :

 1 e. 

lim

1 5. a.

x  64

    4 x

 lim 1 1

x  64 x 3

 x

1 B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan 3

 lim 1 . 1

Materi.

x  64 x 3  4 x 3  8

1. a.

3 2  1 1  2  3  4   10  1 lim x  4 x 3  16 .

 1 x  3  x  2   1 1 x  64 x 2

 8 lim

b.

x   3  x  3  x  4   7 7

t  5 1 16

c. lim 3  

t  2 2 t  6 22 

x  a  x  1 

3 x  5  x  4  7 b. lim

d. lim   1 x  a 2 2 2

x   4 x  9  x  4  7 

 x  a  x  ax  a 3 a

t  7 t  7 1 c. lim

e. lim 2    x  3  x  3  x  1 

x 2  2 x  6  x 2  2 x  6 x 2. a. 2  2 x  6  x 2  2 x  6

9  1  10  4  x  3 

2 . 3  3   1 9  lim

c.    1 3  3    6 4 1

d. 0 2 . 6 3

e. lim f  t  lim  t  1 g t

d. lim

x  1  x  1 

 3   a  a    1  3  2 x

 lim

f.  3  3   0 x  x  1

e. lim

3. a.

x  10 2 x c. 

6  x  3  x  1  4

b. 6 x

d.  3 6. a. lim

b. lim

4. a. 0 0 x  2 5 x  1  4 x  1 x  2  3 x  2

y  1  y  1  y  3 

b. lim  4 5 x  1  4 x  1

y  1  y  1  y  1 

 w  2  w  3  w  2 

 lim

c. lim

 w  2  w  2 

2  2  6  x  3   2 x  x  1 22 11    3

d. lim

x  3  x  3   4 x  x  1  34 17

2 x 2  2 2  8  x ax bx  0

c. lim

x   2 2 2 2 1  8  x 2  8  x 4 . b . 2  0

 lim

x   2  x  2  x  2 

 x  1  x  b 

c. lim

1 x   1  x  1  x  2 

d. Menggunakan Lopital :  2

lim 1 1  lim

2 x  ax  b  0

2 2 1 a  3  0

7. a. lim

   1  t  1  t  t  

2 d. lim

 t  2   t  1

2 b  5  lim

t  1  2  t  1 1  t  t

 2   1 x  ax  b  0

2 1 4 a 2  6  0 n 3  2 n 3  1 1  2  1 a  1

b. lim

a  x n 1 1  1  x  20  20 x 

lim 2.  na lim

nn

c. 

t 20  t   x  20 x  19 

d. lim

 lim

  19  20 x  20 

 lim

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

 380 x 

x  ax  b  lim

1. a. lim

 x  1  x  b 

b 3.   2 x  1  a  b  c  d  0 .....(1)

x   2   8 a  4 b  2 c  d  0 …..(2) x  ax  b  0 Menggunakan Lopital :

1 a  2  0 3 2

a  1 ax  bx  cx  lim d 2 ax 2  bx

b. lim  1

3 2 ax  2 b  c

x  2 x  2  lim

ax  x  2 

lim

1 3 a  2 b  c  3 …..(3) 1 3 a  2 b  c  3 …..(3)

a –b+c–d –a+ b–c+ d

–a+b–c+d –a+ b–c+ d

3 2 ax  2 b  c  a  b  c  d  e  f  0 …..(1)  lim

x   2 2 x  1 ax   b  a  x   a  b  c  x 

12 a  2 b  c   a  b  c  d  x  a  b  c  d  e  0

 5 a  4 b  3 c  2 d  e  6 …..(2) Dari (1) dan (2)

12 a  4 b  c   12 …..(4)

9 a  3 b  3 c  0 …..(5)

Dari (3) dan (4)

2 2a a+b a+b+c

a a +b a+b+c  a+b+c+d

9 a  6 b  15 

 27 a  18 b  45 …..(6)

Dari (4) dan (5)

a+b+c+d a+b+c+d+e +

27 a b 9   36 …..(7)

a+b+c+d+e a+b+c+d+e+f

a  b  c  d  e  f  0 …..(3)

Dari (6) dan (7)

4 3 9 2 b  9 ax  

Dari (1)  5 a  4 b  3 c  2 d  e   6 …..(4)

d   4 2 2a 4a+2b

8a+4b+2c

Jadi, a   1 , b  1 , c  4 , d   4 a 2a+b 4a+2b+c 8a+4b+3c+d

4. a. f  x  ax  bx  cx  d 16a+8b+4c+2d 32a+16b+8c+4d+2e + 3 2 16a+8b+4c+2d+e 32a+16b+8c+4d+2e+f

ax  bx  cx  d lim

  4 32 a  16 b  8 c  4 d  2 e  f  0 …..(5) x  1 x  1 4 3 ax 2   2 a  b  x   4 a  2 b  c  x 

x  1  a  b  c  d  0 .....(1)

a b c d  8 a  4 b  2 c  d  x  16 a  8 b  4 c  2 d  0

1 a a +b

a +b+c +

a a +b

a +b+c

a +b+c+d

 80 a  32 b  12 c  4 d  3  3 …..(6)

ax 2  

a  b  x  a  b  c   4 Dari (1), (2), (3), (4), (5), dan (6)

3 a  2 b  c   4 …..(2)

3 ax 2  bx  cx  d lim

x  2  8 a  4 b  2 c  d  0 …..(3)

a b c d 5. lim

a 2a+b 4a+2b+c 8a+4b+2c+d +

2 2a 4a+2b

8a+4b+ 4c

n   1 lim nx  80

2 ax 2  

2 a  b  x  4 a  2 b  c   7 x n   1 5  n 1 . 2  5 . 2  80

x  2  12 a  4 b  c  7 …..(4)

Dari (1), (2), (3), dan (4)

a  3 , b   8 , c  3 , d  ??

 f  x  3 x  8 x  3 x  2

5 4 3 b. 2 f 

x  ax  bx  cx  dx  ex  f

–1 –a

–a+b–c a b–a a –b+c –a+b–c+d

a –b

 x  3  x  3  x  2  1 7. D.

7. a. lim

x  3  x  3  x  3  c  1  2  a  3 a  3 a  1  a  3 a  3 a  1 lim 

b. 

x  2  x  2  x  x  2 8 x  

lim

3 x  2  x  2  x  2   x  x  5  7 2 a   6 lim a

 lim 0 2   6

Latihan Kompetensi Siswa 3

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

lim 

3 x  1  1  x lim  0 1  1 

3  1  x 2 3 3 2

2. B.

x  x  2  2 9. A.

lim 0  

lim

 5 1 2 2   x  1  x  1  x x  4  

lim

4. D.

lim

11. C.

 lim

x  0 lim

5. D.

12. D.

3 lim 3   3 

0 lim

3 x ∆ x  3 x  x  x

6. C.

 lim

∆ x  x 0  x x  x x lim

x  0  lim 3 x  3 x ∆ x   ∆ x  3 x x  x x  x ∆ x  0

x 2  x  lim

13. C.

1 lim

 lim

 lim

19. C.

lim

14. D.

0  9  x  9   x 1  t  1  t x  

4 1 2 1 3 4 x 2  lim

lim

4  1  t 4 t  2  1  t 2 t

 2 lim

1 4  3 4 2 1 2  1  2 lim 1  t

 1  t

20. B.

t  0 4  3 2  2 ∆ x   4 . lim 3

2 2 2 4 . 3  24 ∆ x  4  ∆ x  4 . 3

 lim

h 1 p  0  p lim

4 2  4 p  p  4  2 lim  4  2

16. D.

x lim  0 2 2

lim

0  3 lim

1  23. B.

 2 1 2 2 1  2 x  x  1   1 x  x  1   1 

lim x  0 

17. B. 2 x 

lim

1 1 x  0  1 lim  2 x  1  2 x 2 2 2 1 

x  1  a 1  3  b  0  lim

t  0  t 4  t  4  t

2 a b   0

b  2 a  1 2 b  2 a  1 2

2 x  lim 3

 lim

a 1 Nilai

 lim

lim

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi.

b. lim

3. a. lim

3 x  1  2 x  5 

25 a  6 a h  12 ah  8 h  a

c. lim

 lim

 6 a  12 ah  8  h  d. 2

lim

lim

e. lim x  0 

   1 b. lim

3 x  x  2  2 a  3 a h  3 ah  h  a

  1  lim

f. lim

x  0 h   0 3 x  2   3 x  2 h

  3 a  3 ah  h  2

 lim

2. a. lim x  0 x

1 2 4. a.  lim lim

 lim

b. lim

b. lim

 2 lim 

 lim

c. lim

lim  1  2 x  3 x  1

 2 x  1    8  1 b. 

lim

2  x  2  x  2 

 lim

 lim

5  2 x  2 x  1   5 x  x  1 

 c.    1 lim

2 x  4 x  4  4 15 x  x

 lim

d.

x lim

x  15 x  1 

5. a. lim

2 4   lim

log 1  x  x 

h  0 2. lim 

 x  h  3  x 3   

   x h    x  h  3 x  x 

x  h  3  x  h  3 x 3  x 3  

3. untuk a, b, c, dan d, nilai limt tidak dapat

b. 3 x  2 ditentukan, tergantung dari fungsinya.  1 1

c. 2  2

4. a.

lim 0   1   lim  1

d. x x

 x 

3 2  lim

x  0 

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

x  2 hx  h  x

 lim x   lim

h  0 h 

x 0   x   x

 f  x  2 x  x  x

 lim x 0    x 

Latihan Kompetensi Semester 4

x  0  lim x  x 0  

 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 

Karena limit jika x mendekati 0 dari kiri

lim

dan dari kanan berbeda, maka nilai limit

Misal, f  x  x  2 x  1 ,

tersebut tidak ada

derajat f  x  2

c. x  0  lim

x 0  

g  x  2  x , derajat g  x  3

2 f  x dan g  x masing – masing di bagi

 3 x lim 0  

  0 dengan x

 0 x  0  lim

0  1 x 0  

lim x  

2. A.

 x lim 0  

3 x  2 x  10

lim

 x x  Pangkat tertinggi 3, maka masing – masing

Jadi, lim x  0 

dibagi dengan x:

3 2 lim

5. f  x  ax  bx  cx  d x   4 x 2 x 5 x

3 ax 2  bx  cx  d lim

3. E.

3 ax 2  bx  cx  d  0  4  5 x  2  x 

lim

x  0  d  0 x    2  x  1  x 

 ax  bx  c 

lim

 1  lim

ax 2  bx  c  1 Pangkat tertinggi 2, maka masing – masing x 2  0  c  1 dibagi x:

5 x ax 2  bx  cx  d x 2  x 2  x 2 0  0  5 lim

 1 , d  0 lim

x  1   ax  cx

lim

x  1 x  1 4. E.

 x  2 x  lim 1 

2 ax 2 cx  1 x

a  2  lim x   2

ax  bx  cx  d  ax   c  a  x  cx

Pangkat tertinggi 4, maka masing – masing

dibagi x:

1 2  b 1 2  b

10. C.

x  2 x  x  3 x  2 x  7 lim x    x  x  x  3 x  1  , dikali

5. E

lim

2 3 4 7 dengan sekawannya :  2 x  3 x  x  2 x

 x  x   x  3 x  1 

2 Pangkat tertinggi 5, maka masing – masing 2

5 lim

dibagi dengan

2 x: 2 x   x  x  x  3 x  1

x 5  x 5  x 5  x 5  x 5  x 5 4 x  1 lim x  

3 x 2 x 3 2 x 4  lim

1  0  0  0  0  0 Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing 

dibagi x di dapat :

6. D.

 2 x  1  6 x  5 

2 Pangkat tertinggi 8, maka masing – masing

lim

x    2 x  2  3 x  2 x  1 

11. D.

dibagi x di dapat :

2 2 12 x 8

lim

4 x  12 x  1  4 x  4 x  2 ,

12 x   lim 6 x 8   2 dikali dengan sekawannya : x   x 8 6

 4 x  12 x  1   4 x  4 x  2 

lim

4 x  12 x  1  4 x  4 x  2

4 x  12 x  1  4 x  4 x  2 Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing

Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing dibagi x :

dibagi x di dapat :

4  0 4 16 16 lim

12. C.

8. D.

 2 x  3  x  4  3 x  7  5 x  11 

lim

 x  5   3 x  8  5 x  18 

lim

x 1  x Setelah dijabarkan, di dapat pangkat

Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing tertinggi 4, maka masing – masing dibagi x :

dibagi 4

x di dapat :

5 30 x 4

lim

2  2  2 1  0  0 lim 15 x 4   x 2 x x x  

x 4 15

9. B.

13. C.

2 x 2  1  x  2 lim 2 lim

2 3 2 x  1  3 x  1 Setelah dikalikan factor lawan di dapat : Pangkat tertinggi 1, maka masing – masing

dibagi x , di dapat :

lim

3  0  3  0 2 3  lim

17. D.

 lim

4 x 2 3 lim x     x  a  x  b   x  a  x  b  

x 2  x 2  x 2  x 2 Dikalikan sekawan :

x 2  ax  bx  ab  x 2   ax  bx  ab

lim   x  5  4 x  7   x  3  4 x  7  

 lim

Dikalikan factor lawan di dapat : x   x 2   a  b x  ab   2 x   a  b  x  ab

 x  5  4 x  7   x  3  4 x  7 

lim

Masing – masing dibagi x :

x    x  5  4 x  7   x  3  4 x  7 

  19 x  21 

2 2 lim x     2 x  1   4 x  3 x  6

Dikalikan sekawan : Pangkat tertinggi 1, masing – masing

 4 x  4 x  1   4 x  3 x  6 

dibagi x didapat :

lim

 lim

15. D. 2

Diketahui : Masing – masing dibagi x :

  x  k  x  2   x  x  1    2 x  x

  Ditanya : k  …. ?

lim 7

Dikalikan sekawan :

lim 

x  kx  2 x  2 k   x  x 

 2 19. D.

2 x 2  kx  2 x  2 k  x  x

 3  7 x  5  2 x 

lim

 2  5  x  4  x 

x    lim

15 2  29 x  14 x Masing – masing dibagi

 lim

20 2  x  x

 2 Dibagi x:

lim  x  6 x  x  2 x 

16. E.

   2 x 2  1   x  1 Dikalikan sekawan :

x   

lim 8 x   

  8 lim

4 x  1 x   4 x  1 x  6 x  x  2  x  lim

Masing – masing dibagi x : x  6 x  x  2 x

8 lim 4 x 1 

 2  lim

dibagi x : 8 4

21. E.

lim 2

lim

x 2  x 2  x 2  x 2 Dikalikan sekawan :

lim

9 x  12 x  4   9 x  2 x  5 

2 2 25. D.

3 x  2   9 x  2 x  5 lim  n  1  n n 

   lim

10 x  9

2  Dikali sekawan :

Dibagi x :

n  lim

9 2 x    x  x n  1  n lim

10 x

    2  2  2 1 x 1 x x x x n   lim

Karena pangkat tertinggi f  x  pangkat

tertinggi g  x maka :

22. D.

x lim    x  5 x   x  2 

2 lim

Dikali sekawan :

lim 

x  5 x   x  4 x  2 

2 2 Maka : n  lim

 x  2  lim

B. Evaluasi Pemahana dan Penguasaan

Materi.

dibagi x :

 lim   8 2   lim    

x lim   x  5 x x 2  

1. a.

 x x 

Dibagi x:   8

23. A.

x lim  

b. lim

, dibagi x:

Karena pangkat tertinggi f  x  pangkat

f  x

tertinggi g  x , maka lim

x   g  x

c. lim x   

 4 x  5  x  3  5 x  1 bila dijabarkan, maka pangkat

24. C.

lim

x   5 x  1  x  3 tertingginya adalah 4, sehingga masing –

Dikali sekawan :

x  3  5 x  1 x: 16 x 4  lim

masing dibagi

 5 x  1  x  3   x  3  5 x  1 

 lim

5 x  1  x  3  x  3  5 x  1 

Setelah dijabarkan, maka akan didapat bila dijabarkan maka pangkat tertinggi pangkat tertinggi 1, maka masing – masing

f  x adalah 2, dan pangkat tertinggi

dibagi x :

5 3 g 2 

x adalah

3 c. lim

2 x , masing – masing  

karena pangkat tertinggi f  x  pangkat

tertinggi g  x maka :

dibagi y :

 0  2 t  5 x     4  d.

lim

 x  2 x  5 lim

 x  x  12 

2 2 bila dijabarkan, pangkat tertingginya

e. lim 3

 2 x adalah 4, maka masing – masing dibagi  4 x 5  

pangkat tertinggi f  x  pangkat

t: 4

tertinggi g  x  4 , maka masing –

4 e. lim

4  , masing – masing dibagi 

masing dibagi x 3 : m 1 1 m  1

3 m:

f. lim

, masing – masing

 7 x  1  3 x  2 

dibagi 2 x : 4

3 2 f. 2 lim x  

5 3 1 5 21 x  11 x  2

10  x  2 x 

 lim

g. 2 lim 2 x  x  3

Masing – masing dibagi x :

10  x  2 x 

21 x   

 2 lim

Masing – masing dibagi 5 1

g. lim  10 

 10  n  3   18  10 

 lim

10 n  3 . 10  18 . 10 

2. a.

lim  

 lim

 x   pangkat

Pangkat tertinggi

 10 tertinggi

2 Dibagi n :

g  x  1

lim 3. a.  1

b.

lim

Dikali sekawan :

 t 1  3 t  1 

 lim

lim

 0  lim

3 t  3 t  t  1  lim

3 Pangkat tertinggi f  x  pangkat

Masing – masing di bagi t :

tertinggi g  x

b. lim 1   2 y 2  3 y  10  2 y 2  3  6 2 y  5  

dikali sekawan :

2 y 2  3 y  10  2 y 2   3  6 2  y  5

lim

 lim

2 y  3 y  10  2 y 2   3  6 2  y  5 x   2 x 2  4 x  x  2 x

6 2 y  5 Masing – masing dibagi

 lim

2 y 2  3 y  10  2 y 2   3  6 2  y  5  6 6     3

Masing – masing dibagi y :

3 3  x  3  x  2 

x lim     2 x  1   4 x  5 x  7 

dikalikan sekawan :

 1 lim 3

2 Masing – masing dibagi x  :

x  6 1  0  0 1  1   lim

Masing – masing dibagi x :

e. lim 

 2  0   4  0  0 2  2 4   x  2 x  x  1   x  x  1  

 lim x   

x lim    x  x  x  10    2 

4 2 3 4 4. a. 3

 lim

 x  x  x  10   2 x  1 

3 lim 2     x  x  2 x

 x  x  x  10   x 

2 2  lim

x   3 x 2  x  x  1  3 x  10   2 x  1  Masing – masing dibagi x:

  x  x  x  10   x 

 x lim    2 2  

2 x  12 x  10

 lim

 x  x  x  10  x

 2 x  1  x  2   x 2  1 

5. a. lim

Pangkat tertinggi f  x  x  pangkat

2 x  1  x  2    2 x  2 x x  1

tertinggi g  x  x , maka :

4  lim

 2 x  1  x  2    x 2  1 

x lim    x  x  x  10    2   0

2 x  x  2  x 2  1 Dikalikan sekawan : 3 Masing – masing dibagi x:

x 2  5 x  x x 2  5 x  x 2  4 1  0 1 lim

Karena pangkat tertinggi f  x 2 

pangkat tertinggi g  x  x

b. lim

c. x lim

x lim    x  4 x  x  2 x

 x lim  

 lim

Dikalikan sekawan : x 2  x 2  3

lim x  

2 2  x lim   2 x 3 x  x lim  x x   2 x

 lim x   2 x  1 3 x  1 4 x  1 7. a. lim x  6 x  3  6 x  15 

 lim

2 x  3  4  4 x  

6 x  3 x  6 x  15 x

 lim

2  2 x  3  4  4  lim x   2 2

1 6 x  3 x  6 x  15 x

6 x  3 x  6 x  15 x

 lim

18 x

2 6 2 x  3 x  6 x  15 x Pangkat tertinggi  masing – masing 1

6. a. lim  x  5 x  x  2 x 

x   

dibagi x :

 lim

12 2  lim

x lim   x  2  x  4  x  x 2  5 x  x  2 x 

b.

x lim    x  6 x  8  x  Karena pangkat tertinggi 4  f  x  

2 2 2 x  6 x  8  x  4 pangkat tertinggi

 lim

g  x  2 x   2 2

  x  1   2 x  1  10 

Pangkat tertinggi  masing – masing  1

dibagi x :

 x  1   2 x  1   10 lim

 x  1   2 x  1  10

Pangkat tertinggi 1  , masing – masing

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

dibagi 1 x

8 1  0  0 1. a. lim x  

  4  lim x  

c. 6 lim 

Pangkat tertinggi 1  , masing – masing

dibagi x 2 1 : dibagi x 2 1 :

 3. D. lim

sin 2 x 

sin 2 x 

2 lim x  0 3 1   lim

 2 x  1   4 x  x  3 tan 2 x x 

tan 2 x  

 3 lim

x  1  x  3  x  1  1    4  

Pangkat tertinggi pembilang  , lebih 1 kecil dari pangkat tertinggi penyebut yaitu

4. C.

, jadi nilai limitnya adalah 0

lim 0  lim

sin x

x  0 sin x x

x    x  4 x  5   ax  b    1

 lim

. lim 2 x  1

5. a. lim

b  p tan 2 x tan 3 x

 1  lim x  0

4  2 ab 

 1 6. A.

 x  1 lim sin  6 x

 x  1  x  1  sin 6 x

 lim

b  1 x  0 x  x  2  x  1 

Jadi, a  1 b  1

x  1 sin 6 x  lim x  0

Latihan Kompetensi Siswa 5

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

7. D.

1. B.

lim

sin 2 x 2 1 sin  x  a   2 x  2 a

lim x  0  

sin 6 x 6 3

 lim

x  0 sin  x  a   2 x  a 

2. E.

x  sin a 7 x  tan 3 x  sin 5 x  lim

x  0 sin  x  a  2  x  a lim  

 lim

x  0 tan 9 x tan 3 x

sin x

8. D.

2  cos   sin

t  5  6  sin  t  2 

lim

 t  3  t  2  sin t  2 

2  2 lim

t  2 2  2 t  2  t  1

sin  t  2  t  3

13. E.

 lim  cos m   cos n  

t  2 t 2  2  t  1 lim   0 

02 sin  2  sin  2   2  1 

9 9  lim   0  2

m sin n   

2 sin  2 

x  0  m n   m n  m  n

3 x cos x

sin 4 x

2  lim x  0  x lim

sin 2 x

x 2 cos x  0 3 2 3 x cos x n  m

sin 4 x 1 sin 2 x 1  2 lim

3 1 3 1 cos  x     cos     x   cos    x    cos x

10. C.

Jadi, cos x   cos  x    sin   x   

sin   x  1 

lim  lim

1  cos x

1  cos  x   

x  1 x  1 x  1 x  1 lim

 lim

sin   x  1  

 lim

2 1 1  1  2 sin  x   

 lim

sin 2  x    

11. lim

x  a tan  x  a   3 x  3 a  2  lim x  

 x lim  a

tan  x  a   3 x  a 

 lim x 0 2

2 2 2  cos  x  1 

cos x  sin x  lim 

cos x  1 x  4 cos x  sin x

x  0 2  cos x  1  cos x  1   cos x  sin x  cos x  sin x 

 lim

 lim

4 cos x  sin x

1  18. D. lim

x  0 2  cos x  1 

2  2 cos  x  2 

lim

2  1  cos  x  2  

2  cos 0  1  2 1  1  lim

 1   1  2 sin 2  x  2   lim  

m 

 lim

2 4 1 sin

 lim

x  2  x  2 

1 1  19. C. 

2 tan 2 3 x tan 3 x

1 lim 0  lim

n 2  1  cos 2 x x  0 2 sin x

1 2  cos 

lim

2 sin 2 

sin  x  1 

 lim

4  x  2 x  1  x  1 4 20.  x  1 

2  x lim  1 2

2 tan 3 x  tan 3 x cos 2 x

sin  x  1   1 2 1 lim x  0 3

  lim

4 4 tan 3 x  1  cos 2 x 

tan 2 3 x . 2 sin x

 lim

lim

2 sin  2 x sin  2 x

2 x lim 0  lim x

tan x  sin x x  0 tan x  sin x

2  x lim x . lim

x  0 tan x

sin x

2 1 1 tan 2 x  tan x  0 .

 0 .  0 c. lim

1  1 2 x  0 sin 2 x  sin x Jadi,

tan x

tan 0 x A  2 2 1

 lim

1 Maka  1

lim x lim

1 2  cos 8 2 sin 4 x

d. lim x sin

1  1 sin 4 x  1 2 1 1  lim

sin  x x  0   x lim  0 1 sin   

x 2 lim  x   x   0 1  1

sin x  tan 2 x

sin 2 x

sin x

tan 2 x

f. lim 2

lim

 lim

3 x  sin 4 x x  0 x  x

x . tan 2 x

sin 4 x

sin 2 x sin 2 x

1  2 3  lim

tan 2 x

24. C.

1 2  cos 

lim x  1 4 2 x  8 x  4 sin 6 x  sin 2 2. a. x lim

2 2 x  0 2 x cos 4 sin x 

sin  x  1 

 lim

 lim

sin  x  1   1 2 1 sin 6 x 1 sin 2 x 1

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

Materi.

 x  1  tan 6 x x  0

b. lim

4  x  1  x  1  tan 6 x x  0

sin 2 x x

 lim 2 x 3 sin 4 x 

2  3 . 1  lim x  0

x  x  2  x  1 

3  3  x  1 tan 6 x

2  12 14  x lim  0 lim

b. lim

.   . 6   3 sin x . tan 2 x

1 tan 2 x  x

 lim

 lim

 x 2  1 1  1

 lim

tan 2 x

sin x sin x

d. lim

  0 tan 4   1  3 sec  

sin 8 

 1  cos  

 lim . lim sin  2 x  p   sin 2 x

  0 tan 4    0 3. a.  lim 1  3 sec   p  0 p

tan 4 x  3  2 cos x 

lim

e. lim

x  0 sin 2 x  1  sec x 

tan  2 x  h   tan 2 x

2 1  sec 0  1  1 

b. lim

 2 x  h  2 x   1  tan  2 x  h  tan 2 x   2    1

 tan

lim

tan tanh x  tan y 

. lim  1  tan  2 x  h  tan 2 x 

lim

f. lim

x  y  1  y  1  y tan x  tan y

 1  1  tan 2 x . tan 2 x 

 1  tan x 2 2 x  sec tan 2  tan y 2 x

 lim

1  tan x . tan y 

c.  

lim cos  2 x  3  h  cos

 2 x  3  h 2 sin sin    2 x  3   lim

x . tan  x  y 

 2 x  3  h   2 x  3 

 lim

 lim y  x . tan  x  y 

sin 1 h 

 lim  2 sin  2 x  3  h  

2  h sin  1 0  h

 2 lim

. tan  x  y 

  2 sin  2 x  3   lim

tan  x  y 

  2 sin  2 x  3  1 .   sin  2 x  3 

1  2 lim x

x . tan  x

sin 2   sin 5 a 

  0 1  cos 3  x sin 8   sin 3  

1  1  lim

2 5 x tan x

 x  0 2 lim 3

sin 3   8 3 2 sin 2 x

  0 sin 8 

tan x 

 .  x  0  3 2 3 sin 

2  5 3  lim

 sin 10 t  sin 2 t   sin 18 t  sin 6  t lim 

1  cos x 1  cos x

2 sin 6 t  cos 4 t  cos 12 t 

 lim

 lim

t  0 1  cos  x 2 sin t cos 2 t

6  cos 4 x  cos 12 t 

1  cos x

  lim

 lim

1 t  0 cos 2 2 t x  0 x 1  cos x

2 2 1 sin

tan x  sin x

 lim

 1  cos x 

sin 2 x 

1  lim

 3 2  lim x  0

x  0  lim x  0 x

1  cos x

tan x  1  cos x 

 lim

 2 sin 2 

2  1 2  1  cos 0 4 1  1 tan x

 lim

2 4 1 2 4 tan x 2 sin

1  sin x  1  sin x

lim

tan  x

1  sin x   1  sin x 

x  0 x  1  sin x  1  sin

 1  sin x  1  sin x

1 c. lim 0  x . sin x . cot x 

x a  1 a x    x 2 sin 

2 sin 2

d. lim 1  ?

 lim

sin  x  x a   0 x  a

x  sin a  x  sin    

 x a  sin  2

1  x  1  x 

   x   x a  sin 2  x  a 

sin 1

1  x  1  x 

sin 1  

 a a  2

  2 sin 

 lim  1  x  lim

x  1 x  1 sin   1  x 

2  sin a    sin a

tan  x

tan   x  2  

e. lim

 lim

x lim  1  1  x  tan 2 tan   x  2 

e.

 lim

 x lim  1  1  x  lim tan

; dalil L “Hospital”

4  sin  4 2 2  2 2 1 1   1  1  1  

1 cos 1

 sec   4 

 sec  tan   

tan x  tan a  

c. lim

g. lim

 1 sin  

x  a  lim  

2  cos  cos    lim

tan  

x  a  1  tan x tan a 

x  a x  a 1  sin 

sin  2  sin 

 lim

 lim 

 2 cos   lim

tan  x  a 

. lim  1  tan x . tan a 

2 cos 

x  a x  a x  a 2 cos 2 2  

2  sin

 1  1  tan a . tan a 

lim

  2 sin 

1   1  tan a  sec a 2 cos

2  2    sin 2  2   

 lim

2 sin lim   2   

 lim 

h.

2 cos x x  2 sin  2  x 

 2 cos    lim

1 1     sin

2    lim

x   2 sin   x   2 

 2 cos .  2 . 0 .  0

2 1  2 lim x   2  sin

 1  cos 2 x  sin 5 x

d. lim

x . sin 3 x  lim 

   2 . 1   2  2 1 x  2 sin  x 

2 sin x . sin 5  x

lim x  0 2

x . sin 3 x

3 3 1 2  sin x 1  sin x  sin x 

2  2  lim x  0  x lim 

2  lim 

sin 5 x

6. a. lim 

x  x   0  sin 3 x

2 cos x

x  2 1  sin x

 1  sin x 

  sin x  sin x  1 

 lim

2  1  sin x  1  sin x 

sin 2   sin 2  1

1  cos x

2 tan t  2 sin t . cos t

b. lim

x  0  x lim sin x cos x t  0 2

2 t tan  t

1  cos x    cos x  cos x  1

 lim

2 tan t  2 tan t . cos t . cos t x  0  x lim sin x cos x t  0 2

2 x   cos x  cos x  1

t tan t

 2 lim

2 1 2 2 sin

2 tan t 1  cos t

 lim

 0 x 2 sin x . cos x t  0 tan t . t

 cos x  cos x 

lim 2  2 . 1  2

x  0 cos x

1  cos 2 p  2

2 2  cos 0  cos 0  1 b. lim

p  0 sin 2 p

1 1 cos 0

1  cos 2 p  2

 p lim  0 2

sin p  1  cos 2 p  2  sin p  1  cos 2 p  2 

 lim 0 2  lim

p  sin p 1  cos 2 p  2 x  0 3

2 sin x   2 sin . 2 x 

1  cos 2 p 

 lim

 1  cos 2 p  2 

 lim

p 3  0 2 x  sin 0 p

 sin 2 x   lim

2 sin p

 lim

2 sin x

sin p 1  cos 2 p  2 x

1  cos 0  2 1  1  2  1 

 2  2 1 1  cos  x

1  cos     x 

  2 b. lim

2  lim

sin 

3  sin  3  x 

1  cos   1  x 

c. lim

x  0  x lim x  1 x 3

 2 sin 

3   3  x

3   3  x

2 2  sin 2  1  x 

2 2 cos

 lim

 lim

1 2 2 cos 

 1 x sin x

sin 2  1  x     

2 1 1 1 sin 2  x

2 cos .  2 . . 

c. lim

3   x  3  cos x

d. lim sin 2 x x  1  1

x  0 sin x

 lim

3  3 cos x  x cos x  lim

x  0 sin 2 x  x  1  sin 1 x   lim

x  1  1  3 lim

1  cos x   x cos x

x  0 sin 2 sin x x  lim .  x  1  1 

3  2 sin 2 x   x cos x

 lim 0 x 2  sin x

 lim

sin 2 x

. sin x  

3 x  0 sin x  2  

x sin  x 7

d. lim

 lim  x sin  x  7   x  .

 x lim  0 . cos x

 sin x

x sin  x  7   x

. . sin 0  1 . cos 0

x sin  x  7   x

. . 0  1 . 1  0  1   1 x sin  x  7   x

 lim x  

x sin  x  7   x

 sin  x  7   1 

x  sin  x  7   1 

sin  x  7   1

2 sin x  cos x  1 

 lim  tidak ada limitnya ! x  0 x 3  lim  tidak ada limitnya ! x  0 x 3

sin  1  cos x  1  cos x

x lim  0 2  8  1   cos x x 2 2

 1  cos x   2 sin 2 x 

2 x sin 2 x  lim

2 1 sin 1 sin 1

2  x lim  0 x  0 8

1  cos x

sin x

1  cos x  2 lim

sin  1  cos x   sin 2 x 

 lim 0 4  lim 1 x  0 x 1   cos x x

2 sin 2 x

x  0 x  sin 

x sin x

1 1 Jadi, a  1 , b 

ax  b 1

tan  cos 4 x  1 

b. lim

b. lim

4 x   2 cos x x 2  0 3 x sin 

tan  cos 4 x  1   2 sin 2 x

2 sin  2  x  2 x  2 cos x

 lim

x  0 cos 4 x  1 3 x sin 4 3 x

2 tan  cos 4 x  1  sin 2 x sin 2 x

1  Jadi, a   , b 

c. 

tan 2 x  5 x

lim C. Evaluasi Kemampuan Analisis x  0 sin 2 x

  a  h  sin  a  h   a sin a  

2 2 2 tan 2

 lim

1. a. lim 

x  0 x 2  5 x sin 2 x

 a  2 ah  h 

2 tan 2

 lim

x  0 x 2  5 x sin 2 x

 sin a cos h  cos a sin h   a 2 sin a

tan  x  5 x  x

2  lim

 lim 0 2 .

x  5 x sin 2 x

a cos a cos h  a cos sin h 

1 1 1 5 2 ah sin a cos  2 ah cos a sin h 

2 1 2 2 2 2 h sin a cos h  h cos a sinh  a 2

 lim

sin  2  2 cos  x  2  

d. lim

x   2 x 2  4 x  4 a sin a . 1  a cos a sin h 

2 ah sin a . 1  2 ah cos a sinh   lim

sin  2  1  cos  x  2   

x   2 x 2  2 2 2  2  h sin a . 1  h cos a sinh  a

sin  2  1  cos  x  2     1  cos  x  2

 lim

 lim

x   2 1  cos  x  2  2  x  2 

sin  h

lim a 2 cos a  2 a sin a 

sin  2  1  cos

 x  2    2 sin 2  x  2 

 lim

x   2 1  cos  x  2 

2 a cos a sin h  sin a  h cos a sin h

 a 2 cos a  2 a sin a  0  0  0

sin  2  1  cos  x  2  sin

 a  a cos a  2 sin a 

 2 lim

 x   2 1  cos  x  2    x  2  

2  6 x  3 h  2  sin 2  3 h lim x  0 0 1 x 1 sin x x  h

 x  a   sin  a  x   2 sin a  2 sin

  cos  3 x  3 h  1   2   cos  3 x  1   2 

sin x cos a  cos x sin a 

 3 2 sin 3 x  1 h

1 1 .  lim

sin a cos x  cos a sin x   2 cos 2  0 3 x  1   cos 2  3 x  1  x  h

 x lim  0

x sin x

 2 sin  3 x  1  3 3 sin 3 x  1

2 cos x sin a  2 sin a 2 cos 2  3 x  1  2 2 cos  3 x  1   x lim  0 x sin x

c. f x

 2  tan  2 x  1 

2 cos x sin a  2 sin a

 lim

 2  x  h   1   tan  2 x  1  x  0 x sin x

tan 2 2

lim

2 sin a  cos x  1 

 tan  2 x  2 h  1   tan  2 x  1  

 lim x  0 x sin x

 tan  2 x  2 h  1

  tan  2 x  1  

2 sin a   2 sin 2 x 

 lim

 lim tan  2 x  2 h  1  2 x  1  x  0 x sin x

 1  tan  2 x  2 h  1   tan  2 x  1   

4 sin a lim

x  0 x . sin x

 1  tan

 2 x  2 h  1  tan 2 x  1 

 lim

  4 sin a . .   sin a  tan  4 x  2  2 . 0

 1  tan  2 x  1  2 . 0  tan 2 x  1   .

5. a. f  x  sin 3  2 x  1 

tan 2 h

lim x  0  1  tan  2 x  1  2 . 0  tan 2 x  1  

sin 3  2  x    1   sin h 3  2 x  1 

 tan 2  2 x  1   1  tan 2 2 x  1

lim

3  1  tan

 sin  2 x  2 h  1   sin  2 x  1   

3 sin  2 x  2 h  1  sin 2 x  1

 2 tan 2  2 x  1 1  tan 2 2 x  1 sec  2      2 x  1 

 lim

 sin  2 x  2 h  1   sin  2 x  1  

 2 . 2 tan

 2 2 x  1  . sec  2 x  1 

h  4 tan 2 x

 2  1  sec  2 x  1 

sin  2 x  2 h  1   sin  2 x  1 

 lim

sin  2 x  2 h  1   sin  2 x  1     

Latihan Kompetensi Siswa 6

 3 sin  2 x  2 h  1  sin 2 x  1  

sin 1 1 2  2 h 

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

 lim 2 cos 4 x  2  2

2  1. B.

sin  2 x  2 . 0  1   sin  2 x  1  

3 sin  2 x  20  1 sin

 lim    1   lim

x      1    x e

 2 cos  2 x  1  . 1 . 3 sin 2 x  1 

 2 6 cos 

2 x  1  sin  2 x  1 

2. B.

b. 7 f  x  cos  3 x  1  

 1  lim 7 

 1   lim  1  x   e

cos  3  x  h   1   cos  3 x  1 

cos  3 x  3 h  1   2   cos  3 x  1   2

  cos 3 x  1 

lim   1   lim  1    e

 x  x        

h   cos  3 x  3 h  1   2   cos  3 x  1   2 1 x  

 lim    1    1  

lim 1  x  lim  1  x  2

 lim 0   1  x 

 lim   1  lim 

 x 1 

e 2 1 1 1 e .  e 

5. A.

n lim      n  1 

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaaan

1    x 1   x lim      1   lim

6. C.

lim  1  3 n  6 n

 2 lim

7. B.

x lim     1   x lim      1  lim  2 x n   

b.

 lim 

 1   lim x      1   

c.

lim  3 x   

4  x          lim 1 

3   lim x      1     1 

8. C.

x  0  1  sin x 

lim

 sin x . 5  x

lim  1  sin x  sin 1 x

x  0   1  sin x 

 x lim  0 x sin x  e

  lim

sin sin

e. lim   1 3 

 lim

 lim 1 

2  x   2

4  x    2 3  3  3 1

 lim 1 

2  x  3  

3  f. 3 2   2 3   lim 

 lim   1 

 x  2  2 x  2  x

x      1 e  3 x 

 6  3  6  lim

x  2 3. a. lim 0  1  3 n   lim 0   1  3 n 

 x  2   1 e lim  

b. lim  3 n  4  6 n  10

10 1  6 n  10

4       4 6 n  10

b. 1 lim    lim 3 n 

 1 x  4  1   lim 

   4 6 n 1  x 10  

  4 6 n 

   4  10 x     x  4 

lim  3 n . n  1 1 6 x

 e n  0 4 6 10 lim 0   4 6 n  10

 e .   4 

12   4 x 10

c. lim

lim 0   1  2 x  2 x

12 x 

x lim   2 x 3 2   e 0  e x lim   2 x 3 2   e 0  e

2 d. 32 lim x 1  x

b. lim

sin 2 x

 x lim  0   1  tan x  tan  lim x  0   1 x

1  4 tan x

3 2 32 x 

sin 2 x

  lim 0  1  tan x  tan 

 C. Evaluasi Kemampuan Analisis lim  1 

x  1 5 1. akan dibuktikan

 1   x lim    1  x  1 

tan  x

 lim 1    1 

e . 1  e Karena nilai tan periodik k setiap  , maka

tan  k    akan sama untuk setiap

b.

x lim  0 

1 2  x   nilai k bilangan bulat 3 

1 jadi, tan  x  tan  x  2 2  2 

 tan   x  2 

 x lim  0 

 2 1  3 x 

 x tan  x 1 

 lim   1 

1 lim

2  x lim

x  0  1 

1 2  3 x 

tan   x  2 

lim 1     e x   x     e

x lim  0 1  2   1  3 x 

   1 terbukti

e lim

 e 1 0  e 2. akan ditunjukkan

lim  cos    2 

lim  cos    2  lim   1 2 sin  

5. a. lim  1  tan 2  

   tan 2  

1  tan 2   8 1   2 lim

  lim  1  tan 2   tan 2  

   16 e 4  e  3  terbukti    16 e 4  e  3  terbukti

3  3 x  4 x  1  2). lim

3. a.

lim x    

3).  3).  f

x  x  3 

 x  lim x  a f  x  a , a  R

2 x  5 Berdasarkan 1), 2), dan 3), maka f  x

 x lim  

kontinu di setiap titik

c. 2 f 

1). f  4  4  3  4  2

 x lim

   6   lim  

lim x  4 f  x  lim x  4  x  3 x  2

2   x 2  x x   x   x  3 3 2 3  . x   5  2 2).

f  x  x lim f  x  6

Berdasarkan 1), 2), dan 3), maka f  x

3 x 2  13  10 kontinu di x  4

lim

lim

e  e x  27

3 x 2  13 x  10 x   x 2 x

3  13  10 2. a.

, untuk x  3

lim

e  e 1  e f  x 

9, untuk x  3

Akan ditunjukkan f  x diskontinu di

b.

x lim    3 

x  3 f  3  9 (jelas)

x  27  x lim   

 27 x  4 x  2 x  3 x   3  x  3

lim f  x  lim

x 2  6 f  3  lim

x  3 f  x , maka f  x

 2 x  17  

 lim 1  3 x diskontinu di   x  3 

x  4 x  2 

1 , akan ditunjukkan f   x

4 2 b. f  x 

 2 x  17 

 x lim     1  x 3  4 x

  1  2 x  17  

diskontinu di

f 0 

, 0  1   1 2 tidak terdefinisi,

 2 x 3  17 x 2  12 x 102

3 3 f  0

x 3  4 x 2 maka

tidak terdefinisi

Karena f  0  e 1 0 0 0  1   2  2 e  e f  x diskontinu di x  0

tidak terdefinisi, maka

c. f  x 

diskontinu di x  0

Latihan Kompetensi Siswa 7

karena f  0 tidak terdefinisi

1. a. f  x  x

d. f  x  1 diskontinu di

1). f  a  a karena

f  0 tidak terdefinisi

x  a f  x  lim x  a x  a

2). lim

3). f  x  lim

1 x  a f  x  a 3. a. f  x , x   1

Berdasarkan 1), 2), dan 3), maka f  x

f   1    1

kontinu di setiap titik

 x , x x  R

b. 3 f

1). f  a , a a  R lim f  x  lim   1

 x  lim    1 x , maka  1 f  x kontinu

d. f  x 

di

b. f  x  , x  2 f  x akan diskontinu pada x  3

2  8 0 e. f  x  2

f  2 

 (tidak terdefinisi) x  2 x  1

2  2 0 f  x tidak terdefinisi jika

maka f  x diskontinu di x  2 2

x x 2  1  0 , yaitu x  1 x  x  2

c. 2 f 

x  1 f. f  x 

f  1 

f  x tidak terdefinisi jika

(tidak terdefinisi)

maka f  x diskontinu di x  1 3 x  5  0

 x  x , x  2 3 x  5

d. 2 f

f 2 

2  2  8 9 x  5

x lim  2 f  x  lim x  2 x  8

f  x tidak terdefinisi di x   2 f maka  2  lim

x  2 f  x  8 f  x

, maka

kontinu di x  2 f  x akan diskontinu di x   2

e. f  x  3 , x  2 g. f  x  3

1 1 f  x akan diskontinu pada x  2

f  2  3  (tidak terdefinisi)

h. f  x 

2 2  8 0 x  4 x  21

maka f  x diskontinu di x  2 x  7

2 f  x akan diskontinu pada x  7

f. f  x  4 , x  5

x  625

f  x  4  (tidak terdefinisi)

5. a. f  x 

, untuk a 

5  625 0 3 x  2 3 maka f  x diskontinu di  5 2 x 2  2  9  3  4 0

f  a f    2   3  3  3  2 0

4. a. f  x  2

x  x  6 Karena untuk a 

f  x tidak

3 x x  6  0

terdefinisi, maka f  x diskontinu pada  x  3  x  2   0

f  x akan diskontuni pada x   3 dan

x  2 , karena untuk x   3 dan x  2 2

f  x tidak terdefinisi

b. , jika x  3

b. f  x 

g  x 

5, untuk x  3

f  x tidak terdefinisi pada x   3 ,

g  3  5

maka f  x diskontinu di x   3 2

x  16 lim g  x  lim

f  x  2

c.

x  4 g  3  lim

x  3 g  x

, maka g  x diskontinu

f  x akan diskontinu pada x   2 di x  3 f  x akan diskontinu pada x   2 di x  3

h  x 

lim

1, untuk x  0 x  4 1  5  x

Untuk a  0 1  1 2 1

h  a h 0  1  lim

2  5  x  .  1

x lim  a h  x  x lim  0 h  x   1

Karena h  a lim

x  a h  x

, maka h  x

diskontinu di a  0 1 1 3

d. 1, jika x  0

h  x 

5. D.

0 , untuk 2 x  0 R 

x  sin x

Untuk a  0 R  p   4   R 

p  a p 0  0 (jelas)

lim

lim p  x  x lim  0 p  x tidak ada maka

 p 4   sin 

sin 2  

 lim

maka p  x diskontinu di a  0 p  0 p

 sin  p  4   sin 4   sin p  4   sin 

 lim

 2 sin 1 2  p    cos 1 2 2 p 

Uji Kompetensi Akhir BAB 3

 2 cos

2  p  2  sin p 

A. Pilihan Ganda

 lim

1 1. B. 1 

0  2  cos . 0 . 2 cos 0 

2 sin

2 2 sin 1

lim

2 lim 2

 2 1 1  2 t  3 t  1 lim 0 

t   1

1  x 1  x  t  1

1  x  1 0 R  t 

 lim x  0 2 

Nilai a agar R  t kontinu di t  1

a  lim t  1 R  t  lim t  1

3. B.

2  2 t  2  2 t  1 

 lim

lim

  t  1 2 t  1 

x  x  2  x  1  1  1  2 

 lim

 lim

x  x  3  x  1  1  1  3 

1   1  1 1 Maka

7. E.

sec 4 x  sec 5 x

 lim x  1 2 1 

 1 3 4 2  3 5 lim

 3 x  2 2   3 x

sec 3 x  sec 2 x

    lim

2 2 18 cos 4 x  cos 5 x

x  0 1 1  9 . 1  9 . 1 9 cos 2 3 x  cos 2

cos 5 x  cos 4 x

 2 sin 2 9 x sin  1 2 x

 11. B.

cos 4 x cos 5 x

cos 4 x cos 5 x

x lim  0 cos 2 x  cos 3 x  lim 0  2 sin 5 x sin  1 x

 Kali akar sekawan : lim x  0 sin 5

sin 2 x cos 2 x . cos 3 x

 1  sin 4 x   1  tan 4  x lim 

2 x cos 4 x . cos 5 x

x  0 x sin 2 x tan 4 x  1  sin 4 x  1  tan 4 x

 lim x  0 5 

2 cos 0 . cos 0 9 1 . 1 9

tan 4 x  sin 4 x

2 cos 0 . cos 0 5 1 . 1 5  x lim  0 x sin 2 x tan 4 x

x  0 tan 4 x  tan 4 x cos 4 x

 lim

x sin 2 x tan 4 x  1  sin 4 x  1  tan 4 x 

8. E.

8 n lim n

tan 4 x 1  cos 4 x n 

0  lim

x  tan 4 x . x sin 2 x  1  sin 4 x  1  tan 4 x 

4 n  3 tan 2 n

4  3 4  6 x  1 0 x sin 2 x  1  sin 4 x  1  tan 4 x 

9 x  12 x  1  9 x  24 x  10   2  2 1

lim

Pangkat tertinggi pembilang adalah 1

12. C.

Pangkat tertinggi penyebut adalah 1 tan 8   2 sin 4  cos 4 

2  2  2  2  2  2  sin 4  tan 8 x  x x x x x  lim

tan 8   sin 8  x 3  x 3  3  3 x lim  x 3  x 3 x    0  sin 4  tan 8 

9  0  0  9  0  0 tan 8   tan 8  cos 8 

 3 3  lim   0

1  0  0  1  0  0  sin 4  x  tan 0 

tan 8   1  cos 8  

9  9 3  3  lim

 3 3    0 tan 8  .  sin 4 

2 2 sin 4 

 lim

  0  sin 4 

sin 4 

lim

10. D.

lim

Subtitusi x  1 bentuknya menjadi

0  lim  x  12 x  4 x  1   x  6 x  2 x  10 

 x  12 x  4 x  1

  x  12 x  4 x  1

Dalil L Hospital

2 x  1 0 3 3 2  lim

x  6 x 2  2 x  10  3  2 x  6 x  2 x  10  3

masih

0 p 3  q 3   p  q  p 2  2  pq  q 

Pangkat tertinggi pembilang x 2  2 lim

2 x  Pangkat tertinggi penyebut 2 x 2  2  5  2 2  5 . 2  2 2  2   3 . 2  6 

R  x  2 x  x  1

2 17. D.

f  x  3  3

R  1  ∆ x   R 1 2 x  1 2 x  4  5

lim

  5 lim 5

 2  1  ∆ x   1  ∆ x   1    2 . 1  1  1 

f  2  h   f 2

 lim

ax  bx  3 3

3 lim 2 

 10   h  6 h  12 h  10 

x  2 x  3 4  lim

h  0 3 2 2 2 h  h  6 h  12 h  10 

ax  bx  3 3

h  h  6 h  12

lim

 x  3  x  1  4  lim

h  0 3 Agar penyebut tidak nol maka faktor 2 2 h  h  6 h  12 h  10 

 x  3  dihilangkan . berarti ax bx  3 0  0  12 12  3  

juga mengandung faktor  x  3  , jadi 3

juga akar dari pembilang .

2 18. D.

x  3  ax  bx  3  0 3 2 2 3

x  ax  a x  a

a . 3 b . 3  3  0 lim

9 a b 3   3 x  2 a 2

3 a b   1  x  a  x a   lim  

sin  2 x

x 2 3  3 x  10 x 2 sin  2 x 

x Kali akar sekawan : 2 lim  lim

2 2 x  0 sin 2 2 x x  0 sin 2 2  x x  5 x  2   x  3 x  6  x 2

 lim

x  x  3 x  10  x  5 x  2  x  3 x  6  sin 2 x   2 

x  5  x  2  x  5 x  2  x  3 x  6 

x  2 x  x  5  x  2   x 2  5 x  2  x 2  3 x  6 

21. A.

24. D.

 4 2  lim

 x  1  tan  x  1  sin x  1 

lim 0 2 

 1  cos  

x  1 2    x  x  2   sin  1  cos  

4 2   lim

 x  1  x  1  tan x  1  sin x  1 

3 3  lim

 1  cos  1  cos  

1  cos 

 x  2  x  1 

sin  x  1  x  1  4  2  1  cos   

 lim

x  1 x  1 3    0 x  2   1  cos x   0   x  1 

 lim

x 2  1 lim

 2  2 cos 

 1  cos  

 lim

x lim  1 tan

1  cos 

1  1  1 1 2 1  1  cos   1  cos  

 lim

1  1  2  1 27  1  cos   1  cos  

22. D.

25. B.

x lim     x  2 a  x  2 b   x 

cos 2 a  cos 2 b

lim a  b

2  2 a  2 b  sin 2  2 a  2 b x   

 x  2 a  x  2 b   x

1  1 lim  2 sin

 x  2 a  x  2 b   x

 a lim  b

 2 a  2 b  x  4 ab  2 sin  a  b  sin a  b 

 lim x  

x   2 a  2 b  x  4 ab  x

2  lim

sin  a  b 

4  ab

  2 sin  b  b  lim

 x lim

4 ab x

2 sin 2 b .   2 sin 2  b

2 26. A.

lim x    9 x  3  9 x  15  x

x lim   9 x  3 x  9 x  15 23. x

 9 x  3 x  9 lim 15  x   x 

R  x  cos 2 2 x

R  6  t  R  6

9 x  3 x  9 x  15 x

cos 2    t  cos 2 

6 6 9 x  3 x  9 x  15 x

 lim

cos    2 t   cos 

 lim 

 cos   3  2 t   cos  

3   cos 3  2 t   cos 3 

 lim

2 cos 1  2   2 3  2 t 1  cos 2  2 t  

2 sin 1  2  

 sin 2  2 t 

 1  sin x   1  sin x 

3 . 1   3 x lim  0

2 x  1  sin x  1  sin x 

2 sin x

x lim  0  2 a  2  2 a  1   2 0 x  1  sin x  x 0  1  sin x  2

1 2 a  2  0 atau 2 a  1  0  lim x  0 1

sin x

x  1  sin x  1  sin x 

Ambil a yang positif maka a   1

x lim    4 x  x  4 x  x 

2 2  B. BENTUK URAIAN

4 x  x   4 x  x 

 x lim  

1. f  x  3 x  1 , x  

 3 lim x  

2 2 f  x  ∆ x   f x

lim

 x x lim   4 x 2 x

x 2  x 2  x 2  x 2  lim ∆ x  0

 3 x  3 ∆ x  1   3 x  1 

 lim

2  2 4 2  lim ∆ x  0 ∆ x 3 x  3 ∆ x  1  3 x  1

a b    1

28. A.

x lim  0  2 x  2 

 x  2 x  5   lim x  0 2 2. lim x    3 2 

 x  2  x  1 

x lim  0 x   2 x lim  0 x  1  x lim   

2    1  x 29. C. 2  x  6 6

lim  log 2   1  log 

 lim 

lim  x

x 3  x 2  6 x  2 6  1  lim  lim  log

2   log

1  0  0  1 log 2  0  log 1  e  e

x lim   3 x  4 x  7   ax  b    0 

log 2  0  log 2 2  log 2 2

2 3. a.

 3 x  4 x  7    ax  b    0

30. D.

x 2 lim 2  

 2 x  ax  2 a   1 3

lim 2

x  4 x  7   ax  b 

2 . 1  a . 1  2 . a  1 3 x  4 x  7  a x  2 abx   b lim

2  a  2 a  1 3 x  4 x  7   ax  b 

2 2 a a  1  0

3  0  0  a 2  0  0 Eliminasi (2) dan (3)

3 2 a  0 m  n  5 

a  3  2 m   6 Nilai b sembarang b  R

ax  bx  5

b.

x lim  5  x 1  5

(1)  m  n  5 pangkat tertinggi pembilang  2 9 n  5 pangkat tertinggi penyebut  1 n  4

nilai limitnya ada , berarti x  5 Jadi, m  9 , n  4

merupakan salah satu akar pembilang

5 a b   1     2    . 2 . 2  0

 Maka lim

2 2 2 Misal akar yang lain dari pembilang  p

x  5 x p  1  x lim  0   

1  1 x sin x 

5 p  1 2  2 sin 2 x sin 2 x  p  4 1  x sin x

 Jadi, fungsinya adalah

 lim  

x  5  x  4 

2   2 sin x  0 2 x

 x  9 x  20

2 : 4 1  x sin x  0 1  9  lim   4 x  4 x  5 x  0 2  cos x  1 

  1 2 x sin x  0 

Sehingga a  , b  

 lim

4 4 x  0 cos x  1 ax sin x  b

4. f  x  x  mx  n  x  nx  m

2 2 Jadi, lim

x  0 cos x  1

lim f  x  maka

lim x  mx  n  x  nx  m  Sehingga a   , b  0

m n 5 a  2 x    cos x  b

b. lim 

2 1 2 x  2 sin x  1

m n 5 a  2 x    cos x  b

x  2  2 2 sin x  1 m n  5 …..(1)

lim

2 a  x    2  sin 2  x   b

f  0   1

 lim

x   2 cos  

 2  sin    2  x    b

 lim 

n  m   1 …..(2) x  2 cos  

 1 m  n

 x  2  sin 2  x   b

  lim

2 cos   2  x   1

 m  n  m  n

 x  2  sin 2  x   b

x lim  

2  2 sin 2  x  2 

a  x   sin x  2    2  b

m n  5 …..(3)

sin 2  x  2  sin 2  x  2  sin 2

Jadi, a  4 b  0