METODE RUNGE KUTTA JURUSAN MATEMATIKA
METODE RUNGE-KUTTA
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Drs. Rochmad, M.Si
Disusun oleh:
Fauziah Putri Sasmitoasih
4150408004
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2010
KATA PENGANTAR
Pertama-tama saya mengucapkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas
berkah dan rahmat-Nya sehingga saya dapat
menyusun laporan tugas metode numerik ini
dengan lancar.
Tugas ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu persyaratan mata kuliah Metode
Numerik yang merupakan mata kuliah yang harus ditempuh guna mendapatkan gelar
kesarjanaan S1 pada Jurusan Matematika,Prodi Matematika,Fakultas MIPA,Universitas Negeri
Semarang.
Tugas Metode numerik ini bertujuan untuk mempelajari tentang metdode runge-kutta
beserta rumus dan aplikasi serta contohnya.
Saya menyadari bahwa laporan Tugas ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu,
saya mengharapkan kritik,saran maupun sumbangan pendapat yang sifatnya membangun dari
para pembaca demi peningkatkan laporan ini di kemudian hari. Saya berharap semoga laporan
ini dapat bermanfaat, baik bagi saya maupun para pembaca sekalian.
Semarang, Desember 2010
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Sampai sekarang pengolahan persamaan differensial dipusatkan pada penentuan
penyelesaian dari persamaan differensial. Secara lebih khusus metode kita ini
memberikan bentuk atau formula penyelesaian. Sebagai contoh misalnya persamaan
diffrensial y +y= mempunyai bentuk penyelesaian berbentuk y=C 1 sin x +C 2 cos x .
Namun sering kali penyelesaiannya tidak segampang seperti contoh diatas. Dalam
hal dimana penyelesaian dinyatakan dalam fungsi seperti
e x ,sin x , ataucos x
yang
relative sederhana pun ketepatan nilai numerisnya dari y dapat menyebabkan beberapa
masalah dalam perhitungan.
Dan apabila kita dapat mengingak dalam pelajaran kalkulus banyak kita temukan
fungsi yang tidak mempunyai anti-turunan dank arena itu mustahil untuk menyatakan
intergral tak tertentu fungsi-fungsi ini menjadi bentuk dalam fungsi-fungsi elementer.
Dalam konteks ini yang sama ini ada banyak persamaan differensial yang mustahil
diperoleh bentuk penyelesaiannya. Dalam kasus semacam ini kita “selesaikan”
persamaan differensial itu dengan menerapkan metode numeris tertentu.
Pada saat ini banyak metode numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan
persamaan differensial seperti :
1. Metode Euler.
2. Metode Deret Taylor.
3. Metode Runge-kutta.
4. System persamaan Differensial orde satu dan Penerapannya.
Untuk metode euler masih dapat ditemukan kekurangannya yaitu seperti adanya
kesalahan pemotongan atau kesalahan pendiskritan. Dan pada umumnya penambahan n
(pengecilan jarak) mengurangi kesalahan pemotongan. Tetapi kesalahan jenis lain disebut
kesalahan pembulatan cenderung menjadi lebih berarti bila h menjadi lebih kecil.
Untuk metode taylor sebenarnya tingkat ketelitiannya lebih dari metode euler
namun hanya bisa sampai deret taylor orde-2.dan semakin tinggi orde_nya makin sulit
perhitungannya. Oleh karena itu Metode runge-kutta yang dapat menyajikannya.
Dalam pemberian hampiran taylor kita tuliskan :
2
h
.
2
Hampiran taylor orde tiga juga akan mempunyai tambahan suku-suku :
y ( x0 + h ) ≈ y ( x 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) h+ [ f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) . f ( x 0 , y 0 ) ]
{f
2
xx
2
( x0 , y 0 ) +2 f xy ( x 0 , y 0 ) . f ( x 0 , y 0 ) + f yy ( x 0 , y 0 ) [ f ( x 0 , y 0 ) ] + f x ( x 0 , y 0 ) . f y ( x 0 , y 0 ) + [ f y ( x 0 , y 0 ) ] f ( x 0 ,
Berdasarkan pengetahuan yang kita tentang deret taylor dari kalkulus kita tau
bahwa ketelitian dari hampiran kita membaik sesuai dengan banyaknya suku yang
digunakan. Sebaliknya semakin banyak suku yang digunakan maka semakin sulit
perhitungannya. Oleh sebab itu dengan adanya metode runge-kutta akan mempermudah
menghitung hampiran orde banyak.
Oleh karena itu untuk mengerjakan hampiran orde banyak cenderung memilih
menggunakan metode runge-kutta. Dan menghitung hampiran orde banyak dengan teliti
adalah kelebihan dari metode Runge-kutta.
B. Rumusan Masalah.
Namun perhitungan runge-kutta secara manual juga sangat melelahkan sebab
membutuhkan cara yang cukup banyak. Oleh sebab itu saya berinisitif untuk membuat
perhitungan metode runge-kutta dalam bentuk program “turbo pascal” agar
pengerjaannya lebih mudah.
Sehingga dapat ditulis masalah yang timbul adalah :
1. Perhitungan secara manual yang masih terlalu sulit.
2. Banyaknya cara yang harus ditempuh dalam menggunakan cara metode
runge-kutta secara manual.
3. Kurang teliti apabila dikerjakan secara manual.
4. Banyaknya bentuk atau model dalam pengerjaan metode runge-kutta ini.
C. Pembatasan Masalah.
Dari sekian masalah yang timbul saya berinisatif untuk membuat program untuk
metode runge-kutta orde-4 dengan bahasa pemograman “turbo pascal”. Saya mengambil
yang orde ke-4 sebab yang perhitungannya lebih rumit bila dibandingkan dengan metode
runge-kutta orde lainnya.
Selain itu saya mengambil orde 4 ini sebab agar tidak terjadi kesalahan
penghitungan dan tidak terjadi kesalahan pembulatan. Sehingga hasil dalam
penghitungannya akan menjadi lebih akurat.
BAB II
ISI
A. Metode Runge-Kutta.
Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan
hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau
dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan.
Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi
nilai y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih
panjang.
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan
turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:
y i + 1= y i + Φ ( x i , y i , Δx) Δx
(8.19)
dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada
interval.
Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:
Φ=a1 k 1 +a 2 k 2 +. ..+an k n
(8.20)
dengan a adalah konstanta dan k adalah:
k1 = f (xi, yi)
(8.21a)
k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x)
(8.21b)
k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x)
(8.21c)
⋮
kn = f (xi + pn – 1x, yi + qn – 1, 1 k1x + qn – 1, 2 k2x + + qn – 1, n – 1 kn – 1x)
(8.21d)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.
Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam
persamaan untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat
metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.
Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan.
1)
Metode Runge-Kutta Order 4
Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih
tinggi. Metode ini mempunyai bentuk:
y i + 1= y i +
1
(k + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) Δx
6 1
(8.33a)
dengan:
k 1 =f ( xi , y i )
(8.33b)
1
1
Δx , y i + k 1 Δx )
2
2
(8.33c)
1
1
k 3 =f ( x i + Δx , yi + k 2 Δx)
2
2
(8.33d)
k 2 =f ( xi +
k 4 =f ( x i + Δx , y i + k 3 Δx )
(8.33e)
Contoh soal:
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dy
= −2 x 3 + 12 x 2 − 20 x+ 8,5 .
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
0 adalah y = 1.
Δx=0,5 . Kondisi awal pada x =
Penyelesaian:
Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2, k3 dan k4.
k 1 = −2 (03 )+ 12(02 )− 20(0 ) + 8,5 = 8,5 .
k 2 = −2(0,25 3 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25) + 8,5 = 4, 21875 .
k 3 = −2(0, 253 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25 ) + 8,5 = 4, 21875 .
k 4 = −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20 (0,5) + 8,5 = 1,25 .
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):
1
y(0,5 ) = 1 + [ (8,5 + 2(4,21875) +2( 4,21875 ) + 1, 25 ]0,5 = 3, 21875.
6
Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode
EULER
I
X
YE
Y
t (%)
HEUN
Y
t (%)
POLIGON
Y
t (%)
RALSTON
Y
t (%)
RUNGE-KUTTA
Y
t (%)
0.0
0
0.5
0
1.00000
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
0
3.21875
5.25000
63.11
3.43750
6.80
3.27734
1.82
3.27734
1.82
3.21875
0.00
2
1.5
3.00000
5.87500
95.83
3.37500
12.50
3.10156
3.39
3.10156
3.39
3.00000
0.00
3
0
2.21875
5.12500
130.99
2.68750
21.13
2.34766
5.81
2.34766
5.81
2.21875
0.00
2.00000
4.50000
125.00
2.50000
25.00
2.14063
7.03
2.14063
7.03
2.00000
0.00
2.71875
4.75000
74.71
3.18750
17.24
2.85547
5.03
2.85547
5.03
2.71875
0.00
1.0
1
4
5
6
2.0
0
7
2.5
8
0
4.00000
5.87500
46.88
4.37500
9.38
4.11719
2.93
4.11719
2.93
4.00000
0.00
3.0
4.71875
7.12500
50.99
4.93750
4.64
4.80078
1.74
4.80078
1.74
4.71875
0.00
3.00000
7.00000
133.33
3.00000
0.00
3.03125
1.04
3.03125
1.04
3.00000
0.00
9
0
3.5
0
4.0
0
B. Mengerjakan Metode Runge-kutta dengan Program Turbo Pascal
Sebelum mengerjakan dengan program haruslah kita mengerti tentang tata cara
pembuatannya terlebih dahulu. Sehingga yang perlu dilakukan adalah menampilkan
algoritma dan flowchart atau diagaram alur terlebih dahulu.
Maka :
1. Algoritma
a. Tentukan soal yang akan di kerjakan.
b. Masukkan kedalam rumus yang telah ditentukan dalam hal ini gunakan
rumus metode runge-kutta orde 4.
c. Memasukkan nilai x0,xn,h,dan nilai y
d. Lalu telah
MULAI
e. Cetak
2. Flowchart (diagram alur).
MASUKKAN
NILAI AWAL
X,Y,H,XN CETAK
HITUNG
X,Y
H = (B-X)/N
diolah dalam program.
program.
HITUNG :
k 1 =f ( xi , y i )
k 2 =f ( xi +
1
1
Δx , y i + k 1 Δx )
2
2
(8.33c)
TENTUKAN :CETAK
Xi = x+h
kXi,Yi
3 =f ( x i +
1
1
Δx , yi + k 2 Δx)
2
2
STOP
Yi =y+(ki+2k2+2k3+k4)/6
(8.33d)
C. Menampilkan Program.
Soal :
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dy
= −2 x 3 + 12 x 2 − 20 x+ 8,5 .
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
0 adalah y = 1.
Δx=0,5 . Kondisi awal pada x =
Penyelesaian :
Dan apabila program ini di run maka yang akan muncul adalah :
D. Membandingkan program dengan cara manual
Cara Manual
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dy
= −2 x 3 + 12 x 2 − 20 x+ 8,5 .
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
0 adalah y = 1.
Δx=0,5 . Kondisi awal pada x =
Penyelesaian:
Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2, k3 dan k4.
k 1 = −2 (03 )+ 12(02 )− 20(0 ) + 8,5 = 8,5 .
k 2 = −2(0,25 3 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25) + 8,5 = 4, 21875 .
k 3 = −2(0, 253 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25 ) + 8,5 = 4, 21875 .
k 4 = −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20 (0,5) + 8,5 = 1,25 .
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):
1
y(0,5 ) = 1 + [ (8,5 + 2(4,21875) +2( 4,21875 ) + 1, 25 ]0,5 = 3, 21875.
6
Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode
EULER
I
X
YE
Y
t (%)
HEUN
Y
t (%)
POLIGON
Y
t (%)
RALSTON
Y
t (%)
RUNGE-KUTTA
Y
t (%)
0.0
0
0.5
0
1.00000
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
0
3.21875
5.25000
63.11
3.43750
6.80
3.27734
1.82
3.27734
1.82
3.21875
0.00
2
1.5
3.00000
5.87500
95.83
3.37500
12.50
3.10156
3.39
3.10156
3.39
3.00000
0.00
3
0
2.21875
5.12500
130.99
2.68750
21.13
2.34766
5.81
2.34766
5.81
2.21875
0.00
2.00000
4.50000
125.00
2.50000
25.00
2.14063
7.03
2.14063
7.03
2.00000
0.00
2.71875
4.75000
74.71
3.18750
17.24
2.85547
5.03
2.85547
5.03
2.71875
0.00
1.0
1
4
5
6
2.0
0
7
2.5
8
0
4.00000
5.87500
46.88
4.37500
9.38
4.11719
2.93
4.11719
2.93
4.00000
0.00
3.0
4.71875
7.12500
50.99
4.93750
4.64
4.80078
1.74
4.80078
1.74
4.71875
0.00
3.00000
7.00000
133.33
3.00000
0.00
3.03125
1.04
3.03125
1.04
3.00000
0.00
9
0
3.5
0
4.0
0
Cara program :
Sehingga dari 2 buah cara yang digunakan kesimpulannya adalah :
“Hasil perhitungannya menemukan hasil yang sama juga lebih akurat
ketika menggunakan pemograman pascal, sebab caranya lebih mudah
dan hasilnya lebih cepat didapatkan dan jelas lebih akurat,selain itu
dengan menggunakan program maka kesalahan yang ditimbulkan akan
lebih bisa diminimalisir.”
BAB III
SARAN
Penggunaan menggukana program computer lebih akurat dan lebih mudah
penggunaannya sehingga hasil yang didapat pun lebih valid dari pada pengerjaan secara
manual. Dan hasil yang didapat dari kedua cara pengerjaan itu pun sama sehingga tidak
perlu khawatir dalam menggunakan program pascal dalam menghitung metode rungekutta orde 4 dan orde lainnya.
PENUTUP
Demikianlah yang dapat saya sampaikan dalam laporan tugas metode numerik ini
mengenai metode Rung-kutta. Dan apabila masih banyak kesalahan saya ucapkan banyak kata
maaf serta terimakasih kepada pembaca atas waktunya membaca tulisan dari laporan saya ini
dan bila masih banyak kesalahan saya haturkan banyak kata maaf.
Semarang,Desember 2010
Penyusun
DAFTAR PUSTAKA
Ladas/finzio.Santoso,Widiarti.1988.Persamaan Differensial Biasa dengan Penerapan
Modern.Jakarta: Erlangga.
Irfan_Metode_numerik,pdf.
www.thesatya.com
Google.com.
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Drs. Rochmad, M.Si
Disusun oleh:
Fauziah Putri Sasmitoasih
4150408004
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2010
KATA PENGANTAR
Pertama-tama saya mengucapkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas
berkah dan rahmat-Nya sehingga saya dapat
menyusun laporan tugas metode numerik ini
dengan lancar.
Tugas ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu persyaratan mata kuliah Metode
Numerik yang merupakan mata kuliah yang harus ditempuh guna mendapatkan gelar
kesarjanaan S1 pada Jurusan Matematika,Prodi Matematika,Fakultas MIPA,Universitas Negeri
Semarang.
Tugas Metode numerik ini bertujuan untuk mempelajari tentang metdode runge-kutta
beserta rumus dan aplikasi serta contohnya.
Saya menyadari bahwa laporan Tugas ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu,
saya mengharapkan kritik,saran maupun sumbangan pendapat yang sifatnya membangun dari
para pembaca demi peningkatkan laporan ini di kemudian hari. Saya berharap semoga laporan
ini dapat bermanfaat, baik bagi saya maupun para pembaca sekalian.
Semarang, Desember 2010
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Sampai sekarang pengolahan persamaan differensial dipusatkan pada penentuan
penyelesaian dari persamaan differensial. Secara lebih khusus metode kita ini
memberikan bentuk atau formula penyelesaian. Sebagai contoh misalnya persamaan
diffrensial y +y= mempunyai bentuk penyelesaian berbentuk y=C 1 sin x +C 2 cos x .
Namun sering kali penyelesaiannya tidak segampang seperti contoh diatas. Dalam
hal dimana penyelesaian dinyatakan dalam fungsi seperti
e x ,sin x , ataucos x
yang
relative sederhana pun ketepatan nilai numerisnya dari y dapat menyebabkan beberapa
masalah dalam perhitungan.
Dan apabila kita dapat mengingak dalam pelajaran kalkulus banyak kita temukan
fungsi yang tidak mempunyai anti-turunan dank arena itu mustahil untuk menyatakan
intergral tak tertentu fungsi-fungsi ini menjadi bentuk dalam fungsi-fungsi elementer.
Dalam konteks ini yang sama ini ada banyak persamaan differensial yang mustahil
diperoleh bentuk penyelesaiannya. Dalam kasus semacam ini kita “selesaikan”
persamaan differensial itu dengan menerapkan metode numeris tertentu.
Pada saat ini banyak metode numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan
persamaan differensial seperti :
1. Metode Euler.
2. Metode Deret Taylor.
3. Metode Runge-kutta.
4. System persamaan Differensial orde satu dan Penerapannya.
Untuk metode euler masih dapat ditemukan kekurangannya yaitu seperti adanya
kesalahan pemotongan atau kesalahan pendiskritan. Dan pada umumnya penambahan n
(pengecilan jarak) mengurangi kesalahan pemotongan. Tetapi kesalahan jenis lain disebut
kesalahan pembulatan cenderung menjadi lebih berarti bila h menjadi lebih kecil.
Untuk metode taylor sebenarnya tingkat ketelitiannya lebih dari metode euler
namun hanya bisa sampai deret taylor orde-2.dan semakin tinggi orde_nya makin sulit
perhitungannya. Oleh karena itu Metode runge-kutta yang dapat menyajikannya.
Dalam pemberian hampiran taylor kita tuliskan :
2
h
.
2
Hampiran taylor orde tiga juga akan mempunyai tambahan suku-suku :
y ( x0 + h ) ≈ y ( x 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) h+ [ f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) . f ( x 0 , y 0 ) ]
{f
2
xx
2
( x0 , y 0 ) +2 f xy ( x 0 , y 0 ) . f ( x 0 , y 0 ) + f yy ( x 0 , y 0 ) [ f ( x 0 , y 0 ) ] + f x ( x 0 , y 0 ) . f y ( x 0 , y 0 ) + [ f y ( x 0 , y 0 ) ] f ( x 0 ,
Berdasarkan pengetahuan yang kita tentang deret taylor dari kalkulus kita tau
bahwa ketelitian dari hampiran kita membaik sesuai dengan banyaknya suku yang
digunakan. Sebaliknya semakin banyak suku yang digunakan maka semakin sulit
perhitungannya. Oleh sebab itu dengan adanya metode runge-kutta akan mempermudah
menghitung hampiran orde banyak.
Oleh karena itu untuk mengerjakan hampiran orde banyak cenderung memilih
menggunakan metode runge-kutta. Dan menghitung hampiran orde banyak dengan teliti
adalah kelebihan dari metode Runge-kutta.
B. Rumusan Masalah.
Namun perhitungan runge-kutta secara manual juga sangat melelahkan sebab
membutuhkan cara yang cukup banyak. Oleh sebab itu saya berinisitif untuk membuat
perhitungan metode runge-kutta dalam bentuk program “turbo pascal” agar
pengerjaannya lebih mudah.
Sehingga dapat ditulis masalah yang timbul adalah :
1. Perhitungan secara manual yang masih terlalu sulit.
2. Banyaknya cara yang harus ditempuh dalam menggunakan cara metode
runge-kutta secara manual.
3. Kurang teliti apabila dikerjakan secara manual.
4. Banyaknya bentuk atau model dalam pengerjaan metode runge-kutta ini.
C. Pembatasan Masalah.
Dari sekian masalah yang timbul saya berinisatif untuk membuat program untuk
metode runge-kutta orde-4 dengan bahasa pemograman “turbo pascal”. Saya mengambil
yang orde ke-4 sebab yang perhitungannya lebih rumit bila dibandingkan dengan metode
runge-kutta orde lainnya.
Selain itu saya mengambil orde 4 ini sebab agar tidak terjadi kesalahan
penghitungan dan tidak terjadi kesalahan pembulatan. Sehingga hasil dalam
penghitungannya akan menjadi lebih akurat.
BAB II
ISI
A. Metode Runge-Kutta.
Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan
hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau
dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan.
Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi
nilai y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih
panjang.
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan
turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:
y i + 1= y i + Φ ( x i , y i , Δx) Δx
(8.19)
dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada
interval.
Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:
Φ=a1 k 1 +a 2 k 2 +. ..+an k n
(8.20)
dengan a adalah konstanta dan k adalah:
k1 = f (xi, yi)
(8.21a)
k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x)
(8.21b)
k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x)
(8.21c)
⋮
kn = f (xi + pn – 1x, yi + qn – 1, 1 k1x + qn – 1, 2 k2x + + qn – 1, n – 1 kn – 1x)
(8.21d)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.
Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam
persamaan untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat
metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.
Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan.
1)
Metode Runge-Kutta Order 4
Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih
tinggi. Metode ini mempunyai bentuk:
y i + 1= y i +
1
(k + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) Δx
6 1
(8.33a)
dengan:
k 1 =f ( xi , y i )
(8.33b)
1
1
Δx , y i + k 1 Δx )
2
2
(8.33c)
1
1
k 3 =f ( x i + Δx , yi + k 2 Δx)
2
2
(8.33d)
k 2 =f ( xi +
k 4 =f ( x i + Δx , y i + k 3 Δx )
(8.33e)
Contoh soal:
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dy
= −2 x 3 + 12 x 2 − 20 x+ 8,5 .
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
0 adalah y = 1.
Δx=0,5 . Kondisi awal pada x =
Penyelesaian:
Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2, k3 dan k4.
k 1 = −2 (03 )+ 12(02 )− 20(0 ) + 8,5 = 8,5 .
k 2 = −2(0,25 3 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25) + 8,5 = 4, 21875 .
k 3 = −2(0, 253 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25 ) + 8,5 = 4, 21875 .
k 4 = −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20 (0,5) + 8,5 = 1,25 .
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):
1
y(0,5 ) = 1 + [ (8,5 + 2(4,21875) +2( 4,21875 ) + 1, 25 ]0,5 = 3, 21875.
6
Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode
EULER
I
X
YE
Y
t (%)
HEUN
Y
t (%)
POLIGON
Y
t (%)
RALSTON
Y
t (%)
RUNGE-KUTTA
Y
t (%)
0.0
0
0.5
0
1.00000
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
0
3.21875
5.25000
63.11
3.43750
6.80
3.27734
1.82
3.27734
1.82
3.21875
0.00
2
1.5
3.00000
5.87500
95.83
3.37500
12.50
3.10156
3.39
3.10156
3.39
3.00000
0.00
3
0
2.21875
5.12500
130.99
2.68750
21.13
2.34766
5.81
2.34766
5.81
2.21875
0.00
2.00000
4.50000
125.00
2.50000
25.00
2.14063
7.03
2.14063
7.03
2.00000
0.00
2.71875
4.75000
74.71
3.18750
17.24
2.85547
5.03
2.85547
5.03
2.71875
0.00
1.0
1
4
5
6
2.0
0
7
2.5
8
0
4.00000
5.87500
46.88
4.37500
9.38
4.11719
2.93
4.11719
2.93
4.00000
0.00
3.0
4.71875
7.12500
50.99
4.93750
4.64
4.80078
1.74
4.80078
1.74
4.71875
0.00
3.00000
7.00000
133.33
3.00000
0.00
3.03125
1.04
3.03125
1.04
3.00000
0.00
9
0
3.5
0
4.0
0
B. Mengerjakan Metode Runge-kutta dengan Program Turbo Pascal
Sebelum mengerjakan dengan program haruslah kita mengerti tentang tata cara
pembuatannya terlebih dahulu. Sehingga yang perlu dilakukan adalah menampilkan
algoritma dan flowchart atau diagaram alur terlebih dahulu.
Maka :
1. Algoritma
a. Tentukan soal yang akan di kerjakan.
b. Masukkan kedalam rumus yang telah ditentukan dalam hal ini gunakan
rumus metode runge-kutta orde 4.
c. Memasukkan nilai x0,xn,h,dan nilai y
d. Lalu telah
MULAI
e. Cetak
2. Flowchart (diagram alur).
MASUKKAN
NILAI AWAL
X,Y,H,XN CETAK
HITUNG
X,Y
H = (B-X)/N
diolah dalam program.
program.
HITUNG :
k 1 =f ( xi , y i )
k 2 =f ( xi +
1
1
Δx , y i + k 1 Δx )
2
2
(8.33c)
TENTUKAN :CETAK
Xi = x+h
kXi,Yi
3 =f ( x i +
1
1
Δx , yi + k 2 Δx)
2
2
STOP
Yi =y+(ki+2k2+2k3+k4)/6
(8.33d)
C. Menampilkan Program.
Soal :
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dy
= −2 x 3 + 12 x 2 − 20 x+ 8,5 .
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
0 adalah y = 1.
Δx=0,5 . Kondisi awal pada x =
Penyelesaian :
Dan apabila program ini di run maka yang akan muncul adalah :
D. Membandingkan program dengan cara manual
Cara Manual
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dy
= −2 x 3 + 12 x 2 − 20 x+ 8,5 .
dx
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah
0 adalah y = 1.
Δx=0,5 . Kondisi awal pada x =
Penyelesaian:
Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2, k3 dan k4.
k 1 = −2 (03 )+ 12(02 )− 20(0 ) + 8,5 = 8,5 .
k 2 = −2(0,25 3 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25) + 8,5 = 4, 21875 .
k 3 = −2(0, 253 )+ 12(0,25 2 )− 20(0, 25 ) + 8,5 = 4, 21875 .
k 4 = −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20 (0,5) + 8,5 = 1,25 .
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):
1
y(0,5 ) = 1 + [ (8,5 + 2(4,21875) +2( 4,21875 ) + 1, 25 ]0,5 = 3, 21875.
6
Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode
EULER
I
X
YE
Y
t (%)
HEUN
Y
t (%)
POLIGON
Y
t (%)
RALSTON
Y
t (%)
RUNGE-KUTTA
Y
t (%)
0.0
0
0.5
0
1.00000
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
1.00000
-
0
3.21875
5.25000
63.11
3.43750
6.80
3.27734
1.82
3.27734
1.82
3.21875
0.00
2
1.5
3.00000
5.87500
95.83
3.37500
12.50
3.10156
3.39
3.10156
3.39
3.00000
0.00
3
0
2.21875
5.12500
130.99
2.68750
21.13
2.34766
5.81
2.34766
5.81
2.21875
0.00
2.00000
4.50000
125.00
2.50000
25.00
2.14063
7.03
2.14063
7.03
2.00000
0.00
2.71875
4.75000
74.71
3.18750
17.24
2.85547
5.03
2.85547
5.03
2.71875
0.00
1.0
1
4
5
6
2.0
0
7
2.5
8
0
4.00000
5.87500
46.88
4.37500
9.38
4.11719
2.93
4.11719
2.93
4.00000
0.00
3.0
4.71875
7.12500
50.99
4.93750
4.64
4.80078
1.74
4.80078
1.74
4.71875
0.00
3.00000
7.00000
133.33
3.00000
0.00
3.03125
1.04
3.03125
1.04
3.00000
0.00
9
0
3.5
0
4.0
0
Cara program :
Sehingga dari 2 buah cara yang digunakan kesimpulannya adalah :
“Hasil perhitungannya menemukan hasil yang sama juga lebih akurat
ketika menggunakan pemograman pascal, sebab caranya lebih mudah
dan hasilnya lebih cepat didapatkan dan jelas lebih akurat,selain itu
dengan menggunakan program maka kesalahan yang ditimbulkan akan
lebih bisa diminimalisir.”
BAB III
SARAN
Penggunaan menggukana program computer lebih akurat dan lebih mudah
penggunaannya sehingga hasil yang didapat pun lebih valid dari pada pengerjaan secara
manual. Dan hasil yang didapat dari kedua cara pengerjaan itu pun sama sehingga tidak
perlu khawatir dalam menggunakan program pascal dalam menghitung metode rungekutta orde 4 dan orde lainnya.
PENUTUP
Demikianlah yang dapat saya sampaikan dalam laporan tugas metode numerik ini
mengenai metode Rung-kutta. Dan apabila masih banyak kesalahan saya ucapkan banyak kata
maaf serta terimakasih kepada pembaca atas waktunya membaca tulisan dari laporan saya ini
dan bila masih banyak kesalahan saya haturkan banyak kata maaf.
Semarang,Desember 2010
Penyusun
DAFTAR PUSTAKA
Ladas/finzio.Santoso,Widiarti.1988.Persamaan Differensial Biasa dengan Penerapan
Modern.Jakarta: Erlangga.
Irfan_Metode_numerik,pdf.
www.thesatya.com
Google.com.