Kajian Teoritis Metode Rayleigh Ritz pad
Kajian Teoritis Metode Rayleigh-Ritz pada Masalah Dua Nilai Batas
untuk Menganalisis Pengaruh SuatuTekanan pada Benda 2-D
Riad Taufik Lazwardi
Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung
Jalan A.H Nasution no 108
[email protected]
Abstrak – Masalah nilai batas pada persamaan diferensial untuk menganalisis tekanan merupakan salah satu masalah yang
menarik untuk dikaji terutama pada permasalahan yang kompleks sehingga dibutuhkan solusi aproksimasi.Terdapat berbagai
metode untuk menyelesaikannya.Salah satunya adalah metode Rayleigh-Ritz.Makalah ini menjelaskan teorema-teorema
pendukung dan bagaimana metode Rayleigh-Ritz menyelesaikan masalah nilai batas berikut langkah-langkahnya ,khususnya
−d
dy
p(x)
+q ( x ) y=f ( x ) dimana y ( 0 ) , y ( 1 )=0
dx
dx
2,
2
p ( x ) =1,q ( x ) =π , f ( x ) =2 π sin(πx) dengan panjang partisi dan fungsi basis
pada analisis tekanan benda 2-D dengan persamaan
(
)
, 0 ≤ x ≤1 dengan fungsi
PWL(Piecewise Linear) dipilih.Mencari solusi pada persamaan ini sama dengan mencari y yang menggambarkan
defleksi.Hasilnya akan menghasilkan sistem persamaan linier yang jika dibentuk persamaan matriks Ac=b
akan
menghasilkan matriks A tridiagonal simetri yang definit positif sehingga nonsingular (solusi spl unik) dan diperoleh komputasi
(penyelesaian spl) yang stabil dan solusi persamaan di atas unik.Solusi yang diperoleh akan dibandingkan dengan solusi
analitik.
Kata kunci: Metode Rayleigh-Ritz,masalah nilai batas,kalkulus variasi,analisis tekanan.
Abstract –Boundary value problems in beam-stress analysis is one of the interesting topic to solve.There are many methods to
solve these problems.This paper show theorems which is included and how Rayleigh-Rit method solve two boundary value
−d
dy
p(x)
+q ( x ) y=f ( x ) where
y ( 0 ) , y ( 1 )=0, 0 ≤ x ≤ 1 ,
dx
dx
p ( x ) =1,q ( x ) =π 2, , f ( x ) =2 π 2 sin(πx) with partition and basis function is chosen.Finaly it gives Ac=b equation
problem
in
(
)
.Ac=b is positive definite and A is symmetric tridiagonal matrix.Then the solution is unique.In the end of this paper, we
compare this solution with analytic solution.
Key words: Rayleigh-Ritz Method,boundary value problem,variational principle,beam stress analysis
I. PENDAHULUAN
Masalah nilai batas pada persamaan diferensial untuk
menganalisis tekanan merupakan salah satu masalah yang
menarik untuk dikaji terutama pada permasalahan yang
kompleks sehingga dibutuhkan solusi aproksimasi.Terdapat
berbagai metode untuk menyelesaikannya,misal metode
Shooting,Finite Difference,Galerkin,Collocation,RayleighRitz.Makalah ini menjelaskan bagaimana metode RayleighRitz menyelesaikan masalah nilai batas pada analisis
tekanan
berikut
teorema-teorema
yang
mendukung,khususnya pada persamaan
−d
dy
p(x)
+q ( x ) y=f ( x ) , y ( 0 )= y ( 1 )=0( 1)
dx
dx
dengan
fungsi
dimana
0 ≤ x ≤1
2,
2
p ( x ) =1,q ( x ) =π , f ( x ) =2 π sin(πx) .
(
)
Gambar 1. Contoh gambar benda 2-D yang diberikan tekanan f(x)
Akan dipilih 10 subinterval ,panjang partisi 0,1 untuk
mengaproksimasi solusi y dan fungsi basis PWL(Piecewise
Linear)yang digunakan adalah
{
0 0 ≤ x ≤ x i−1
x−x i−1
x i−1 ≤ x ≤ xi
h
i−1
φi ( x ) =
(2)
xi +1−x
x i ≤ x ≤ x i+1
hi
0 x i+1 ≤ x ≤ 1
. Metode Rayleigh Ritz dengan penggunaan fungsi basis
di atas akan menghasilkan sistem persamaan linier yang jika
dibentuk matriks Ac=b akan menghasilkan matriks A
tridiagonal simetri yang definit positif sehingga nonsingular
(solusi spl unik) dan diperoleh komputasi (penyelesaian spl)
yang stabil, solusi persamaan di atas unik.Akhirnya solusi
yang diperoleh akan dibandingkan dengan solusi analitik.
Seminar Fisikawan Muslim I 2012
1
Teorema Piecewise Linier.Misal I interval terbatas dan
tertutup dan misal f =: R → R kontinyu di I .Jika
ε > 0 maka terdapat fungsi piecewise linier yang
gε : I → R dimana
kontinyu
|f ( x )−g ε ( x )|0, q ( x) ≥ 0
2
dimana 0 ≤ x ≤1 .fungsi y ∈ C 0 [0,1] adalah solusi
unik pada persamaan (1) jika dan hanya jika y adalah fungsi
2
unik di C 0 [0,1] yang meminimasi integral
1
2
I [ u ] =∫ p ( x ) [u ' ( x )]2 +q ( x ) [u ( x ) ] −2 f ( x ) u ( x ) dx (4 )
0
Mencari fungsi agar nilai suatu integral optimal berkaitan
dengan variational principle (Kalkulus variasi) karena fokus
utamanya yaitu mencari fungsi yang memaksimasi atau
meminimasi nilai suatu integral.Yang paling sederhana
adalah mencari y(x) pada interval a ≤ x ≤ b yang
memaksimasi atau meminimasi nilai integral tentu.
b
'
'
I [ y ] =∫ F ( x , y ( x ) , y ( x ) ) dx , y =
a
d()
dx
Pada umumnya digunakan pendekatan numerik terhadap
solusi karena solusi eksak untuk masalah variational
principle hanya ada untuk masalah yang simpel[2].
Solusi I[y] diaproksimasi dengan fungsi tertentu ,biasanya
menggunakan polinomial.Berikut beberapa teorema yang
berkaitan dengan polinomial.
Teorema Weistrass.Jika f terdefinisi dan kontinyu di
[a , b] dan ε > 0 sebarang,maka ∃ polinomial
P ,yang terdefinisi di [a , b] yang memenuhi
|f ( x )−P ( x )|0 ∀ n dimensi.
III. METODE PENELITIAN/EKSPERIMEN
Kajian teoritis ini dilakukan dengan studi literaturliteratur yang berkaitan dengan BVP(Boundary Value
Problem),RayleighRitzMethod,PolynomialApproximation,
Differential Equation,Variational Principle,dan Beam-Stress
Analysis.
Setelah
dirasa
teorema-teorema
pendukung
cukup,selanjutnya langkah-langkah metode Rayleigh-Ritz
untuk menyelesaikan persamaan (1) dibandingkan dengan
solusi analitik yang diperoleh dari metode variasi parameter.
Langkah-Langkah
Metode
Rayleigh-Ritz
untuk
menyelesaikan persamaan (1):
1. Partisi interval [0,1] .Dipilih menjadi 10 interval(
hi=h=0,1 x i=0,1 i, i=1,2, … , 9 ).
2. Tentukan fungsi basis.Fungsi basis yang dipilih adalah
persamaan PWL (2).
3. Masukan persamaan PWL (2) ke persamaan (4) dan
bentuk sistem persamaan linier Ac=b.
4. Cari konstanta
5. Masukan ke persamaan
9
φ ( x )=∑ ci φi (x )
i=1
(5)
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Secara analitik ,metode variasi parameter menghasilkan
solusi
πx
−πx
y (x)=sin (π x)+c 1 e +c 2 e
Dengan memasukan syarat batas
diperoleh:
y ( 0 )= y ( 1 )=0
y (x)=sin( π x)
Secara numerik diperoleh
9
y ( x ) ≈ φ ( x )= ∑ c i φi ( x )
i=1
2
Gambar 5. Gambar solusi analitik dan numerik
Gambar 3. Solusi Analitik
Gambar 6. Tabel error dari solusi analitik dan numerik
Gambar 4. Solusi numerik dengan menggunakan Metode
Rayleigh-Ritz
V. KESIMPULAN
Teorema-teorema pendukung adalah teorema yang
berkaitan dengan polynomial approximation yaitu weistrass
dan piecewise linear,penyelesaian sistem persamaan linier
(eliminasi Gauss)dan teorema masalah nilai batas pada
persamaan (2) [7]
Penggunaan PWL (2) sebagai fungsi basis dalam
pendekatan solusi persamaan (1) dengan partisi menjadi 10
subinterval dan panjang subintervalnya 0,1 menghasilkan:
1. Sistem persamaan linier yang jika dibentuk ke dalam
matriks Ac=b maka akan menghasilkan matriks A
yang berbentuk tridiagonal simetri dan definit positif
sehingga komputasi (penyelesaian spl) stabil.
2. Solusi persamaan (1) unik.
.
UCAPAN TERIMA KASIH
Saya ucapkan terimakasih kepada guru-guru saya atas
ilmu yang telah diberikan. Jazakumulloh khoiron katsiro.
PUSTAKA
[1] Francis Scheild,Ph.D, 2000 Solved Problems In Numerical
Analysis, Boston University, McGraw-Hill Publishing Company.
Seminar Fisikawan Muslim I 2012
3
[2] Frederick Y.M.Wan ,Introduction to the calculus of variations and its application, Chapman Hall Mathematics..
[3] O.C Zienkiewicz and K.Morgan , Finite Elements
And Approximation, University of Wales,
Swansea, United Kingdom, John Wiley and Sons.
[4] Richard .E.Williamson , Introduction Differental
equation and Dynamic System.
[5] Richard L. Burden and J.Douglas Faires ,Numerical Analysis third edition, Priadle Weber and
Schmidt, Boston.
[6] Robert G.Bartle and Donald R.Sherbert , Introduction to Real Analysis, Third Edition, John Wiley and Sons,Inc.
[7] Schultz,M.H , Spline Analysis, Prentice Hall, Englewood
Cliffs,N.J.
[8] Sri Redjeki P,Dr , Metoda Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung,2009.
[9] Steven Chapra , Numerical Methods , McGraw-Hill.
[10] William E Boyce and Richard C Diprima ,Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem, John Wiley
and Sons.Inc.
Seminar Fisikawan Muslim I 2012
4
untuk Menganalisis Pengaruh SuatuTekanan pada Benda 2-D
Riad Taufik Lazwardi
Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung
Jalan A.H Nasution no 108
[email protected]
Abstrak – Masalah nilai batas pada persamaan diferensial untuk menganalisis tekanan merupakan salah satu masalah yang
menarik untuk dikaji terutama pada permasalahan yang kompleks sehingga dibutuhkan solusi aproksimasi.Terdapat berbagai
metode untuk menyelesaikannya.Salah satunya adalah metode Rayleigh-Ritz.Makalah ini menjelaskan teorema-teorema
pendukung dan bagaimana metode Rayleigh-Ritz menyelesaikan masalah nilai batas berikut langkah-langkahnya ,khususnya
−d
dy
p(x)
+q ( x ) y=f ( x ) dimana y ( 0 ) , y ( 1 )=0
dx
dx
2,
2
p ( x ) =1,q ( x ) =π , f ( x ) =2 π sin(πx) dengan panjang partisi dan fungsi basis
pada analisis tekanan benda 2-D dengan persamaan
(
)
, 0 ≤ x ≤1 dengan fungsi
PWL(Piecewise Linear) dipilih.Mencari solusi pada persamaan ini sama dengan mencari y yang menggambarkan
defleksi.Hasilnya akan menghasilkan sistem persamaan linier yang jika dibentuk persamaan matriks Ac=b
akan
menghasilkan matriks A tridiagonal simetri yang definit positif sehingga nonsingular (solusi spl unik) dan diperoleh komputasi
(penyelesaian spl) yang stabil dan solusi persamaan di atas unik.Solusi yang diperoleh akan dibandingkan dengan solusi
analitik.
Kata kunci: Metode Rayleigh-Ritz,masalah nilai batas,kalkulus variasi,analisis tekanan.
Abstract –Boundary value problems in beam-stress analysis is one of the interesting topic to solve.There are many methods to
solve these problems.This paper show theorems which is included and how Rayleigh-Rit method solve two boundary value
−d
dy
p(x)
+q ( x ) y=f ( x ) where
y ( 0 ) , y ( 1 )=0, 0 ≤ x ≤ 1 ,
dx
dx
p ( x ) =1,q ( x ) =π 2, , f ( x ) =2 π 2 sin(πx) with partition and basis function is chosen.Finaly it gives Ac=b equation
problem
in
(
)
.Ac=b is positive definite and A is symmetric tridiagonal matrix.Then the solution is unique.In the end of this paper, we
compare this solution with analytic solution.
Key words: Rayleigh-Ritz Method,boundary value problem,variational principle,beam stress analysis
I. PENDAHULUAN
Masalah nilai batas pada persamaan diferensial untuk
menganalisis tekanan merupakan salah satu masalah yang
menarik untuk dikaji terutama pada permasalahan yang
kompleks sehingga dibutuhkan solusi aproksimasi.Terdapat
berbagai metode untuk menyelesaikannya,misal metode
Shooting,Finite Difference,Galerkin,Collocation,RayleighRitz.Makalah ini menjelaskan bagaimana metode RayleighRitz menyelesaikan masalah nilai batas pada analisis
tekanan
berikut
teorema-teorema
yang
mendukung,khususnya pada persamaan
−d
dy
p(x)
+q ( x ) y=f ( x ) , y ( 0 )= y ( 1 )=0( 1)
dx
dx
dengan
fungsi
dimana
0 ≤ x ≤1
2,
2
p ( x ) =1,q ( x ) =π , f ( x ) =2 π sin(πx) .
(
)
Gambar 1. Contoh gambar benda 2-D yang diberikan tekanan f(x)
Akan dipilih 10 subinterval ,panjang partisi 0,1 untuk
mengaproksimasi solusi y dan fungsi basis PWL(Piecewise
Linear)yang digunakan adalah
{
0 0 ≤ x ≤ x i−1
x−x i−1
x i−1 ≤ x ≤ xi
h
i−1
φi ( x ) =
(2)
xi +1−x
x i ≤ x ≤ x i+1
hi
0 x i+1 ≤ x ≤ 1
. Metode Rayleigh Ritz dengan penggunaan fungsi basis
di atas akan menghasilkan sistem persamaan linier yang jika
dibentuk matriks Ac=b akan menghasilkan matriks A
tridiagonal simetri yang definit positif sehingga nonsingular
(solusi spl unik) dan diperoleh komputasi (penyelesaian spl)
yang stabil, solusi persamaan di atas unik.Akhirnya solusi
yang diperoleh akan dibandingkan dengan solusi analitik.
Seminar Fisikawan Muslim I 2012
1
Teorema Piecewise Linier.Misal I interval terbatas dan
tertutup dan misal f =: R → R kontinyu di I .Jika
ε > 0 maka terdapat fungsi piecewise linier yang
gε : I → R dimana
kontinyu
|f ( x )−g ε ( x )|0, q ( x) ≥ 0
2
dimana 0 ≤ x ≤1 .fungsi y ∈ C 0 [0,1] adalah solusi
unik pada persamaan (1) jika dan hanya jika y adalah fungsi
2
unik di C 0 [0,1] yang meminimasi integral
1
2
I [ u ] =∫ p ( x ) [u ' ( x )]2 +q ( x ) [u ( x ) ] −2 f ( x ) u ( x ) dx (4 )
0
Mencari fungsi agar nilai suatu integral optimal berkaitan
dengan variational principle (Kalkulus variasi) karena fokus
utamanya yaitu mencari fungsi yang memaksimasi atau
meminimasi nilai suatu integral.Yang paling sederhana
adalah mencari y(x) pada interval a ≤ x ≤ b yang
memaksimasi atau meminimasi nilai integral tentu.
b
'
'
I [ y ] =∫ F ( x , y ( x ) , y ( x ) ) dx , y =
a
d()
dx
Pada umumnya digunakan pendekatan numerik terhadap
solusi karena solusi eksak untuk masalah variational
principle hanya ada untuk masalah yang simpel[2].
Solusi I[y] diaproksimasi dengan fungsi tertentu ,biasanya
menggunakan polinomial.Berikut beberapa teorema yang
berkaitan dengan polinomial.
Teorema Weistrass.Jika f terdefinisi dan kontinyu di
[a , b] dan ε > 0 sebarang,maka ∃ polinomial
P ,yang terdefinisi di [a , b] yang memenuhi
|f ( x )−P ( x )|0 ∀ n dimensi.
III. METODE PENELITIAN/EKSPERIMEN
Kajian teoritis ini dilakukan dengan studi literaturliteratur yang berkaitan dengan BVP(Boundary Value
Problem),RayleighRitzMethod,PolynomialApproximation,
Differential Equation,Variational Principle,dan Beam-Stress
Analysis.
Setelah
dirasa
teorema-teorema
pendukung
cukup,selanjutnya langkah-langkah metode Rayleigh-Ritz
untuk menyelesaikan persamaan (1) dibandingkan dengan
solusi analitik yang diperoleh dari metode variasi parameter.
Langkah-Langkah
Metode
Rayleigh-Ritz
untuk
menyelesaikan persamaan (1):
1. Partisi interval [0,1] .Dipilih menjadi 10 interval(
hi=h=0,1 x i=0,1 i, i=1,2, … , 9 ).
2. Tentukan fungsi basis.Fungsi basis yang dipilih adalah
persamaan PWL (2).
3. Masukan persamaan PWL (2) ke persamaan (4) dan
bentuk sistem persamaan linier Ac=b.
4. Cari konstanta
5. Masukan ke persamaan
9
φ ( x )=∑ ci φi (x )
i=1
(5)
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Secara analitik ,metode variasi parameter menghasilkan
solusi
πx
−πx
y (x)=sin (π x)+c 1 e +c 2 e
Dengan memasukan syarat batas
diperoleh:
y ( 0 )= y ( 1 )=0
y (x)=sin( π x)
Secara numerik diperoleh
9
y ( x ) ≈ φ ( x )= ∑ c i φi ( x )
i=1
2
Gambar 5. Gambar solusi analitik dan numerik
Gambar 3. Solusi Analitik
Gambar 6. Tabel error dari solusi analitik dan numerik
Gambar 4. Solusi numerik dengan menggunakan Metode
Rayleigh-Ritz
V. KESIMPULAN
Teorema-teorema pendukung adalah teorema yang
berkaitan dengan polynomial approximation yaitu weistrass
dan piecewise linear,penyelesaian sistem persamaan linier
(eliminasi Gauss)dan teorema masalah nilai batas pada
persamaan (2) [7]
Penggunaan PWL (2) sebagai fungsi basis dalam
pendekatan solusi persamaan (1) dengan partisi menjadi 10
subinterval dan panjang subintervalnya 0,1 menghasilkan:
1. Sistem persamaan linier yang jika dibentuk ke dalam
matriks Ac=b maka akan menghasilkan matriks A
yang berbentuk tridiagonal simetri dan definit positif
sehingga komputasi (penyelesaian spl) stabil.
2. Solusi persamaan (1) unik.
.
UCAPAN TERIMA KASIH
Saya ucapkan terimakasih kepada guru-guru saya atas
ilmu yang telah diberikan. Jazakumulloh khoiron katsiro.
PUSTAKA
[1] Francis Scheild,Ph.D, 2000 Solved Problems In Numerical
Analysis, Boston University, McGraw-Hill Publishing Company.
Seminar Fisikawan Muslim I 2012
3
[2] Frederick Y.M.Wan ,Introduction to the calculus of variations and its application, Chapman Hall Mathematics..
[3] O.C Zienkiewicz and K.Morgan , Finite Elements
And Approximation, University of Wales,
Swansea, United Kingdom, John Wiley and Sons.
[4] Richard .E.Williamson , Introduction Differental
equation and Dynamic System.
[5] Richard L. Burden and J.Douglas Faires ,Numerical Analysis third edition, Priadle Weber and
Schmidt, Boston.
[6] Robert G.Bartle and Donald R.Sherbert , Introduction to Real Analysis, Third Edition, John Wiley and Sons,Inc.
[7] Schultz,M.H , Spline Analysis, Prentice Hall, Englewood
Cliffs,N.J.
[8] Sri Redjeki P,Dr , Metoda Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung,2009.
[9] Steven Chapra , Numerical Methods , McGraw-Hill.
[10] William E Boyce and Richard C Diprima ,Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem, John Wiley
and Sons.Inc.
Seminar Fisikawan Muslim I 2012
4