Aplikasi Determinan dalam Geometri. pdf
APLIKASI MATRIKS DALAM
GEOMETRI
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas
mata Kuliah Kapita Selekta Matematika
Dosen Pembina: Drs. Darwing Paduppai, M.Pd
O l e h:
KELOMPOK VI
Kelas A
ANDI RUSDI 06507010
Hj. KHADIJAH 06507003
BAMBANG 06507009
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2008
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
2
Aplikasi Matriks
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala berkat dan
Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan materi pelengkap pada tesis
dengan judul, Aplikasi Matriks dalam Geometri , Tugas ini diselesaikan dalam
rangka melengkapi tugas mata kuliah Struktur Kapita Selekta Matematika yang
dibimbing oleh Drs. Darwing Paduppai , M.Pd.
Sadar akan keterbatasan penulis, dalam menyelesaikan tugas ini, maka
dengan ini penulis mohon maaf atas kekeliruan yang muncul di dalamnya.
Semoga tugas ini dapat memberi manfaat dan menambah pengetahuan bagi
penulis. Terimakasih.
Penulis,
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
3
Aplikasi Matriks
APLIKASI MATRIKS DALAM GEOMETRI
Oleh: Andi Rusdi, dkk
Abstrak
Menentukan luas bangun datar menjadi suatu hal yang mudah jika, nilainilai yang diketahui yaitu unsur panjang dan lebarnya. Tetapi menjadi masalah
jika hal tersebut tidak terpenuhi, menjadi suatu pekerjaan yang rumit dan perlu
beberapa pendekatan untuk memperoleh luasnya, demikian juga dengan
persamaan garis, persamaan lingkaran.
Salah satu alternatif untuk menyelesaikan hal tersebut adalah penggunaan
matriks, walaupun dalam penggunaannya dituntut kemampuan kita dapat
menguasai operasi matriks khususnya determinan, dan eliminasi gauss jordan,
Untuk kesemuanya ini dapat diselesaikan dengan menggunakan program aplikasi
maple 10.
Kata kunci: determinan, maple, eliminasi gaussjordan
A. Luas Bidang Datar
1. Segitiga
Definisi: Jika sebuah segitiga yang sudut-sudutnya
,
dan
Secara geometri:
Dengan menggunakan luas trapesium diperoleh luas segitiga ABC adalah:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
4
Aplikasi Matriks
Perhatikan bahwa jika A berada di atas garis BC maka luas itu sama dengan
negatif dari determinannya.
Contoh: 1
Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4)
Jawab:
C
A
B
Dari gambar di atas diketahui:
alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan
Jadi luas segitiga ABC = ½ x a x t
=½x4x4
= ½ x 16
= 8 satuan
Contoh: 2
Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4)
Jawab:
Dengan menggunakan determinan dapat dilakukan perhitungan sebagai
berikut:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
5
Aplikasi Matriks
(Sifat: determinan suatu matriks segitiga
adalah hasil kali diagonal utamanya)
Untuk matriks yang lain gunakan metode Sarrus, Ekspansi Baris, ataupun
Eliminasi Gauss.
2. Jajargenjang
Definisi Jajargenjang adalah bangun datar segiempat, sisi-sisinya yang
berhadapan sejajar dan sama panjang, jajargenjang dapat dibentuk dari sebuah
segitiga dan bayangannya.
Misalkan:
Jika sebuah jajargenjang dengan titik
,
,
dan
Secara geometri:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
6
Aplikasi Matriks
Karena luas ABCD adalah 2 x luas ABC
maka luas jajargenjang ABCD adalah
dimana
dan
Contoh: 3
Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4)
Jawab:
C
D
A
B
Jawab:
Dari gambar di atas diketahui:
alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan
Jadi luas Jajargenjang ABCD = a x t
=4x4
= 16 satuan
Contoh: 4
Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4)
Jawab:
Aplikasi matriks dengan mengambil titik A, B dan C
maka luas trapesium ABCD adalah
satuan
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
7
Aplikasi Matriks
3. Belah ketupat, Persegi dan Persegi panjang.
Definisi: Belah Ketupat, Persegi dan Persegi Panjang dapat dibentuk oleh
dua buah segitiga yang kongruen, maka luas belah ketupat dapat
diselesaikan dengan menggunakan rumus luas jajargenjang.
Catatan: Jika bangun segiempat tersebut dapat dibentuk oleh segitiga dan
bayangannya maka luasnya sama dengan luas jajargenjang.
4. Segi Lima
Definisi:
E
D
A
C
B
Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu:
ABC,
ACD, dan
AED, maka luas dari bangun tersebut adalah:
dimana
dan
5. Segi Enam
Definisi:
E
F
D
A
C
B
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
8
Aplikasi Matriks
Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu:
AED, AFE, maka luas dari bangun tersebut adalah:
dimana
ABC,
ACD,
dan
6. Segi-n
Misalkan
adalah titik-titik sudut dari segi-
n, maka luas segi-n dapat dituliskan:..
B. Persamaan pada Bidang Datar
1. Persamaan garis yang melalui dua titik yang berbeda
Misalkan diberikan dua buah titik yang berbeda di dalam bidang masingmasing
titik
, dan
maka ada sebuah garis lurus yang unik melalui
dengan persamaan
Ingat persamaan garis yang melalui dua buah titik
, dan
adalah:
dimana
Sehingga diperoleh:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
9
Aplikasi Matriks
Sehingga:
Contoh 5:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5)
Jawab:
Jadi persamaannya adalah:
Contoh 6:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5)
Jawab:
Dengan menggunakan matriks
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
10
Aplikasi Matriks
2. Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik
Misalkan diberikan tiga titik yang berbeda di dalam bidang masing-masing
,
dan
yang tidak semuanya terletak pada sebuah garis.
Menurut ilmu analitis, ada sebuah lingkaran unik yang melalui titik
dengan persamaan
Yang melalui ketiga titik itu. Persamaan garis ini dapat ditentukan dengan
menggunakan determinan yaitu:
Contoh 7:
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2,-2), (-4,6) dan (3,4)
Jawab:
Daftar Pustaka
Charles G. Cullen. 1993. Al Jabar Linear dengan Penerapannya. Jakarta: PT.
Gramedia Pustaka.
Howard Anton 1995. Al Jabar Linear Elementer. Jakarta: PT. Erlangga
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com.
The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.
GEOMETRI
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas
mata Kuliah Kapita Selekta Matematika
Dosen Pembina: Drs. Darwing Paduppai, M.Pd
O l e h:
KELOMPOK VI
Kelas A
ANDI RUSDI 06507010
Hj. KHADIJAH 06507003
BAMBANG 06507009
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2008
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
2
Aplikasi Matriks
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala berkat dan
Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan materi pelengkap pada tesis
dengan judul, Aplikasi Matriks dalam Geometri , Tugas ini diselesaikan dalam
rangka melengkapi tugas mata kuliah Struktur Kapita Selekta Matematika yang
dibimbing oleh Drs. Darwing Paduppai , M.Pd.
Sadar akan keterbatasan penulis, dalam menyelesaikan tugas ini, maka
dengan ini penulis mohon maaf atas kekeliruan yang muncul di dalamnya.
Semoga tugas ini dapat memberi manfaat dan menambah pengetahuan bagi
penulis. Terimakasih.
Penulis,
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
3
Aplikasi Matriks
APLIKASI MATRIKS DALAM GEOMETRI
Oleh: Andi Rusdi, dkk
Abstrak
Menentukan luas bangun datar menjadi suatu hal yang mudah jika, nilainilai yang diketahui yaitu unsur panjang dan lebarnya. Tetapi menjadi masalah
jika hal tersebut tidak terpenuhi, menjadi suatu pekerjaan yang rumit dan perlu
beberapa pendekatan untuk memperoleh luasnya, demikian juga dengan
persamaan garis, persamaan lingkaran.
Salah satu alternatif untuk menyelesaikan hal tersebut adalah penggunaan
matriks, walaupun dalam penggunaannya dituntut kemampuan kita dapat
menguasai operasi matriks khususnya determinan, dan eliminasi gauss jordan,
Untuk kesemuanya ini dapat diselesaikan dengan menggunakan program aplikasi
maple 10.
Kata kunci: determinan, maple, eliminasi gaussjordan
A. Luas Bidang Datar
1. Segitiga
Definisi: Jika sebuah segitiga yang sudut-sudutnya
,
dan
Secara geometri:
Dengan menggunakan luas trapesium diperoleh luas segitiga ABC adalah:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
4
Aplikasi Matriks
Perhatikan bahwa jika A berada di atas garis BC maka luas itu sama dengan
negatif dari determinannya.
Contoh: 1
Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4)
Jawab:
C
A
B
Dari gambar di atas diketahui:
alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan
Jadi luas segitiga ABC = ½ x a x t
=½x4x4
= ½ x 16
= 8 satuan
Contoh: 2
Tentukan luas segitiga yang titik-titik sudut A(0,0), B(4,0) dan C(0,4)
Jawab:
Dengan menggunakan determinan dapat dilakukan perhitungan sebagai
berikut:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
5
Aplikasi Matriks
(Sifat: determinan suatu matriks segitiga
adalah hasil kali diagonal utamanya)
Untuk matriks yang lain gunakan metode Sarrus, Ekspansi Baris, ataupun
Eliminasi Gauss.
2. Jajargenjang
Definisi Jajargenjang adalah bangun datar segiempat, sisi-sisinya yang
berhadapan sejajar dan sama panjang, jajargenjang dapat dibentuk dari sebuah
segitiga dan bayangannya.
Misalkan:
Jika sebuah jajargenjang dengan titik
,
,
dan
Secara geometri:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
6
Aplikasi Matriks
Karena luas ABCD adalah 2 x luas ABC
maka luas jajargenjang ABCD adalah
dimana
dan
Contoh: 3
Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4)
Jawab:
C
D
A
B
Jawab:
Dari gambar di atas diketahui:
alas (a) = 4 satuan, dan tinggi (t) = 4 satuan
Jadi luas Jajargenjang ABCD = a x t
=4x4
= 16 satuan
Contoh: 4
Tentukan luas jajargenjang dengan titik-titik A(0,0), B(4,0), C(6,4) dan D(2,4)
Jawab:
Aplikasi matriks dengan mengambil titik A, B dan C
maka luas trapesium ABCD adalah
satuan
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
7
Aplikasi Matriks
3. Belah ketupat, Persegi dan Persegi panjang.
Definisi: Belah Ketupat, Persegi dan Persegi Panjang dapat dibentuk oleh
dua buah segitiga yang kongruen, maka luas belah ketupat dapat
diselesaikan dengan menggunakan rumus luas jajargenjang.
Catatan: Jika bangun segiempat tersebut dapat dibentuk oleh segitiga dan
bayangannya maka luasnya sama dengan luas jajargenjang.
4. Segi Lima
Definisi:
E
D
A
C
B
Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu:
ABC,
ACD, dan
AED, maka luas dari bangun tersebut adalah:
dimana
dan
5. Segi Enam
Definisi:
E
F
D
A
C
B
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
8
Aplikasi Matriks
Segi Enam di atas dibentuk oleh empat buah segitiga yaitu:
AED, AFE, maka luas dari bangun tersebut adalah:
dimana
ABC,
ACD,
dan
6. Segi-n
Misalkan
adalah titik-titik sudut dari segi-
n, maka luas segi-n dapat dituliskan:..
B. Persamaan pada Bidang Datar
1. Persamaan garis yang melalui dua titik yang berbeda
Misalkan diberikan dua buah titik yang berbeda di dalam bidang masingmasing
titik
, dan
maka ada sebuah garis lurus yang unik melalui
dengan persamaan
Ingat persamaan garis yang melalui dua buah titik
, dan
adalah:
dimana
Sehingga diperoleh:
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
9
Aplikasi Matriks
Sehingga:
Contoh 5:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5)
Jawab:
Jadi persamaannya adalah:
Contoh 6:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5)
Jawab:
Dengan menggunakan matriks
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
10
Aplikasi Matriks
2. Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik
Misalkan diberikan tiga titik yang berbeda di dalam bidang masing-masing
,
dan
yang tidak semuanya terletak pada sebuah garis.
Menurut ilmu analitis, ada sebuah lingkaran unik yang melalui titik
dengan persamaan
Yang melalui ketiga titik itu. Persamaan garis ini dapat ditentukan dengan
menggunakan determinan yaitu:
Contoh 7:
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2,-2), (-4,6) dan (3,4)
Jawab:
Daftar Pustaka
Charles G. Cullen. 1993. Al Jabar Linear dengan Penerapannya. Jakarta: PT.
Gramedia Pustaka.
Howard Anton 1995. Al Jabar Linear Elementer. Jakarta: PT. Erlangga
Kapita Selekta Matematika
Program Pasca Sarjana UNM
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com.
The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.