Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum I
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat Polar
Deret Taylor dan Maclurin
Yunita S. Anwar
Universitas Mataram
Mataram, 22 Desember 2015
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
1 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
2 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum Jenis I
Misalkan f adalah fungsi kontinu pada daerah polar dengan
R = {(r , θ)|α ≤ θ ≤ β, g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)}
maka
RR
R
f (x, y )dA =
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
R β R g2 (θ)
α
g1 (θ)
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
2 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
3 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum Jenis II
Misalkan f adalah fungsi kontinu pada daerah polar dengan
R = {(r , θ)|a ≤ r ≤ b, g1 (r ) ≤ θ ≤ g2 (r )}
maka
RR
R
f (x, y )dA =
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
R b R g2 (r )
a
g1 (r )
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
3 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Contoh 2
RR
Hitung
R ydA dengan R adalah
daerah di kuadran I diluar
lingkaran r = 2 dan didalam
kardioid r = 2(1 + cos θ)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Contoh 2
RR
Hitung
R ydA dengan R adalah
daerah di kuadran I diluar
lingkaran r = 2 dan didalam
kardioid r = 2(1 + cos θ)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Contoh 2
RR
Hitung
R ydA dengan R adalah
daerah di kuadran I diluar
lingkaran r = 2 dan didalam
kardioid r = 2(1 + cos θ)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Tugas Kelompok
Kelompok Arli
Hitunglah integral
RR
1
R (1+x 2 +y 2 )3/2 dA
dengan R adalah daerah
kuadran I yang dilingkupi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 16
Kelompok Bagus Arya
R R −x 2 −y 2
dA dengan R adalah daerah yang
Hitunglah integral
Re
p
dibatasi oleh setengah lingkaran x = 4 − y 2 dan sumbu-y
Kelompok Salman
RR 2
2
Hitunglah integral
R x + y dA dengan R daerah yang dibatasi oleh
spiral r = θ dan r = 2θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2φ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
5 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok A. Muzani
R 1 R √1−x 2 x 2 +y 2
e
dydx dengan mengkonversi ke
Hitunglah integral 0 0
koordinat polar
Kelompok K. Selamet
R a R √a2 −y 2 2
(x + y 2 )3/2 dxdy dengan mengkonversi
Hitunglah integral −a 0
ke koordinat polar.
Kelompok Aulya
R 2 R √4−y 2 2
Hitunglah integral 0 √ 2 x − y 2 dxdy dengan mengkonversi ke
koordinat polar.
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
−
4−y
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
6 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok Sore
Kelompok SYAMSURI
RR
Hitunglah integral
R
1
dA
(1+x 2 +y 2 )3/2
dengan R adalah daerah
kuadran I yang dilingkupi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 16
Kelompok KHAIRIL BASRI
R R −x 2 −y 2
dA dengan R adalah daerah yang
Hitunglah integral
Re
p
dibatasi oleh setengah lingkaran x = 4 − y 2 dan sumbu-y
Kelompok YUDI ERWIN
RR 2
2
Hitunglah integral
R x + y dA dengan R daerah yang dibatasi oleh
spiral r = θ dan r = 2θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2φ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
7 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok M. ISNAINI
R 1 R √1−x 2 x 2 +y 2
e
dydx dengan mengkonversi ke
Hitunglah integral 0 0
koordinat polar
Kelompok L. MAHARDIKA SUKRON H
R a R √a2 −y 2 2
(x + y 2 )3/2 dxdy dengan mengkonversi
Hitunglah integral −a 0
ke koordinat polar.
Kelompok SOPIAN SAURI
R 2 R √4−y 2 2
Hitunglah integral 0 √ 2 x − y 2 dxdy dengan mengkonversi ke
koordinat polar.
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
−
4−y
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
8 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok RAHMAN HIDAYAT
R 2 R √2x−x 2 p
Hitunglah integral 0 0
x 2 + y 2 dydx dengan mengkonversi ke
koordinat polar
Kelompok HARMAEN ASFARI
RR
Hitunglah integral
R rdrdθ dengan R adalah daerah di dalam simpul
yang lebih besar dari limason r = 2 − 4 sin θ
Kelompok HAFIZ MINANJAR
RR
Hitunglah integral
R rdrdθ dengan R adalah daerah di dalam
kardioid r = 6 − 6 sin θ
Kelompok HIRMAYADI
RR
Hitunglah integral
R rdrdθ dengan R adalah daerah satu daun dari
mawar berdaun empat r = a sin 2θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
9 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn x = c0 + c1 x + c2 x + c3 x + · · ·
dengan x adalah suatu variabel dan cn adalah konstanta-konstanta
yang disebut koefisien dari deret
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn x = c0 + c1 x + c2 x + c3 x + · · ·
dengan x adalah suatu variabel dan cn adalah konstanta-konstanta
yang disebut koefisien dari deret
Deret Pangkat berpusat di a
Deret pangkat yang berpusat di a adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn (x − a) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + c3 (x − a) + · · ·
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn x = c0 + c1 x + c2 x + c3 x + · · ·
dengan x adalah suatu variabel dan cn adalah konstanta-konstanta
yang disebut koefisien dari deret
Deret Pangkat berpusat di a
Deret pangkat yang berpusat di a adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn (x − a) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + c3 (x − a) + · · ·
Contoh
Untuk cn = 1 untuk semua n, deret pangkat menjadi deret geometri:
P∞ n
1
2
3
n=0 x = 1 + x + x + x + · · · = 1−x
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penyajian Fungsi sebagai Deret Pangkat
Misalkan f (x) =
1
1−x ,
1
1−x
dengan |x| < 1
maka f (x) dapat dinyatakan sebagai
P
n
= 1 + x + x2 + x3 + · · · = ∞
n=0 x
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
11 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penyajian Fungsi sebagai Deret Pangkat
Misalkan f (x) =
1
1−x ,
1
1−x
dengan |x| < 1
maka f (x) dapat dinyatakan sebagai
P
n
= 1 + x + x2 + x3 + · · · = ∞
n=0 x
Contoh 1
Fungsi f (x) =
1
1+x 2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
∞
X
1
1
=
=
(−x 2 )n
1 + x2
1 − (−x 2 )
n=0
=
∞
X
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
(−1)n x 2n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − · · ·
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
11 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 2
Fungsi f (x) =
1
x+2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
1
1
1
=
x =
x +2
2(1 + 2 )
2(1 − (− x2 ))
∞
∞
1 X x n X (−1)n n
x
=
(− ) =
2
2
2n+1
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
n=0
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
12 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 2
Fungsi f (x) =
1
x+2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
1
1
1
=
x =
x +2
2(1 + 2 )
2(1 − (− x2 ))
∞
∞
1 X x n X (−1)n n
x
=
(− ) =
2
2
2n+1
n=0
n=0
Contoh 3
Fungsi f (x) =
x3
x+2
1
= x 3 x+2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
∞
X (−1)n
x3
= x3
xn
x +2
2n+1
n=0
=
∞
X
(−1)n
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
2n+1
x n+3
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
12 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat
Penurunan Deret Pangkat
"∞
#
∞
X
d X
d
[cn (x − a)n ]
cn (x − a)n =
dx
dx
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
n=0
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
13 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat
Penurunan Deret Pangkat
"∞
#
∞
X
d X
d
[cn (x − a)n ]
cn (x − a)n =
dx
dx
n=0
n=0
Pengintegralan Deret Pangkat
#
Z "X
∞
∞ Z
X
n
cn (x − a)n dx
cn (x − a) dx =
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
n=0
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
13 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
f ′ (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + 4c4 (x − a)3 + · · ·
f ′ (a) = c1
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
f ′ (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + 4c4 (x − a)3 + · · ·
f ′ (a) = c1
f ”(x) = 2c2 + 2 · 3c3 (x − a) + 3 · 4c4 (x − a)2 + · · ·
f ”(a) = 2c2
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
f ′ (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + 4c4 (x − a)3 + · · ·
f ′ (a) = c1
f ”(x) = 2c2 + 2 · 3c3 (x − a) + 3 · 4c4 (x − a)2 + · · ·
f ”(a) = 2c2
f (n) (a) = 2 · 3 · 4 · · · ncn = n!cn sehingga cn =
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
f (n) (a)
n!
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
f (x) =
∞
X
n=0
cn (x − a)n =
∞
X
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n
f ′ (a)
f ′′ (a)
f ′′′ (a)
= f (a) +
(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · ·
1!
2!
3!
disebut deret Taylor dari fungsi f di a
Deret Maclaurin
Pada deret Taylor jika a = 0 diperoleh deret Maclaurin
f (x) =
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
= f (0) +
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
xn
f ′′ (0) 2 f ′′′ (0) 3
f ′ (0)
x+
x +
x + ···
1!
2!
3!
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
15 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh
T
entukan deret Maclaurin untuk fungsi f (x) = e x
T
entukan deret Maclaurin untuk fungsi f (x) = e −x
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
2
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
16 / 16
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat Polar
Deret Taylor dan Maclurin
Yunita S. Anwar
Universitas Mataram
Mataram, 22 Desember 2015
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
1 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
2 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum Jenis I
Misalkan f adalah fungsi kontinu pada daerah polar dengan
R = {(r , θ)|α ≤ θ ≤ β, g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)}
maka
RR
R
f (x, y )dA =
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
R β R g2 (θ)
α
g1 (θ)
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
2 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
3 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum Jenis II
Misalkan f adalah fungsi kontinu pada daerah polar dengan
R = {(r , θ)|a ≤ r ≤ b, g1 (r ) ≤ θ ≤ g2 (r )}
maka
RR
R
f (x, y )dA =
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
R b R g2 (r )
a
g1 (r )
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
3 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Contoh 2
RR
Hitung
R ydA dengan R adalah
daerah di kuadran I diluar
lingkaran r = 2 dan didalam
kardioid r = 2(1 + cos θ)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Contoh 2
RR
Hitung
R ydA dengan R adalah
daerah di kuadran I diluar
lingkaran r = 2 dan didalam
kardioid r = 2(1 + cos θ)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 1
Tentukan
integral lipat-dua
RR
4dA
dengan
R adalah daerah
R
kuadran I dari mawar berdaun tiga
r = sin 3θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Contoh 2
RR
Hitung
R ydA dengan R adalah
daerah di kuadran I diluar
lingkaran r = 2 dan didalam
kardioid r = 2(1 + cos θ)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
4 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Tugas Kelompok
Kelompok Arli
Hitunglah integral
RR
1
R (1+x 2 +y 2 )3/2 dA
dengan R adalah daerah
kuadran I yang dilingkupi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 16
Kelompok Bagus Arya
R R −x 2 −y 2
dA dengan R adalah daerah yang
Hitunglah integral
Re
p
dibatasi oleh setengah lingkaran x = 4 − y 2 dan sumbu-y
Kelompok Salman
RR 2
2
Hitunglah integral
R x + y dA dengan R daerah yang dibatasi oleh
spiral r = θ dan r = 2θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2φ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
5 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok A. Muzani
R 1 R √1−x 2 x 2 +y 2
e
dydx dengan mengkonversi ke
Hitunglah integral 0 0
koordinat polar
Kelompok K. Selamet
R a R √a2 −y 2 2
(x + y 2 )3/2 dxdy dengan mengkonversi
Hitunglah integral −a 0
ke koordinat polar.
Kelompok Aulya
R 2 R √4−y 2 2
Hitunglah integral 0 √ 2 x − y 2 dxdy dengan mengkonversi ke
koordinat polar.
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
−
4−y
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
6 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok Sore
Kelompok SYAMSURI
RR
Hitunglah integral
R
1
dA
(1+x 2 +y 2 )3/2
dengan R adalah daerah
kuadran I yang dilingkupi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 16
Kelompok KHAIRIL BASRI
R R −x 2 −y 2
dA dengan R adalah daerah yang
Hitunglah integral
Re
p
dibatasi oleh setengah lingkaran x = 4 − y 2 dan sumbu-y
Kelompok YUDI ERWIN
RR 2
2
Hitunglah integral
R x + y dA dengan R daerah yang dibatasi oleh
spiral r = θ dan r = 2θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2φ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
7 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok M. ISNAINI
R 1 R √1−x 2 x 2 +y 2
e
dydx dengan mengkonversi ke
Hitunglah integral 0 0
koordinat polar
Kelompok L. MAHARDIKA SUKRON H
R a R √a2 −y 2 2
(x + y 2 )3/2 dxdy dengan mengkonversi
Hitunglah integral −a 0
ke koordinat polar.
Kelompok SOPIAN SAURI
R 2 R √4−y 2 2
Hitunglah integral 0 √ 2 x − y 2 dxdy dengan mengkonversi ke
koordinat polar.
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
−
4−y
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
8 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Kelompok RAHMAN HIDAYAT
R 2 R √2x−x 2 p
Hitunglah integral 0 0
x 2 + y 2 dydx dengan mengkonversi ke
koordinat polar
Kelompok HARMAEN ASFARI
RR
Hitunglah integral
R rdrdθ dengan R adalah daerah di dalam simpul
yang lebih besar dari limason r = 2 − 4 sin θ
Kelompok HAFIZ MINANJAR
RR
Hitunglah integral
R rdrdθ dengan R adalah daerah di dalam
kardioid r = 6 − 6 sin θ
Kelompok HIRMAYADI
RR
Hitunglah integral
R rdrdθ dengan R adalah daerah satu daun dari
mawar berdaun empat r = a sin 2θ
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
9 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Deret Taylor dan Maclurin
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn x = c0 + c1 x + c2 x + c3 x + · · ·
dengan x adalah suatu variabel dan cn adalah konstanta-konstanta
yang disebut koefisien dari deret
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn x = c0 + c1 x + c2 x + c3 x + · · ·
dengan x adalah suatu variabel dan cn adalah konstanta-konstanta
yang disebut koefisien dari deret
Deret Pangkat berpusat di a
Deret pangkat yang berpusat di a adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn (x − a) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + c3 (x − a) + · · ·
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Pangkat
Deret pangkat adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn x = c0 + c1 x + c2 x + c3 x + · · ·
dengan x adalah suatu variabel dan cn adalah konstanta-konstanta
yang disebut koefisien dari deret
Deret Pangkat berpusat di a
Deret pangkat yang berpusat di a adalah deret yang berbentuk
P∞
n
2
3
n=0 cn (x − a) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + c3 (x − a) + · · ·
Contoh
Untuk cn = 1 untuk semua n, deret pangkat menjadi deret geometri:
P∞ n
1
2
3
n=0 x = 1 + x + x + x + · · · = 1−x
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
10 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penyajian Fungsi sebagai Deret Pangkat
Misalkan f (x) =
1
1−x ,
1
1−x
dengan |x| < 1
maka f (x) dapat dinyatakan sebagai
P
n
= 1 + x + x2 + x3 + · · · = ∞
n=0 x
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
11 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penyajian Fungsi sebagai Deret Pangkat
Misalkan f (x) =
1
1−x ,
1
1−x
dengan |x| < 1
maka f (x) dapat dinyatakan sebagai
P
n
= 1 + x + x2 + x3 + · · · = ∞
n=0 x
Contoh 1
Fungsi f (x) =
1
1+x 2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
∞
X
1
1
=
=
(−x 2 )n
1 + x2
1 − (−x 2 )
n=0
=
∞
X
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
(−1)n x 2n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − · · ·
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
11 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 2
Fungsi f (x) =
1
x+2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
1
1
1
=
x =
x +2
2(1 + 2 )
2(1 − (− x2 ))
∞
∞
1 X x n X (−1)n n
x
=
(− ) =
2
2
2n+1
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
n=0
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
12 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh 2
Fungsi f (x) =
1
x+2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
1
1
1
=
x =
x +2
2(1 + 2 )
2(1 − (− x2 ))
∞
∞
1 X x n X (−1)n n
x
=
(− ) =
2
2
2n+1
n=0
n=0
Contoh 3
Fungsi f (x) =
x3
x+2
1
= x 3 x+2
dapat dinyatakan sebagai deret pangkat
∞
X (−1)n
x3
= x3
xn
x +2
2n+1
n=0
=
∞
X
(−1)n
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
2n+1
x n+3
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
12 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat
Penurunan Deret Pangkat
"∞
#
∞
X
d X
d
[cn (x − a)n ]
cn (x − a)n =
dx
dx
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
n=0
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
13 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat
Penurunan Deret Pangkat
"∞
#
∞
X
d X
d
[cn (x − a)n ]
cn (x − a)n =
dx
dx
n=0
n=0
Pengintegralan Deret Pangkat
#
Z "X
∞
∞ Z
X
n
cn (x − a)n dx
cn (x − a) dx =
n=0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
n=0
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
13 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
f ′ (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + 4c4 (x − a)3 + · · ·
f ′ (a) = c1
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
f ′ (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + 4c4 (x − a)3 + · · ·
f ′ (a) = c1
f ”(x) = 2c2 + 2 · 3c3 (x − a) + 3 · 4c4 (x − a)2 + · · ·
f ”(a) = 2c2
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
Misalkan f sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu
deret pangkat:
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
f (a) = c0
f ′ (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + 4c4 (x − a)3 + · · ·
f ′ (a) = c1
f ”(x) = 2c2 + 2 · 3c3 (x − a) + 3 · 4c4 (x − a)2 + · · ·
f ”(a) = 2c2
f (n) (a) = 2 · 3 · 4 · · · ncn = n!cn sehingga cn =
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
f (n) (a)
n!
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
14 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Deret Taylor
f (x) =
∞
X
n=0
cn (x − a)n =
∞
X
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n
f ′ (a)
f ′′ (a)
f ′′′ (a)
= f (a) +
(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · ·
1!
2!
3!
disebut deret Taylor dari fungsi f di a
Deret Maclaurin
Pada deret Taylor jika a = 0 diperoleh deret Maclaurin
f (x) =
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
= f (0) +
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
xn
f ′′ (0) 2 f ′′′ (0) 3
f ′ (0)
x+
x +
x + ···
1!
2!
3!
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
15 / 16
Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum
Deret Taylor dan Maclurin
Contoh
T
entukan deret Maclaurin untuk fungsi f (x) = e x
T
entukan deret Maclaurin untuk fungsi f (x) = e −x
Yunita S. Anwar (Universitas Mataram)
2
Integral Lipat PolarDeret Taylor dan Maclurin Mataram, 22 Desember 2015
16 / 16