Penerapan Transformasi Laplace Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linear Pada Rangkaian Seri RLC.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari – hari, terdapat banyak sekali permasalahan yang melibatkan
matematika, baik dalam bidang ekonomi, politik, kimia, fisika dan bidang lainnya.
Objek (masalah) tersebut diidentifikasi, dirumuskan dan dimodelkan untuk kemudian
dicari solusinya. Salah satu model matematika yang banyak digunakan dalam berbagai
permasalahan di bidang lain adalah berbentuk persamaan diferensial. Persamaan
diferensial dibagi menjadi dua jenis, yaitu persamaan diferensial linear dan nonlinear.
Dalam penelitian ini, penulis membahas persamaan diferensial linear.
Persamaan diferensial adalah salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan
untuk menjelaskan masalah – masalah fisis. Masalah - masalah fisis tersebut dapat
dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Jika model matematika berbentuk
persamaan diferensial, maka masalahnya adalah bagaimana menentukan solusi
persamaan diferensial itu.
Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial
linear maupun menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial linear
adalah dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Metode transformasi Lapace
adalah salah satu metode untuk menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan
diferensial linear koefiesien konstan dengan cara mengubah variabel menjadi variabel
yang berbentuk persamaan aljabar atau dengan menggunakan tabel yang memuat
transformasi Laplace.
Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquas de Laplace
(1749 - 1827), seorang matematikawan Perancis dan seorang guru besar di Paris.
Keunggulan transformasi Laplace adalah bahwa masalah nilai awal persamaan
diferensial linear dapat diselesaikan secara langsung tanpa terlebih dahulu menentukan
solusi umumnya atau persamaan – persamaan non homogen dapat diselesaikan tanpa
terlebih dahulu menyelesaikan persamaan homogenya.
Metode transformasi Laplace, seperti halnya metode lain dalam menyelesaikan
masalah nilai awal, juga dapat diterapkan pada masalah – masalah yang melibatkan
sistem persamaan diferensial, salah satunya di bidang fisika mengenai rangkaian seri
RLC. Rangkaian seri RLC adalah rangkaian yang terdiri dari resistor (R), induktor (L),
dan kapasitor (C) yang disusun secara seri. Pada rangkaian seri RLC dapat diterapkan
transformasi Laplace untuk memperoleh solusi khususnya dengan cara mengubah
variabel waktu
dalam rangkaian seri RLC menjadi variable frekuensi
dengan
transformasi.
Universitas Sumatera Utara
2
Dalam menganalisis rangkaiannya dapat diterapkan hukum Kirchoff dan hukum
Ohm dengan memperhatikan karakteristik yang ditimbulkan dari rangkaian. Dalam
sistem rangkaian orde satu bentuk karakteristik dari tanggapan alami berbentuk fungsi
eksponensial. Dan untuk sistem orde dua terdapat tiga karakteristik yang diperoleh dari
rangkaian yaitu: teredam berlebih (Over Damped), teredam kritis (Critically Damped),
dan kurang teredam (Under Damped). Dengan menggunakan metode transformasi
Laplace dan invers transformasi dapat diperoleh bentuk karakteristik dari sistem
rangkaian tersebut. Berdasarkan latar belakang tersebut, penulis memilih judul
penelitian sebagai “Penerapan Transformasi Laplace Dalam Menyelesaikan
Persamaan Diferensial Linear Pada Rangkaian Seri RLC.”
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu dan dua pada
rangkaian seri RLC dengan kondisi awal yang diberikan menggunakan metode
tarnsformasi Laplace.
2. Bagaimana bentuk karakteristik sebagai tanggapan arus dan tegangan yang
dihasilkan dari persamaan diferensial linear orde satu dan dua pada rangkaian seri
RLC.
1.3 Batasan Masalah
Persamaan diferensial yang diselesaikan dengan transformasi Laplace adalah
persamaan diferensial linear orde satu dan dua koefisien konstan pada rangkaian seri
RLC.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah
1
Menjelaskan metode transformasi Laplace dan transformasi invers dan
aplikasinya pada rangkaian seri RLC.
2
Mengetahui bagaimana bentuk karakteristik tanggapan arus dan tegangan yang
dihasilkan pada rangkaian seri RLC.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah :
1. Sebagai salah satu cara pemecahan masalah persamaan diferensial linear orde satu
dan dua koefisien konstan dengan nilai awal yang diberikan.
2. Mengetahui bagaimana bentuk karakteristik arus dan tegangan yang dihasilkan pada
rangkaian seri RLC.
1.6 Metodologi Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian studi literatur yang bersumber dari buku – buku dan
jurnal dengan menggunakan metode transformasi Laplace, adapun langkah –
langkahnya sebagai berikut:
1. Memodelkan sistem rangkaian orde satu (RL dan RC) ke dalam bentuk
persamaan diferensial linear.
2. Memodelkan sistem rangkaian orde dua (RLC) ke dalam bentuk persamaan
diferensial linear.
3. Mentransformasikan persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu
ke kawasan frekuensi dengan menggunakan transformasi Laplace.
4. Mengambil transformasi Laplace invers pada persamaan diferensial rangkaian
orde satu dan dua.
Universitas Sumatera Utara
4
5. Memperoleh solusinya dalam bentuk tanggapan arus dan tegangan.
6. Visualisasi penggambaran model dari persamaan diferensial pada rangkaian
sistem orde satu dan dua digunakan bantuan Software Maple 18.
7. Menyelesaikan contoh kasus.
8. Mengambil kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari – hari, terdapat banyak sekali permasalahan yang melibatkan
matematika, baik dalam bidang ekonomi, politik, kimia, fisika dan bidang lainnya.
Objek (masalah) tersebut diidentifikasi, dirumuskan dan dimodelkan untuk kemudian
dicari solusinya. Salah satu model matematika yang banyak digunakan dalam berbagai
permasalahan di bidang lain adalah berbentuk persamaan diferensial. Persamaan
diferensial dibagi menjadi dua jenis, yaitu persamaan diferensial linear dan nonlinear.
Dalam penelitian ini, penulis membahas persamaan diferensial linear.
Persamaan diferensial adalah salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan
untuk menjelaskan masalah – masalah fisis. Masalah - masalah fisis tersebut dapat
dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Jika model matematika berbentuk
persamaan diferensial, maka masalahnya adalah bagaimana menentukan solusi
persamaan diferensial itu.
Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial
linear maupun menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial linear
adalah dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Metode transformasi Lapace
adalah salah satu metode untuk menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan
diferensial linear koefiesien konstan dengan cara mengubah variabel menjadi variabel
yang berbentuk persamaan aljabar atau dengan menggunakan tabel yang memuat
transformasi Laplace.
Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquas de Laplace
(1749 - 1827), seorang matematikawan Perancis dan seorang guru besar di Paris.
Keunggulan transformasi Laplace adalah bahwa masalah nilai awal persamaan
diferensial linear dapat diselesaikan secara langsung tanpa terlebih dahulu menentukan
solusi umumnya atau persamaan – persamaan non homogen dapat diselesaikan tanpa
terlebih dahulu menyelesaikan persamaan homogenya.
Metode transformasi Laplace, seperti halnya metode lain dalam menyelesaikan
masalah nilai awal, juga dapat diterapkan pada masalah – masalah yang melibatkan
sistem persamaan diferensial, salah satunya di bidang fisika mengenai rangkaian seri
RLC. Rangkaian seri RLC adalah rangkaian yang terdiri dari resistor (R), induktor (L),
dan kapasitor (C) yang disusun secara seri. Pada rangkaian seri RLC dapat diterapkan
transformasi Laplace untuk memperoleh solusi khususnya dengan cara mengubah
variabel waktu
dalam rangkaian seri RLC menjadi variable frekuensi
dengan
transformasi.
Universitas Sumatera Utara
2
Dalam menganalisis rangkaiannya dapat diterapkan hukum Kirchoff dan hukum
Ohm dengan memperhatikan karakteristik yang ditimbulkan dari rangkaian. Dalam
sistem rangkaian orde satu bentuk karakteristik dari tanggapan alami berbentuk fungsi
eksponensial. Dan untuk sistem orde dua terdapat tiga karakteristik yang diperoleh dari
rangkaian yaitu: teredam berlebih (Over Damped), teredam kritis (Critically Damped),
dan kurang teredam (Under Damped). Dengan menggunakan metode transformasi
Laplace dan invers transformasi dapat diperoleh bentuk karakteristik dari sistem
rangkaian tersebut. Berdasarkan latar belakang tersebut, penulis memilih judul
penelitian sebagai “Penerapan Transformasi Laplace Dalam Menyelesaikan
Persamaan Diferensial Linear Pada Rangkaian Seri RLC.”
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear orde satu dan dua pada
rangkaian seri RLC dengan kondisi awal yang diberikan menggunakan metode
tarnsformasi Laplace.
2. Bagaimana bentuk karakteristik sebagai tanggapan arus dan tegangan yang
dihasilkan dari persamaan diferensial linear orde satu dan dua pada rangkaian seri
RLC.
1.3 Batasan Masalah
Persamaan diferensial yang diselesaikan dengan transformasi Laplace adalah
persamaan diferensial linear orde satu dan dua koefisien konstan pada rangkaian seri
RLC.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah
1
Menjelaskan metode transformasi Laplace dan transformasi invers dan
aplikasinya pada rangkaian seri RLC.
2
Mengetahui bagaimana bentuk karakteristik tanggapan arus dan tegangan yang
dihasilkan pada rangkaian seri RLC.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah :
1. Sebagai salah satu cara pemecahan masalah persamaan diferensial linear orde satu
dan dua koefisien konstan dengan nilai awal yang diberikan.
2. Mengetahui bagaimana bentuk karakteristik arus dan tegangan yang dihasilkan pada
rangkaian seri RLC.
1.6 Metodologi Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian studi literatur yang bersumber dari buku – buku dan
jurnal dengan menggunakan metode transformasi Laplace, adapun langkah –
langkahnya sebagai berikut:
1. Memodelkan sistem rangkaian orde satu (RL dan RC) ke dalam bentuk
persamaan diferensial linear.
2. Memodelkan sistem rangkaian orde dua (RLC) ke dalam bentuk persamaan
diferensial linear.
3. Mentransformasikan persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu
ke kawasan frekuensi dengan menggunakan transformasi Laplace.
4. Mengambil transformasi Laplace invers pada persamaan diferensial rangkaian
orde satu dan dua.
Universitas Sumatera Utara
4
5. Memperoleh solusinya dalam bentuk tanggapan arus dan tegangan.
6. Visualisasi penggambaran model dari persamaan diferensial pada rangkaian
sistem orde satu dan dua digunakan bantuan Software Maple 18.
7. Menyelesaikan contoh kasus.
8. Mengambil kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara