Penerapan Transformasi Laplace Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linear Pada Rangkaian Seri RLC.
5
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel
independen , suatu variabel dependen , dan satu atau lebih turunan dari
terhadap
(K.A. Stroud. 2003).
Contoh :
2.1.1
Persamaan Diferensial Linear
Secara umum persamaan diferensial linear orde
Di mana
koefisien konstan dituliskan sebagai:
tergantung hanya pada variabel
dan koefisien
. Dengan kata lain, persamaan ini tidak tergantung pada
atau pada turunan dari
.
Contoh persamaan diferensial linear
Universitas Sumatera Utara
6
2.1.2 Persamaan Diferensial Orde Satu
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde satu dalam fungsi
adalah
Persamaan diferensial orde satu diklasifikasikan berdasarkan cara penyelesaiannya
menjadi tiga macam:
1.
Persamaan Diferensial Terpisah
Bentuk umum persamaan diferensial terpisah
Solusinya dicari dengan pengintegralan langsung terhadap
∫
2.
∫
Persamaan Homogen Orde Satu
Persamaan diferensial orde satu homogen ditulis dalam bentuk
atau
Persamaan homogen dapat diselesaikan dengan metode substitusi menjadi persamaan
yang dapat dipisahkan dengan mensubstitusikan
dimana
adalah fungsi dari
.
Sehingga
Diferensialkan terhadap
(dengan menggunakan aturan hasil kali)
Universitas Sumatera Utara
7
Persamaan yang dihasilkan dalam variable
dan
dapat diselesaikan dengan metode
pemisahan variabel dan mengintegrasi pada kedua sisi persamaan yang terpisah,
Contoh:
Solusi
Dengan mensubstitusi
dalam persamaan diperoleh
Sehingga persamaannya menjadi
∫
Dengan mensubstitusikan
∫
dalam persamaan yang terakhir
diperoleh
3.
Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Persamaan diferensial linear orde satu memiliki bentuk
Dimana
dan
adalah fungsi dari
(konstanta). Untuk menyelesaikan persamaan
seperti ini, dikalikan kedua sisi dengan faktor integrasi yang berbentuk
∫
Universitas Sumatera Utara
8
Yang bergantung pada
dan independen terhadap
. sehingga dengan mengalikan
kedua sisi persamaan dengan faktor integrasi diperoleh
Yang menghasikan persamaan eksak sehingga dapat diselesaikan dengan metode
pemisahan variabel. Prosedur selanjutnya untuk persamaan dapat ditulis
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan melakukan integrasi pada kedua sisi, dan
kemudian menyelesaikannya untuk memperoleh persamaan untuk .
Contoh
solusi
∫
∫
{
}
∫
2.1.3 Persamaan Diferensial Orde Dua
persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk
(2.2)
Dimana , , dan
adalah koefisien konstanta. Dan
adalah suatu fungsi
yang
diketahui. Persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk persamaan kuadrat
sebagai.
Universitas Sumatera Utara
9
Yang diperoleh dengan menuliskan
Persamaan kuadrat disebut juga persamaan karakteristik. Berdasarkan akar – akar
dari persamaan kuadrat, penyelesaiannya dibedakan atas tiga tipe yaitu:
1. Akar – akar Real yang Tidak Sama
Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan berbeda
dimana:
Maka solusinya diperoleh dalam bentuk
(2.3)
Dimana
dan
adalah konstanta sembarang dan
dan
adalah akar – akar
persamaan kuadrat.
2.
Akar – akar Real yang Sama
Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan sama
dimana:
Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk
3.
Akar – akar Kompleks
Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk kompleks dimana:
Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk
(2.5)
Universitas Sumatera Utara
10
2.2 Rangkaian Listrik
Rangkaian listrik adalah suatu kumpulan elemen atau komponen listrik yang saling
dihubungkan dengan cara – cara tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasan
tertutup. Adapun komponen listrik terdiri dari tiga macam yaitu:
1. Resistor (R) yang berfungsi sebagai penghambat arus dalam rangkaian.
2. Induktor (L) dapat menyimpan energi dalam bentuk medan magnet.
3. Kapasitor (C) menyimpan energi dalam bentuk medan listrik.
2.2.1 Rangkaian Transien
Dalam analisis transien terdapat tiga macam komponen listrik beserta sifatnya yang
akan menimbulkan karakteristik baru dalam rangkaian. Resistor yang bersifat
membuang energi dalam bentuk panas, induktor yang bersifat menyimpan arus bolakbalik atau alternating current (ac), dan kapasitor yang bersifat menyimpan tegangan
searah atau direct current (dc), akan menimbulkan adanya sifat sementara (transien)
dalam rangkaian. Dalam kondisi sementara ini, sebelum diterapkan sumber-sumber
bebas dari luar, tanggapan rangkaian disebut dengan tanggapan sementara. Setelah
lenyapnya tanggapan sementara, rangkaian dikatakan dalam keadaan mantap (steady
state). Tanggapan yang diakibatkan oleh sumber-sumber bebas dari luar dinamakan
dengan tanggapan paksa. Kombinasi dari tanggapan transien dengan tanggapan paksa
merupakan tanggapan lengkap rangkaian.
2.2.2
1.
Hukum – Hukum Rangkaian listrik
Hukum Arus Kirchhoff (HAK)
Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa jumlah aljabar dari arus – arus yang
memasuki setiap node/simpul rangkaian adalah nol (William H, 2005). Arus yang
menuju node dinyatakan positif dan yang meninggalkan node dinyatakan negatif. Untuk
memberi gambaran mengenai hukum arus Kirchhoff dengan gambar sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
11
Gambar 2.1 Simpul Arus Sederhana
Berdasarkan hukum arus Kirchhoff pada rangkaian diperoleh persamaan
=0
Atau
2.
Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK)
Hukum tegangan Kirchhoff menyatakan bahwa penjumlahan aljabar dari tegangan
disekeliling suatu lintasan tertutup sama dengan nol (William H, 2005).
3.
Hukum Ohm
Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan V yang melewati suatu penghantar
berbanding lurus degan arus I dari elemen rangkaian yang ditulis sebagai
(Zainuddin Zukhri, 2007).
Universitas Sumatera Utara
12
2.2.3 Elemen Resistor, Induktor, dan Kapasitor dalam Hubungan Seri dan
Paralel
1.
Resistor dalam Hubungan Seri dan Parallel
Gambar 2. 2 Kombinasi Rangkaian N Buah Resitor
Gambar 2.3 Rangkaian Ekivalen Resistor
Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi resistor yang terlalu
rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Kombinasi dari N buah resistor yang terhubung
seri dapat disederhanakan dengan mengantikan N buah resistor dengan sebuah resistor
ekivalen (Req). Resistansi ekivalen untuk N buah resistor yang terhubung seri adalah:
∑
(2.6)
Universitas Sumatera Utara
13
Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan untuk rangkaian paralel.
Sebuah rangkaian yang mengandung N buah resistor dalam hubungan paralel adalah.
Yang dapat ditulis sebagai
Untuk kasus dimana hanya terdapat dua buah resistor yang terhubung paralel.
Persamaannya dapat di rumuskan sebagai:
2. Induktor dalam Hubungan Seri dan Paralel
Kombinasi dari N buah induktor yang terhubung seri pada gambar dapat diganti denga
sebuah rangkaian induktor ekivalen, dengan induktansi Leq
untuk menggantikan
kombinasi seri tersebut. Dengan menerapakan HTK (hukum tegangan Kirchhoof atau
Kirchoof voltage law) pada rangkaian aslinya.
Gambar 2.4 Rangkaian Kombinasi N Buah Induktor
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 4.5 Rangkaian Ekivalen N Buah Induktor
∑
∑
∑
untuk rangkaian ekivalen, KVL (kirchooff voltage law) menghasilkan
Untuk kasus dua induktor yang terhubung paralel
(2.8)
3. Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel
Kombinasi dari N buah kapasitor yang terhubung seri membentuk kombinasi
yang sama dengan konduktansi – konduktansi atau resistor – resistor paralel.
Untuk kasus dua kapasitor yang terhubung seri. Persamaan yang diperoleh
adalah
Universitas Sumatera Utara
15
Untuk rangkaian N buah kapasitor yang terhubung paralel yaitu
(2.10)
2.2.4 Tanggapan Rangkaian RLC Seri
Pada rangkaian listrik, terdapat 3 respon yang dikenal, yaitu respon alami yang
kurang teredam (underdamped), teredam kritis (crititically damped), dan sangat
teredam (overdamped), karena yang akan dibicarakan adalah arus, maka, respon
yang dimaksud adalah respon arus. Secara matematis dalam ilmu rangkaian
listrik dapat dijelaskan 3 respon ini. Suatu rangkaian listrik sederhana yang
terdiri dari komponen aktif R, juga komponen pasif L dan C dirangkai secara
seri pada gambar dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada gambar
maka diperoleh persamaan arus, sebagai:
Gambar 2.6 Rangkaian RCL Seri
∫
Persamaan derajat kedua diperoleh dengan mendiferensiasikan terhadap fungsi
waktu sebagai:
Universitas Sumatera Utara
16
Dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua dan pemisalan
,
maka
)
(
Persamaan terakhir yang diperoleh dikenal sebagai persamaan karakteristik atau
persamaan pelengkap (auxiliary). Karena persamaan ini adalah sebuah
persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut memiliki dua buah pemecahan
yang diidentifikasikan sebagai
Dengan
Dan
dan
√(
)
sebagai parameter frekuensi resonansi
√
√
sebagai parameter frekuensi neper atau koefisien redaman eksponensial
Terdapat tiga kondisi yang di peroleh yaitu:
Untuk
merupakan kondisi teredam kritis
bentuk umum tanggapan teredam kritis (crititially damped) adalah
(2.11)
merupakan kondisi kurang teredam (under damped)
Untuk
bentuk umum tanggapan kurang teredam adalah
(2.12)
Dengan
Untuk
√
sebagai bilangan radix
merupakan kondisi teredam berlebih (over damped)
Universitas Sumatera Utara
17
bentuk umum tanggapan teredam berlebih
(2.13)
konstanta
didapat dengan menggunakan
kondisi awal (initial
condition) (Hayt dkk. 2005).
2.3 Integral Parsial
Jika
dan
adalah fungsi dari , maka diketahui bahwa
∫
∫
Dan dengan mengatur kembali suku – sukunya, diperoleh
∫
∫
Rumus sederhananya diperoleh
∫
∫
(2.14)
2.4 Transformasi Laplace
Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara
mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Transformasi Laplace juga
dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial kedalam bentuk persamaan
aljabar, sehinnga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi
bentuk ekspresi persamaan aljabar.
Jika
adalah suatu pernyataan dalam
yang terdefinisi untuk
dinotasikan dengan {
transformasi Laplace dari
sebagai:
{
}
} atau
maka
didefenisikan
∫
Dimana adalah suatu variabel yang nilai – nilainya dipilih sedemikian rupa agar
intrgral infinitnya konvergen. Pemusatan terjadi ketika limit
Universitas Sumatera Utara
18
∫
Eksis. Jika limit ini tidak eksis, integral tak wajar tersebut divergen dan
memiliki transformasi laplace.
2.4.1
1.
tidak
Transformasi Laplace Dari Turunan
Turunan Pertama
{
}
∫
Bukti:
{
}
∫
Dengan menggunakan integral parsial diperoleh
{
}
∫
∫
{
}
[
]
[
]
(
)
∫
∫
(2.20)
Universitas Sumatera Utara
19
2. Turunan Kedua
{
}
∫
Bukti:
Dengan menggunakan integral parsial dan hasil dari turunan pertama diperoleh
{
}
∫
=[
]
=(
)
[
=
{
} =
Secara umum turunan ke –
{
2.4.2
{
}
{
∫
}
]
(2.21)
adalah sebagai berikut:
}
(2.22)
Transformasi Laplace Invers
}
Jika transformasi laplace suatu fungsi
adalah
, yaitu {
disebut invers transformasi Laplace dari
yang ditulis sebagai:
{
}
.
, maka
(2.23)
Sifat – sifat transformasi Laplace invers adalah sebagai berikut
1. Transformasi invers dari suatu jumlah atau selisih dari pernyataan adalah jumlah
atau selisih dari masing – masing transformasi invers itu sendiri. yang ditulis
sebagai:
{
}
{
}
{
}
2. Transformasi invers dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu
konstanta adalah konstanta tersebut dikalikan dengan transformasi invers dari
pernyataan tersebut, dengan kata lain:
{
}
{
}
di mana adalah konstanta.
Universitas Sumatera Utara
20
2.4.3
Transformasi Laplace dalam Ekpansi Pecahan Parsial
Di dalam penggunaannya, transformasi Laplace sering kali melibatkan bentuk
dengan banyak fraksi, di mana P(s) dan Q(s) merupakan suku polinomial. Solusinya
ialah dengan cara mengetahui bagaimana fraksi – fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah
dalam bentuk fraksi pecahan (parcial fraction). Jika
dengan penyebut
Maka, terdapat tiga penyelesaiannya.
1.
Akar – akar Real yang Tidak Sama
Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk
dan
diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai
(2.25)
Dengan
dan
sebagai konstanta.
Universitas Sumatera Utara
21
2.
Akar – akar Real yang Sama
Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk
diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai
Dengan , , , dan
3.
adalah konstanta yang belum diketahui nilainya.
Akar – akar Kompleks
Untuk setiap faktor dari P(s) dalam bentuk
Maka, pecahan parsialnya dapat ditulis dalam bentuk
2.5
Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)
Masalah nilai awal untuk persamaan diferensial order
(
)
interval I yang memenuhi
di mana
yaitu menentukan solusi persamaan diferensial pada
syarat awal di
subset dari real
adalah konstanta yang diberikan (Baiduri, 2002).
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel
independen , suatu variabel dependen , dan satu atau lebih turunan dari
terhadap
(K.A. Stroud. 2003).
Contoh :
2.1.1
Persamaan Diferensial Linear
Secara umum persamaan diferensial linear orde
Di mana
koefisien konstan dituliskan sebagai:
tergantung hanya pada variabel
dan koefisien
. Dengan kata lain, persamaan ini tidak tergantung pada
atau pada turunan dari
.
Contoh persamaan diferensial linear
Universitas Sumatera Utara
6
2.1.2 Persamaan Diferensial Orde Satu
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde satu dalam fungsi
adalah
Persamaan diferensial orde satu diklasifikasikan berdasarkan cara penyelesaiannya
menjadi tiga macam:
1.
Persamaan Diferensial Terpisah
Bentuk umum persamaan diferensial terpisah
Solusinya dicari dengan pengintegralan langsung terhadap
∫
2.
∫
Persamaan Homogen Orde Satu
Persamaan diferensial orde satu homogen ditulis dalam bentuk
atau
Persamaan homogen dapat diselesaikan dengan metode substitusi menjadi persamaan
yang dapat dipisahkan dengan mensubstitusikan
dimana
adalah fungsi dari
.
Sehingga
Diferensialkan terhadap
(dengan menggunakan aturan hasil kali)
Universitas Sumatera Utara
7
Persamaan yang dihasilkan dalam variable
dan
dapat diselesaikan dengan metode
pemisahan variabel dan mengintegrasi pada kedua sisi persamaan yang terpisah,
Contoh:
Solusi
Dengan mensubstitusi
dalam persamaan diperoleh
Sehingga persamaannya menjadi
∫
Dengan mensubstitusikan
∫
dalam persamaan yang terakhir
diperoleh
3.
Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Persamaan diferensial linear orde satu memiliki bentuk
Dimana
dan
adalah fungsi dari
(konstanta). Untuk menyelesaikan persamaan
seperti ini, dikalikan kedua sisi dengan faktor integrasi yang berbentuk
∫
Universitas Sumatera Utara
8
Yang bergantung pada
dan independen terhadap
. sehingga dengan mengalikan
kedua sisi persamaan dengan faktor integrasi diperoleh
Yang menghasikan persamaan eksak sehingga dapat diselesaikan dengan metode
pemisahan variabel. Prosedur selanjutnya untuk persamaan dapat ditulis
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan melakukan integrasi pada kedua sisi, dan
kemudian menyelesaikannya untuk memperoleh persamaan untuk .
Contoh
solusi
∫
∫
{
}
∫
2.1.3 Persamaan Diferensial Orde Dua
persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk
(2.2)
Dimana , , dan
adalah koefisien konstanta. Dan
adalah suatu fungsi
yang
diketahui. Persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk persamaan kuadrat
sebagai.
Universitas Sumatera Utara
9
Yang diperoleh dengan menuliskan
Persamaan kuadrat disebut juga persamaan karakteristik. Berdasarkan akar – akar
dari persamaan kuadrat, penyelesaiannya dibedakan atas tiga tipe yaitu:
1. Akar – akar Real yang Tidak Sama
Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan berbeda
dimana:
Maka solusinya diperoleh dalam bentuk
(2.3)
Dimana
dan
adalah konstanta sembarang dan
dan
adalah akar – akar
persamaan kuadrat.
2.
Akar – akar Real yang Sama
Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan sama
dimana:
Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk
3.
Akar – akar Kompleks
Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk kompleks dimana:
Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk
(2.5)
Universitas Sumatera Utara
10
2.2 Rangkaian Listrik
Rangkaian listrik adalah suatu kumpulan elemen atau komponen listrik yang saling
dihubungkan dengan cara – cara tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasan
tertutup. Adapun komponen listrik terdiri dari tiga macam yaitu:
1. Resistor (R) yang berfungsi sebagai penghambat arus dalam rangkaian.
2. Induktor (L) dapat menyimpan energi dalam bentuk medan magnet.
3. Kapasitor (C) menyimpan energi dalam bentuk medan listrik.
2.2.1 Rangkaian Transien
Dalam analisis transien terdapat tiga macam komponen listrik beserta sifatnya yang
akan menimbulkan karakteristik baru dalam rangkaian. Resistor yang bersifat
membuang energi dalam bentuk panas, induktor yang bersifat menyimpan arus bolakbalik atau alternating current (ac), dan kapasitor yang bersifat menyimpan tegangan
searah atau direct current (dc), akan menimbulkan adanya sifat sementara (transien)
dalam rangkaian. Dalam kondisi sementara ini, sebelum diterapkan sumber-sumber
bebas dari luar, tanggapan rangkaian disebut dengan tanggapan sementara. Setelah
lenyapnya tanggapan sementara, rangkaian dikatakan dalam keadaan mantap (steady
state). Tanggapan yang diakibatkan oleh sumber-sumber bebas dari luar dinamakan
dengan tanggapan paksa. Kombinasi dari tanggapan transien dengan tanggapan paksa
merupakan tanggapan lengkap rangkaian.
2.2.2
1.
Hukum – Hukum Rangkaian listrik
Hukum Arus Kirchhoff (HAK)
Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa jumlah aljabar dari arus – arus yang
memasuki setiap node/simpul rangkaian adalah nol (William H, 2005). Arus yang
menuju node dinyatakan positif dan yang meninggalkan node dinyatakan negatif. Untuk
memberi gambaran mengenai hukum arus Kirchhoff dengan gambar sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
11
Gambar 2.1 Simpul Arus Sederhana
Berdasarkan hukum arus Kirchhoff pada rangkaian diperoleh persamaan
=0
Atau
2.
Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK)
Hukum tegangan Kirchhoff menyatakan bahwa penjumlahan aljabar dari tegangan
disekeliling suatu lintasan tertutup sama dengan nol (William H, 2005).
3.
Hukum Ohm
Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan V yang melewati suatu penghantar
berbanding lurus degan arus I dari elemen rangkaian yang ditulis sebagai
(Zainuddin Zukhri, 2007).
Universitas Sumatera Utara
12
2.2.3 Elemen Resistor, Induktor, dan Kapasitor dalam Hubungan Seri dan
Paralel
1.
Resistor dalam Hubungan Seri dan Parallel
Gambar 2. 2 Kombinasi Rangkaian N Buah Resitor
Gambar 2.3 Rangkaian Ekivalen Resistor
Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi resistor yang terlalu
rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Kombinasi dari N buah resistor yang terhubung
seri dapat disederhanakan dengan mengantikan N buah resistor dengan sebuah resistor
ekivalen (Req). Resistansi ekivalen untuk N buah resistor yang terhubung seri adalah:
∑
(2.6)
Universitas Sumatera Utara
13
Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan untuk rangkaian paralel.
Sebuah rangkaian yang mengandung N buah resistor dalam hubungan paralel adalah.
Yang dapat ditulis sebagai
Untuk kasus dimana hanya terdapat dua buah resistor yang terhubung paralel.
Persamaannya dapat di rumuskan sebagai:
2. Induktor dalam Hubungan Seri dan Paralel
Kombinasi dari N buah induktor yang terhubung seri pada gambar dapat diganti denga
sebuah rangkaian induktor ekivalen, dengan induktansi Leq
untuk menggantikan
kombinasi seri tersebut. Dengan menerapakan HTK (hukum tegangan Kirchhoof atau
Kirchoof voltage law) pada rangkaian aslinya.
Gambar 2.4 Rangkaian Kombinasi N Buah Induktor
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 4.5 Rangkaian Ekivalen N Buah Induktor
∑
∑
∑
untuk rangkaian ekivalen, KVL (kirchooff voltage law) menghasilkan
Untuk kasus dua induktor yang terhubung paralel
(2.8)
3. Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel
Kombinasi dari N buah kapasitor yang terhubung seri membentuk kombinasi
yang sama dengan konduktansi – konduktansi atau resistor – resistor paralel.
Untuk kasus dua kapasitor yang terhubung seri. Persamaan yang diperoleh
adalah
Universitas Sumatera Utara
15
Untuk rangkaian N buah kapasitor yang terhubung paralel yaitu
(2.10)
2.2.4 Tanggapan Rangkaian RLC Seri
Pada rangkaian listrik, terdapat 3 respon yang dikenal, yaitu respon alami yang
kurang teredam (underdamped), teredam kritis (crititically damped), dan sangat
teredam (overdamped), karena yang akan dibicarakan adalah arus, maka, respon
yang dimaksud adalah respon arus. Secara matematis dalam ilmu rangkaian
listrik dapat dijelaskan 3 respon ini. Suatu rangkaian listrik sederhana yang
terdiri dari komponen aktif R, juga komponen pasif L dan C dirangkai secara
seri pada gambar dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada gambar
maka diperoleh persamaan arus, sebagai:
Gambar 2.6 Rangkaian RCL Seri
∫
Persamaan derajat kedua diperoleh dengan mendiferensiasikan terhadap fungsi
waktu sebagai:
Universitas Sumatera Utara
16
Dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua dan pemisalan
,
maka
)
(
Persamaan terakhir yang diperoleh dikenal sebagai persamaan karakteristik atau
persamaan pelengkap (auxiliary). Karena persamaan ini adalah sebuah
persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut memiliki dua buah pemecahan
yang diidentifikasikan sebagai
Dengan
Dan
dan
√(
)
sebagai parameter frekuensi resonansi
√
√
sebagai parameter frekuensi neper atau koefisien redaman eksponensial
Terdapat tiga kondisi yang di peroleh yaitu:
Untuk
merupakan kondisi teredam kritis
bentuk umum tanggapan teredam kritis (crititially damped) adalah
(2.11)
merupakan kondisi kurang teredam (under damped)
Untuk
bentuk umum tanggapan kurang teredam adalah
(2.12)
Dengan
Untuk
√
sebagai bilangan radix
merupakan kondisi teredam berlebih (over damped)
Universitas Sumatera Utara
17
bentuk umum tanggapan teredam berlebih
(2.13)
konstanta
didapat dengan menggunakan
kondisi awal (initial
condition) (Hayt dkk. 2005).
2.3 Integral Parsial
Jika
dan
adalah fungsi dari , maka diketahui bahwa
∫
∫
Dan dengan mengatur kembali suku – sukunya, diperoleh
∫
∫
Rumus sederhananya diperoleh
∫
∫
(2.14)
2.4 Transformasi Laplace
Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara
mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Transformasi Laplace juga
dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial kedalam bentuk persamaan
aljabar, sehinnga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi
bentuk ekspresi persamaan aljabar.
Jika
adalah suatu pernyataan dalam
yang terdefinisi untuk
dinotasikan dengan {
transformasi Laplace dari
sebagai:
{
}
} atau
maka
didefenisikan
∫
Dimana adalah suatu variabel yang nilai – nilainya dipilih sedemikian rupa agar
intrgral infinitnya konvergen. Pemusatan terjadi ketika limit
Universitas Sumatera Utara
18
∫
Eksis. Jika limit ini tidak eksis, integral tak wajar tersebut divergen dan
memiliki transformasi laplace.
2.4.1
1.
tidak
Transformasi Laplace Dari Turunan
Turunan Pertama
{
}
∫
Bukti:
{
}
∫
Dengan menggunakan integral parsial diperoleh
{
}
∫
∫
{
}
[
]
[
]
(
)
∫
∫
(2.20)
Universitas Sumatera Utara
19
2. Turunan Kedua
{
}
∫
Bukti:
Dengan menggunakan integral parsial dan hasil dari turunan pertama diperoleh
{
}
∫
=[
]
=(
)
[
=
{
} =
Secara umum turunan ke –
{
2.4.2
{
}
{
∫
}
]
(2.21)
adalah sebagai berikut:
}
(2.22)
Transformasi Laplace Invers
}
Jika transformasi laplace suatu fungsi
adalah
, yaitu {
disebut invers transformasi Laplace dari
yang ditulis sebagai:
{
}
.
, maka
(2.23)
Sifat – sifat transformasi Laplace invers adalah sebagai berikut
1. Transformasi invers dari suatu jumlah atau selisih dari pernyataan adalah jumlah
atau selisih dari masing – masing transformasi invers itu sendiri. yang ditulis
sebagai:
{
}
{
}
{
}
2. Transformasi invers dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu
konstanta adalah konstanta tersebut dikalikan dengan transformasi invers dari
pernyataan tersebut, dengan kata lain:
{
}
{
}
di mana adalah konstanta.
Universitas Sumatera Utara
20
2.4.3
Transformasi Laplace dalam Ekpansi Pecahan Parsial
Di dalam penggunaannya, transformasi Laplace sering kali melibatkan bentuk
dengan banyak fraksi, di mana P(s) dan Q(s) merupakan suku polinomial. Solusinya
ialah dengan cara mengetahui bagaimana fraksi – fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah
dalam bentuk fraksi pecahan (parcial fraction). Jika
dengan penyebut
Maka, terdapat tiga penyelesaiannya.
1.
Akar – akar Real yang Tidak Sama
Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk
dan
diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai
(2.25)
Dengan
dan
sebagai konstanta.
Universitas Sumatera Utara
21
2.
Akar – akar Real yang Sama
Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk
diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai
Dengan , , , dan
3.
adalah konstanta yang belum diketahui nilainya.
Akar – akar Kompleks
Untuk setiap faktor dari P(s) dalam bentuk
Maka, pecahan parsialnya dapat ditulis dalam bentuk
2.5
Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)
Masalah nilai awal untuk persamaan diferensial order
(
)
interval I yang memenuhi
di mana
yaitu menentukan solusi persamaan diferensial pada
syarat awal di
subset dari real
adalah konstanta yang diberikan (Baiduri, 2002).
Universitas Sumatera Utara