TRY OUT SMA
Bagian 1
1. Nilai dari
2. Jika ( ) =
∏
2−
= ...
∙
, maka (1) + (2) + (3) + ⋯ + (2015) = ...
3. Tentukan bilangan asli terkecil yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 16 bilangan
asli berurutan, dan sekaligus dapat dinyatakan sebagai jumlah 17 bilangan asli
berurutan.
4. Anita mempunyai n kotak bernomor 1, 2, 3, ..., n yang telah tersusun berurutan sesuai
nomornya. Selanjutnya, Dita menyusun ulang semua kotak tersebut sehingga tidak ada
kotak yang menempati posisi semula dan kotak bernomor − 3, − 2, −
1, dan menempati 4 posisi terakhir. Jika Dita dapat membuat 2304 susunan yang
berbeda, maka nilai dari n adalah ...
dengan panjang sisi satuan,
5. Diketahui segitiga sama sisi
dan , berturut-turut adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga
maksimum dari ∙ adalah ...
6. Tentukan jumlah semua bilangan bulat
sehingga ( − 3) membagi (
7. Diberikan adalah bilangan real tak nol yang memenuhi
⎛
⎜
Jika
⎝
= , maka 1 + 2 + 3 + 4
suatu titik pada
dan
,
. Nilai
− 3).
√
⎞
√… ⎟
+ ⋯ = ...
⎠
= 729.
8. Perhatikan dua persamaan berikut!
( )+ ( )= ( )
( )+
= ( )
Jika setiap bilangan real memenuhi kedua persamaan di atas, ( ) adalah sembarang
fungsi genap, dan ( ) adalah sembarang fungsi ganjil, maka nilai dari (2015) adalah
...
9. Banyak cara penyusunan kata MATEMATIKA sehingga tidak ada huruf yang sama
tersusun secara berurutan adalah ...
10. Diberikan segitiga
bagi sudut , , dan
. Nilai dari
, dan
dengan lingkaran luarnya berjari-jari 3 satuan. Ketiga garis
diperpanjang dan memotong lingkaran secara berurutan di ,
= ...
11. Diketahui bilangan asli terkecil sehingga 1,24 × = , dengan adalah bilangan asli
yang didapatkan dengan cara memindah digit pertama dari (paling kiri) ke digit
terakhirnya (paling kanan). Angka satuan dari adalah ...
12. Huruf-huruf V, E, K, T, O, R, dan angka-angka 2, 0, 1, 5 digunakan untuk menyusun
sandi yang panjangnya 4. Jika huruf dan angka boleh berulang, tetapi tidak ada huruf
yang bersebelahan, maka banyak sandi yang dapat dibuat adalah ...
13. Tentukan semua bilangan asli sehingga bilangan-bilangan berikut adalah bilangan
prima
+ 1, + 3, + 7, + 9, + 13, dan + 15.
14. Ada 15 soal isian dan 8 soal esai yang diberikan oleh guru pembimbing olimpiade. Tika,
Jodi, dan Doni memutuskan untuk membagi soal-soal tersebut untuk dikerjakan
sendiri-sendiri. Tika harus mengerjakan sedikitnya 3 soal isian dan 2 soal esai.
Sementara yang lain mengerjakan paling sedikit 2 soal isian. Banyak cara membagi
soal-soal tersebut adalah ...
15. Diberikan limas persegi dan prisma tegak persegi dengan alas berada pada bidang
yang sama, dan tiap-tiap sisi dari kedua bangun ruang tersebut menyinggung bola
berjari-jari 1 satuan. Nilai terkecil dari selisih volume limas dan prisma tersebut adalah
...
16. Tentukan semua pasangan bilangan real ( , ) yang memenuhi
5 + 10 + 14 = 62 + 88 − 194.
Solusi:
5
+ 10 + 14 − 62 − 88 + 194 = 0
+ 2 + + 4 + 12 + 9 − 62 − 88 + 194 = 0
43
+ 2 + + 4 + 12 + 9 − 10 − 52 − 10 − 78 + 194 = 0
( + ) + (2 + 3 ) − 10( + ) − 26(2 + 3 ) + 25 + 169 = 0
( + ) − 10( + ) + 25 + (2 + 3 ) − 26(2 + 3 ) + 169 = 0
( + − 5) + (2 + 3 − 13) = 0
Karena untuk sebarang bilangan real berlaku
≥ 0, maka didapat:
+ − 5 = 0 dan 2 + 3 − 13 = 0. Dengan menyelesaikan SPLDV tersebut didapat
= 2 dan = 3.
Jadi, pasangan bilangan real ( , ) yang memenuhi adalah ( , ).
17. Tentukan semua bilangan prima sehingga jumlah semua pembagi positif dari
merupakan bilangan kuadrat sempurna.
18. Titik terletak di daerah segitiga sama sisi
= 13. Panjang sisi segitiga
adalah ...
dengan
= 5,
= 12, dan
19. Ibu Lina akan mengadakan acara keluarga di suatu restoran. Restoran tersebut
menyediakan menu salad, spaghetti, omelet, hamburger, nasi goreng, bakso, dan sate
sebagai pilihan makanannya dan soda, coklat hangat, kopi, teh, jus, dan air putih
sebagai pilihan minumannya. Ibu Lina memilih 4 jenis makanan dan 3 jenis minuman
sebagai menunya. Tetapi, Ibu Lina tidak ingin salad disediakan bersama soda. Banyak
menu berbeda yang mungkin dipilih oleh Ibu Lina adalah ...
20. Diketahui 3 bilangan real positif a, b, c membentuk barisan aritmatika. Jika kuadrat
dari ketiga bilangan tersebut juga membentuk barisan aritmatika dengan urutan yang
sama, maka nilai dari
− 2015 = ...
Bagian 2
1. Panjang sisi-sisi segitiga
merupakan bilangan bulat positif. Titik terletak pada
sisi
sehingga
merupakan garis bagi ∠
. Jika diketahui
= 3 dan
= 4,
tentukan keliling-keliling yang mungkin dari segitiga tersebut.
2. Perhatikan fungsi berikut ini!
( ) = ⌈ + 1⌉ − ⌊ + 1⌋ − ⌈ − 1⌉ + ⌊ − 1⌋
Jika fungsi di atas berlaku untuk semua ∈ ℝ, tentukan semua kemungkinan nilai
( ). (Catatan: ⌈ ⌉ adalah bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan ;
dan ⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan )
44
1. Nilai dari
2. Jika ( ) =
∏
2−
= ...
∙
, maka (1) + (2) + (3) + ⋯ + (2015) = ...
3. Tentukan bilangan asli terkecil yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 16 bilangan
asli berurutan, dan sekaligus dapat dinyatakan sebagai jumlah 17 bilangan asli
berurutan.
4. Anita mempunyai n kotak bernomor 1, 2, 3, ..., n yang telah tersusun berurutan sesuai
nomornya. Selanjutnya, Dita menyusun ulang semua kotak tersebut sehingga tidak ada
kotak yang menempati posisi semula dan kotak bernomor − 3, − 2, −
1, dan menempati 4 posisi terakhir. Jika Dita dapat membuat 2304 susunan yang
berbeda, maka nilai dari n adalah ...
dengan panjang sisi satuan,
5. Diketahui segitiga sama sisi
dan , berturut-turut adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga
maksimum dari ∙ adalah ...
6. Tentukan jumlah semua bilangan bulat
sehingga ( − 3) membagi (
7. Diberikan adalah bilangan real tak nol yang memenuhi
⎛
⎜
Jika
⎝
= , maka 1 + 2 + 3 + 4
suatu titik pada
dan
,
. Nilai
− 3).
√
⎞
√… ⎟
+ ⋯ = ...
⎠
= 729.
8. Perhatikan dua persamaan berikut!
( )+ ( )= ( )
( )+
= ( )
Jika setiap bilangan real memenuhi kedua persamaan di atas, ( ) adalah sembarang
fungsi genap, dan ( ) adalah sembarang fungsi ganjil, maka nilai dari (2015) adalah
...
9. Banyak cara penyusunan kata MATEMATIKA sehingga tidak ada huruf yang sama
tersusun secara berurutan adalah ...
10. Diberikan segitiga
bagi sudut , , dan
. Nilai dari
, dan
dengan lingkaran luarnya berjari-jari 3 satuan. Ketiga garis
diperpanjang dan memotong lingkaran secara berurutan di ,
= ...
11. Diketahui bilangan asli terkecil sehingga 1,24 × = , dengan adalah bilangan asli
yang didapatkan dengan cara memindah digit pertama dari (paling kiri) ke digit
terakhirnya (paling kanan). Angka satuan dari adalah ...
12. Huruf-huruf V, E, K, T, O, R, dan angka-angka 2, 0, 1, 5 digunakan untuk menyusun
sandi yang panjangnya 4. Jika huruf dan angka boleh berulang, tetapi tidak ada huruf
yang bersebelahan, maka banyak sandi yang dapat dibuat adalah ...
13. Tentukan semua bilangan asli sehingga bilangan-bilangan berikut adalah bilangan
prima
+ 1, + 3, + 7, + 9, + 13, dan + 15.
14. Ada 15 soal isian dan 8 soal esai yang diberikan oleh guru pembimbing olimpiade. Tika,
Jodi, dan Doni memutuskan untuk membagi soal-soal tersebut untuk dikerjakan
sendiri-sendiri. Tika harus mengerjakan sedikitnya 3 soal isian dan 2 soal esai.
Sementara yang lain mengerjakan paling sedikit 2 soal isian. Banyak cara membagi
soal-soal tersebut adalah ...
15. Diberikan limas persegi dan prisma tegak persegi dengan alas berada pada bidang
yang sama, dan tiap-tiap sisi dari kedua bangun ruang tersebut menyinggung bola
berjari-jari 1 satuan. Nilai terkecil dari selisih volume limas dan prisma tersebut adalah
...
16. Tentukan semua pasangan bilangan real ( , ) yang memenuhi
5 + 10 + 14 = 62 + 88 − 194.
Solusi:
5
+ 10 + 14 − 62 − 88 + 194 = 0
+ 2 + + 4 + 12 + 9 − 62 − 88 + 194 = 0
43
+ 2 + + 4 + 12 + 9 − 10 − 52 − 10 − 78 + 194 = 0
( + ) + (2 + 3 ) − 10( + ) − 26(2 + 3 ) + 25 + 169 = 0
( + ) − 10( + ) + 25 + (2 + 3 ) − 26(2 + 3 ) + 169 = 0
( + − 5) + (2 + 3 − 13) = 0
Karena untuk sebarang bilangan real berlaku
≥ 0, maka didapat:
+ − 5 = 0 dan 2 + 3 − 13 = 0. Dengan menyelesaikan SPLDV tersebut didapat
= 2 dan = 3.
Jadi, pasangan bilangan real ( , ) yang memenuhi adalah ( , ).
17. Tentukan semua bilangan prima sehingga jumlah semua pembagi positif dari
merupakan bilangan kuadrat sempurna.
18. Titik terletak di daerah segitiga sama sisi
= 13. Panjang sisi segitiga
adalah ...
dengan
= 5,
= 12, dan
19. Ibu Lina akan mengadakan acara keluarga di suatu restoran. Restoran tersebut
menyediakan menu salad, spaghetti, omelet, hamburger, nasi goreng, bakso, dan sate
sebagai pilihan makanannya dan soda, coklat hangat, kopi, teh, jus, dan air putih
sebagai pilihan minumannya. Ibu Lina memilih 4 jenis makanan dan 3 jenis minuman
sebagai menunya. Tetapi, Ibu Lina tidak ingin salad disediakan bersama soda. Banyak
menu berbeda yang mungkin dipilih oleh Ibu Lina adalah ...
20. Diketahui 3 bilangan real positif a, b, c membentuk barisan aritmatika. Jika kuadrat
dari ketiga bilangan tersebut juga membentuk barisan aritmatika dengan urutan yang
sama, maka nilai dari
− 2015 = ...
Bagian 2
1. Panjang sisi-sisi segitiga
merupakan bilangan bulat positif. Titik terletak pada
sisi
sehingga
merupakan garis bagi ∠
. Jika diketahui
= 3 dan
= 4,
tentukan keliling-keliling yang mungkin dari segitiga tersebut.
2. Perhatikan fungsi berikut ini!
( ) = ⌈ + 1⌉ − ⌊ + 1⌋ − ⌈ − 1⌉ + ⌊ − 1⌋
Jika fungsi di atas berlaku untuk semua ∈ ℝ, tentukan semua kemungkinan nilai
( ). (Catatan: ⌈ ⌉ adalah bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan ;
dan ⌊ ⌋ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan )
44