Masalah Pengepakan Bangun Datar sumardyono marfuah yuliawanto

Sumardyono, M.Pd.
Masalah pengepakan (packing) adalah masalah meletakkan objek-objek yang saling bersinggungan
dengan cara tertentu dan di dalam suatu wadah dengan spesifikasi tertentu pula. Di dalam
matematika, umumnya masalah pengepakan untuk mencari susunan beberapa objek (dalam hal ini
bangun datar) dalam suatu wadah (daerah interior sebuah bangun datar) sedemikian hingga banyak
objek menjadi semaksimal mungkin atau besar wadah seminimum mungkin.

Sebuah Contoh Sederhana
Bagaimana membuat wadah dengan penampang berbentuk persegi seminimum mungkin yang
dapat menampung 2 benda dengan penampang berbentuk segitiga samasisi?

Berikut ini beberapa alternatif cara pemasangan dan persegi yang bersesuaian.

Tampak bahwa dua alternatif terakhir mungkin merupakan solusi yang kita inginkan. Mana di antara
kedua susunan yang perseginya paling minimum (luasnya)?
Misalkan panjang sisi segitiga = s. Perhatikan gambar di bawah ini.

1
s 3
2
s

t

s

b
a

Pembaca perlu diingatkan kembali sifat segitiga samasisi (krn di sini tiba2 muncul

Misalkan diketahui ukuran t maka a =

Sehingga

s+b=

1
1
1
1
t 3 . Diperoleh b = s – a = s – t 3

3
2
2
3

3
1
s– t 3
2
3

Karena bentuknya harus persegi, maka diperoleh

Akibatnya diperoleh

3
1
1
s– t 3 = s 3+t
2

3
2

3 1 
3
 −
2 2 

s ≈ 0,4019.s
t =
1
3
1+
3

Jadi, ukuran sisi persegi adalah

1
s 3)
2

1
s 3 + t ≈ 0,8660s + 0,4019.s = 1,2679s.
2

Sekarang perhatikanlah gambar di bawah ini.

s
s

1
2

c

s

Menggunakan sifat segitiga samasisi diperoleh c =

1

s 3
2

Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh ukuran sisi persegi adalah

1
s 6 ≈ 1,2247s.
2

Jadi, ukuran persegi pada gambar terakhir adalah ukuran yang lebih minimum yang dapat memuat
dua buah segitiga.
Apakah susunan yang terakhir merupakan solusi terbaik? Ya, itulah susunan terbaik (paling
minimum-efisien), walaupun untuk membuktikannya secara matematis kita berhadapan dengan
sedikit kompleksitas dari konsep-konsep geometri dan kombinatorik.

Penerapan dalam Pembelajaran Matematika
Masalah pengepakan (packing) dapat dipergunakan untuk pembelajaran matematika dalam rangka
implementasi konsep dan keterampilan matematis. Baik sebagai kegiatan reguler dalam topik
keliling dan luas bangun datar maupun sebagai topik pengayaan.
Dalam kegiatan pembelajaran, siswa diharapkan menggunakan penalaran dan kreativitas dalam

membuat berbagai susunan yang mungkin. Hal ini penting karena untuk memecahkan masalah
pengepakan tidak ada rumus yang dapat dipergunakan. Masalah pengepakan termasuk tipe soal
pemecahan masalah yang mudah dipahami namun tidak mudah dipecahkan sehingga menantang
pikiran dan memotivasi siswa untuk memecahkannya.
Pemanfaatan alat peraga berupa model bangun datar (dalam jumlah dan ukuran yang cukup) dapat
membantu siswa untuk menemukan susunan yang mungkin dan membuka pikiran ke arah strategi
pemecahan masalahnya.

Setelah beberapa susunan yang mungkin telah diperoleh, siswa diminta dengan menggunakan
penalaran dan pemahaman akan konsep-konsep geometri, untuk menghitung ukuran-ukuran yang
ada dalam setiap susunan tersebut (terutama yang merupakan candidat solusi dari suatu masalah
pengepakan).
Selain itu, strategi pembelajaran kooperatif lebih cocok dipergunakan untuk memberdayakan
kemampuan setiap siswa agar lebih terakselerasi dan melatih kerjasama dan berargumentasi.

Solusi Terbaik Beberapa Masalah Pengepakan
Berikut ini beberapa masalah pengepakan dengan solusi terbaiknya. Beberapa masalah hanya
diberikan untuk banyak objek yang terbatas, dengan harapan dapat dipergunakan untuk
pembelajaran matematika di kelas. Untuk objek yang sudah sangat banyak, maka sudah selayaknya
dibutuhkan keterampilan dan konsep matematika yang lebih lanjut, serta dibutuhkan pula bantuan

program komputer untuk pengerjaannya.
1. Pengepakan segitiga
a. Dalam Segitiga

b. Dalam Persegi

c. Dalam Lingkaran

2. Pengepakan persegi
a. Dalam Segitiga

b. Dalam Persegi

c. Dalam Lingkaran

3. Pengepakan lingkaran
a. Dalam Segitiga

b. Dalam Persegi

c. Dalam Lingkaran

Kesemua susunan yang diberikan di atas adalah yang terbaik (minimum), namun untuk beberapa n
buah objek ada masalah pengepakan yang masih belum terpecahkan. Untuk sekedar diketahui,
menurut website MathWorld-Wolfram masalah pengepakan n persegi di dalam persegi untuk n =
11, 12, 13, 17, 18, 19, 20 dan 21 belum terpecahkan atau belum dapat dibuktikan adanya susunan
yang minimum. Apakah Anda tertantang memecahkannya?

Daftar Pustaka
Eppstein, D. "Covering and Packing." dalam http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/cover.html.
Friedman, E. "Erich's Packing Center." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html.
Friedman, E. "Circles in Circles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/cirincir/.
Friedman, E. "Circles in Squares." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/cirinsqu/.
Friedman, E. "Circles in Triangles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/cirintri/.
Friedman, E. "Squares in Circles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/squincir/.
Friedman, E. "Squares in Squares." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/.
Friedman, E. "Squares in Triangles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/squintri/.
Friedman, E. "Triangles in Circles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/triincir/.
Friedman, E. "Triangles in Squares." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/triinsqu/.
Friedman, E. "Triangles in Triangles." dalam http://www.stetson.edu/~efriedma/triintri/.

Weisstein, Eric W. "Circle Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html
Weisstein, Eric W. "Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/Packing.html

Weisstein, Eric W. "Square Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/SquarePacking.html
Weisstein, Eric W. "Triangle Packing." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/TrianglePacking.html