Bilangan yang Menakutkan sumardyono untung Yuliawanto
Teori bilangan merupakan salah satu
cabang
matematika
yang
paling
mengasyikkan.
Mengapa
tidak?
Kebanyakan teka-teki atau permainan
banyak terkait dengan bilangan. Permainan
matematika yang terkenal dan sudah sejak
lama ada antara lain bujursangkar ajaib,
serta beberapa terapan deret dan
kombinatorika.
Selain banyak bersinggungan dengan
permainan dan teka-teki matematika, teori
bilangan juga menyuguhkan keajaiban lain
berupa masalah atau soal-soal yang belum
terpecahkan (unsolved problem). Untuk
Sumber: http://www.grinningplanet.com
menyebut beberapa yang terkenal dan
bertahan lama, antara lain Dugaan Prima Kembar (twin prime conjucture), serta masalah
Collatz (Collatz problem).
Pada artikel kali ini, penulis ingin memperkenalkan rekreasi matematika terkait bilangan,
yaitu beberapa bilangan yang dinamakan dengan nama-nama yang menakutkan. Walau
agak kontradiktif dengan sifat nama-nama yang diberikan, namun penelaahan jenis bilangan
tersebut merupakan suatu kegiatan rekreasi yang cukup mengasyikkan.
Berikut ini beberapa jenis bilangan yang diberi nama dengan nama yang mewakili sifat jahat
atau sesuatu yang menakutkan.
1. Beast number, 666
Bilangan 666 di kalangan matematikawan dikenal dengan nama Beast Number atau
Bilangan Jahanam. Kata “beast” juga berarti “binatang buas”. Bilangan ini kadang juga
disebut “tanda syaitan atau iblis”. Dan yang jelas, asal-usul penamaan 666 sebagai
bilangan yang mewakili iblis ini, berkaitan dengan munculkan bilangan tersebut dalam
kitab Injil ketika berbicara mengenai iblis.
Penelaahan sifat-sifat bilangan 666 telah secara intensif dilakukan oleh matematikawan.
Periksalah kebenaran beberapa sifat menarik berikut ini.
•
Bilangan ini sama dengan jumlah kuadrat dari 7 bilangan prima pertama.
22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666
•
Jumlah bilangan asli hingga 6 × 6 sama dengan 666
6 ×6
∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + 36 = 666
i =1
•
Jumlah bilangan genap bergantian tanda hingga 666 suku adalah 666.
666
∑ 2n(−1)
n
= −2 + 4 − 6 + 8 − ... + 1332 = 666
i =1
•
Suatu bentuk deret sederhana
16 – 26 + 36 = 666
•
Tepat satu cara menyisipkan tanda “+” pada 987654321 agar jumlahnya 666
•
9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666
Tepat dua cara menyisipkan tanda “+” pada 123456789 agar jumlahnya 666
•
1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666
123 + 456 + 78 + 9 = 666
Jumlah angka-angka faktor prima dari 666 sama dengan jumlah angka-angka 666.
666 = 2 × 3 × 3 × 37
2+3+3+3+7=6+6+6
Bilangan yang sifatnya seperti di atas dinamakan Bilangan Smith.
•
•
Banyak bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan 666 yang relatif prima
dengan 666 (yaitu FPB-nya 1) adalah 6 × 6 × 6. Bilangan 1 dianggap relatif prima
terhadap semua bilangan bulat positif.
Fungsi yang menyatakan banyak bulat positif kurang dari atau sama dengan n yang
relatif prima dengan n dinamakan fungsi Totient Euler, φ(n). Jadi, φ(666) = 6 × 6 × 6.
Tepat ada 6 angka 6 dari bentuk desimal bilangan 6666.
2. Evil number
Evil numbers atau bilangan “jahat” merupakan salah satu jenis bilangan turunan dari
bilangan Jahanam.
Suatu bilangan real termasuk Bilangan Jahat (evil number) jika jumlah n angka setelah
tanda koma pada bentuk desimalnya mencapai 666.
Sebagai contoh, bilangan
,termasuk bilangan jahat
karena jumlah 144 angka di belakang koma hasilnya 666.
Jelas untuk 2 bilangan real berbeda mungkin banyak angkanya (yaitu n) tidak sama. Jelas
pula semua bilangan bulat bukan bilangan Jahat.
Berikut ini beberapa bilangan real lain yang termasuk bilangan Jahat.
•
Pecahan emas, golden ratio, φ = 1,6180339887498....
•
Konstanta Ramanujan, e π 163 = 262537412640768743,9999999999992500....
(dengan 12 angka 9 setelah tanda koma).
(132 angka)
•
Bilangan
3 = 1,732050807568877293527446341505...
(145 angka)
•
Bilangan
6 = 2,449489742783178098197284074705...
(139 angka)
•
•
Bilangan 5 3 = 1,245730939615517325966680336640... (140 angka)
Sementara bilangan jahat yang “memuat” bilangan Jahanam dan bilangan π, antara
lain:
o cos (666)
dalam radian (146 angka)
666
o π
(142 angka)
o
666
(146 angka)
(159 angka)
3. Vampire number
Bilangan Vampir adalah bilangan bulat dengan banyak angka genap, 2n, yang memiliki
sifat sebagai hasil kali dari dua bilangan dengan n angka dari angka-angka yang
menyusun bilangan Vampire tsb. Urutan angka pada kedua bilangan tidak diperhatikan.
Kedua bilangan tersebut dinamakan fangs atau “taring” bilangan Vampir yang
bersesuaian.
Bilangan Vampir 2 angka jelas tidak ada. Mengapa?
Berikut ini beberapa bilangan Vampir 4 angka: 1260, 1395, 1435, 1530, 1827, dan 6880.
1260 = 21 × 60
1395 = 15 × 93
1435 = 35 × 41
1530 = 30 × 51
1827 = 21 × 81
6880 = 80 × 86
Tepat hanya ada 7 bilangan Vampire dengan 4 angka.
Bilangan Vampir dengan 6 angka ada sebanyak 148 buah, salah satunya 125460.
Pengulangan angka nol pada bagian kiri tidak diperkenankan. Misalnya 126000 = 210 ×
600.
Demikian sedikit wawasan mengenai beberapa jenis bilangan yang menarik untuk dikaji
sebagai rekreasi matematika, dan merangsang kemampuan berpikir matematis secara
menyenangkan pula. Namun tentu saja, jika tema ini akan dibawa ke kelas matematika,
sebaiknya siswa diperbolehkan untuk menggunakan kalkulator atau bahkan program
komputer sederhana (misalnya Ms. Excel). Untuk mendapatkan nilai-nilai dengan ketelitian
yang tinggi, Anda dapat mengakses situs www.wolframalpha.com. Sebagai contoh, untuk
mendapatkan nilai dengan ketelitian 150 angka di belakang koma, ketikkan perintah: “pi
to 150 digits” pada tempat yang disediakan kemudian tekan enter.
Daftar Bacaan dan Pustaka
Hudson, Mark and Weisstein, Eric W. 2013. "Evil Number." MathWorld--A Wolfram Web
Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/EvilNumber.html (diakses Februari
2013)
Keith, M. 2013. "The Number of the Beast." dalam
http://users.aol.com/s6sj7gt/mike666.htm (diakses Februari 2013)
Pegg, E. Jr. and Lomont, C. 2004. "Math Games: Evil Numbers." Oct. 4, 2004. dalam
http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_04_04.html.
Weisstein, Eric W. "Beast Number." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/BeastNumber.html (diakses Februari 2013)
Weisstein, Eric W. 2013. "Vampire Number." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/VampireNumber.html (diakses Februari 2013)
cabang
matematika
yang
paling
mengasyikkan.
Mengapa
tidak?
Kebanyakan teka-teki atau permainan
banyak terkait dengan bilangan. Permainan
matematika yang terkenal dan sudah sejak
lama ada antara lain bujursangkar ajaib,
serta beberapa terapan deret dan
kombinatorika.
Selain banyak bersinggungan dengan
permainan dan teka-teki matematika, teori
bilangan juga menyuguhkan keajaiban lain
berupa masalah atau soal-soal yang belum
terpecahkan (unsolved problem). Untuk
Sumber: http://www.grinningplanet.com
menyebut beberapa yang terkenal dan
bertahan lama, antara lain Dugaan Prima Kembar (twin prime conjucture), serta masalah
Collatz (Collatz problem).
Pada artikel kali ini, penulis ingin memperkenalkan rekreasi matematika terkait bilangan,
yaitu beberapa bilangan yang dinamakan dengan nama-nama yang menakutkan. Walau
agak kontradiktif dengan sifat nama-nama yang diberikan, namun penelaahan jenis bilangan
tersebut merupakan suatu kegiatan rekreasi yang cukup mengasyikkan.
Berikut ini beberapa jenis bilangan yang diberi nama dengan nama yang mewakili sifat jahat
atau sesuatu yang menakutkan.
1. Beast number, 666
Bilangan 666 di kalangan matematikawan dikenal dengan nama Beast Number atau
Bilangan Jahanam. Kata “beast” juga berarti “binatang buas”. Bilangan ini kadang juga
disebut “tanda syaitan atau iblis”. Dan yang jelas, asal-usul penamaan 666 sebagai
bilangan yang mewakili iblis ini, berkaitan dengan munculkan bilangan tersebut dalam
kitab Injil ketika berbicara mengenai iblis.
Penelaahan sifat-sifat bilangan 666 telah secara intensif dilakukan oleh matematikawan.
Periksalah kebenaran beberapa sifat menarik berikut ini.
•
Bilangan ini sama dengan jumlah kuadrat dari 7 bilangan prima pertama.
22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666
•
Jumlah bilangan asli hingga 6 × 6 sama dengan 666
6 ×6
∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + 36 = 666
i =1
•
Jumlah bilangan genap bergantian tanda hingga 666 suku adalah 666.
666
∑ 2n(−1)
n
= −2 + 4 − 6 + 8 − ... + 1332 = 666
i =1
•
Suatu bentuk deret sederhana
16 – 26 + 36 = 666
•
Tepat satu cara menyisipkan tanda “+” pada 987654321 agar jumlahnya 666
•
9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666
Tepat dua cara menyisipkan tanda “+” pada 123456789 agar jumlahnya 666
•
1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666
123 + 456 + 78 + 9 = 666
Jumlah angka-angka faktor prima dari 666 sama dengan jumlah angka-angka 666.
666 = 2 × 3 × 3 × 37
2+3+3+3+7=6+6+6
Bilangan yang sifatnya seperti di atas dinamakan Bilangan Smith.
•
•
Banyak bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan 666 yang relatif prima
dengan 666 (yaitu FPB-nya 1) adalah 6 × 6 × 6. Bilangan 1 dianggap relatif prima
terhadap semua bilangan bulat positif.
Fungsi yang menyatakan banyak bulat positif kurang dari atau sama dengan n yang
relatif prima dengan n dinamakan fungsi Totient Euler, φ(n). Jadi, φ(666) = 6 × 6 × 6.
Tepat ada 6 angka 6 dari bentuk desimal bilangan 6666.
2. Evil number
Evil numbers atau bilangan “jahat” merupakan salah satu jenis bilangan turunan dari
bilangan Jahanam.
Suatu bilangan real termasuk Bilangan Jahat (evil number) jika jumlah n angka setelah
tanda koma pada bentuk desimalnya mencapai 666.
Sebagai contoh, bilangan
,termasuk bilangan jahat
karena jumlah 144 angka di belakang koma hasilnya 666.
Jelas untuk 2 bilangan real berbeda mungkin banyak angkanya (yaitu n) tidak sama. Jelas
pula semua bilangan bulat bukan bilangan Jahat.
Berikut ini beberapa bilangan real lain yang termasuk bilangan Jahat.
•
Pecahan emas, golden ratio, φ = 1,6180339887498....
•
Konstanta Ramanujan, e π 163 = 262537412640768743,9999999999992500....
(dengan 12 angka 9 setelah tanda koma).
(132 angka)
•
Bilangan
3 = 1,732050807568877293527446341505...
(145 angka)
•
Bilangan
6 = 2,449489742783178098197284074705...
(139 angka)
•
•
Bilangan 5 3 = 1,245730939615517325966680336640... (140 angka)
Sementara bilangan jahat yang “memuat” bilangan Jahanam dan bilangan π, antara
lain:
o cos (666)
dalam radian (146 angka)
666
o π
(142 angka)
o
666
(146 angka)
(159 angka)
3. Vampire number
Bilangan Vampir adalah bilangan bulat dengan banyak angka genap, 2n, yang memiliki
sifat sebagai hasil kali dari dua bilangan dengan n angka dari angka-angka yang
menyusun bilangan Vampire tsb. Urutan angka pada kedua bilangan tidak diperhatikan.
Kedua bilangan tersebut dinamakan fangs atau “taring” bilangan Vampir yang
bersesuaian.
Bilangan Vampir 2 angka jelas tidak ada. Mengapa?
Berikut ini beberapa bilangan Vampir 4 angka: 1260, 1395, 1435, 1530, 1827, dan 6880.
1260 = 21 × 60
1395 = 15 × 93
1435 = 35 × 41
1530 = 30 × 51
1827 = 21 × 81
6880 = 80 × 86
Tepat hanya ada 7 bilangan Vampire dengan 4 angka.
Bilangan Vampir dengan 6 angka ada sebanyak 148 buah, salah satunya 125460.
Pengulangan angka nol pada bagian kiri tidak diperkenankan. Misalnya 126000 = 210 ×
600.
Demikian sedikit wawasan mengenai beberapa jenis bilangan yang menarik untuk dikaji
sebagai rekreasi matematika, dan merangsang kemampuan berpikir matematis secara
menyenangkan pula. Namun tentu saja, jika tema ini akan dibawa ke kelas matematika,
sebaiknya siswa diperbolehkan untuk menggunakan kalkulator atau bahkan program
komputer sederhana (misalnya Ms. Excel). Untuk mendapatkan nilai-nilai dengan ketelitian
yang tinggi, Anda dapat mengakses situs www.wolframalpha.com. Sebagai contoh, untuk
mendapatkan nilai dengan ketelitian 150 angka di belakang koma, ketikkan perintah: “pi
to 150 digits” pada tempat yang disediakan kemudian tekan enter.
Daftar Bacaan dan Pustaka
Hudson, Mark and Weisstein, Eric W. 2013. "Evil Number." MathWorld--A Wolfram Web
Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/EvilNumber.html (diakses Februari
2013)
Keith, M. 2013. "The Number of the Beast." dalam
http://users.aol.com/s6sj7gt/mike666.htm (diakses Februari 2013)
Pegg, E. Jr. and Lomont, C. 2004. "Math Games: Evil Numbers." Oct. 4, 2004. dalam
http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_04_04.html.
Weisstein, Eric W. "Beast Number." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/BeastNumber.html (diakses Februari 2013)
Weisstein, Eric W. 2013. "Vampire Number." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam
http://mathworld.wolfram.com/VampireNumber.html (diakses Februari 2013)