Makalah Seminar Matematika APLIKASI MODE (1)
Makalah Seminar Matematika
APLIKASI MODEL LOGNORMAL DALAM MEMPREDIKSI
PENGEMBALIAN HASIL SUATU INVESTASI
OLEH:
GUSTI AYU KUSUMANINGRUM
1113011084
DOSEN PEMBIMBING
I GUSTI NYOMAN YUDI HARTAWAN, M.Sc.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
2014
Aplikasi Model Lognormal dalam Memprediksi Pengembalian Hasil
Suatu Investasi
Oleh:
Gusti Ayu Kusumaningrum
(1113011084)
Jurusan Pendidikan Matematika
ABSTRAK
Investasi oleh masyarakat lebih banyak dilakukan dengan tujuan mendapatkan
keuntungan. Keuntungan yang didapatkan dari berinvestasi disebut dengan bunga.
Besar kecilnya bunga yang diperoleh tergantung dari suku bunga yang diberikan. Pada
kondisi yang sebenarnya, suku bunga dapat berubah pada selang waktu tertentu. Suku
bunga yang bervariasi dari waktu ke waktu dapat diasmusikan mengikuti suatu
distribusi probabilitas. Salah satu distribusi penting yang dapat digunakan untuk
mengestimasi suku bunga berdasarkan sifatnya yang berubah-ubah dan independen
adalah distribusi lognormal. Distribusi lognormal dalam bentuk sederhana adalah
fungsi densitas dari sebuah variabel random yang logaritmanya mengikuti hukum
distribusi normal. Misalkan suku bunga selama periode ke- yaitu dari periode ( - )
sampai dinotasikan dengan � untuk = , , , . . . , . Nilai akumulasi dari sebuah
investasi sebesar 1 pada akhir periode ke- dinyatakan sebagai berikut:
=
+
+
…
+
= (1 it ) . Dengan mengambil nilai logaritma dari
n
t 1
persamaan tersebut diperoleh ln
= ln(1 it ) . Dengan mengasumsikan variabel
n
t 1
random ln + � berdistribusi normal, maka
mengikuti distribusi lognormal.
Namun karena rumus-rumus dalam distribusi lognormal cukup rumit, maka dalam
menghitung nilai akumulasi akan digunakan nilai logaritma dari
dan kemudian
menggunakan rumus-rumus dari distribusi normal.
Kata Kunci: suku bunga bervariasi yang independen, nilai akumulasi, investasi,
distribusi normal, distribusi lognormal
KATA PENGANTAR
Rasa syukur penulis haturkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmatNyalah penulis dapat menyelesaikan sebuah makalah seminar matematika di bidang
Statistika yang berjudul: ”Aplikasi Model Lognormal dalam Memprediksi
Pengembalian Hasil Suatu Investasi”.
Dalam kesempatan yang berbahagia ini, tak lupa penulis mengucapkan
terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Prof. Dr. I Made Ardana, M.Pd.
selaku koordinator mata kuliah seminar matematika, Bapak I Gusti Nyoman Yudi
Hartawan, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah membimbing penulis sehingga
penulis dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya, Bapak Prof. Dr. I Gusti
Putu Suharta, M.Si selaku dosen penguji seminar ini yang telah memberikan masukan
untuk perbaikan makalah ini, keluarga dan rekan-rekan penulis yang senantiasa
memberi dukungan sehingga penulis terus termotivasi untuk melangkah lebih maju.
Penulis begitu menyadari bahwa makalah seminar ini masih jauh dari
sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
penulis harapkan demi kemajuan penulis untuk ke depannya. Apabila terdapat hal yang
kurang berkenan terhadap isi makalah ini penulis memohon maaf yang sebesarbesarnya. Atas perhatian pembaca penulis ucapkan terima kasih.
Singaraja,
Juni 2014
Penulis
i
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
ABSTRAK
KATA PENGANTAR ........................................................................................... i
DAFTAR ISI ........................................................................................................ ii
DAFTAR SIMBOL ............................................................................................. iv
DAFTAR TABEL ................................................................................................ v
BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................... 2
1.3 Tujuan .......................................................................................................... 2
1.4 Manfaat ........................................................................................................ 2
1.5 Batasan Masalah .......................................................................................... 2
BAB II. KAJIAN PUSTAKA .............................................................................. 1
2.1 Teori Probabilitas ........................................................................................ 3
2.2 Variabel Random ......................................................................................... 4
2.3 Fungsi Kepadatan Peluang .......................................................................... 5
2.4 Nilai Harapan Variabel Random ................................................................. 5
2.5 Variansi Variabel Random .......................................................................... 6
2.6 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen..................................................... 7
2.7 Distribusi Normal ........................................................................................ 7
2.8 Teori Suku Bunga ...................................................................................... 10
BAB III. PEMBAHASAN ................................................................................. 11
3.1 Suku Bunga Bervariasi yang Independen .................................................. 11
3.2 Distribusi Lognormal ................................................................................. 17
3.3 Model Lognormal ...................................................................................... 19
3.4 Soal Aplikasi.............................................................................................. 20
ii
BAB IV. PENUTUP ........................................................................................... 23
4.1 Kesimpulan ................................................................................................ 23
4.2 Saran .......................................................................................................... 24
DAFTAR PUSTAKA
iii
DAFTAR SIMBOL
: nilai akumulasi dengan investasi sebesar 1 sampai saat
waktu melakukan investasi, untuk
�
= , , ,…,
: nilai akumulasi dengan investasi sebesar
waktu melakukan investasi, untuk
: suku bunga efektif
sampai saat
= , , , . . , dan
: suku bunga nominal yang dikonversikan
periode sejak
periode sejak
>
-kali dalam setahun
: rata-rata suku bunga efektif
: suku bunga efektif selama
�
��
periode sejak waktu melakukan investasi
: suku bunga selama periode ke- , yaitu dari waktu
: force of interest
−
sampai
iv
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Perhitungan untuk Contoh 3.4.1.................................................................. 21
v
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring dengan perkembangan zaman saat ini, investasi bukanlah hal yang tabu
bagi kita. Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lain
yang dilakukan saat ini dengan tujuan agar dapat memperoleh keuntungan di masa
mendatang atau bertujuan untuk meningkatkan kesejahteraan investor (Kasmir, 2001).
Terdapat banyak produk-produk investasi yang ditawarkan kepada masyarakat.
Beberapa contoh produk investasi yang umum digunakan diantaranya tabungan,
deposito, saham dan lain sebagainya. Investasi oleh masyarakat lebih banyak dilakukan
dengan tujuan mendapatkan keuntungan. Keuntungan yang didapatkan dari
berinvestasi disebut dengan bunga. Besar kecilnya bunga yang diperoleh tergantung
dari suku bunga yang diberikan.
Pada perkuliahan, suku bunga yang lebih sering digunakan dalam menghitung
pengembalian hasil suatu investasi adalah suku bunga konstan (fix rate interest). Hal
tersebut tentunya tidak sesuai dengan kondisi yang sebenarnya karena suku bunga
dapat berubah pada selang waktu tertentu. Terdapat dua asumsi untuk suku bunga yang
bervariasi ini, yaitu suku bunga yang independen dan dependen. Dalam pasar finansial,
nilai suku bunga ini tidak dapat diketahui secara pasti, namun estimasi terhadap suku
bunga masih dapat dilakukan. Oleh karena itu, diperlukan suatu model yang
memungkinkan untuk mengestimasi suku bunga berdasarkan sifatnya yang selalu
berubah-ubah tersebut.
Dalam penerapan statistika digunakan berbagai metode statistika sesuai dengan
kebutuhan. Salah satu metode statistika yang digunakan adalah distribusi peluang.
Terdapat beberapa distribusi peluang khusus yang penting baik distribusi peluang
dengan variabel random diskrit maupun distribusi peluang dengan variabel random
kontinu. Salah satu distribusi peluang dengan variabel random kontinu adalah distribusi
normal.
1
Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang sering digunakan.
Terdapat satu distribusi peluang dengan variabel random kontinu yang mengikuti
distribusi normal yaitu distribusi lognormal. Salah satu aplikasi dari distribusi
lognormal adalah untuk memprediksi pengembalian hasil investasi dimana suku bunga
pada pasar keuangan bervariasi dan independen. Aplikasi tersebut akan didiskusikan
dalam makalah ini.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang dapat dirumuskan
adalah sebagai berikut.
1. Apakah yang dimaksud dengan suku bunga bervariasi yang independen?
2. Bagaimana rumus rata-rata dan variansi jika suatu variabel random mengikuti
distribusi lognormal?
3. Bagaimana cara memprediksi pengembalian hasil investasi dengan suku bunga
bervariasi yang independen dengan menggunakan model lognormal?
1.3 Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui tentang suku bunga bervariasi yang independen.
2. Untuk mengetahui rumus rata-rata dan variansi jika suatu variabel random
mengikuti distribusi lognormal.
3. Untuk mengetahui cara memprediksi pengembalian hasil investasi dengan suku
bunga bervariasi yang independen dengan menggunakan model lognormal.
1.4 Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan makalah ini adalah untuk memberikan informasi kepada
pembaca tentang aplikasi dari matematika khususnya ilmu statistika dalam
memprediksi pengembalian hasil suatu investasi.
1.5 Batasan Masalah
Dalam makalah ini hanya membahas tentang investasi yang menggunakan
suku bunga efektif dengan sistem pembungaan majemuk. Di samping itu, dalam
makalah ini menggunakan suku bunga bervariasi yang independen.
2
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori dasar yang digunakan pada bab
III. Bab ini membahas teori probabilitas, variabel random, fungsi kepadatan peluang,
nilai harapan variabel random, variansi variabel random, momen dan fungsi
pembangkit momen, distribusi normal, serta membahas tentang teori suku bunga.
2.1 Teori Probabilitas
Subbab ini membahas tentang teori probabilitas. Pembahasan ini dilakukan
karena fungsi
yang didefinisikan pada subbab berikutnya berkaitan dengan
probabilitas suatu kejadian.
Probabilitas (peluang) menggambarkan tingkat keyakinan seseorang terhadap
sesuatu yang akan terjadi. Namun keyakinan yang dimaksud didalam probabilitas,
bukanlah keyakinan berupa penilaian (judgement), misalnya keyakinan tentang “benar
atau salah”nya ucapan seseorang, tetapi lebih kepada keyakinan tentang kemungkinan
terjadinya suatu hasil dari suatu percobaan yang bersifat konseptual. Secara umum
dapat disimpulkan bahwa probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk
menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random.
Misalkan � adalah suatu kejadian. Karena probabilitas merupakan suatu nilai,
maka probabilitas kejadian � memiliki batas-batas, yaitu:
a) Jika � � = , disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian � tidak pernah
terjadi.
b) Jika � � = ,disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian � sudah pasti terjadi
c) Jika
< � � < , disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian � bisa atau
tidak bisa terjadi
Ada tiga komponen penting dari probabilitas yaitu: eksperimen/percobaan,
ruang sampel dan peristiwa (event). Definisi dari istilah-istilah tersebut diberikan
berikut ini.
3
Definisi 2.1.1 Eksperimen � adalah proses untuk memperoleh kejadian-kejadian
(Sudiarta, 2008 : 22 )
Suatu eksperimen biasanya menghasilkan lebih dari satu hasil. Hasil yang tidak
bisa diuraikan menjadi hasil yang lebih kecil disebut titik sampel.
Definisi 2.1.3 Ruang sampel adalah himpunan hasil yang mungkin terjadi. Ruang
sampel biasanya dinotasikan dengan .
(Sudiarta, 2008 : 22)
Definisi 2.1.2 Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel. Titik sampel
biasanya dinotasikan dengan � , = , , , …
(Sudiarta, 2008 : 22 )
adalah ruang sampel dari suatu eksperimen �. Secara aksiomatik
Misalkan
peluang dari suatu kejadian � , dinotasikan dengan � � , yang merupakan peluang
hasil suatu eksperimen yang merupakan unsur dari �, memenuhi aksioma berikut:
untuk setiap peristiwa � .
Aksioma 1 � �
Aksioma 2 Jika � , � , � , … merupakan peristiwa-peristiwa yang saling lepas dari
ruang sampel
∑� � .
Aksioma 3 �
(yaitu � ∩ � = ∅, untuk
≠ ), maka � ⋃ �
=
=
2.2 Variabel Random
Pada subbab ini akan dibahas tentang variabel random. Pembahasan ini penting
karena suku bunga yang ditunjukkan pada bab III diasumsikan sebagai suatu variabel
random.
Secara intuisi variabel random dapat dipandang sebagai pemetaan (relasi)
antara yang suatu nilai (bilangan) dengan setiap kejadian yang mungkin dari suatu
himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan tersebut disebut dengan ruang sampel. Variabel
4
random biasanya disimbolkan dengan huruf besar , sedangkan nilainya disimbolkan
dengan huruf kecil .
Definisi 2.2.1 Variabel random adalah fungsi yang harganya merupakan bilangan
riil, dan ditentukan oleh setiap elemen dari suatu ruang sampel.
(Sudiarta, 2008 : 46 )
Variabel random ditentukan pada dasarnya oleh (1) ruang sampel kejadian,
yang dalam hal ini bertindak sebagai domain dari variabel random tersebut, (2)
bilangan-bilangan riil yang berkaitan dengan ruang sampel kejadian tadi, yang dalam
hal ini bertindak sebagai range dari variabel random tersebut.
Definisi 2.2.2 Suatu variabel random
ruang sampel
adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada
= , untuk setiap
sedemikian sehingga
(Sudiarta, 2008 : 46 )
∈
dan
∈ .
2.3 Fungsi Kepadatan Peluang
Suatu variabel random
ditentukan oleh fungsi kepadatan peluang (distribusi
probabilitas). Oleh karena itu, pada subbab ini akan dibahas tentang definisi dari fungsi
kepadatan peluang, baik untuk peubah diskrit maupun kontinu.
Nilai peluang
untuk setiap
∈
tidak harus berasal dari suatu eksperimen
emperik, tetapi dia dapat didenisikan sepanjang memenuhi aksioma peluang yang telah
dijabarkan pada subbab 2.1. Fungsi yang mendefinisikan peluang disebut fungsi
kepadatan peluang yang dibedakan untuk variabel diskrit dan kontinu.
Definisi 2.3.1 Jika himpunan semua nilai variabel random � yang mungkin berupa
himpunan terbilang � , � , � … , �� atau � , � , � , … maka � disebut dengan
variabel random diskrit. Fungsi � � = �[� = �], � = � , � , � … yang
memasangkan peluang pada masing-masing nilai � yang mungkin disebut dengan
fungsi densitas diskrit (discrete probability density function).
5
Untuk variabel random kontinu, jumlah diganti dengan luas daerah yang
berhubungan dengan integral tertentu. Syarat variabel random kontinu dirumuskan
dalam definisi berikut.
Definisi 2.3.2 Variabel random � disebut dengan variabel random kontinu jika ada
suatu fungsi � � yang disebut dengan fungsi densitas dari � sedemikian hingga
fungsi distribusinya dapat dinyatakan dengan
�
� � = ∫ � � ��
2.4 Nilai Harapan Variabel Random
Suatu variabel random
−∞
juga ditentukan oleh nilai harapan variabel
randomnya. Untuk itu, definisi dari nilai harapan variabel random penting untuk
diketahui.
Nilai harapan (mean) atau harapan matematika dari distribusi variabel random
adalah nilai rata-rata hitung dari distribusi tersebut. Nilai harapan ini biasanya
dinotasikan dengan �[ ] atau �. Nilai harapan atau rata-rata hitung dari variabel
random
dengan distribusi probabilitas
dirumuskan sebagai berikut.
a) Rata-Rata Hitung Distribusi Probabilitas Diskrit
�[ ] = � = ∑
b) Rata-Rata Hitung Distribusi Probabilitas Kontinu
�[ ] = � = ∫
∞
−∞
Beberapa sifat nilai harapan adalah sebagai berikut.
Bila suatu konstanta,
dan
merupakan fungsi yang nilai harapannya ada
maka
a) �[ ] =
b) �[
c) �[
] = �[
+
] = �[
d) Jika untuk semua
]
berlaku
] + �[
]
maka �[
]
�[
]
6
e) |�[
]|
|
�|
2.5 Variansi Variabel Random
Selain ditentukan oleh fungsi kepadatan peluang dan nilai harapannya, variabel
random
juga ditentukan oleh oleh variansinya. Pada subbab ini akan dibahas tentang
definisi dari variabel random.
Variansi dari distribusi probabilitas dapat dihitung jika nilai harapan sudah
diketahui. Variansi dirumuskan sebagai berikut.
Var[ ] = � = �[
] − �[ ]
Var[ ] = � = ∑
−� �
Definisi 2.5.1 Variansi dari suatu variabel random
Var[ ] = �[
dengan � = �[ ]
didefinisikan dengan
−� ]
2.6 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Untuk mengetahui mean dan variansi dari sebuah distribusi, salah satu caranya
adalah dengan menggunakan momen atau fungsi pembangkit momen dari
distribusinya. Momen dan fungsi pembangkit momen akan dibahas pada subbab ini.
Momen ialah salah satu ukuran statistika yang gunanya antara lain sebagai dasar
untuk merumuskan ukuran keruncingan dan lemiringan kurva (distribusi).
Definisi 2.6.1 Momen ke
random
di sekitar titik asal (momen tak terpusat) dari variabel
didefinisikan dengan
Momen ke
� ′ = �[
]
di sekitar mean (momen terpusat) dari variabel random
didefinisikan dengan
� = �[ − �
] = �[ − �]
7
Dari definisi 2.6.1 diperoleh,
Momen pertama di sekitar titik asal (momen tak terpusat pertama) merupakan
mean dan umumnya dinotasikan dengan � (walaupun dari definisi notasinya � ′ ).
Momen pertama di sekitar mean (momen terpusat pertama) berharga nol.
Momen kedua di sekitar mean menyatakan variansi.
Besarnya momen tertentu tidak secara tunggal menentukan distribusi suatu
variabel random. Namun ada karakteristik dari suatu variabel random yang secara unik
menentukan distribusinya. Harapan matematis yang disebut fungsi pembangkit momen
secara unik/tunggal menentukan distribusi variabel random. Fungsi pembangkit
momen dari variabel random
didefinisikan berikut ini.
Definisi 2.6.2 Fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random
,
merupakan fungsi dari , didefinisikan sebagai
= �[
�� ]
=
∫
∞
−∞
∞
∑
��
=
���
, jika
kontinu
, jika
diskrit
2.7 Distribusi Normal
Pada subbab ini akan dibahas tentang distribusi normal. Pembahasan ini
diperlukan karena distribusi yang ditunjukkan pada bab III mengikuti distribusi normal.
Oleh karena itu, pembahasan mengenai definisi dan sifat dari distribusi normal sangat
penting untuk diketahui.
Suatu variabel random
variansi � jika fungsi densitas
dengan −∞ <
dikatakan berdistribusi normal dengan mean � dan
berbentuk
; �; � =
�√ �
< ∞; −∞ < � < ∞; dan
Untuk menyatakan variabel random
~
exp [−
< � < ∞.
−�
]
�
berdistribusi normal, digunakan notasi
�, � .
8
suatu variabel random berdistribusi normal dengan � =
Definisi 2.7.1 Jika
dan � =
maka
dikatakan suatu variabel random yang berdistribusi normal
standar dimana fungsi densitas dari
�
=
√ �
dinyatakan dengan
exp [−
] ; −∞ <
< ∞.
Selain dengan melihat dari fungsi kepadatan peluangnya, cara lain untuk
mengetahui mean dan variansi dari sebuah distribusi adalah dengan menggunakan
fungsi pembangkit momen (FPM) dari distribusinya. Maka FPM dari distribusi normal
diberikan sebagai berikut.
= �[
=∫
∞
�� ]
=∫
−∞ �√
∞
−∞
�
��
exp [−
�√ �
− �
� − �+�
= exp [−
�
−�
]
�
exp [−
+
]∫
∞
− � +�
]
�
−∞ �√
�
exp [−
( − �+�
�
Perhatikan bahwa suku kedua ruas kanan persamaan di atas, yaitu
∫
∞
−∞ �√
�
exp [−
( − �+�
�
)
)
]
]
merupakan fungsi kepadatan peluang untuk variabel random berdistribusi normal
dengan mean � + �
dan variansi � , sehingga fungsi kepadatan peluang tersebut
bernilai 1, sehingga FPM dari distribusi normal dapat ditulis sebagai berikut,
Mean dan variansi dari
′
= exp [� +
�
].
dapat dihitung dengan menggunakan turunan pertama FPM
dan turunan keduan FPM
′
dan
′′
=
′′
sebagai berikut,
=
�+�
� +
,
�+�
.
9
Sehingga diperoleh mean dan variansi dari
dengan menggunakan
adalah
�[ ] =
=
dan
Var[ ] =
=
′
′′
�+� .
−[ ′
� +
,
,
dan
′′
=�
]
�+� .
=� +� −� =�
Teorema Limit Pusat Jika
′
,…,
adalah
−�
buah variabel random yang
bebas dan berdistribusi identik dengan
�[ ] = � ; Var[ ] = �
Maka variabel random
=
+
+
; = , , ,…,
+⋯+
secara pendekatan
berdistribusi normal dengan rata-rata � = � dan variansi � = �
(Baladram, 2012 : 9)
2.8 Teori Suku Bunga
Dalam investasi, hal dasar yang penting untuk diketahui adalah tentang teori
suku bunga. Pada subbab ini akan dibahas tentang teori suku bunga.
Jumlah awal uang (nilai pokok) yang diinvestasikan disebut pokok dan jumlah
yang diterima setelah periode waktu tertentu disebut nilai akumulasi. Selisih antara
nilai pokok dengan nilai akumulasi disebut bunga. Perbandingan antara bunga yang
dibayarkan dengan nilai pokok disebut suku bunga (interest rate).
Terdapat dua jenis pengukuran terhadap suku bunga yang biasa digunakan
dalam penghitungan investasi, yaitu sebagai berikut.
a) Suku bunga efektif
Suku bunga efektif adalah sejumlah uang yang akan dibayarkan pada setiap satuan
periode waktu untuk setiap unit modal yang dipinjam dimana bunga tersebut hanya
dibayarkan sekali, yaitu pada akhir periode pengukuran. Bunga efektif dinyatakan
dengan .
10
b) Suku bunga nominal
Menurut Hans U. Gerber (1997), suku bunga nominal adalah suku bunga yang
apabila bunganya dihitung sebanyak
kali dalam setahun, maka suku bunganya
adalah suku bunga pertahun dibagi dengan frekuensi
perhitungan bunga
pertahun. Bunga nominal dinyatakan sebagai
.
=
Terdapat dua jenis sistem pembungaan keuangan dalam investasi, yaitu sebagai
berikut.
a) Sistem pembungaan sederhana (simple interest)
Misalkan besarnya investasi adalah satu dan fungsi akumulasi sampai saat
dinotasikan dengan
, untuk
. Sifat-sifat yang dimiliki
adalah
sebagai berikut.
=
adalah fungsi naik
Jika suku bunga bersifat kontinu maka fungsi akumulasi,
akan
bersifat kontinu.
Misalkan besarnya investasi awal adalah sebesar
�
, yaitu nilai akumulasi pada saat
> . Didefinisikan
dari investasi awal sebesar . Maka
diperoleh
�
dan
= .
�
= .
Besarnya bunga yang diperoleh selama
investasi dinotasikan dengan � yaitu
� =�
−�
−
periode dari waktu melakukan
,
Suku bunga efektif adalah rasio besarnya bunga yang diperoleh terhadap
besarnya modal yang diinvestasikan pada awal periode. Misalkan
bunga efektif selama
adalah suku
periode sejak waktu melakukan investasi, maka
11
=
�
−� −
� −
=
�
�
;
−
.
Misalkan investasi sebesar satu sedemikian sehingga besarnya bunga
yang diperoleh selama tiap periode adalah konstan. Nilai akumulasi pada akhir dari
tiap periode adalah
+
+ , pada akhir periode kedua, nilai akumulasi menjadi
dan seterusnya. Sehingga, secara umum, nilai akumulasi selama
periode adalah
=
+
;
.
Bunga seperti ini disebut bunga sederhana. Jika merupakan suku bunga
sederhana dan
=
adalah suku bunga efektif untuk
−
−
−
+
=
−
+
+
periode, maka
−
=
b) Sistem pembungaan majemuk (compound interest)
+
−
.
Selain bunga sederhana, dikenal pula istilah bunga majemuk. Bunga
majemuk didefinisikan oleh Takashi Futami adalah suatu perhitungan bunga
dimana besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya
ditambah dengan bunga yang diperoleh. Nilai akumulasi dari investasi sebesar satu
pada akhir periode , untuk suku bunga majemuk adalah
=
+
;
.
Sebagai contoh, Misalkan seorang investor menginvestasikan pokok
sebesar satu selama satu periode pada suku bunga efektif , maka nilai akumulasi
dari nilai pokok tersebut pada akhir periode adalah
�
=
+
Jika investasi juga dilakukan pada suku bunga nominal,
dikonversikan
yang
-kali, maka nilai akumulasi dari nilai pokok tersebut pada akhir
periode adalah
sehingga
�
=
+
12
=
[
+
− ].
Mengukur laju perubahan nilai akumulasi pada waktu
juga penting
dilakukan. Laju perubahan nilai akumulasi pada waktu disebut force of interest.
Kemudian force of interest pada waktu
force interest adalah
�� = ln
disimbolkan dengan �� . Rumus untuk
+ .
13
BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab ini, pertama-tama akan diasumsikan bahwa suku bunga sebagai suatu
variable random. Kemudian akan diberikan sebuah model yang dapat digunakan untuk
mengestimasi suku bunga tersebut.
3.1 Suku Bunga Bervariasi yang Independen
Pertama, asumsikan bahwa suku bunga merupakan suatu variabel random, di
mana suku bunga pada satu periode dapat berubah-ubah dan tidak tergantung pada suku
bunga pada periode lainnya.
a) Ilustrasi awal
Pada bagian ini akan diberikan sebuah contoh sederhana sebagai pengantar ideide probabilistik dalam penggunaan model suku bunga stokastik. Pada contoh berikut
akan ditunjukkan bahwa rata-rata nilai akumulasi tidak harus sama dengan nilai
akumulasi dengan suku bunga rata-rata.
Misalkan sebuah perusahaan menawarkan suatu produk investasi, di mana
setiap polis memiliki jangka waktu 10 tahun. Pemegang polis (investor) membayar
premi pada waktu
waktu
=
=
dan akan menerima kembali hasil investasi tersebut pada
. Perusahaan akan menginvestasikan premi yang diterima dengan
menerapkan sistem pembungaan majemuk dengan laju yang konstan selama jangka
waktu polis tersebut. Suku bunga konstan tersebut tidak diketahui sekarang tapi akan
ditentukan segera setelah polis dikeluarkan. Misalkan kemungkinan suku bunga efektif
untuk dana tersebut adalah 7%, 8%, atau 9%.
Misalkan adalah rata-rata dari suku bunga efektif. Rata-rata dari suku bunga
pada contoh di atas adalah
= �[ ] =
[ .
+ .
+ .
]= .
Rata-rata nilai akumulasi dari investasi sebesar 1 diberikan oleh
�[
+
]=
[ .
+
.
+
.
]= .
14
Sedangkan nilai akumulasi dengan suku bunga rata-rata adalah
( + )
=
= .
.
Dengan demikian, pada ilustrasi ini rata-rata nilai akumulasi tidak sama dengan
nilai akumulasi menggunakan suku bunga rata-rata. Suku bunga
menghasilkan rata-rata nilai akumulasi sebesar .
dapat ditentukan dari
= .
+
yang akan
yang mana dapat diselesaikan dengan memberikan = .
atau = .
b) Nilai akumulasi
%.
Dalam ilustrasi di atas diasumsikan bahwa suku bunga yang belum pasti
tersebut adalah konstan selama periode sepuluh tahun. Namun sekarang asumsikan
bahwa suku bunga dapat bervariasi dari waktu ke waktu mengikuti suatu distribusi
probabilitas.
−
Misalkan suku bunga selama periode ke- , yaitu dari waktu
dinotasikan dengan
�
sampai ,
= , , … , . Nilai akumulasi dari sebuah investasi
untuk
sebesar 1 pada akhir periode ke- dinyatakan sebagai berikut:
=
+
Kemudian asumsikan bahwa
�
+
…
=∏
+
�=
+
�
(3.1)
berdistribusi bebas dan identik dengan rata-rata
. Rata-rata nilai akumulasi dinyatakan sebagai berikut:
�[
] = � [∏
�=
+
�
]
= ∏ �[ + � ]
�=
=( + )
(3.2)
Selanjutnya misalkan bahwa variansi dari nilai akumulasi adalah sebagai berikut:
Var[
] = �[
= �[
] − {�[
]−( + )
]}
15
Asumsikan bahwa
dapat dihitung.
�
memiliki variansi konstan
. Kemudian momen kedua dari
] = � [∏
�[
�=
+
]
�
= ∏ �[ + � ]
�=
= ∏ �[ +
�=
�
+
�
]
= ∏(�[ ] + �[ � ] + �[
�=
�
])
= ∏ �[ ] + �[ � ] + {�[ � ]} + Var[ � ]
=
�=
+
+
+
Hasil tersebut diperoleh berdasarkan definisi variansi suatu variabel random yaitu
Var[ � ] = �[
atau
�
= �[
yang memberikan
�[
�
] − {�[ � ]}
]−
�
]=
+
+
+
+
Dengan demikian, variansi dari nilai akumulasi dapat dinyatakan sebagai
berikut.
Var[
]=
Atau dapat dijabarkan sebagai berikut.
dengan
=
+
+
.
Var[
−( + )
]=( + ) −( + )
(3.3)
16
3.2 Distribusi Lognormal
Pembahasan distribusi lognormal diperlukan karena akan ditunjukkan pada
subbab 3.3 bahwa suku bunga yang bervariasi dari waktu ke waktu mengikuti distribusi
lognormal.
Distribusi lognormal dalam bentuk sederhana adalah fungsi densitas dari
sebuah variabel random yang logaritmanya mengikuti hukum distribusi normal.
Adapun definisi dari distribusi lognormal adalah sebagai berikut:
Definisi 3.1.1 Misalkan sebuah variabel random
mengikuti distribusi normal
dengan rata-rata � dan variansi � . Maka variabel random
= ln
mengikuti
distribusi lognormal dengan rata-rata � dan variansi � . Untuk menyatakan
berdistribusi lognormal dengan rata-rata � dan variansi � digunakan notasi
~
�, � .
(Norstad, 2011 : 1)
Fungsi densitas dari variabel random ~
=
−
√ ��
= ;
�, �
�2
didefinisikan sebagai berikut.
l g �−� 2
lainnya.
, >
Kemudian akan ditentukan parameter dari besaran-besaran yang berkaitan
dengan distribusi lognormal, yaitu rata-rata dan variansi. Jika
~ �, � , kemudian misalkan
misalkan � = ;
�[ ] = �[
�]
∞
= ∫ exp
−∞
=∫
∞
−∞ √
=∫
∞
−∞ √
��
��
�
=
√ ��
exp
exp
= exp ( � ) ∫
∞
−
−∞ √
dimana
exp
� −
�
~ �, � . Pertama
−
�
−�
�
��
berdistribusi
berdistribusi
+�
exp −
−�
�
17
�[
] = �[
= exp ( � )
�]
∞
= ∫ exp
−∞
=∫
∞
−∞ √
=∫
∞
−∞ √
��
��
= exp �
Var[ ] = �[
] − �[ ]
= exp �
exp
−
exp
∫
= exp �
= exp �
√ ��
∞
−∞ √
�]
[exp �
− ]
∞
= ∫ exp
√ ��
−∞
∞
= ∫ exp � +
−∞
∞
= exp � ∫ exp
�]
��
= exp (� + � )
∞
= ∫ exp
−∞
∞
= ∫ exp
−∞
√ ��
+ �
∞
= exp � ∫ exp
−∞
=
√ ��
= exp � exp ( � )
] = �[
− �
�
exp
−∞
�[
� −
�
−
�
+ �
− �
�
exp −
− (exp ( � ))
Untuk kasus umum, gunakan transformasi
�[ ] = �[
exp
− �,
−
exp
√ ��
exp
−�
�
−
�
exp
−
√ ��
exp
√ ��
=
−
�
−�
�
−
�
exp −
�
18
∞
= exp � ∫ exp
√ ��
−∞
= exp � exp �
exp −
�
= exp � + �
Maka,
Var[ ] = �[
] − �[ ]
= exp � + �
= exp � + �
= exp � + �
− (exp (� + � ))
− exp � + �
[exp �
− ]
Jadi, rata-rata dan variansi dari distribusi lognormal dengan parameter � dan � adalah
rata − rata = exp (� + � )
dan
variansi = exp � + �
3.3 Model Lognormal
[exp �
− ]
Pertama-tama perhatikan rumus (3.2) dan (3.3) pada subbab 3.1. Secara umum,
analisis teoritis dari fungsi distribusi untuk
cukup rumit. Namun, terdapat satu
kasus khusus untuk analisis fungsi distribusi
yang lebih sederhana.
Perhatikan kembali persamaan (3.1) pada subbab 3.1. Dengan mengambil nilai
logaritma dari kedua ruas pada persamaan tersebut maka diperoleh,
ln
Misalkan variabel random ln
= ∑ ln
+
=
�
+
�
.
(3.4)
berdistribusi normal dengan mean � dan
variansi � . Ruas kanan pada persamaan (3.4) merupakan penjumlahan dari variabel
random berdistribusi normal sebanyak
kali dengan mean � dan variansi � .
Berdasarkan Teorema Limit Pusat yang telah dijabarkan pada bab II diperoleh,
dan
�[ln
]= �
(3.5)
Var[ln
]= �
(3.6)
19
Karena ln
+
�
berdistribusi normal, maka
sendiri mengikuti distribusi
lognormal. Sehingga kembali berdasarkan Teorema Limit Pusat, rata-rata dan variansi
dari
adalah
dan
]=
Var[
�+ �2 /
]=
�[
Rumus rata-rata dan variansi untuk
�+ �2
(
�2
(3.7)
− ).
(3.8)
di atas yaitu rumus (3.7) dan (3.8)
cukup rumit untuk digunakan. Oleh karena itu, akan diambil nilai logaritma dari
dalam perhitungan, sehingga memungkinkan untuk menggunakan distribusi normal
dan menggunakan rumus rata-rata dan variansi yang lebih sederhana yaitu rumus (3.5)
+
dan (3.7). Bahkan ketika
�
tidak mengikuti distribusi lognormal, masih
memungkinkan untuk mengambil nilai logaritmanya dan menggunakan distribusi
normal untuk variabel random berukuran . Ini adalah aplikasi dari Teorema Limit
Pusat. Teorema ini membenarkan penggunaan rumus (3.5) dan (3.6) sebagai estimasi
untuk variabel random berukuran
terlepas dari bagaimana
+
�
didistribusikan.
Kemudian dapat dibuat estimasi probabilitas dan menghasilkan selang kepercayaan
untuk berbagai hasil. Hal ini akan digambarkan dalam Contoh 3.4.1 pada bab ini.
3.4 Soal Aplikasi
Contoh 3.4.1
Seseorang yang berusia 35 tahun ingin menginvestasikan uangnya sebesar Rp
.
.
untuk persiapan bekal masa pensiunnya pada usia 65. Uang yang
diinvestasikan tersebut akan mendapatkan suku bunga efektif dengan sistem
pembungaan majemuk serta probabilitas sebagai berikut.
�
Probabilitas
0.090
0.1
0.070
0.2
0.055
0.4
0.050
0.2
0.040
0.1
20
Suku bunga untuk suatu tahun tidak bergantung pada suku bunga di tahun-tahun
lainnya. Gunakan Teorema Limit Pusat untuk menentukan jumlah uang dari investor
ini yang akan terakumulasi pada usia 65 dengan interval kepercayaan 95%.
Penyelesaian:
Tabel 1 memuat perhitungan yang diperlukan untuk menghitung nilai
akumulasi pada contoh 3.4.1.
Tabel 1. Perhitungan untuk Contoh 3.4.1
+
]
0.1
1.090
0.2
1.070
0.067659
0.004578
0.4
1.055
0.053541
0.002867
0.2
1.050
0.048790
0.002380
0.1
1.040
0.039221
0.001538
Nilai rata-rata
1.061
0.059078
0.003758
Rata-rata dari ln
Variansi dari ln
Diketahui
=
+
+
�
0.086178
+
�
0.007427
adalah
�
�
�
+
[ln
ln
Probabilitas
adalah
� = .
�= .
−
.
. Berdasarkan rumus (3.6) diperoleh
�[ln
]=
�=
Var[ln
]=
� =
dan berdasarkan rumus (3.7) diperoleh
.
= .
= .
.
= .
Nilai yang dapat dicapai 95% dari waktu terjadi pada persentil ke-5. Dalam distribusi
normal standar diperoleh
� − .
= .
Misalkan � adalah nilai akumulasi tiap rupiah yang diinvestasikan,
=
− � ln � − .
=
�
√ .
Dengan menyelesaikan persamaan ini, diperoleh
=− .
21
atau
ln � = .
−
.
.
= .
�= .
tiap rupiah yang diinvestasikan. Jadi, jumlah uang yang terakumulasi pada usia 65
tahun adalah
,
dengan interval kepercayaan 95%.
,
� = ��. � �, �� , �
22
BAB IV
PENUTUP
4.1 Simpulan
Dari pembahasan pada bab III, dapat disimpulkan bahwa suku bunga bervariasi
yang independen merupakan suatu variabel random, di mana suku bunga pada satu
periode dapat berubah-ubah dan tidak tergantung pada suku bunga pada periode
lainnya. Suku bunga tersebut dapat diasumusikan mengikuti distribusi lognormal.
Distribusi lognormal dalam bentuk sederhana adalah fungsi densitas dari
sebuah variabel random yang logaritmanya mengikuti hukum distribusi normal. Fungsi
densitas dari variabel random yang mengikuti distribusi lognormal didefinisikan
sebagai berikut.
=
√ ��
= ;
−
�2
lainnya.
l g �−� 2
, >
Sedangkan rata-rata dan variansi dari distribusi lognormal dengan parameter � dan �
adalah
rata − rata = exp (� + � )
dan
variansi = exp � + �
[exp �
− ].
Misalkan suku bunga selama periode ke- yaitu dari periode ( - ) sampai
dinotasikan dengan
�
= , , , . . . , . Nilai akumulasi dari sebuah investasi
untuk
sebesar 1 pada akhir periode ke- dinyatakan sebagai berikut:
…
+
+
�
+
+
= (1 it ) . Dengan mengambil nilai logaritma dari persamaan
n
t 1
tersebut diperoleh ln
ln
=
= ln(1 it ) . Dengan mengasumsikan variabel random
n
t 1
berdistribusi normal, maka
mengikuti distribusi lognormal. Namun
karena rumus-rumus dalam distribusi lognormal cukup rumit, maka dalam menghitung
23
nilai akumulasi akan digunakan nilai logaritma dari
dan kemudian menggunakan
rumus-rumus dari distribusi normal.
4.2 Saran
Dalam makalah ini, penulis menggunakan model lognormal dalam
memprediksi pengembalian hasil suatu investasi dengan suku bunga yang berubahubah setiap waktu dengan asumsi bahwa suku bunga tersebut independen. Bagi
pembaca yang berminat dan tertarik dengan topik ini, dapat mencoba untuk membahas
tentang model-model lainnya untuk mengestimasi suku bunga yang sifatnya berubahubah dengan asumsi suku bunga yang dependen.
24
KAJIAN PUSTAKA
Kellison, Stephen G. 2009. The Theory of Interest. Singapore: McGraw-Hill Education.
Garret, Stephen. 2013. An Introduction to the Mathematics of Finance. (tidak
diterbitkan). Institute and Faculty of Actuaries.
Norstad, Jhon. Probability Review. (Online), (http://www.norstad.org/nance, diakses
17 Mei 2014).
Sudiarta, Gusti Putu. 2008. Statistika Matematika 1. (tidak diterbitkan). UNDIKSHA
Singaraja.
Baladram, M. Samy. 2012. Statistika Matematika. (tidak diterbitkan).
APLIKASI MODEL LOGNORMAL DALAM MEMPREDIKSI
PENGEMBALIAN HASIL SUATU INVESTASI
OLEH:
GUSTI AYU KUSUMANINGRUM
1113011084
DOSEN PEMBIMBING
I GUSTI NYOMAN YUDI HARTAWAN, M.Sc.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
2014
Aplikasi Model Lognormal dalam Memprediksi Pengembalian Hasil
Suatu Investasi
Oleh:
Gusti Ayu Kusumaningrum
(1113011084)
Jurusan Pendidikan Matematika
ABSTRAK
Investasi oleh masyarakat lebih banyak dilakukan dengan tujuan mendapatkan
keuntungan. Keuntungan yang didapatkan dari berinvestasi disebut dengan bunga.
Besar kecilnya bunga yang diperoleh tergantung dari suku bunga yang diberikan. Pada
kondisi yang sebenarnya, suku bunga dapat berubah pada selang waktu tertentu. Suku
bunga yang bervariasi dari waktu ke waktu dapat diasmusikan mengikuti suatu
distribusi probabilitas. Salah satu distribusi penting yang dapat digunakan untuk
mengestimasi suku bunga berdasarkan sifatnya yang berubah-ubah dan independen
adalah distribusi lognormal. Distribusi lognormal dalam bentuk sederhana adalah
fungsi densitas dari sebuah variabel random yang logaritmanya mengikuti hukum
distribusi normal. Misalkan suku bunga selama periode ke- yaitu dari periode ( - )
sampai dinotasikan dengan � untuk = , , , . . . , . Nilai akumulasi dari sebuah
investasi sebesar 1 pada akhir periode ke- dinyatakan sebagai berikut:
=
+
+
…
+
= (1 it ) . Dengan mengambil nilai logaritma dari
n
t 1
persamaan tersebut diperoleh ln
= ln(1 it ) . Dengan mengasumsikan variabel
n
t 1
random ln + � berdistribusi normal, maka
mengikuti distribusi lognormal.
Namun karena rumus-rumus dalam distribusi lognormal cukup rumit, maka dalam
menghitung nilai akumulasi akan digunakan nilai logaritma dari
dan kemudian
menggunakan rumus-rumus dari distribusi normal.
Kata Kunci: suku bunga bervariasi yang independen, nilai akumulasi, investasi,
distribusi normal, distribusi lognormal
KATA PENGANTAR
Rasa syukur penulis haturkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmatNyalah penulis dapat menyelesaikan sebuah makalah seminar matematika di bidang
Statistika yang berjudul: ”Aplikasi Model Lognormal dalam Memprediksi
Pengembalian Hasil Suatu Investasi”.
Dalam kesempatan yang berbahagia ini, tak lupa penulis mengucapkan
terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Prof. Dr. I Made Ardana, M.Pd.
selaku koordinator mata kuliah seminar matematika, Bapak I Gusti Nyoman Yudi
Hartawan, M.Sc. selaku dosen pembimbing yang telah membimbing penulis sehingga
penulis dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya, Bapak Prof. Dr. I Gusti
Putu Suharta, M.Si selaku dosen penguji seminar ini yang telah memberikan masukan
untuk perbaikan makalah ini, keluarga dan rekan-rekan penulis yang senantiasa
memberi dukungan sehingga penulis terus termotivasi untuk melangkah lebih maju.
Penulis begitu menyadari bahwa makalah seminar ini masih jauh dari
sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
penulis harapkan demi kemajuan penulis untuk ke depannya. Apabila terdapat hal yang
kurang berkenan terhadap isi makalah ini penulis memohon maaf yang sebesarbesarnya. Atas perhatian pembaca penulis ucapkan terima kasih.
Singaraja,
Juni 2014
Penulis
i
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
ABSTRAK
KATA PENGANTAR ........................................................................................... i
DAFTAR ISI ........................................................................................................ ii
DAFTAR SIMBOL ............................................................................................. iv
DAFTAR TABEL ................................................................................................ v
BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................... 2
1.3 Tujuan .......................................................................................................... 2
1.4 Manfaat ........................................................................................................ 2
1.5 Batasan Masalah .......................................................................................... 2
BAB II. KAJIAN PUSTAKA .............................................................................. 1
2.1 Teori Probabilitas ........................................................................................ 3
2.2 Variabel Random ......................................................................................... 4
2.3 Fungsi Kepadatan Peluang .......................................................................... 5
2.4 Nilai Harapan Variabel Random ................................................................. 5
2.5 Variansi Variabel Random .......................................................................... 6
2.6 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen..................................................... 7
2.7 Distribusi Normal ........................................................................................ 7
2.8 Teori Suku Bunga ...................................................................................... 10
BAB III. PEMBAHASAN ................................................................................. 11
3.1 Suku Bunga Bervariasi yang Independen .................................................. 11
3.2 Distribusi Lognormal ................................................................................. 17
3.3 Model Lognormal ...................................................................................... 19
3.4 Soal Aplikasi.............................................................................................. 20
ii
BAB IV. PENUTUP ........................................................................................... 23
4.1 Kesimpulan ................................................................................................ 23
4.2 Saran .......................................................................................................... 24
DAFTAR PUSTAKA
iii
DAFTAR SIMBOL
: nilai akumulasi dengan investasi sebesar 1 sampai saat
waktu melakukan investasi, untuk
�
= , , ,…,
: nilai akumulasi dengan investasi sebesar
waktu melakukan investasi, untuk
: suku bunga efektif
sampai saat
= , , , . . , dan
: suku bunga nominal yang dikonversikan
periode sejak
periode sejak
>
-kali dalam setahun
: rata-rata suku bunga efektif
: suku bunga efektif selama
�
��
periode sejak waktu melakukan investasi
: suku bunga selama periode ke- , yaitu dari waktu
: force of interest
−
sampai
iv
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Perhitungan untuk Contoh 3.4.1.................................................................. 21
v
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring dengan perkembangan zaman saat ini, investasi bukanlah hal yang tabu
bagi kita. Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lain
yang dilakukan saat ini dengan tujuan agar dapat memperoleh keuntungan di masa
mendatang atau bertujuan untuk meningkatkan kesejahteraan investor (Kasmir, 2001).
Terdapat banyak produk-produk investasi yang ditawarkan kepada masyarakat.
Beberapa contoh produk investasi yang umum digunakan diantaranya tabungan,
deposito, saham dan lain sebagainya. Investasi oleh masyarakat lebih banyak dilakukan
dengan tujuan mendapatkan keuntungan. Keuntungan yang didapatkan dari
berinvestasi disebut dengan bunga. Besar kecilnya bunga yang diperoleh tergantung
dari suku bunga yang diberikan.
Pada perkuliahan, suku bunga yang lebih sering digunakan dalam menghitung
pengembalian hasil suatu investasi adalah suku bunga konstan (fix rate interest). Hal
tersebut tentunya tidak sesuai dengan kondisi yang sebenarnya karena suku bunga
dapat berubah pada selang waktu tertentu. Terdapat dua asumsi untuk suku bunga yang
bervariasi ini, yaitu suku bunga yang independen dan dependen. Dalam pasar finansial,
nilai suku bunga ini tidak dapat diketahui secara pasti, namun estimasi terhadap suku
bunga masih dapat dilakukan. Oleh karena itu, diperlukan suatu model yang
memungkinkan untuk mengestimasi suku bunga berdasarkan sifatnya yang selalu
berubah-ubah tersebut.
Dalam penerapan statistika digunakan berbagai metode statistika sesuai dengan
kebutuhan. Salah satu metode statistika yang digunakan adalah distribusi peluang.
Terdapat beberapa distribusi peluang khusus yang penting baik distribusi peluang
dengan variabel random diskrit maupun distribusi peluang dengan variabel random
kontinu. Salah satu distribusi peluang dengan variabel random kontinu adalah distribusi
normal.
1
Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang sering digunakan.
Terdapat satu distribusi peluang dengan variabel random kontinu yang mengikuti
distribusi normal yaitu distribusi lognormal. Salah satu aplikasi dari distribusi
lognormal adalah untuk memprediksi pengembalian hasil investasi dimana suku bunga
pada pasar keuangan bervariasi dan independen. Aplikasi tersebut akan didiskusikan
dalam makalah ini.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang dapat dirumuskan
adalah sebagai berikut.
1. Apakah yang dimaksud dengan suku bunga bervariasi yang independen?
2. Bagaimana rumus rata-rata dan variansi jika suatu variabel random mengikuti
distribusi lognormal?
3. Bagaimana cara memprediksi pengembalian hasil investasi dengan suku bunga
bervariasi yang independen dengan menggunakan model lognormal?
1.3 Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui tentang suku bunga bervariasi yang independen.
2. Untuk mengetahui rumus rata-rata dan variansi jika suatu variabel random
mengikuti distribusi lognormal.
3. Untuk mengetahui cara memprediksi pengembalian hasil investasi dengan suku
bunga bervariasi yang independen dengan menggunakan model lognormal.
1.4 Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan makalah ini adalah untuk memberikan informasi kepada
pembaca tentang aplikasi dari matematika khususnya ilmu statistika dalam
memprediksi pengembalian hasil suatu investasi.
1.5 Batasan Masalah
Dalam makalah ini hanya membahas tentang investasi yang menggunakan
suku bunga efektif dengan sistem pembungaan majemuk. Di samping itu, dalam
makalah ini menggunakan suku bunga bervariasi yang independen.
2
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori dasar yang digunakan pada bab
III. Bab ini membahas teori probabilitas, variabel random, fungsi kepadatan peluang,
nilai harapan variabel random, variansi variabel random, momen dan fungsi
pembangkit momen, distribusi normal, serta membahas tentang teori suku bunga.
2.1 Teori Probabilitas
Subbab ini membahas tentang teori probabilitas. Pembahasan ini dilakukan
karena fungsi
yang didefinisikan pada subbab berikutnya berkaitan dengan
probabilitas suatu kejadian.
Probabilitas (peluang) menggambarkan tingkat keyakinan seseorang terhadap
sesuatu yang akan terjadi. Namun keyakinan yang dimaksud didalam probabilitas,
bukanlah keyakinan berupa penilaian (judgement), misalnya keyakinan tentang “benar
atau salah”nya ucapan seseorang, tetapi lebih kepada keyakinan tentang kemungkinan
terjadinya suatu hasil dari suatu percobaan yang bersifat konseptual. Secara umum
dapat disimpulkan bahwa probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk
menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random.
Misalkan � adalah suatu kejadian. Karena probabilitas merupakan suatu nilai,
maka probabilitas kejadian � memiliki batas-batas, yaitu:
a) Jika � � = , disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian � tidak pernah
terjadi.
b) Jika � � = ,disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian � sudah pasti terjadi
c) Jika
< � � < , disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian � bisa atau
tidak bisa terjadi
Ada tiga komponen penting dari probabilitas yaitu: eksperimen/percobaan,
ruang sampel dan peristiwa (event). Definisi dari istilah-istilah tersebut diberikan
berikut ini.
3
Definisi 2.1.1 Eksperimen � adalah proses untuk memperoleh kejadian-kejadian
(Sudiarta, 2008 : 22 )
Suatu eksperimen biasanya menghasilkan lebih dari satu hasil. Hasil yang tidak
bisa diuraikan menjadi hasil yang lebih kecil disebut titik sampel.
Definisi 2.1.3 Ruang sampel adalah himpunan hasil yang mungkin terjadi. Ruang
sampel biasanya dinotasikan dengan .
(Sudiarta, 2008 : 22)
Definisi 2.1.2 Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel. Titik sampel
biasanya dinotasikan dengan � , = , , , …
(Sudiarta, 2008 : 22 )
adalah ruang sampel dari suatu eksperimen �. Secara aksiomatik
Misalkan
peluang dari suatu kejadian � , dinotasikan dengan � � , yang merupakan peluang
hasil suatu eksperimen yang merupakan unsur dari �, memenuhi aksioma berikut:
untuk setiap peristiwa � .
Aksioma 1 � �
Aksioma 2 Jika � , � , � , … merupakan peristiwa-peristiwa yang saling lepas dari
ruang sampel
∑� � .
Aksioma 3 �
(yaitu � ∩ � = ∅, untuk
≠ ), maka � ⋃ �
=
=
2.2 Variabel Random
Pada subbab ini akan dibahas tentang variabel random. Pembahasan ini penting
karena suku bunga yang ditunjukkan pada bab III diasumsikan sebagai suatu variabel
random.
Secara intuisi variabel random dapat dipandang sebagai pemetaan (relasi)
antara yang suatu nilai (bilangan) dengan setiap kejadian yang mungkin dari suatu
himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan tersebut disebut dengan ruang sampel. Variabel
4
random biasanya disimbolkan dengan huruf besar , sedangkan nilainya disimbolkan
dengan huruf kecil .
Definisi 2.2.1 Variabel random adalah fungsi yang harganya merupakan bilangan
riil, dan ditentukan oleh setiap elemen dari suatu ruang sampel.
(Sudiarta, 2008 : 46 )
Variabel random ditentukan pada dasarnya oleh (1) ruang sampel kejadian,
yang dalam hal ini bertindak sebagai domain dari variabel random tersebut, (2)
bilangan-bilangan riil yang berkaitan dengan ruang sampel kejadian tadi, yang dalam
hal ini bertindak sebagai range dari variabel random tersebut.
Definisi 2.2.2 Suatu variabel random
ruang sampel
adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada
= , untuk setiap
sedemikian sehingga
(Sudiarta, 2008 : 46 )
∈
dan
∈ .
2.3 Fungsi Kepadatan Peluang
Suatu variabel random
ditentukan oleh fungsi kepadatan peluang (distribusi
probabilitas). Oleh karena itu, pada subbab ini akan dibahas tentang definisi dari fungsi
kepadatan peluang, baik untuk peubah diskrit maupun kontinu.
Nilai peluang
untuk setiap
∈
tidak harus berasal dari suatu eksperimen
emperik, tetapi dia dapat didenisikan sepanjang memenuhi aksioma peluang yang telah
dijabarkan pada subbab 2.1. Fungsi yang mendefinisikan peluang disebut fungsi
kepadatan peluang yang dibedakan untuk variabel diskrit dan kontinu.
Definisi 2.3.1 Jika himpunan semua nilai variabel random � yang mungkin berupa
himpunan terbilang � , � , � … , �� atau � , � , � , … maka � disebut dengan
variabel random diskrit. Fungsi � � = �[� = �], � = � , � , � … yang
memasangkan peluang pada masing-masing nilai � yang mungkin disebut dengan
fungsi densitas diskrit (discrete probability density function).
5
Untuk variabel random kontinu, jumlah diganti dengan luas daerah yang
berhubungan dengan integral tertentu. Syarat variabel random kontinu dirumuskan
dalam definisi berikut.
Definisi 2.3.2 Variabel random � disebut dengan variabel random kontinu jika ada
suatu fungsi � � yang disebut dengan fungsi densitas dari � sedemikian hingga
fungsi distribusinya dapat dinyatakan dengan
�
� � = ∫ � � ��
2.4 Nilai Harapan Variabel Random
Suatu variabel random
−∞
juga ditentukan oleh nilai harapan variabel
randomnya. Untuk itu, definisi dari nilai harapan variabel random penting untuk
diketahui.
Nilai harapan (mean) atau harapan matematika dari distribusi variabel random
adalah nilai rata-rata hitung dari distribusi tersebut. Nilai harapan ini biasanya
dinotasikan dengan �[ ] atau �. Nilai harapan atau rata-rata hitung dari variabel
random
dengan distribusi probabilitas
dirumuskan sebagai berikut.
a) Rata-Rata Hitung Distribusi Probabilitas Diskrit
�[ ] = � = ∑
b) Rata-Rata Hitung Distribusi Probabilitas Kontinu
�[ ] = � = ∫
∞
−∞
Beberapa sifat nilai harapan adalah sebagai berikut.
Bila suatu konstanta,
dan
merupakan fungsi yang nilai harapannya ada
maka
a) �[ ] =
b) �[
c) �[
] = �[
+
] = �[
d) Jika untuk semua
]
berlaku
] + �[
]
maka �[
]
�[
]
6
e) |�[
]|
|
�|
2.5 Variansi Variabel Random
Selain ditentukan oleh fungsi kepadatan peluang dan nilai harapannya, variabel
random
juga ditentukan oleh oleh variansinya. Pada subbab ini akan dibahas tentang
definisi dari variabel random.
Variansi dari distribusi probabilitas dapat dihitung jika nilai harapan sudah
diketahui. Variansi dirumuskan sebagai berikut.
Var[ ] = � = �[
] − �[ ]
Var[ ] = � = ∑
−� �
Definisi 2.5.1 Variansi dari suatu variabel random
Var[ ] = �[
dengan � = �[ ]
didefinisikan dengan
−� ]
2.6 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Untuk mengetahui mean dan variansi dari sebuah distribusi, salah satu caranya
adalah dengan menggunakan momen atau fungsi pembangkit momen dari
distribusinya. Momen dan fungsi pembangkit momen akan dibahas pada subbab ini.
Momen ialah salah satu ukuran statistika yang gunanya antara lain sebagai dasar
untuk merumuskan ukuran keruncingan dan lemiringan kurva (distribusi).
Definisi 2.6.1 Momen ke
random
di sekitar titik asal (momen tak terpusat) dari variabel
didefinisikan dengan
Momen ke
� ′ = �[
]
di sekitar mean (momen terpusat) dari variabel random
didefinisikan dengan
� = �[ − �
] = �[ − �]
7
Dari definisi 2.6.1 diperoleh,
Momen pertama di sekitar titik asal (momen tak terpusat pertama) merupakan
mean dan umumnya dinotasikan dengan � (walaupun dari definisi notasinya � ′ ).
Momen pertama di sekitar mean (momen terpusat pertama) berharga nol.
Momen kedua di sekitar mean menyatakan variansi.
Besarnya momen tertentu tidak secara tunggal menentukan distribusi suatu
variabel random. Namun ada karakteristik dari suatu variabel random yang secara unik
menentukan distribusinya. Harapan matematis yang disebut fungsi pembangkit momen
secara unik/tunggal menentukan distribusi variabel random. Fungsi pembangkit
momen dari variabel random
didefinisikan berikut ini.
Definisi 2.6.2 Fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random
,
merupakan fungsi dari , didefinisikan sebagai
= �[
�� ]
=
∫
∞
−∞
∞
∑
��
=
���
, jika
kontinu
, jika
diskrit
2.7 Distribusi Normal
Pada subbab ini akan dibahas tentang distribusi normal. Pembahasan ini
diperlukan karena distribusi yang ditunjukkan pada bab III mengikuti distribusi normal.
Oleh karena itu, pembahasan mengenai definisi dan sifat dari distribusi normal sangat
penting untuk diketahui.
Suatu variabel random
variansi � jika fungsi densitas
dengan −∞ <
dikatakan berdistribusi normal dengan mean � dan
berbentuk
; �; � =
�√ �
< ∞; −∞ < � < ∞; dan
Untuk menyatakan variabel random
~
exp [−
< � < ∞.
−�
]
�
berdistribusi normal, digunakan notasi
�, � .
8
suatu variabel random berdistribusi normal dengan � =
Definisi 2.7.1 Jika
dan � =
maka
dikatakan suatu variabel random yang berdistribusi normal
standar dimana fungsi densitas dari
�
=
√ �
dinyatakan dengan
exp [−
] ; −∞ <
< ∞.
Selain dengan melihat dari fungsi kepadatan peluangnya, cara lain untuk
mengetahui mean dan variansi dari sebuah distribusi adalah dengan menggunakan
fungsi pembangkit momen (FPM) dari distribusinya. Maka FPM dari distribusi normal
diberikan sebagai berikut.
= �[
=∫
∞
�� ]
=∫
−∞ �√
∞
−∞
�
��
exp [−
�√ �
− �
� − �+�
= exp [−
�
−�
]
�
exp [−
+
]∫
∞
− � +�
]
�
−∞ �√
�
exp [−
( − �+�
�
Perhatikan bahwa suku kedua ruas kanan persamaan di atas, yaitu
∫
∞
−∞ �√
�
exp [−
( − �+�
�
)
)
]
]
merupakan fungsi kepadatan peluang untuk variabel random berdistribusi normal
dengan mean � + �
dan variansi � , sehingga fungsi kepadatan peluang tersebut
bernilai 1, sehingga FPM dari distribusi normal dapat ditulis sebagai berikut,
Mean dan variansi dari
′
= exp [� +
�
].
dapat dihitung dengan menggunakan turunan pertama FPM
dan turunan keduan FPM
′
dan
′′
=
′′
sebagai berikut,
=
�+�
� +
,
�+�
.
9
Sehingga diperoleh mean dan variansi dari
dengan menggunakan
adalah
�[ ] =
=
dan
Var[ ] =
=
′
′′
�+� .
−[ ′
� +
,
,
dan
′′
=�
]
�+� .
=� +� −� =�
Teorema Limit Pusat Jika
′
,…,
adalah
−�
buah variabel random yang
bebas dan berdistribusi identik dengan
�[ ] = � ; Var[ ] = �
Maka variabel random
=
+
+
; = , , ,…,
+⋯+
secara pendekatan
berdistribusi normal dengan rata-rata � = � dan variansi � = �
(Baladram, 2012 : 9)
2.8 Teori Suku Bunga
Dalam investasi, hal dasar yang penting untuk diketahui adalah tentang teori
suku bunga. Pada subbab ini akan dibahas tentang teori suku bunga.
Jumlah awal uang (nilai pokok) yang diinvestasikan disebut pokok dan jumlah
yang diterima setelah periode waktu tertentu disebut nilai akumulasi. Selisih antara
nilai pokok dengan nilai akumulasi disebut bunga. Perbandingan antara bunga yang
dibayarkan dengan nilai pokok disebut suku bunga (interest rate).
Terdapat dua jenis pengukuran terhadap suku bunga yang biasa digunakan
dalam penghitungan investasi, yaitu sebagai berikut.
a) Suku bunga efektif
Suku bunga efektif adalah sejumlah uang yang akan dibayarkan pada setiap satuan
periode waktu untuk setiap unit modal yang dipinjam dimana bunga tersebut hanya
dibayarkan sekali, yaitu pada akhir periode pengukuran. Bunga efektif dinyatakan
dengan .
10
b) Suku bunga nominal
Menurut Hans U. Gerber (1997), suku bunga nominal adalah suku bunga yang
apabila bunganya dihitung sebanyak
kali dalam setahun, maka suku bunganya
adalah suku bunga pertahun dibagi dengan frekuensi
perhitungan bunga
pertahun. Bunga nominal dinyatakan sebagai
.
=
Terdapat dua jenis sistem pembungaan keuangan dalam investasi, yaitu sebagai
berikut.
a) Sistem pembungaan sederhana (simple interest)
Misalkan besarnya investasi adalah satu dan fungsi akumulasi sampai saat
dinotasikan dengan
, untuk
. Sifat-sifat yang dimiliki
adalah
sebagai berikut.
=
adalah fungsi naik
Jika suku bunga bersifat kontinu maka fungsi akumulasi,
akan
bersifat kontinu.
Misalkan besarnya investasi awal adalah sebesar
�
, yaitu nilai akumulasi pada saat
> . Didefinisikan
dari investasi awal sebesar . Maka
diperoleh
�
dan
= .
�
= .
Besarnya bunga yang diperoleh selama
investasi dinotasikan dengan � yaitu
� =�
−�
−
periode dari waktu melakukan
,
Suku bunga efektif adalah rasio besarnya bunga yang diperoleh terhadap
besarnya modal yang diinvestasikan pada awal periode. Misalkan
bunga efektif selama
adalah suku
periode sejak waktu melakukan investasi, maka
11
=
�
−� −
� −
=
�
�
;
−
.
Misalkan investasi sebesar satu sedemikian sehingga besarnya bunga
yang diperoleh selama tiap periode adalah konstan. Nilai akumulasi pada akhir dari
tiap periode adalah
+
+ , pada akhir periode kedua, nilai akumulasi menjadi
dan seterusnya. Sehingga, secara umum, nilai akumulasi selama
periode adalah
=
+
;
.
Bunga seperti ini disebut bunga sederhana. Jika merupakan suku bunga
sederhana dan
=
adalah suku bunga efektif untuk
−
−
−
+
=
−
+
+
periode, maka
−
=
b) Sistem pembungaan majemuk (compound interest)
+
−
.
Selain bunga sederhana, dikenal pula istilah bunga majemuk. Bunga
majemuk didefinisikan oleh Takashi Futami adalah suatu perhitungan bunga
dimana besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya
ditambah dengan bunga yang diperoleh. Nilai akumulasi dari investasi sebesar satu
pada akhir periode , untuk suku bunga majemuk adalah
=
+
;
.
Sebagai contoh, Misalkan seorang investor menginvestasikan pokok
sebesar satu selama satu periode pada suku bunga efektif , maka nilai akumulasi
dari nilai pokok tersebut pada akhir periode adalah
�
=
+
Jika investasi juga dilakukan pada suku bunga nominal,
dikonversikan
yang
-kali, maka nilai akumulasi dari nilai pokok tersebut pada akhir
periode adalah
sehingga
�
=
+
12
=
[
+
− ].
Mengukur laju perubahan nilai akumulasi pada waktu
juga penting
dilakukan. Laju perubahan nilai akumulasi pada waktu disebut force of interest.
Kemudian force of interest pada waktu
force interest adalah
�� = ln
disimbolkan dengan �� . Rumus untuk
+ .
13
BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab ini, pertama-tama akan diasumsikan bahwa suku bunga sebagai suatu
variable random. Kemudian akan diberikan sebuah model yang dapat digunakan untuk
mengestimasi suku bunga tersebut.
3.1 Suku Bunga Bervariasi yang Independen
Pertama, asumsikan bahwa suku bunga merupakan suatu variabel random, di
mana suku bunga pada satu periode dapat berubah-ubah dan tidak tergantung pada suku
bunga pada periode lainnya.
a) Ilustrasi awal
Pada bagian ini akan diberikan sebuah contoh sederhana sebagai pengantar ideide probabilistik dalam penggunaan model suku bunga stokastik. Pada contoh berikut
akan ditunjukkan bahwa rata-rata nilai akumulasi tidak harus sama dengan nilai
akumulasi dengan suku bunga rata-rata.
Misalkan sebuah perusahaan menawarkan suatu produk investasi, di mana
setiap polis memiliki jangka waktu 10 tahun. Pemegang polis (investor) membayar
premi pada waktu
waktu
=
=
dan akan menerima kembali hasil investasi tersebut pada
. Perusahaan akan menginvestasikan premi yang diterima dengan
menerapkan sistem pembungaan majemuk dengan laju yang konstan selama jangka
waktu polis tersebut. Suku bunga konstan tersebut tidak diketahui sekarang tapi akan
ditentukan segera setelah polis dikeluarkan. Misalkan kemungkinan suku bunga efektif
untuk dana tersebut adalah 7%, 8%, atau 9%.
Misalkan adalah rata-rata dari suku bunga efektif. Rata-rata dari suku bunga
pada contoh di atas adalah
= �[ ] =
[ .
+ .
+ .
]= .
Rata-rata nilai akumulasi dari investasi sebesar 1 diberikan oleh
�[
+
]=
[ .
+
.
+
.
]= .
14
Sedangkan nilai akumulasi dengan suku bunga rata-rata adalah
( + )
=
= .
.
Dengan demikian, pada ilustrasi ini rata-rata nilai akumulasi tidak sama dengan
nilai akumulasi menggunakan suku bunga rata-rata. Suku bunga
menghasilkan rata-rata nilai akumulasi sebesar .
dapat ditentukan dari
= .
+
yang akan
yang mana dapat diselesaikan dengan memberikan = .
atau = .
b) Nilai akumulasi
%.
Dalam ilustrasi di atas diasumsikan bahwa suku bunga yang belum pasti
tersebut adalah konstan selama periode sepuluh tahun. Namun sekarang asumsikan
bahwa suku bunga dapat bervariasi dari waktu ke waktu mengikuti suatu distribusi
probabilitas.
−
Misalkan suku bunga selama periode ke- , yaitu dari waktu
dinotasikan dengan
�
sampai ,
= , , … , . Nilai akumulasi dari sebuah investasi
untuk
sebesar 1 pada akhir periode ke- dinyatakan sebagai berikut:
=
+
Kemudian asumsikan bahwa
�
+
…
=∏
+
�=
+
�
(3.1)
berdistribusi bebas dan identik dengan rata-rata
. Rata-rata nilai akumulasi dinyatakan sebagai berikut:
�[
] = � [∏
�=
+
�
]
= ∏ �[ + � ]
�=
=( + )
(3.2)
Selanjutnya misalkan bahwa variansi dari nilai akumulasi adalah sebagai berikut:
Var[
] = �[
= �[
] − {�[
]−( + )
]}
15
Asumsikan bahwa
dapat dihitung.
�
memiliki variansi konstan
. Kemudian momen kedua dari
] = � [∏
�[
�=
+
]
�
= ∏ �[ + � ]
�=
= ∏ �[ +
�=
�
+
�
]
= ∏(�[ ] + �[ � ] + �[
�=
�
])
= ∏ �[ ] + �[ � ] + {�[ � ]} + Var[ � ]
=
�=
+
+
+
Hasil tersebut diperoleh berdasarkan definisi variansi suatu variabel random yaitu
Var[ � ] = �[
atau
�
= �[
yang memberikan
�[
�
] − {�[ � ]}
]−
�
]=
+
+
+
+
Dengan demikian, variansi dari nilai akumulasi dapat dinyatakan sebagai
berikut.
Var[
]=
Atau dapat dijabarkan sebagai berikut.
dengan
=
+
+
.
Var[
−( + )
]=( + ) −( + )
(3.3)
16
3.2 Distribusi Lognormal
Pembahasan distribusi lognormal diperlukan karena akan ditunjukkan pada
subbab 3.3 bahwa suku bunga yang bervariasi dari waktu ke waktu mengikuti distribusi
lognormal.
Distribusi lognormal dalam bentuk sederhana adalah fungsi densitas dari
sebuah variabel random yang logaritmanya mengikuti hukum distribusi normal.
Adapun definisi dari distribusi lognormal adalah sebagai berikut:
Definisi 3.1.1 Misalkan sebuah variabel random
mengikuti distribusi normal
dengan rata-rata � dan variansi � . Maka variabel random
= ln
mengikuti
distribusi lognormal dengan rata-rata � dan variansi � . Untuk menyatakan
berdistribusi lognormal dengan rata-rata � dan variansi � digunakan notasi
~
�, � .
(Norstad, 2011 : 1)
Fungsi densitas dari variabel random ~
=
−
√ ��
= ;
�, �
�2
didefinisikan sebagai berikut.
l g �−� 2
lainnya.
, >
Kemudian akan ditentukan parameter dari besaran-besaran yang berkaitan
dengan distribusi lognormal, yaitu rata-rata dan variansi. Jika
~ �, � , kemudian misalkan
misalkan � = ;
�[ ] = �[
�]
∞
= ∫ exp
−∞
=∫
∞
−∞ √
=∫
∞
−∞ √
��
��
�
=
√ ��
exp
exp
= exp ( � ) ∫
∞
−
−∞ √
dimana
exp
� −
�
~ �, � . Pertama
−
�
−�
�
��
berdistribusi
berdistribusi
+�
exp −
−�
�
17
�[
] = �[
= exp ( � )
�]
∞
= ∫ exp
−∞
=∫
∞
−∞ √
=∫
∞
−∞ √
��
��
= exp �
Var[ ] = �[
] − �[ ]
= exp �
exp
−
exp
∫
= exp �
= exp �
√ ��
∞
−∞ √
�]
[exp �
− ]
∞
= ∫ exp
√ ��
−∞
∞
= ∫ exp � +
−∞
∞
= exp � ∫ exp
�]
��
= exp (� + � )
∞
= ∫ exp
−∞
∞
= ∫ exp
−∞
√ ��
+ �
∞
= exp � ∫ exp
−∞
=
√ ��
= exp � exp ( � )
] = �[
− �
�
exp
−∞
�[
� −
�
−
�
+ �
− �
�
exp −
− (exp ( � ))
Untuk kasus umum, gunakan transformasi
�[ ] = �[
exp
− �,
−
exp
√ ��
exp
−�
�
−
�
exp
−
√ ��
exp
√ ��
=
−
�
−�
�
−
�
exp −
�
18
∞
= exp � ∫ exp
√ ��
−∞
= exp � exp �
exp −
�
= exp � + �
Maka,
Var[ ] = �[
] − �[ ]
= exp � + �
= exp � + �
= exp � + �
− (exp (� + � ))
− exp � + �
[exp �
− ]
Jadi, rata-rata dan variansi dari distribusi lognormal dengan parameter � dan � adalah
rata − rata = exp (� + � )
dan
variansi = exp � + �
3.3 Model Lognormal
[exp �
− ]
Pertama-tama perhatikan rumus (3.2) dan (3.3) pada subbab 3.1. Secara umum,
analisis teoritis dari fungsi distribusi untuk
cukup rumit. Namun, terdapat satu
kasus khusus untuk analisis fungsi distribusi
yang lebih sederhana.
Perhatikan kembali persamaan (3.1) pada subbab 3.1. Dengan mengambil nilai
logaritma dari kedua ruas pada persamaan tersebut maka diperoleh,
ln
Misalkan variabel random ln
= ∑ ln
+
=
�
+
�
.
(3.4)
berdistribusi normal dengan mean � dan
variansi � . Ruas kanan pada persamaan (3.4) merupakan penjumlahan dari variabel
random berdistribusi normal sebanyak
kali dengan mean � dan variansi � .
Berdasarkan Teorema Limit Pusat yang telah dijabarkan pada bab II diperoleh,
dan
�[ln
]= �
(3.5)
Var[ln
]= �
(3.6)
19
Karena ln
+
�
berdistribusi normal, maka
sendiri mengikuti distribusi
lognormal. Sehingga kembali berdasarkan Teorema Limit Pusat, rata-rata dan variansi
dari
adalah
dan
]=
Var[
�+ �2 /
]=
�[
Rumus rata-rata dan variansi untuk
�+ �2
(
�2
(3.7)
− ).
(3.8)
di atas yaitu rumus (3.7) dan (3.8)
cukup rumit untuk digunakan. Oleh karena itu, akan diambil nilai logaritma dari
dalam perhitungan, sehingga memungkinkan untuk menggunakan distribusi normal
dan menggunakan rumus rata-rata dan variansi yang lebih sederhana yaitu rumus (3.5)
+
dan (3.7). Bahkan ketika
�
tidak mengikuti distribusi lognormal, masih
memungkinkan untuk mengambil nilai logaritmanya dan menggunakan distribusi
normal untuk variabel random berukuran . Ini adalah aplikasi dari Teorema Limit
Pusat. Teorema ini membenarkan penggunaan rumus (3.5) dan (3.6) sebagai estimasi
untuk variabel random berukuran
terlepas dari bagaimana
+
�
didistribusikan.
Kemudian dapat dibuat estimasi probabilitas dan menghasilkan selang kepercayaan
untuk berbagai hasil. Hal ini akan digambarkan dalam Contoh 3.4.1 pada bab ini.
3.4 Soal Aplikasi
Contoh 3.4.1
Seseorang yang berusia 35 tahun ingin menginvestasikan uangnya sebesar Rp
.
.
untuk persiapan bekal masa pensiunnya pada usia 65. Uang yang
diinvestasikan tersebut akan mendapatkan suku bunga efektif dengan sistem
pembungaan majemuk serta probabilitas sebagai berikut.
�
Probabilitas
0.090
0.1
0.070
0.2
0.055
0.4
0.050
0.2
0.040
0.1
20
Suku bunga untuk suatu tahun tidak bergantung pada suku bunga di tahun-tahun
lainnya. Gunakan Teorema Limit Pusat untuk menentukan jumlah uang dari investor
ini yang akan terakumulasi pada usia 65 dengan interval kepercayaan 95%.
Penyelesaian:
Tabel 1 memuat perhitungan yang diperlukan untuk menghitung nilai
akumulasi pada contoh 3.4.1.
Tabel 1. Perhitungan untuk Contoh 3.4.1
+
]
0.1
1.090
0.2
1.070
0.067659
0.004578
0.4
1.055
0.053541
0.002867
0.2
1.050
0.048790
0.002380
0.1
1.040
0.039221
0.001538
Nilai rata-rata
1.061
0.059078
0.003758
Rata-rata dari ln
Variansi dari ln
Diketahui
=
+
+
�
0.086178
+
�
0.007427
adalah
�
�
�
+
[ln
ln
Probabilitas
adalah
� = .
�= .
−
.
. Berdasarkan rumus (3.6) diperoleh
�[ln
]=
�=
Var[ln
]=
� =
dan berdasarkan rumus (3.7) diperoleh
.
= .
= .
.
= .
Nilai yang dapat dicapai 95% dari waktu terjadi pada persentil ke-5. Dalam distribusi
normal standar diperoleh
� − .
= .
Misalkan � adalah nilai akumulasi tiap rupiah yang diinvestasikan,
=
− � ln � − .
=
�
√ .
Dengan menyelesaikan persamaan ini, diperoleh
=− .
21
atau
ln � = .
−
.
.
= .
�= .
tiap rupiah yang diinvestasikan. Jadi, jumlah uang yang terakumulasi pada usia 65
tahun adalah
,
dengan interval kepercayaan 95%.
,
� = ��. � �, �� , �
22
BAB IV
PENUTUP
4.1 Simpulan
Dari pembahasan pada bab III, dapat disimpulkan bahwa suku bunga bervariasi
yang independen merupakan suatu variabel random, di mana suku bunga pada satu
periode dapat berubah-ubah dan tidak tergantung pada suku bunga pada periode
lainnya. Suku bunga tersebut dapat diasumusikan mengikuti distribusi lognormal.
Distribusi lognormal dalam bentuk sederhana adalah fungsi densitas dari
sebuah variabel random yang logaritmanya mengikuti hukum distribusi normal. Fungsi
densitas dari variabel random yang mengikuti distribusi lognormal didefinisikan
sebagai berikut.
=
√ ��
= ;
−
�2
lainnya.
l g �−� 2
, >
Sedangkan rata-rata dan variansi dari distribusi lognormal dengan parameter � dan �
adalah
rata − rata = exp (� + � )
dan
variansi = exp � + �
[exp �
− ].
Misalkan suku bunga selama periode ke- yaitu dari periode ( - ) sampai
dinotasikan dengan
�
= , , , . . . , . Nilai akumulasi dari sebuah investasi
untuk
sebesar 1 pada akhir periode ke- dinyatakan sebagai berikut:
…
+
+
�
+
+
= (1 it ) . Dengan mengambil nilai logaritma dari persamaan
n
t 1
tersebut diperoleh ln
ln
=
= ln(1 it ) . Dengan mengasumsikan variabel random
n
t 1
berdistribusi normal, maka
mengikuti distribusi lognormal. Namun
karena rumus-rumus dalam distribusi lognormal cukup rumit, maka dalam menghitung
23
nilai akumulasi akan digunakan nilai logaritma dari
dan kemudian menggunakan
rumus-rumus dari distribusi normal.
4.2 Saran
Dalam makalah ini, penulis menggunakan model lognormal dalam
memprediksi pengembalian hasil suatu investasi dengan suku bunga yang berubahubah setiap waktu dengan asumsi bahwa suku bunga tersebut independen. Bagi
pembaca yang berminat dan tertarik dengan topik ini, dapat mencoba untuk membahas
tentang model-model lainnya untuk mengestimasi suku bunga yang sifatnya berubahubah dengan asumsi suku bunga yang dependen.
24
KAJIAN PUSTAKA
Kellison, Stephen G. 2009. The Theory of Interest. Singapore: McGraw-Hill Education.
Garret, Stephen. 2013. An Introduction to the Mathematics of Finance. (tidak
diterbitkan). Institute and Faculty of Actuaries.
Norstad, Jhon. Probability Review. (Online), (http://www.norstad.org/nance, diakses
17 Mei 2014).
Sudiarta, Gusti Putu. 2008. Statistika Matematika 1. (tidak diterbitkan). UNDIKSHA
Singaraja.
Baladram, M. Samy. 2012. Statistika Matematika. (tidak diterbitkan).