PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA GRAF Fn ⊙ Pm ,Ln ⊙ Pm , DAN W 3,m ⊙ Pm
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA
GRAF F n ⊙ P m , L n⊙ P
m , DAN W 3,m⊙ P m
oleh
RETIA KARTIKA DEWI
M0112070
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2017
PERNYATAAN
Nama : Retia Kartika Dewi NIM : M0112070.
Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi berjudul PELABELAN SELI- ⊙ ⊙ ⊙
MUT H-AJAIB SUPER PADA GRAF F P , L P , DAN W P adalah n m n m 3,m m betul-betul karya sendiri, bukan plagiat, dan belum pernah diajukan untuk mem- peroleh gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi. Sepanjang pengetahuan saya juga belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Apabila di kemudian hari terbukti pernyataan ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi akademik berupa pencabutan skripsi dan gelar yang diperoleh dari skripsi tersebut.
Surakarta, Agustus 2017 Retia Kartika Dewi.
ABSTRAK
RETIA KARTIKA DEWI, 2017. PELABELAN SELIMUT H-AJAIB 3 SUPER PADA, GRAF F n ⊙ P m L n ⊙ P m , DAN W ,m ⊙ P m . Fakultas Mate- matika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Suatu graf sederhana G = (V, E) dikatakan memuat selimut H jika setiap edge dari e ∈ E(G) termuat dalam suatu subgraf dari G yang isomorfik terhadap H
. Selanjutnya graf G yang memuat selimut-H dikatakan H-ajaib jika memuat fungsi bijektif f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, · · · , |V (G)| + |E(G)|} sehingga untuk ′ ′ ∑ setiap subgraf H dari G yang isomorfik terhadap H berlaku f (H ) = f (v)× v∈V ∑ f e∈E (e) = m(f ), dengan m(f ) adalah jumlahan ajaib. Selanjutnya, graf G disebut H-ajaib super jika f (V ) = {1, 2, · · · , |V (G)|}.
Penelitian ini bertujuan mencari selimut H-ajaib super pada korona antara: graf kipas dan graf lintasan (F n ⊙ P m ) dengan n ≥ 4, m ≥ 3, dan graf tangga dan graf lintasan (L ⊙ P ), dengan n, m ≥ 3, serta graf kincir dan graf lintasan 3 n m (W ,m ⊙ P m ) dengan m ≥ 3. 3 Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf F n ⊙ P m adalah C ⊙ P m -ajaib 4 super untuk n ≥ 4 dan m ≥ 3, graf L n ⊙ P m adalah C ⊙ P m -ajaib super untuk m, n 3 3 ≥ 3, dan graf W ,m ⊙ P m adalah C ⊙ P m -ajaib super untuk m ≥ 3.
Kata Kunci : Pelabelan selimut H-ajaib super, graf kipas, graf tangga, graf kincir, graf lintasan .
ABSTRACT
Retia Kartika Dewi, 2017. H-SUPERMAGIC LABELING ON CORONA 3 PRODUCT OF F n ⊙ P m , L n ⊙ P m , AND W ,m ⊙ P m .
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
A simple graph G = (V, E) admits an H-labeling if every edge e ∈ E(G) be- longs to a subgraph of G isomorphic to H. Furthermore, G contains H-labeling if there exists a bijection function f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, · · · , |V (G)| + |E(G)|}, ′ ′ ∑ such that for each subgraph H of G isomorphic to H, f (H ) = f (v) × v∈V
∑ f e∈E (e) = m(f ) where m(f ) is a magic sum. Then G is an H-supermagic if f (V ) = {1, 2, · · · , |V (G)|}.
This research aims to find H-super magic labeling on corona product, whi- ch: a fan graph with a path (F ⊙ P ) where n ≥ 4, m ≥ 3, a ladder graph with a n m 3 path (L n ⊙ P m ), where n, m ≥ 3, and a windmill graph with a path (W ,m ⊙ P m ) where m ≥ 3.
The result show that F ⊙ P for n ≥ 4 and m3 ≥ 4 is C n m m 4 3 3 ⊙ P -supermagic, a L n ⊙ P m for m, n ≥ 3 is C ⊙ P m -supermagic, and W ,m ⊙ P m for m ≥ 3 is C 3 ⊙ P m -supermagic.
Keywords : H-supermagic labeling, a fan graph, a ladder graph, a windmill graph, a path .
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk Ibu saya, almh.Tuti Suseno Widiyanti dan Bapak Triyono, yang tak henti-hentinya mendoakan yang terbaik untuk saya.
Rio Widiyantoro dan Widya Dian Pratiwi yang menjadi penyemangat dalam menyelesaikan skripsi ini.
MOTO
Memang pekerjaan peneliti itu cari-cari masalah, tetapi juga
sesekali harus berani menyadari bahwa sebenarnya tidak ada
masalah dengan yang ditelitinya. Dan keyakinan demikian pada
gilirannya menyeretkan pada keyakinan macam lain lagi, yakni
bahwa ternyata tidak ada satu pun yang tidak bermasalah di
sekitar hidup kita. Ya, itulah Ilmu. Hidup ilmu! Hidup Masalah!
(Sapardi Djoko Damono : Hujan Bulan Juni)
Ilmu tidak akan diraih dengan mengistirahatkan badan
(bermalas-malasan).
(HR. MUSLIM)
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini berkat dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menghaturkan terima kasih kepada
1. Ibu Dra. Mania Roswitha, M. Si., sebagai Pembimbing I yang telah membe- rikan bimbingan dan motivasi sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom., sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan motivasi sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
3. Keluarga, teman-teman MathTwelve, dan teman-teman LPM Kentingan yang telah memberikan semangat dan motivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Agustus 2017 Penulis
DAFTAR ISI
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 2.2.1 Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 2.2.2 Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 2.2.3 Kelas-kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 2.2.4 Fungsi dan Isomorfisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.5 Pelabelan Ajaib Super . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 2.2.6 Teknik k-Seimbang Multihimpunan . . . . . . . . . . . . .
13 2.2.7 Teknik (k, δ)-Anti Seimbang Multihimpunan . . . . . . . .
13 2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 III METODE PENELITIAN
15 IV HASIL DAN PEMBAHASAN
16 4.1 Lema-lema Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 3 P P ⊙ ⊙ 4.2 Pelabelan Selimut C m -ajaib super pada graf F n m . . . .
20 ⊙ ⊙
4.3 Pelabelan Selimut C 4 P -ajaib super pada graf L P . . . . m n m
23 3 P P ⊙ ⊙ 4.4 Pelabelan selimut C m -ajaib super pada graf W 3,m m . . .
25 V PENUTUP 29 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 DAFTAR PUSTAKA
30 DAFTAR GAMBAR
1 2
2.1 (a) G merupakan graf terhubung dan (b) G merupakan graf tidak terhubung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 2.2 Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 4 5 4 ∪ G × G 5 4 5 5 4 2.3 (a) Graf G dan G (b) G (c) G + G (d) G . . . . .
8 ⊙ G
2.4 Graf G 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 2.5 Graf lintasan P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9 2.6 Graf kipas F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.7 Graf tangga L 3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 10 2.8 Graf kincir W , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7
11 2.9 Graf G isomorfik dengan graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 ⊙ P ⊙ P
4.1 Pelabelan selimut C 3 3 -ajaib super pada graf F 4 3 . . . . . .
22 4 ⊙ P ⊙ P 3 3 3 4.2 Pelabelan selimut C -ajaib super pada graf L . . . . .
25 3 ⊙ P ⊙ P 3 3 3 3 4.3 Pelabelan selimut C -jaib super pada graf W , . . . . .
28
DAFTAR NOTASI
G : graf G
H : subgraf dari graf G
R : relasi (u, v) : vertex e
: edge ⊂ : himpunan bagian sejati (proper subset) \{ k
- 1} : pengecualian untuk { k
- 1} ⊆ : himpunan bagian tidak sejati (improper subset) V (G) : himpunan vertex dari graf G E (G) : himpunan edge dari graf G |V (G)| : banyaknya vertex dari graf G (order ) |E(G)| : banyaknya edge dari graf G (size) m
2
2
(f ) : jumlahan ajaib s (f ) : jumlahan ajaib super
Σ : sigma ̸= : tidak sama dengan δ
: selisih pada jumlahan anti seimbang φ : pemetaan ∈ : anggota ⌈ ⌉ : pembulatan ke atas (ceiling) ⌊ ⌋ : pembulatan ke bawah (flooring)
- : join ⊎ : union plus ∪ : union × : hasil kali product ⊙ : hasil operasi korona N
: himpunan bilangan alam C 3 : graf cycle ber-order 3 C 4 : graf cycle ber-order 4 F n : graf kipas ber-order n L n
: graf tangga ber-order n P m
: graf lintasan ber-order m W n : graf roda ber-order n K m,n
: graf bipartit lengkap ber-order m + n K 1,n
: graf bintang ber-order n + 1 W 3,m : graf kincir yang terbentuk dari m-kopi graf cycle dengan order 3 C 3
⊙ P m : graf operasi korona dari graf C 3 dengan korona graf P m
C 4 ⊙ P m : graf operasi korona dari graf C 4 dengan korona graf P m
F n ⊙ P m : graf operasi korona dari graf F n dengan korona graf P m L n
⊙ P m : graf operasi korona dari graf L n dengan korona graf P m
W 3,m ⊙ P m : graf operasi korona dari graf W 3,m dengan korona graf P m