1 osilasi bola dalam balok berongga solusi

Minggu 1 ( 24/03/2015)
Osilasi bola dalam balok berongga
Sebuah bola pejal bermassa m dan radius r menggelinding tanpa slip di dalam rongga lingkaran
radius 3r , dalam balok bermassa M. Balok berada di atas permukaan horizontal licin. Ambil
acuan energi potensial bola pejal nol ketika mencapai dasar rongga. Asumsikan simpangan θ
kecil dan  dan x juga kecil. Hitung frekuensi osilasi bola di dalam balok!

3r
θ
r m
φ

M
x

Pembahasan:
Mari kita meninjau saat bola bergerak ke kanan dengan kecepatan vm relatif terhadap balok
dan kecepatan balok vM relatif terhadap permukaan horizontal. Tidak ada gaya luar dalam
arah horizontal pada sistem sehingga momemtum linear konstan pada arah horizontal.



R

vM

r

m

θ

vm

θ
r m
φ

f

M
x

Kekekalan momentum linear dalam arah horizontal adalah
m  vm cos   vM   MvM  0
vM 

mvm cos 
M m

Persamaan gerak translasi pada bola adalah
mg sin   f  m (a m  a M cos  )

(1)
(2)

Persamaan gerak rotasi pada bola adalah
fr  52 m r 2

(3)

a m  r

(4)

r    R  r 

(5)

Hubungan a m dan  adalah
Hubungan φ dan θ adalah
r    R  r 

Turunkan pers.(1) terhadap waktu untuk mendapatkan

ma m cos  mvm  sin 
(6)

M m
M m
Gunakan pendekatan θ dan  kecil sehingga sinθ=1, cosθ  1 dan   0 .
Kita akan mendapatkan bahwa

m
aM 
a
(7)
M m m
mg  f  m (a m  a M )
(8)
aM 

f  52 m  R  r 

a m   R  r 

(9)
(10)

Anda akan sangat mudah untuk mendapatkan bahwa persamaan gerak osilasi bola dalam
balok beronggga adalah
5g  m  M 


 0
(11)
 R  r  2m  7 M 

5g  m  M 
2r  2m  7 M 

Frekuensi bola di dalam balok untuk R = 3r adalah
f 

1
2

(12)