TIPE 1: INTEGRAL DENGAN CARA SUBSTITUSI

BAB 9
INTEGRAL
TIPE 1: INTEGRAL DENGAN CARA SUBSTITUSI
1

 u du  n  1u
n

n 1

C

Contoh 1:

 x x  2 dx  ....
1
x  2  C
A.
12
2

Hasil dari

5

3



C.



6
1 3
x 2 C
6
Solusi: [Jawaban A]
Alternatif 1:

B.











6
1 3
x 2 C
4
6
1 3
D. x  2  C
2

6

3



6

E. x 3  2  C

1
du
 2x 2 atau du  x 2 dx .
dx
2
5
6
1
1 3
1

x 2 x 3  2 dx  u 5 du  u 6  C 
x 2 C
2
12
12
Alternatif 2: Care
5
5
6
1
1
x 2 x 3  2 dx 
x3  2 d x3  2  x3  2  C
2
2
Contoh 2:
Hasil dari sin3 x cos xdx  ....

Ambillah x3  2  u , sehingga

 



 







 













A. sin 4 x  C

B.

1 4
sin x  C
4

C.

3 4
sin x  C
4

D.

1 4
sin x  C
2

E.

1 4
sin x  C
8

Solusi 1: [B]
du
 cos x atau du  cos xdx .
dx
1
1
sin3 x cos xdx  u 3du  u 4  C  sin 4 x  C
4

4
Solusi 2: Care
1
sin3 x cos xdx  sin3 xd sin x  sin 4 x  C
4

Ambillah u  sin x sehingga









TIPE 2: INTEGRAL PARSIAL

 udv  uv  vdu
Contoh 1:

Hasil dari x 2 sin xdx  ....



A.  x cos x  2 x sin x  2 cos x  C
2

C. 2 x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C

51 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

D.  x 2 cos x  x sin x  2 cos x  C
B. x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C
C.  2 x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C
Solusi 1: [A]
du
 2 x atau du  2 xdx dan dv  sin xdx sehingga v  sin xdx   cos x
Ambillah u  x 2 sehingga
dx
.



x

2



sin xdx   x 2 cos x   2 x cos xdx

Ambillah u  2 x sehingga
.

x

2

du
 2 atau du  2dx dan dv  cos xdx sehingga v  cos xdx  sin x

dx











sin xdx   x 2 cos x   2 x sin x   2 sin xdx   x 2 cos x  2 x sin 2 sin xdx

  x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C
Solusi 2: Care

Diferensial
x2
2x
2
0

Integral
sin x
 cos x
 sin x
cos x

+

+



 x 2 sin xdx   x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C
Contoh 2:
Hasil dari x 2 x  1dx  ....



5
5
3
5
1
1
1
1
x2 x  12  x2 x  12  C
x2 x  12  x2 x  12  C
D.
12
3
15
15
1
5
5
3
1
1
1
1
B. x2 x  12  x2 x  12  C
E. x2 x  12  x2 x  12  C
3
3
15
15
3
5
1
1
C. x2 x  12  x2 x  12  C
6
15
Solusi 1:
3
du
1
1
 1 atau du  dx dan dv  2 x  1dx  v 
Ambillah u  x 
2 x  1d 2 x  1  2 x  1 2 .
dx
3
2
3
3
3
3
1
1
1
1
x 2 x  1dx  x  2 x  1 2  2 x  1 2 dx  x2 x  1 2  2 x  1 2 d 2 x  1
3
6
3
3
3
5
1
1
 x2 x  1 2  x2 x  1 2  C
15
3
Solusi 2: Care

A.









Diferensial

x
1

0

Integral
2x  1
3
1
2 x  12
3
5
1
2 x  12
15

+


52 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika





x 2 x  1dx 

3
5
1
1
x2 x  12  2 x  12  C
3
15

TIPE 3: MENGHITUNG LUAS DAERAH:
Luas daerah tertutup yang dibatasi fungsi kuadrat y  ax 2  bx  c adalah L 

D D
, dengan
6a 2

D  b 2  4ac adalah diskriminan

Contoh 1:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  4 x  x 2 dan sumbu X.
1
2
2
C. 10 satuan luas
E. 10 satuan luas
A. 12 satuan luas
6
3
3
2
1
B. 11 satuan luas
D. 10 satuan luas
3
3
Solusi 1: [C]
Batas-batas integral:
y
y  4x  x2
4x  x2  0
x4  x   0
x  0 atau x  4


4



4

64
2
 2 1 3
 10 satuan luas
L  4 x  x 2 dx  2 x  x   32 
3 0
3
3

0
Solusi 2: Care
y  4x  x2

O

y  4x  x 2

x
2

4

4x  x2  0
D  4 2  4 1  0  16

2
D D 16 16 16  4 32



 10 satuan luas
2
2
3
6
3
6a
6 1
Contoh 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  4 x  3 dan y  x  1 adalah …
9
11
41
A.
satuan luas
C.
satuan luas
E.
satuan luas
2
6
6
8
19
satuan luas
satuan luas
D.
B.
3
3
Solusi 1:
Y
y  x 2  4x  3
y  x 2  4 x  3  y  x  1x  3
Batas-batas Integral:
y  x  1  y  x2  4x  3
y  x 1
3
2
x  4x  3  x  1
x 2  5x  4  0
x  1x  4  0
X
O 1
4
x  1 atau x  4
L

53 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

b

L

 f x dx
a

 x  1  x



4

L

2

 4 x  3 dx 

1


4

1

4



 1 3 5 2

 x  5 x  4 dx   x  x  4 x 
2
 3
1
2

64
 1 5

 40  16      4 
3
 3 2

64 1 5
5
9

   28  21   28  satuan luas  [C]
3 3 2
2
2
Solusi 2: Care
y  x 1


y  x2  4x  3
x 2  4x  3  x  1
x 2  5x  4  0
2
D   5  4  1  4  9

L

D D
9 9 93 9
 satuan luas  [C]


2
6a
6  12 6  1 2

TIPE 4: MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR
Volume benda putar dari daerah tertutup yang dibatasi fungsi kuadrat y  ax 2  bx  c adalah
V

π D2 D
30 a

, dengan D  b 2  4ac adalah diskriminan

3

Contoh:
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  4 x  x 2 dan
sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o.
32 π
128 π
512 π
satuan volume
C.
satuan volume
E.
satuan volume
A.
15
15
15
256 π
satuan volume
15
Solusi 1: [A]

B.

D.

64 π
satuan volume
15

b

V  π f 2 x dx


a
4



V  π 4x  x
0
4



y

y  4x  x 2

 dx

2 2



V  π 16x 2  8 x 3  x 4 dx

O

x
2

0

54 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

4

4

1 
1
4
16
 16
4
 20  30  12 

V  π  x 3  2 x 4  x 5   π  43  2  4 4   45  0   256 π  2    256 π

5 0
5
5
15
3
3
3



512 π

15
Solusi 2: Care
4x  x 2  0
D  b 2  4ac  4 2  4   1  0  16
V

π D2 D
30 a

3



π162 16
30  1

3

512 π
15



SOAL-SOAL LATIHAN
1.

UN 2013
Hasil dari

4x  8



x  4x  5
2

dx  ....

3 2
x  4x  5  C
2
3 2
x  4x  5  C
D. 
2

A. 4 x 2  4 x  5  C
B. 2 x 2  4 x  5  C
2.

UN 2013

 2 x  1
1
x  x  5 x
2

x 2  x  5dx  ....

Hasil dari
A.

2



 x5 C

2

A.



1 2
x 1  C
3

1
x 2 1  C
2
UN 2013
π
2

Nilai



 2 sin

2

D.

E.





3 2
x  x  5 x2  x  5  C
2

C. 2 x 2 1  C

2
E. 6 x  1  C

2
D. 3 x  1  C

B.
4.



C. x 2  x  5 x 2  x  5  C



2 x2  x  5 x2  x  5  C
2 2
B.
x  x  5 x2  x  5  C
3
UN 2013
2x
dx  ....
Hasil dari 
x2 1



3.

E.  4 x 2  4 x  5  C

C.



x cos x dx  ....

0

2
3
UN 2013
A.

5.

B.

2
3

C.

1
3

D. 1 3

55 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

E.

3 1

A.

2 x  3



Hasil dari

2x2  6x  5

dx  ....

1
2x2  6x  5  C
2

C.

2
2x2  6x  5  C
3

1

E.

C

2x  6x  5
2

B. 2 x 2  6 x  5  C
D. 2 2 x 2  6 x  5  C
6. UN 2013
Hasil dari  3x  1 3x 2  2 x  4 dx  ....





7.









C.

1 2
3x  2 x  4
6





D.

1
3x 2  2 x  4
12

3
1 2
3x  2 x  4 2  C
2
3
1 2
3x  2 x  4 2  C
B.
3

A.



3
2

C



3
2

E.



1
3x 2  2 x  4
18



3
2

C

C

UN 2013
π
2

Nilai

 2 sin

2



x cos x dx  ....

0

8.

2
A.
3
UN 2013

B.

2

C.

3

1
3

D. 1 3

3 1

E.

Hasil dari  3x  1 3x 2  2 x  4 dx  ....









3
1 2
3x  2 x  4 2  C
2
3
1
B. 3x 2  2 x  4 2  C
3

A.



9.







3
1
3x 2  2 x  4 2  C
12
3
1
C. 3x 2  2 x  4 2  C
6

D.



E.



1
3x 2  2 x  4
18



UN 2013


Hasil dari 
3
4 x
A.



3

2x 4 x 2  3 2 dx  ....
2



3

2

D.

10
2
2
4x 2  3 4x 2  3  C
B.
10















2
1
4x 2  3 4x 2  3  C
4
2
2
4x 2  3 4x 2  3  C
E.
3

4x 2  3  C



2
1
4x2  3 4x2  3  C
10
10. UN 2013

C.

π
2

Nilai dari

 sin t cost dt  ....
2

0

A. 2

B. 1

1
2

C. 1

D.

1
2

E.

11. UN 2013
56 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

1
3



3
2

C

Hasil dari

x  1



x2  2x

dx  ....

1 2
x  2x  C
2

A.

E. 4 x x 2  2 x  C

C. 2 x 2  2 x  C

B. x 2  2 x  C
D. 2 x x 2  2 x  C
12. UN 2011
Hasil dari cos 4 2 x sin 2 xdx  ....



1
sin 5 2 x  C
10
1
B.  cos5 2 x  C
10

1
C.  sin 5 2 x  C
5
1
cos 5 2 x  C
D.
10

A. 

E.

1
sin 5 2 x  C
10

13. UN A35 2012
Hasil dari



2x 2

2 x  5
2 x  5  C
3

7

5

dx  ....













7
3
6
37
6
7
3
C. 7 2 x 3  5  C
E. 2 2 x 3  5  C
7
7
6
7
2
6
7
D. 7 2 x 3  5  C
B. 6 2 x 3  5  C
7
6
14. UN A35 dan D74 2012
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  4 x  3 dan y  x  1 adalah …
9
11
41
A.
E.
satuan luas
satuan luas
C. satuan luas
2
6
6
8
19
B.
satuan luas
D. satuan luas
3
3
15. UN 2012 B47
3x  1
dx  ....
Hasil dari
7
3x 2  2 x  7

A.







A.
B.





1



C

C.



C

D.

3 3x 2  2 x  7



1

4 3x 2  2 x  7
16. UN B47 2012

6

6



1

6 3x 2  2 x  7





1

12 3 x 2  2 x  7

6



6

C

E.



1

12 3 x 2  2 x  7



7

C

C

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  4 x  3 dan y  3  x adalah …
9
11
41
E.
satuan luas
satuan luas
C. satuan luas
2
6
6
8
19
B.
satuan luas
D. satuan luas
3
3
17. UN C61 dan E81 2012
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  3x  4 dan y  1  x adalah ….

A.

57 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

2
satuan luas
3
4
B.
satuan luas
3
18. UN D74 2012

7
satuan luas
4
8
D. satuan luas
3

 4 x  34 x  6 x  9 dx  ....
1
1

2 x  3
4 x  6 x  9  C
A.
C.
10
20
2

Hasil dari

15
satuan luas
3

9

10

2

E.

C.

A.



20

C

E.







10
1
4x 2  6x  9  C
30

10
1
1
2 x  320  C
D.
4x 2  6x  9  C
20
15
19. UN P-12 dan P-45 2011
Hasil dari cos 4 2 x sin 2 xdx  ....

B.



1
1
sin 5 2 x  C
C.  sin 5 2 x  C
10
5
1
1
cos 5 2 x  C
D.
B.  cos5 2 x  C
10
10
20. UN 2011
2x  3
dx  ....
Hasil
3x 2  9 x  1

A. 

E.

1
sin 5 2 x  C
10



2
3
3x 2  9 x  1  C
3x 2  9 x  1  C
E.
3
2
1
1
3x 2  9 x  1  C
3x 2  9 x  1  C
D.
B.
3
2
21. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y  4  x 2 dan sumbu
X diputar sejauh 360o mengelulingi sumbu X.
14
32
6
π satuan volume
π satuan volume
π satuan volume
C.
E.
A.
15
15
15
12
16
π satuan volume
π satuan volume
B.
D.
15
15
22. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y  x 2  2 x  8 dan sumbu X diputar sejauh 360o mengelulingi sumbu X.

A. 2 3x 2  9 x  1  C

C.

1296
π satuan volume
5
486
π satuan volume
B.
5

192
π satuan volume
5
162
π satuan volume
D.
5

A.

C.

E.

72
π satuan volume
5

58 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika