Pertemuan Ke 2 s d 4

Ringkasan

tuti

Pertemuan Ke 2 s/d 4

MATA KULIAH : METODE NUMERIK
JURUSAN

: TEKNIK MESIN S-1

FAKULTAS : TEKNIK INDUSTRI
DOSEN :
Dra. HARMASTUTI M.Kom

Metode numerik

1

Ringkasan

tuti

Error , Nilai Fungsi Dan Pendeferensialan Numerik

2.1. Galat (Error)
Angka bena digunakan untuk menangani hampiran (aprogsimasi) yang berkaitan
dengan manipulasi bilangan. Angka bena atau digit dikembangkan secara formal
menandakan keadalan suatu nilai numerik. Angka bena( significant digits) angka yang
dapat digunakan dengan pasti.

Galat (Error)
Galat numerik timbul karena penggunaan hampiran(aprogsimasi) untuk menyatakan operasi atau besaran matematis yang eksak.Hubungan nilai eksak(sejati / sebenarnya) dengan nilai pendekatannya (aprogsimasi) dapat dirumuskan sebagai berikut.
Nilai sejati (true value) = aprogsimasi + galat

(2.4)

atau
Et = Nilai sejati – Aprogsimasi

(2.5)

Dimana Et , menunjukkan nilai eksak dari galat dan t menyatakan galat sejati
( true error).
Kelemahan rumus (2.5) tingkat besaran nilai yang diperiksa tidak diperhatikan, oleh
karenanya perlu menormalkan galat terhadap nilai sejatinya.
Menormalkan galat terhadap nilai sejati :
Galat relatif pecahan = galat/ nilai sejati,
Galat relatif

atau

dikalikan 100 persen yaitu :

 t = [( galat sejati)/ nilai sejati] x 100%

(2.6)

 t menunjukkan prosentase galat relatif yang sejati
Dalam masalah rekayasa nilai eksak(true value) tidak diketahui oleh karenanya perlu
adanya alternatif lain untuk menentukan galat yaitu perlunya penormalan galat dengan

nilai pendekatannya.
Menormalkan galat terhadap nilai pendekatan (aprogsimasi)
a= [( galat pendekatan)/ nilai pendekatan] x 100%
indek

a

(2.7)

menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai pendekatan.Untuk

menentukan taksiran galat (error ) tanpa mengetahui nilai sejati, penentuan galat

Metode numerik

2

Ringkasan

tuti

dilakukan secara berulang atau secara iterasi. Sedangkan prosentase galat relatif
dirumuskan rumus sbb :
nilai pendekatan sekarang - nilai pendekatan sebelumnya

 a = 

x 100%

( 2.8)

nilai pendekatan sekarang

nilai galat pada persamaan ( 2.4) sampai ( 2.8) dapat positif atau negatif, penghitungan dihentikan apabila dipenuhi

|a|<

 s dimana  s =( 0,5 x 102-n )% , n

adalah angka bena (digit) yang diperhatikan.

Contoh 1

:

Jika diberikan uraian deret Maclaurin dari fungsi cos x, yaitu
cos x  1 

x2
x4
x6
x8



 ...
2!
4!
6!
8!

dengan memulai dari suku pertama cos x = 1, taksirlah nilai cos(


3

) dan

lanjutkan sampai suku ke lima dari deret diatas. Dan tentukan error relatifnya.
Jawab
Untuk x 

:



, tentukan nilai cos( 3 )
3

1. iterasi pertama : Perhitungan diawali dengan menentukan nilai
cos x  1

2. iterasi kedua : Perhatikan dua dua suku pertama dari deret Maclaurin
x2
cos x  1 
2!

, maka
a1 

maka


2

cos( )  1  9  1  0,54775  0.45225
3
2!

N ps  N pb
N ps

x100%

0.45225  1
x100%  121.116 %
0.45225

Nps adalah nilai pendekatan sekarang(baru), Npb adalah nilai pendekatan
sebelumnya
3. iterasi ketiga : Perhatikan tiga dua suku pertama dari deret Maclaurin
cos( x )  1 

cos(

a2

x2
x4

2!

4!

diperoleh nilai


)  0.50225
3


0.50225  0.45225
x100%  9.95%
0.50225

4. iterasi keempat : Perhatikan empat suku pertama yaitu dari deret Maclaurin
cos( x )  1 

Metode numerik

x2
x4

x6


2!
4!
6!

3

Ringkasan

tuti

diperoleh
cos(


)  0.500414
3

dan error relatifnya

a



3

0.500414  0.50225
x100%  0.366%
0.500414

dan seterusnya
Jika diperhatikan dari keempat iterasi (hitungan), tampak pada iterasi yang ke
empat nilai error (galat) relatifnya semakin kecil. Hal ini diartikan bahwa pada
iterasi keempat nilai

3.

cos(


)
3

semakin mendekati nilai sebenarnya (sejati).

Nilai fungsi dengan deret Taylor.
Deret Taylor menyediakan sarana untuk menetukan nilai fungsi pada suatu titik

dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik yang lain. Sebelum memulai
dengan penggunaan deret Taylor untuk menentukan nilai fungsi diingatkan kembali
dengan Teorema Taylor yaitu
Jika fungsi f dan n +1 turunannya kontinu pada selang yang memuat a dan
x maka nilai fungsi pada x adalah sebagai berikut
f ' ' (a)

f ( x)  f (a)  f ' ( a)( x  a) 

2!

( x  a)2 

f 3 (a)
3!

( x  a)3  ...

f n (a)
( x  a) n  Rn
n!

Dengan suku sisa Rn,
x ( x t )

Rn  
a

n!

( 3.1)

n
f

( n 1)

(t ) dt

Teorema Taylor akan disebut deret Taylor untuk n mendekati takberhingga yaitu :
f ( x)  f (a )  f ' ( a )( x  a ) 

f ' ' (a)

2!

( x  a) 2 

f 3 (a)

3!

( x  a )3  ...

( 3.2)

Ekspansi maju deret Taylor untuk xi+1 pada titik dasar xi
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' (a )( xi 1  xi ) 

f ' ' ( xi )

2!

( xi 1  xi ) 2 

f ''' (a )

3!

( xi 1  xi ) 3  ...

(3.3)

3.1. Nilai fungsi
Pada bab berikut akan dibahas bagaimana menentukan nilai pendekatan suatu
fungsi dengan menggunakan deret Taylor, yaitu dengan memperhatikan satu suku
pertama yang disebut dengan pendekatan orde nol, memperhatikan dua suku pertama
Metode numerik

4

Ringkasan

tuti

disebut dengan pendekatan orde pertama dan seterusnya. Untuk menentukan nilai
fungsi f(xi+1) disekitar x = xi adalah sebagai berikut.
Pendekatan orde-nol
f ( xi 1 )  f ( xi )

( 3.4)

Persamaan 3.2 menunjukkan bahwa nilai f pada titik baru sama dengan nilai
f pada titik lama.
Pendekatan orde-pertama
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )( xi 1  xi )

(3.5)
Suku tambahan orde-pertama terdiri dari kemiringan slope f(xi) dikalikan jarak
antara xi dan xi+1
Pendekatan orde-kedua

f

( xi

1

)

f



( xi )



f

' ( xi )( xi

1



xi )



f

" ( x)
2!

(3.6)
Pendekatan orde-ketiga

f

( xi

1

)



f

( xi

)



f

' ( xi

)( xi



(3.7)
dan seterusnya.
Dengan menuliskan h =xI+1 –xI maka rumus deret Taylor 3.1 dapat di sederhanaan
sebagai berikut

f

( xi


1

)



f

( x)



f

' ( x)h

(3.8)
dengan suku sisa untuk pendekatan orde ke n adalah

f n 1 () n 1
h
( n  1)!
  nilai x, xi    xi 1
Rn 

(3.9)
3.2.

Pendeferensialan Numerik

Penulisan deret Taylor untuk meramal kecepatan suatu fungsi waktu

yaitu

menetukan v(t). dinyatakan sbb:

Metode numerik

5



Ringkasan

tuti

v (t i


1

)

v (t i



d en ga n

)

v ' (t i



h an ya

)(t i



m em pe

(3.10)
v(ti 1 )  v(ti )  v' (ti )(ti 1  ti )  R1

(3.11)

Persamaan 3.11 dapat dinyatakan sebagai berikut

v ' (t

v (t
)
i
1
t

1
 i






 v (t
)
i
 ti

 

pendeka
orde



tan

R
i

t

1
i 
error

 t
 i

)

pemotongan

pertama

(3.12)
3.1.1.

Selisih Terbagi Berhingga (finit divided difference) Turunan Pertama

Dengan menggunakan rumus 3.12 dapat diturunkan selisih maju (forward diference)
dan selisih mundur(backward diference) dari turunan pertama yaitu:
f ' (x i ) 

f ( x i 1 )  f ( x i )
x i 1  x i



O( x i 1  x i )

( 3.13)

dapat ditulis
f i
 O ( h)
h

f ' ( xi ) 

(3.14)

dimana fi disebut selisih maju pertama ( first forwart difference)
h = x i +1 – xi ( interval )

3.1.2

Selisih Mundur Turunan Pertama
Deret Taylor diperluas mundur, dimaksudkan untuk menghitung suatu nilai

sebelumnya berdasarkan suatu nilai sekarang adalah sebagai berikut :

f

( xi

1

)



f

( xi )



f

' ( xi ) h



f

" ( xi )
2

(3.15)
dengan hanya memperhatikan dua suku pertama didapat rumus berikut
f ( xi ) 

f ( xi )  f ( xi 1 )
h



 fi
h

(3.16)

dimana fi disebut selisih mundur pertama
h = x i – xi-1 ( interval )
3.1.3. Selisih Terpusat(central) dari Turunan Pertama
Metode numerik

6

h2

 ...

Ringkasan

tuti

Dengan mengingat uraian deret Taylor maju yaitu :
f

( xi

1

)



f

( xi )



f

' ( xi ) h



f " ( xi )
2

h2



( 3.17)
dengan mengurangkan uraian deret Taylor 3.15 ke uraian deret taylor 3.17 didapat
rumus selisih terpusat dari turunan pertama adalah sebagai berikut
f ' ( xi ) 

f ( xi 1 )  f ( xi 1 )
 O(h 2 )
2h

(3.16)

3.1.4. Selisih Berhingga Dari Turunan Yang Lebih Tinggi
1. Selisih terbagi berhingga maju kedua ( second forward finite divided
difference)

f

" ( xi

)

f



( xi

)

 2



2

(3.17)

2. Selisih terbagi berhingga mundur kedua ( second backward finite divided
difference)

f

" ( xi

)

f



( xi

)



( 3.11)

Rumus

derivatif

maju(forward

difference)

dan

derivatif

mundur ( backward

difference) dapat ditulis dalam bentuk table.
Koefisien diperoleh dengan cara menguraikan rumus binomium newton ( a-b)n
1.

:

Tabel rumus-rumus derivatif maju( forward difference) dari turunan-turunan pertama
hingga yang ke empat untuk tingkat kesalahan O(h).

h f’(xI) =
h2 f”(xi)=
h3 f”’(xi)=
h4 f4(xi) =
2.

fi
-1
1
-1
1

fi +1
1
-2
3
-4

fi +2

fi +3

1
-3
6

1
-4

fi +4

1

Tabel 3.1 Forward difference dari O( h)
Derivatif mundur (backward difference) dari turunan-turunan pertama hingga yang
ke empat untuk tingkat kesalahan O(h).

Metode numerik

7

2

f

(

Ringkasan

tuti

fi -4
h f’(xI) =
h2 f”(xi)=
h3 f”’(xi)=
h4 f4(xi) =

1

fi -3

fi -2

1
-4

1
3
6

fi-1
-1
2
-3
-4

fi
1
1
1
1

Tabel 3.2. Backrward difference dari O( h)
Dimana
fi = f( x) , fi+1 = f( x + h), fi+2 = f( x + 2h), fi+3 = f( x + 3h)
dan

fi+4 = f( x + 4h),

fi = f( x) , fi-1 = f( x - h), fi-2 = f( x - 2h), fi-3 = f( x - 3h)
dan fi-4 = f( x - 4h),

2 fi = ( fi ) , 2 fi =  (fi) dan seterusnya
Cara membaca tabel
Untuk membaca tabel 3.1, pandang baris pertama tabel 3.1 forward difference
dari O(h), dari tabel tersebut dapat dibaca bahwa

hf ' ( x )  f  f
i
i
i 1
 f (x )  f (x
)
i
i  1  O ( h)

h

3.

Derivatif maju( forward difference) dan derivatif mundur (backward difference)
untuk tingkat kesalahan O(h)2. Yaitu
2h f’(xi) =
h2 f’’(xi)=
2h3 f”’ (xi )=
h4 f4(xi) =

fi
-3
2
-5
3

fi +1
4
-5
18
- 14

fi +2
-1
4
- 24
26

fi +3
-1
14
- 24

fi +4

fi +5

-3
-2

11

Tabel 3.3 Forward difference O( h)2
fi - 5
fi - 4
fi -3
fi -2 fi-1
2h f’(xI) =
1
-4
2
h f”(xi)=
-1
4
-5
2h3 f”’(xi)=
3 - 14 24 - 18
h4 f4(xi) =
-2
11 - 24 26 - 14

fi
3
2
5
3

Tabel 3.4. Backrward difference dari O( h)2
3. Tabel Selisih Terpusat (central ) .
fi -2
2h f’(xi) =
h2 f”(xi)=
Metode numerik

fi-1
-1
1

fi
0
-2

fi+1
1
1

fi+2

8

Ringkasan

tuti

2h3 f”’(xi)=
h4 f4(xi) =

-1
1

2
-4

0
6

-2
-4

1
1

Tabel 3.5 Selisih terpusat O( h)2
fi-3 fi-2
f i-1
fi
fi+1
fi+2
12h f’(xi) =
1
-8
0
8
-1
2
12h f”(xi)=
-1
16
-30
16
-1
8 h3 f”’(xi)=
1
-8
13
0
-13
8
4 4
6 h f (xi) =
-1
12
-39
56
-39
12

fi+3

-1
-1

Tabel 3.6. Selisih terpusat O( h)4
Contoh 3.1

:

Suatu fungsi f(xi) pada xi , selisih terbagi maju dari turunan pertamanya
Δf

diketahui
f
h

h

i  0 .24369

dan

f

i  0 .23751

dan selisih

mundur terbagi dari

turunan

dengan h = 0.1. Tentukan representasi Central(terpusat) dari

"( x
)
i

pertama
f '(x )
i

dengan memperhatikan O(h2).

Penyelesaian :
Dengan menggunakan rumus selisih maju terbagi
Δf
h

f (x
)  f (x )
i 1
i  0 .23751
h
f (x
)  f ( x )  h .0 .23751
i 1
i

maka dapat dinyatakan

i 

 ( 0 .1) ( 0 .23751 )

dan dengan menggunakan rumus selisih mundur terbagi
f
h

i 

f (x )  f (x
)
i
i 1  0 .24361
h
f (x )  f (x
)  h .0 .24361
i
i 1

didapat

 (0 .1) (0 .24361 )

Sedangkan dari rumus Central (terpusat) untuk turunan pertama dan kedua dengan
memperhatikan O(h2) dapat diturunkan
f '(x )
i




f

f (x
)  f (x
) ( f (x
)  f ( x ))  ( f ( x )  f ( x
))
i 1
i 1 
i 1
i
i
i 1
2h
2h
(0 .1)(0 .23751 )

" (

 (0 .1) (0 .24361 )

2 0 .1
x
i

)



0 .48112
0 .2

f



Contoh 3.2

dan

 .....

(0

(

x
i

.1) (

:

Buat algoritma pemrogramannya untuk menentukan turunan pertama dari y =
x3 , untuk h kecil yang bervariasi mulai dari 1 sampai 10-10 gunakan forward difference pada x = 10 .
Jawab :

Metode numerik

9

 1
0

)

.2

Ringkasan

tuti

Secara Umum soal diatas dapat dibuat algoritmanya sebagai berikut
Langkah 1.

Masuk nilai x. (input).

Langkah 2.

Definisikan A : 1-10.

Langkah 3.

Hitung

Langkah 4.

Hitung S = f(x+H) – f(x)

Langkah 5.

Tentukan Derivatif= DER ( DER= S/H)

Langkah 6.

Cetak H, S, DER

Langkah 7.

Ulang perhitungan sampai batas toleransi dipenuhi.

Langkah 8.

Stop ( jika batas toleransi telah di penuhi)

H 

1
10 A

Dengan menggunakan bahasa pemrograman pascal silakan dibuat programnya.
LATIHAN
1.

Diberikan data sebagai berikut
x
f(x)

0
30

1
33

2
28

3
12

4
-22

Tentukan f ’(0), f ’(2), f ”(4) dan f”(0) dengan menggunakan selisih maju ,
mundur dan terpusat ( central) yang memperhatikan O(h) dan O( h)2.
2.

Berikut representasi fungsi data fisik dalam bentuk interval
x
f( x)

0
1.00

0.5
0.80

1.0
0.20

1.5
0.25

2.0
0.31

2.5
0.38

3.0
0.44

Tentukan f ‘( 1.5) dengan memperhatikan O(h)2 , dengan h = 0.5.
3.

Dengan

memperhatikan

menggunakan

selisih

fungsi

maju

f(x) = sin 10x.

dari

O(h) dan O(h)2

tentukan
dengan

f’(0) dengan

h =0.2.

Ulangi

perhitungan dengan memperhatikan h = 0.01 bandingkan hasilnya dan nyatakan
gambarnya.
3.1.5

Perambatan galat (Error)
Hal ini bertujuan mengkaji bagaimana error dalam bilangan dapat merambat

melalui fungsi matematis. Contohnya , apabila kita ingin mengalikan dua bilangan
yang mempunyai error maka bagaimana menaksir error dalam hasil kali ini.
Seandainya dipunyai fungsi f(x), dengan x sebai perubah bebas. Dan
merupakan pendekatan dari x. Untuk mengetahui

pengaruh penyimpangan

x

x

dan x

pada nilai fungsi tersebut dapat di perhatikan rumus berikut ,
~

f ( x ) 

~

f ( x)  f ( x)

( 3.12)

Tetapi dengan menggunakan rumus 3.12 muncul kesulitan karena nilai fungsi
sebenarnya yaitu f(x) tidak diketahui. Untuk mengatasinya dapat digunakan rumus

Metode numerik

10

Ringkasan

tuti

~

f ( x ) 

~

~

( 3.13)

f ' ( x)  x

dimana f(x) menyatakan suatu taksiran error dari fungsi dan

x menyatakan taksiran error dari x.
Contoh 3.3 :
Tentukan defleksi Y dari puncak tiang perahu layar yang dirumuskan
Y 

FL4
8 EI

Dimana F adalah beban samping ( pon/kaki), L adalah tinggi (kaki), E modulus
kekenyalan( pon/kaki2) dan I momen inersi ( kaki4). Taksirlah eror dalam Y jika
F = 50 pon/kaki , L = 30 pon /kaki , E = 1.5 X 108 pon/ kaki4 dan I = 0.06 kaki4

F = 2 pon/kaki ,

 L = 0.1 pon /kaki ,

E = 0.01 X 108 pon/ kaki4 dan

 I = 0.0006 kaki2

Daftar Pustaka
- Chapra S.C& Canale R.P ( 1988) ‘ Metode Numerik’ Mc Graw-Hill, Inc.
- Conte S.D / Carl de Boor( 1980) ‘Dasar-Dasar Analisis Numerik’ Mc Graw-Hill, Inc.

Metode numerik

11