Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka
MODUL DERI VATI F
A. KONSEP DASAR TURUNAN
y = f ( xo + ∆x ) - f ( xo ) x x y / x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan
3. Diferensiasi fungsi pangkat
3
= 16x
4-1
maka y’ = 4.4x
4
Contoh : y = 4x
n –1
, dimana a adalah konstanta, maka y = n.a x
n
Jika y = ax
Contoh : y = 24 + 16x maka y’ = 16
tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan : y = f (x) = lim y/ x =
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x 0. y Jika y = f ( x ), maka
, dimana a adalah konstanta, maka
y = a + bx
Jika
2. Diferensiasi fungsi linier
Jika y = k , dimana k adalah konstanta, maka y = 0 Contoh : y = 3 maka y’ = 0
1. Diferensiasi fungsi konstanta
x 0 x Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :
x
lim f ( x + x) – f ( x)
y = b
4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi
Jika v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka
y = u y = u v
3
2
2 Contoh : y = 8x – 8x maka y’ = 24x – 16x
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta Jika , dimana u = g (x), maka
y = k.u y = k.u
2 Contoh : y = 4.4x maka y’ = 4.8x = 32x
b. Perkalian fungsi Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v
6
3 Contoh : y = ( 2x – 1 )( 2x – 5 ) maka
5
3
6
2
8
5
2
y’ = (12x )(2x – 5) + (2x – 1)(6x ) = 36x – 60x – 6x
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka = u.v – u.v
y = u y
2 V
6
5
3
6
2 Contoh : y = (2x – 1) maka y’ = (12x )(2x – 5) – (2x – 1)(6x )
3
3
2
(2x – 5) (2x – 5)
8
5
2
y’ = 36x – 60x – 6x
3
2
(2x – 5)
7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )
Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g ( x) ] , maka
dy = dy . du dx du . dx
2
2
contoh : y = ( 3x + 2 )
2
2
misalkan : u = 3x + 2 , sehingga y = u du / dx = 6x dy / du = 2u
2
3
maka dy = dy . du = 2u . 6x = 2 (3x + 2)(6x) = 36x + 12x dx du . dx
8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali.
n n n
Derivatif ke-n dilambangkan : d y atau f ( x) atau d ( y)
n dx dx
5
4
3
2 Contoh : y = 5x + 4x + 3x + 2x + x maka
4
3
2
y’ atau dy / dx = 25x + 16x + 9x + 4x + 1
2
2
3
2
y’’atau d y/ d y = 100x + 48x + 18x + 4 ………..dst
9. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan suku demi suku
f ( x,y) = 0
dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai
dy/ dx .
2
2 Contoh : xy - x + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :
1.y2 + x.2y dy/ dx – 2x + dy / dx = 0
2
( 2xy + 1 ) dy/ dx = - y + 2x
2
dy/ dx = - y + 2x 2xy + 1
10. Derivatif fungsi logaritmik
- y = ln x dy/ dx = 1/ x
, dimana u = g (x)
y = ln u dy = du . 1 = u dx dx u u a a
- y =
log x dy/ dx = 1/ ln a
Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx u = 3 – 3x2 du / dx = u’ = -6x dy = u’ = -6x dx u 3 – 3x2
11. Derivatif fungsi eksponensial x x
- y = e
dy/ dx = e x x
- y = a dy/ dx = a ln a
12. Derivatif fungsi trigonometrik
Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :
- y = sin x dy/ dx = cos x
- y = cos x dy/ dx = - sin x
- y = tg x dy/ dx = sec
2
x2 x
- y = ctg x dy/ dx = - cosec
- y = sec x dy/ dx = sec x . tg x
- y = cosec x
dy/ dx = - cosec x . ctg x
Catatan : sec x = 1 / cos x cos x = 1 / sin xB. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERI VATI FNYA
1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )
( x) > 0
1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal
(x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner
3. Nilai stasioner Jika diketahui y = f (x) , maka pada f
( x) < 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f
1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f
2. Cari koefisien arah m = f ‘ ( x)
2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
Singgung kurva
Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis
Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :
4. Cari Garis Normal dengan rumus :
y - yo = m ( x – xo)
3. Cari Garis singgung dengan rumus :
y - yo = -1 ( x – xo ) m
Jenis – jenis Titik Stasioner adalah : Jika ( x) > 0 , maka (x , y) merupakan f titik balik minimum
Jika , maka (x , y) merupakan f ( x) < 0 titik balik maksimum
Jika , maka (x , y) merupakan
f ( x) = 0 titik balik belok
2 Contoh : Diketahui TR = 30Q - Q , tentukanlah nilai maksimum
atau minimum dari fungsi tsb ! Jawab : TR = 0 TR’ = 30 – 2Q = 0
2Q = 30 maka Q = 15 TR = -2 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum)
2 Nilai Minimum TR = 30Q - Q
2
= 30(15) - (15) = 225
C. APLI KASI DERI VATI F DALAM BI SNI S DAN EKONOMI
1. ELASTI SI TAS
a. Elastisitas Harga
Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :
1. Elastisitas Tit ik ( Point Elasticity )
= Q/ Q = Q . P P/ P P Q
2. Elastisitas Busur ( Arc Elast icity ) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.
= P1 . Q
Q1 P
= P2 . Q
Q2 P
= P1 + P2 . Q Q1 + Q2 P
Elastisitas Tit ik dan Busur dipakai untuk menghitung :
a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 ( negatif)
b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 ( positif) Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :
> 1 Elastis < 1 atau 0< n< 1 I nelastis (elastis sebagian) = 1 Unitary Elastis (elastis sempurna)
b. Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas permintaannya
d = Qd . P Qd
2 Contoh : Fs. permintaan Qd = 25 – 3P . tentukan elastisitas pada P = 5
Qd’ = -6P
2 Maka d = Qd . P = (-6P ) . P = -6P
2
2 Qd ( 25 – 3P ) ( 25 – 3P )
c. Elastisitas Penaw aran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya :
s = Qs . P Qs
2 Contoh : Fs Penawaran Qs = 7P – 200. Hitunglah elast isitas pada P = 10
Qs’ = 14P
2 s = Qs . P = 14P . P = 14P
2
2 Qs
7P – 200 7P – 200
2 P = 10 maka s = 14(10) = 2,8
2
7(10) – 200
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output ) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya :
p = P . X P
2
3 Contoh : Fs Produksi P = 6x – x . Hitunglah elastisitas pada x = 5
2 P’ = 12x – 3x
2
2
3
p = P . X = ( 12x – 3x ) . X = 12x – 3x
2
3
2
3 P 6x – x 6x – x
2
3 X = 5 maka p = 12(5) – 3(5) = -3
2
3
6(5) – (5)
2. BI AYA
o Biaya Total ( TC )
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
TC = f (Q) atau TC = FC + VC (Q) Dimana :
TC = Total cost
VC = Variabel cost FC = Fixed cost Q = Kuantitas o Biaya Rata – rata ( AC )
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total. o AC = TC / Q Biaya Marginal ( MC ) Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.
MC = TC = dTC / dQ
Contoh :
2 Diketahui TC = 150 + 15Q , Tentukan AC dan MC pada Q = 20 ?
AC = TC / Q = 150 / Q + 15Q = 150 / 20 + 15 (20) = 307,5 MC = TC = 30Q = 30 (20) = 600
3. PENERI MAAN
o Penerimaan Total ( TR )
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi. o TR = f ( Q) = P . Q Penerimaan Rata - rata ( AR ) Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang / jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut. o
AR = TR / Q = ( P.Q) / Q = P
Penerimaan Marginal ( MR )Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan satu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu.
MR = TR = dTR / dQ
- 14Q + 1000, tentukan AR dan MR pada Q = 50 ! Jawaban :
P = Rp 6 / unit
Analisis
Elastis
6,5
= -144 =
2
= -4 (6) . 6 50 - 2 (6)
2
= -4P . P 50 - 2P
d = Qd . P Qd
:
Jaw ab
2 Qd = -4P
Dik : Qd = 50 - 2P
. Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah !
2
1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 - 2P
Contoh Soal :
= 2Q + 14 = 2 (50) + 14 = 114
MR = TR
AR = TR / Q = Q + 14 + 1000 / Q = 50 + 14 + 1000 / 50 = 84
2
Contoh : Diketahui TR = Q
- 22
: Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 6,5 pada saat harga produk sebesar Rp 6 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 6,5 % .
- 80 Qs = 2P P = Rp 4 / unit
- 80 = 2 (4) . 4 (4)
- 80 = 32 = - 0,5 I nelastis
- 64
Dik :
= 900 – 450 = Rp. 450,-
2
= 30(30) - 0,5(30)
2
TR jika Q = 30 unit TR max = 30Q - 0,5Q
= 0 30 – Q = 0 Q = 30 unit
= (30 – 0,5Q) . Q = 30Q - 0,5Q
Jaw ab : TR = P . Q
P = 30 - 0,5 Qd
2P = 60 - Qd
3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 - Q . Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit, analisislah !
2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P
: Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 0,5 pada saat harga produk sebesar Rp 4 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 0,5 % .
Analisis
2
2
= 2P . P P
Jaw ab : s = Qs . P Qs
2
= 80 + Qs Qs = P
2
Dik : P
= 80 + Qs . Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah !
2
2 TR max, TR
- P max = TRmax Qmax = 450 = Rp. 15,-
30
- TR jika Q = 10 unit
2 TR = 30Q - 0,5Q
2
= 30(10) - 0,5(10) = 300 – 50 = Rp. 250,-
: Berawal dari tingkat penjualan sebesar 30 unit dan diperoleh penerimaan
Analisis
maksimal sebesar Rp.450,- dengan harga maksimal Rp.15,-, jika barang yang dijual sebanyak 10 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.250,-.
Daftar Pustaka :
Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta,
1995.
I NTEGRAL TAK TENTU
I . KONSEP DASAR I NTEGRAL Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ).
A. I NTEGRAL TAK TENTU Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya. Bentuk umum : Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu.
Contoh : ∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ 12x 3
- 9x 2 – 2x + 2 dx = 12x 3+ 1 + 9x 2+ 1 - 2x 1+ 1 – 2x + c 3+ 1 2+ 1 1+ 1 = 3x 4 + 3x 3
- 0,5 Ln (1 + x) = 1 Ln (1 + x) = -2
- –2
- -kx
- - r. t
- r. t
- C
- r. t
- P
- – 0.05. t
- – 0.05. t
- – 0.05. 12
– x
2 – 2x + cBila c = 4, maka F( x) = 3x 4 + 3x 3 – x 2 – 2x + 4
I I . PENERAPAN I NTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).
Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi :
A. Fungsi Biaya Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :
∫ f(x) dx = F(x) + c ∫ un. du = U n+1 + c, n ≠ -1 n +1
F(Q) = ∫ f (Q) dQ TC = ∫ MC dQ Dan Biaya rata-rata (AC) :
AC = TC / Q Contoh: 2 Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q , maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4 ?
TC = ∫ MC dQ 2 = - 9Q dQ ∫ 12Q 2 3
= 6Q – 3Q + c Jika c = 4 2 3 TC = 6Q – 3Q + 4 2 AC = TC / Q = 6Q – 3Q + 4/ Q Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC 2 3 2 = 6Q – 3Q + 4 dan fungsi biya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q +
4/ Q.
B. Fungsi Penerimaan Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR). F(Q) = ∫ f(Q) dQ TR = ∫ MR dQ
Contoh :
2
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ? TR = ∫ MR dQ 2 = ∫ 15Q + 10Q – 5 dQ 3 2 = 5Q + 5Q – 5Q + c jika c = 0 3 2 TR = 5Q + 5Q – 5QC. Fungsi Produksi
a. Produk Total : P = f( Q) , dimana P = keluaran dan Q = masukan
b. Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’( Q) c. Produk Total adalah integral dari produk marginal.
P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ Contoh : 2 Diketahui produk marginalnya 2Q + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? 2 P = + 4
∫ MP dQ = ∫ 2Q 3 = 2/ 3 Q + 4Q + c 3 jika c = 0, P = 2/ 3 Q + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 3 2/ 3 Q + 4Q
D. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + bY MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C S = g(Y) = -a + (1-b)Y MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S Y = C + S
Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ] MPC + MPS = 1 Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + c S = ∫ MPS dY = G(Y) + c
a. : konsumsi otonom menunjukkan besarnya k = a = Autonomous Consumption konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol
b. k = a = Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).
c.
: Perbandingan antara besarnya perubahan MPC ( Marginal Propensity to Consume) konsumsi ( ∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. d.
: Perbandingan antara besarnya MPS ( Marginal Propensity to Saving) perubahan saving ( ∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
1 > MPC > ½ Keterangan : menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk
MPC < 1, menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan. menunj ukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk
MPC > ½ , konsumsi. MPC selalu positif , karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.
Contoh : Dimana C = ∫ MPC dY = ½ dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab :
C = ∫ MPC dY = ∫ ½ dY = ½ Y + 50 S = Y – ( ½ Y + 50 ) = Y – 50 - ½ Y S = ½ Y – 50 Atau S = Y – C S = ∫ MPS dY = ∫ ½ dY = ½ Y – 50 Y = C + S Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 )
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = ½ Y + 50, fungsi tabungan adalah S = ½ Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 ). Daftar Pustaka : Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1995.
MODUL I NTEGRAL TERTENTU
I ntegral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.2
F a b F x F dx x f
b a b a
x x dx x
2
2
5
2
2
5
Rumus I ntegral tertentu :
Keterangan : a = x = batas minimum b = x = batas maksimum dimana a < b contoh : Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a= 2 dan b= 5 ! Jawab Penerapan I nt egral Tert ent u Dalam Ekonomi5 5 [ ] 5 [
5 )] 2 [ 5 (
36 )] 2 (
A. Surplus Konsumen
) ( ) (
Pe P dP f Pe Qe dQ Q f Cs
Qe P
P = Tingkat harga pada saat Q= 0
Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/ surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan (P= f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe). contoh :
1. Jika fungsi permintaan P = 8 - Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya adalah 2, hitunglah surplus konsumennya dan analisislah! 2 8 ( 2 )
6 Qe Pe Qe
( )
Cs f Q dQ Qe Pe 2
8
2
6 Q dQ
2
8 ,
5
12 Q Q
2 2
8 2 .
5
2 8 .
5
12
14
12
2
Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barang tersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.
2. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 6 - P. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga keseimbangan pasarnya 4 ! 4 6 ( 4 )
2 Pe Qe
6 P Q
P 6 Q P P Cs f P dP 6 Pe
6 P dP
4 2 6 6 .
5 P P 4 2 2
6 6 .
5
6
6 4 .
5
4
18
16 2
Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barang tersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.
B. Surplus Produsen
Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/ surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe) rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Qe Pe ( ) ( )
Ps Qe Pe f Q dQ f P dP
P
Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
P = Tingkat harga pada saat Q= 0 Contoh
1. Bila diketahui fungsi penawaran P = 2Q + 2 dan fungsi permintaan P = 8 - Q. Carilah surplus produsen dengan dua cara dan analisislah! Cara 1 :
Pd Ps
2
2
8 Q Q
2
2
2 P
3
8
2 Q
6 Pe
Qe 2 Qe Ps Qe Pe f Q dQ
2
2
6
2
2 Q dQ
2 2
12
2 Q Q
2 2
12
2
2
2
2
12
8
4
Cara 2 :
2
2 P Q
1 P Q
2
2 Q P
2 Q P P .
5
Pe 1 Q P Ps f P dP 6 P .
5
1 P dP
2 2 6 .
25 P P 2 2 2 .
25
6 6 .
25
2
2
3
1 4
Analisa : Produsen memperoleh keuntungan sebesar 4 dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga 6 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah.
MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL
Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang.
Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi
trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.
A. Fungsi Eksponensial Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.
Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah :
di mana x n > 0
y = n Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah :
di mana n
kx y = ne + c
e = 2,71828 k , c merupakan konstanta
Contoh Soal : 0.5x
Tentukan titik potong kurva eksponensial pada masing-masing
y = e - 1 ,
sumbu dan hitunglah f (2) ! Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
0.5x
e = 1
0.5x
Ln e = Ln 1 0.5x Ln e = Ln 1 Ln e = 1 0,5x = 0 Ln 1 = 0 x = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 )
Pada sumbu y ; x = 0
0.5x
y = e - 1
0.5 (0)
y = e - 1 y = e - 1 y = 1 - 1 y = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 )
Untuk x = 2 0.5x
y = e - 1
0.5 (2)
y = e - 1
1
y = e – 1 y = 2,72 – 1 y = 1,72 Titik potongnya ( 2 ; 1,72 )
Grafik 1 0.5x Kurva Eksponensial pada y = e - 1 Fungsi Logaritmik B.
Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.
Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah : n di mana n > 0 y = log x
n
1
Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : di mana x > -1
y = a ln (1 + x) + b Contoh soal :
Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) –1, pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (3) ! Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
1 + x = e 1 + x = 0,14 x = - 0.86
Titik potongnya (-0,86 ; 0 )
Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,5 Ln (1 + x) –1 y = -0,5 Ln (1 + 0) –1 y = -0,5 Ln 1 –1 y = -0,5 .0 – 1 y = –1 Titik potongnya ( 0 ; -1 )
Untuk x = 3
y = -0,5 Ln (1 + x) –1 y = -0,5 Ln (1 + 3) –1 y = -0,5 Ln 4 –1 y = -0,69 –1 y = -1,69 Titik potongnya ( 3 ; -1,69 )
C. Penerapan Ekonomi
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain :
1. Model Bunga Majemuk
Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial. atau di mana :
Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun. P = Jumlah sekarang (tahun ke-0). i = Tingkat bunga pertahun. m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. n = Jumlah tahun
Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini.
Fn = P(1 + i) n
Fn = P(1 + ) m.n m i Grafik 2 Kurva Logaritmik pada y = - 0.5 Ln ( 1 + x) = 1 Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara : di mana e = 2,71828
Contoh Soal :
Fn ≈ Pe m
Jaw ab:
A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa 1) . Tanpa Menggunakan Logaritma
F 5 = 10.000.000 . (1 +
0.10
)12.5
12 F 5 = 10.000.000 . (1.008)
Fn = P(1 + ) m.n m i
Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang dibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secara bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo !
60 F
60
Log F 5 = log 10.000.000 + 60 log 1.613 Log F5
= 7 + 0.208
Log F 5 = 7.208 F 5 = 16.130.000,-
F 5 = 10.000.000 . (1.008)
= 10.000.000 . (1.613)
5
F 5 = 16.130.000,- 2) . Dengan Menggunakan Logaritma
B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung 1) . Tanpa Menggunakan Logaritma
i.m Fn ≈ Pe
0.10 . 5 ≈ 10.000.000. e
F
5
0.5 ≈
F
5 ≈ 10.000.000. e 10.000.000. (1.65) ≈ 16.500.000, -
2) . Dengan Menggunakan Logaritma 050
F ≈ 10.000.000. e
5 ≈
Ln F
5 Ln 10.000.000 + 0.5 Ln e Ln e = 1
≈
Ln F
5 16.12 + 0.5
Ln F -
5 ≈
16.52 ≈ 16.500.000,
Analisis :
“Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo adalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5 tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-.”
2. Model Pertumbuhan
Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel – variabel lain, berkenaan dengan pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut :
t-1 P t = P . R R = 1 + r
1
di mana : P t = Jumlah penduduk pada tahun ke-t. t = Jumlah tahun.
P 1 = Jumlah penduduk sekarang. r = Tingkat pertumbuhan
Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi :
t-1 N t = N 1 .R R = 1 + r
di mana : N = Variabel yang diamati. r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu. t = I ndeks waktu.
Contoh Soal : Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di I ndonesia, mulai beroperasi tahun
2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / sales sebanyak 100 orang untuk seluruh I ndonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 15 % pertahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing dalam jaringan MS Net pada tahun 2010 ? dan analisislah ! Jawab :
Diketahui : N = 100 orang t = 8 tahun
R = 1 + 0.15 r = 0.15
Ditanya : N = ….. ?
8 t-1
Jawab : N t = N 1 .R
8-1
N = 100 . (1.15)8 N 8 = 100 . (2.66) N 8 = 266 orang Analisis : “ Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales) akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang.
Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya.”
3. Kurva Gompertz
Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.
t r
N = c a
di mana : N = Jumlah variabel yang diamati. c = Batas jenuh pertumbuhan. a = Proporsi pertumbuhan awal. r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r < 1). t = I ndeks waktu.
Contoh Soal : Perusahaan “MQ Enterprise” merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbu yang sudah beroperasi selama 3 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak 7.500 buah, terjual laris di pasar . jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 20 % , dengan batas maksimum produksi sebanyak 30.000 buah, hitunglah berapa jumlah produksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah ! Jawab :
Diketahui : C = 30.000 buah r = 0.20 A = X = 7.500 = 0.25 t = 3
C 30.000
Ditanya : N untuk tahun ke–3 atau N
3 = …….?
Jawab : Untuk t = 3
0.20 ^ 3
N = 30.000. ( 0.25 ) Log N = log log 30.000 + 0.20 3 log 0.25 Log N = 4.477 + 0.008 . ( -0.602 ) Log N = 4.477 – 0.0048 Log N = 4.4722 N = 29.661 buah
Analisis : “ Dengan produksi awal sebesar 7.500 buah. Ditambah rata - rata pertumbuhan sekitar 20 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun ke – 3 sebesar 29.661 buah. Jumlah produksi tahun ke- 3 masih dibawah produksi maksimum perusahaan yaitu 30.000 buah”.
4. Kurva Belajar ( Learning Curve)
Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu.
Bentuk dasar :
k, m, s > 0 y = m - se Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai.
Prilaku Produksi :
P = P m - P s . e
di mana : P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu. P m = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. P = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi
s (pada t = 0).
t = I ndeks waktu. r = Tingkat pertumbuhan produksi.
s . e
P s = 40 % (10.000) = 4.000 t = 1 tahun (12 bulan) a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan. P = P
C = C m
P = 10.000 – 4.000 . e
. e
s
m
Jawab :
Diketahui : P m = 10.000 r = 0.05
c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik beroperasi selama 1 tahun (12 bulan) ! d. Analisislah !
(pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersedia. Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 % setiap bulannya. Maka : a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut ! b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya !
Contoh Soal : Percetakan “Adil Sejahtera” mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi hingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi
di mana : C = Biaya total persatuan waktu. C m = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan waktu. C s = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). t = I ndeks waktu. r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.
Prilaku Biaya :
60 % x 10.000 = 6.000 cetakan c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan).
P = 10.000 – 4.000 . e
= 10.000 – 4.000 . e = 10.000 – 4.000 . ( 0.549 ) = 10.000 – 2196 P = 7.804 cetakan.
Analisis :
“Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak 7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 1804 cetakan.”