NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS SKRIPSI

  

NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL

FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

  

Oleh :

Felisitas Sekar Dayu Rinakit

NIM : 081414069

  

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  

NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL

FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

  

Oleh :

Felisitas Sekar Dayu Rinakit

NIM : 081414069

  

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Skripsi ini kupersembahkan untuk kedua orangtuaku, adik, nenek, dan seluruh keluargaku.

  

ABSTRAK

Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu

Variabel Bebas. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

  Skripsi ini membahas tentang pengertian fungsional, nilai ekstrim suatu fungsional, dan persamaan Euler. Selama ini telah banyak dibahas mengenai nilai ekstrim suatu fungsi baik itu fungsi satu variabel maupun fungsi beberapa variabel. Kali ini, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai nilai ekstrim suatu fungsional.

  Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya merupakan fungsi, dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi. Daerah asal suatu fungsional adalah ruang fungsi, dan daerah hasilnya adalah himpunan bilangan real. Nilai ekstrim relatif suatu fungsional dapat dibedakan menjadi dua, yaitu nilai ekstrim kuat dan nilai ekstrim lemah. Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih besar (luas). Nilai ekstrim lemah pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit). Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang yang lebih besar. Syarat perlu suatu fungsional mencapai nilai ekstrim di suatu titik tertentu yaitu diferensial dari fungsional di titik itu adalah 0.

  Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu nilai ekstrim dari

  ′

  fungsional yang berbentuk , untuk daerah asal = , ( ), ( ) fungsional memenuhi suatu syarat batas; yakni nilai fungsi-fungsi dalam daerah asal tersebut adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi itu. Syarat perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, di mana fungsi yang membuat

  [ ] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Jika

  = ( ) membuat [ ] memiliki nilai ekstrim,

  ′

  maka persamaan Eulernya adalah , , ′ − ′ , , = 0.

  Dalam skripsi ini, teorema mengenai syarat perlu suatu fungsional mencapai nilai ekstrim di suatu titik tertentu akan dibuktikan. Begitu pula dengan teorema tentang persamaan Euler. Kata kunci : fungsional, nilai ekstrim, persamaan Euler.

  

ABSTRACT

Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Extreme Value of Functional for

Function With One Independent Variable. Thesis. Mathematics Education

Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of

Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

  This thesis discusses the definition of a functional, extreme value of a functional, and Euler’s equation. All this time, there are many discussions about extreme value of function both function of one variable and several variables. But, this thesis will discuss about extreme value of a functional.

  Functional is a kind of function that its independent variable are functions. Or in the other word we can say that functional is a function of function. Domain of a functional is a function space and the range is a set of real number. The relative extreme value of a functional can be differed into two. They are strong extreme value and weak extreme value. The strong extreme value of a functional is an extreme value on a bigger space (broader). The weak extreme value of a functional is an extreme value on a smaller space (narrower). The smaller space is a proper subset of the bigger space. Necessary condition of a functional to get extreme value in a certain point is that its differential in that point is 0.

  There is a theorem of necessary condition of extreme value from the

  ′

  functional . The domain of that functional should = , ( ), ( ) satisfy the boundary condition; i.e. the value of functions on its domain is same at its end points. The necessary condition is a differential equation in which the function that made

  [ ] has extreme value, will satisfy the diferential equation. That differential equation i s called Euler’s equation. If = ( ) make [ ] has

  ′

  extreme value then its Euler’s equation is , , ′ − ′ , , = 0.

  In this thesis, theorem of the necessary condition of a function to has extreme value in a certain point will be proved. And also the theorem of E uler’s equation.

  Key words : functional, extreme value, Euler ’s equation

KATA PENGANTAR

  Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penyusunan skripsi yang berjudul

  “Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas ” dapat terselesaikan.

  Banyak hambatan dan rintangan yang penulis hadapi dalam proses penyusunan skripsi ini. Namun atas berkat dan rahmat-Nya serta dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, penulis akhirnya dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada :

  1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

  2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma.

  3. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

  4. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah memberikan saran, bimbingan, dan dorongan kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini.

  5. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., dan Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd., M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan kepada penulis.

  6. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan banyak ilmu kepada penulis selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.

  7. Seluruh staf sekretariat JPMIPA.

  8. Bapak, ibuk, adik, nenek, serta seluruh keluarga penulis yang selalu memberikan banyak dukungan, dan semangat kepada penulis.

  9. Teman- teman P.Mat’08 Soso, Nia, Vika, Ray, Deka, Zeny, Niken, dan yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas kebersamaannya selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.

  10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

  Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, sehingga penulis meminta saran dan kritik dari pembaca agar kedepannya dapat lebih baik lagi. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih dan semoga skripsi ini dapat berguna untuk pembaca.

  Yogyakarta, Desember 2013 Penulis

  Felisitas Sekar Dayu Rinakit

  DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ................................. ii HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... v ABSTRAK ....................................................................................................... vi

  

ABTRACT ........................................................................................................ vii

  LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...................... viii KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix DAFTAR ISI .................................................................................................... xi

  BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1 A. Latar Belakang ............................................................................................ 1 B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 2 C. Tujuan Penulisan ......................................................................................... 2 D. Pembatasan Masalah ................................................................................... 2 E. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 3 F. Metode Penulisan ........................................................................................ 3 G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 4 BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 5 A. Fungsi .......................................................................................................... 5 B. Limit ............................................................................................................ 6 C. Kontinuitas ................................................................................................ 11 D. Turunan ..................................................................................................... 14 E. Nilai Maksimum dan Minimum ................................................................ 20 F. Integral ...................................................................................................... 27 G. Kalkulus Multivariabel.............................................................................. 35 H. Deret Tak Hingga ...................................................................................... 45 I. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................... 54

  A. Ruang Fungsi ............................................................................................ 57

  B. Fungsional ............................................................................................... 104

  C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas ........................... 119

  BAB IV PERSAMAAN EULER .................................................................. 124 BAB V PENUTUP ........................................................................................ 135 A. Kesimpulan ............................................................................................. 135 B. Saran ........................................................................................................ 137 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 138

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Permasalahan mengenai suatu nilai yang optimum sangat dibutuhkan

  dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saja dalam mencari luas maksimum, biaya minimum, dan sebagainya.

  Dalam kalkulus diferensial, dapat ditemukan sehingga ( ) mencapai nilai ekstrim. Sedangkan dalam kalkulus peubah banyak, dapat ditemukan ( , , ) sehingga , , ) mencapai nilai ekstrim.

  1 2 … , (

  1 2 … , Nilai ekstrim adalah nilai maksimum dan minimum fungsi-fungsi tersebut.

  Dalam analisis fungsional, salah satu konsep yang dipelajari adalah konsep tentang fungsional. Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi.

  Selama ini telah dikenal rumus panjang kurva = ( ), ≤ ≤

  yaitu . Rumus tersebut merupakan suatu fungsional = 1 + [ ] dengan variabel bebas fungsi

  2 ′

  ( ). Dengan mencari = ( ) agar fungsional tersebut mencapai nilai minimum, itu berarti sama saja dengan mencari kurva yang terpendek.

  Salah satu bentuk fungsional adalah sebagai berikut =

  ′

  . Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu , ( ), ( )

  ′ nilai ekstrim dari fungsional yang berbentuk .

  = , ( ), ( ) Syarat perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang membuat

  [ ] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis akan membahas tentang nilai ekstrim suatu fungsional dan persamaan Euler tersebut.

  B. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :

  1. Bagaimana pengertian nilai ekstrim suatu fungsional?

  2. Apa yang dimaksud dengan persamaan Euler?

  3. Bagaimana isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler?

  C. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah : 1. Mengetahui pengertian nilai ekstrim suatu fungsional.

  2. Mengertahui apa yang dimaksud dengan persamaan Euler.

  3. Mengetahui isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler.

  D. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas tentang fungsional untuk fungsi satu variabel bebas. Jadi dalam skripsi ini variabel bebas dari fungsional yang akan dibahas adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel bebas.

  Penulis juga akan membahas tentang persamaan Euler untuk nilai ekstrim suatu fungsional, dimana daerah asal fungsional memenuhi suatu syarat batas. Syarat batas tersebut yaitu nilai fungsi-fungsi dalam daerah asal adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi tersebut.

  Kemudian penulis juga membatasi tentang contoh penerapan persamaan Euler. Contoh persamaan Euler yang akan dibahas hanya berupa persamaan diferensial biasa.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat dari pembahasan ini adalah dapat memberikan kejelasan tentang nilai ekstrim suatu fungsional, dan dapat memberikan kejelasan tentang persamaan Euler.

  F. Metode Penulisan

  Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku-buku acuan yang digunakan.

G. Sistematika Penulisan

  Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

  Dalam bab II akan dibahas tentang teori-teori yang menjadi dasar pembahasan dalam bab III, diantaranya adalah fungsi, limit dan kontinuitas, turunan, nilai maksimum dan minimum fungsi satu variabel bebas, integral, fungsi peubah banyak, turunan parsial, nilai maksimum dan minimum fungsi peubah banyak, deret taylor, dan persamaan diferensial biasa.

  Dalam bab III pertama-tama akan dibahas tentang ruang fungsi, di mana ruang-ruang tersebut penting untuk daerah asal suatu fungsional.

  Setelah itu akan dibahas tentang pengertian dan contoh-contoh fungsional, diferensial suatu fungsional, dan nilai ekstrim suatu fungsional.

  Dalam bab IV akan dibahas teorema mengenai syarat perlu untuk

  ′

  suatu nilai ekstrim dari fungsional . Syarat = , ( ), ( ) perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang membuat

  [ ] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.

  Dalam bab V berisi tentang kesimpulan dan saran.

BAB II LANDASAN TEORI A. Fungsi Fungsi merupakan alat untuk menyatakan hubungan antara dua buah

  variabel atau lebih. Andaikan fungsi sebagai suatu mesin, maka dia akan mengolah masukan menjadi keluaran atau disebut juga hasil menurut aturan fungsi tersebut. Masukan dan keluaran itu haruslah anggota dari himpunan, sehingga sebelum membahas tentang fungsi, akan dibahas himpunan terlebih dahulu. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek-obyek yang dapat didefinisikan dengan tepat dan dapat dibedakan. Obyek-obyek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan tersebut, dan dinotasikan dengan huruf kecil.

  Definisi 2.1.1

  Himpunan yang tidak mengandung elemen disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅.

  Definisi 2.1.2 Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara tepat satu elemen, yang disebut f(x), dalam himpunan B.

  Dalam hal ini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan tidak kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x) adalah nilai f pada x dan dibaca “f dari x”. Daerah hasil (range) f adalah himpunan semua nilai f(x) di mana x berubah sepanjang daerah A. Lambang yang menyatakan suatu bilangan sembarang di daerah asal fungsi f disebut variabel bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut variabel tak bebas. Fungsi disebut juga pemetaan.

B. Limit

  Dalam limit fungsi, akan dianalisis mengenai perubahan nilai fungsi ketika masukan atau input fungsi itu bergerak mendekat semakain dekat tetapi tidak pernah sampai kepada nilai tertentu. lim f ( x ) L

  Dituliskan  dan dikatakan _{x  a} “limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L ”, jika kita dapat membuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a. Limit ini bisa didefinisikan sebagai berikut : Definisi 2.2.2

  Jika f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka tertentu yang memuat bilangan a, kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan lim f ( x )  L _{x  a} jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang berpadanan > 0 sedemikian rupa hingga

  − < bilamana 0 < − < . Cara lain untuk menuliskan baris terakhir definisi ini adalah : jika 0 <

  − < maka − <

  Dituliskan lim f ( x )  L dan dikatakan bahwa limit-kiri f(x) ketika x _{x  a } mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri] sama dengan L jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup dekat ke a dan x lebih kecil daripada a.

  Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Sisi-Kiri) lim f ( x )  L jika untuk setiap bilangan _{x  a }

  > 0 terdapat bilangan yang berpadanan > 0 sedemikian rupa hingga − < bilamana − < < .

  Dituliskan lim f ( x )  L dan dikatakan bahwa limit-kanan f(x) ketika x _{x  a } mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan] sama dengan L jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup dekat ke a dan x lebih besar daripada a.

  Definisi 2.2.4 (Definisi Limit Sisi-Kanan) L x f _{a x}  _

   (Hukum Perkalian Konstanta) 4.

  Pemangkatan) 7. c c

  ) ( lim ) ( lim , dengan bilangan bulat positif. (Hukum

   

  

   

   

  x f x f

  6.   ⁿ _{a x} ⁿ _{a x}

  ) (

lim (Hukum Hasil Bagi)

   ) ( lim ) ( lim ) (

    

   (Hukum Hasil Kali) 5. _{a x} ^{a x} _{a x} x g x f x g x f

    ) ( lim ). ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f _{ a x a x a x  }

    ) ( lim ) ( lim x f c x cf _{ a x a x }

   ) ( lim jika untuk setiap bilangan

     (Hukum Pengurangan) 3.

    ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f _{ a x a x a x  }

     (Hukum Penjumlahan) 2.

    ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f _{ a x a x a x  }

  ada, maka : 1.

  ) ( lim x f _{ a x}

  Hukum Limit : Andaikan bahwa c konstanta dan limit ) ( lim x f _{ a x} dan

  ) ( lim dan . ) ( lim L x f _{a x}  _ 

  ) ( lim jika dan hanya jika L x f _{a x} 

_



   

  sebagai berikut : L x f _{a x}

  Dari ketiga definisi sebelumnya, didapat syarat keberadaan limit yaitu

  > 0 terdapat bilangan yang berpadanan > 0 sedemikian rupa hingga − < bilamana < < + .

   lim

  8. a x _{a x}

  Bukti : ( ) ≤ ( ) Limit dan ada untuk → , sehingga :

  > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga 0 <

   ) ( ) ( lim , sehingga untuk sembarang

    L M x f x g _{a x}   

  >

  (menurut Hukum Pengurangan limit) Akan digunakan metode kontradikisi, sehingga dimisalkan

  ) ( ) ( lim

     

    L M x f x g _{a x}

   ) ( lim

   ) ( lim dan M x g _{a x} 

  L x f _{a x} 

  

    lim 9. ^{n n} _{a x}

  Jika ≤ ( ) pada waktu x dekat dengan a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduannya ada untuk x mendekati a maka ). ( lim ) ( lim x g x f _{ a x a x }

  Teorema 2.2.1

  )

   x f _{a x}

  , dengan bilangan bulat positif. (Jika genap, anggap bahwa ) ( lim 

  

  ( x f x f ) lim ) ( lim  

  > 0) 11. ⁿ _{a x} ⁿ _{a x}

  lim , dengan bilangan bulat positif. (Jika genap, anggap bahwa

   a x 

  10. ^{n n} _{a x}

   a x  lim , dengan bilangan bulat positif.

  − < → − ( ) − ( − ) < (menurut definisi 2.2.2) Ambil = − (karena > dari pernyataan awal), diperoleh > 0 sedemikian sehingga

  0 < − < → − ( ) − ( − ) < −

  Karena ≤ untuk setiap bilangan a maka diperoleh 0 <

  − < → − ( ) − ( − ) < − 0 < − < → − ( ) < 0 0 < − < → < ( )

  Didapat < ( ). Ini bertentangan dengan ( ) ≤ ( ). Oleh karena itu, ketidaksamaan

  > adalah salah. Oleh karena itu ≤ yaitu lim f ( x ) lim g ( x ). _{x  a x  a} 

  Teorema 2.2.2 (Teorema Apit)

  Jika ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) pada waktu dekat (kecuali mungkin di ) dan lim f ( x )  lim h ( x )  L maka lim g ( x )  L . _{x a x a x a}   

  Bukti : ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) Misalkan > 0 diberikan.

  Karena lim f ( x )  L , maka terdapat > 0 sedemikian sehingga _{x  a}

  

1

  0 <

  1 → − <

  − <

  0 <

  1 → − < < +

  − < Karena lim h ( x )  L , maka terdapat > 0 sedemikian sehingga _{x  a}

  

2

  0 <

  2

  − < → − < 0 < − <

  2 → − < < +

  pilih , = min

  1 2 .

  0 < 0 <

  Jika dan , sehingga

  1

  2

  − < maka 0 < − < − < − < ( ) ≤ ( ) ≤ < + − < ( ) < + ( ) − < Oleh karena itu,

  lim g ( x )  L _{x  a} C.

   Kontinuitas

  Setelah dibahas mengenai fungsi, limit, dan turunan, selanjutnya akan dibahas mengenai kontinuitas suatu fungsi.

  Definisi 2.3.1 Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika lim f ( x )  f ( a ). _{x a} 

  Definisi ini secara implisit mensyaratkan tiga hal, jika f kontinu di a : 1. f(a) terdefinisi (yaitu a berada di daerah asal f)

  lim f ( x )

  2. ada (sehingga harus memenuhi syarat keberadaan limit) _{x  a}

  lim f ( x ) f ( a )

  3.  _{x  a} Dari ketiga hal tersebut f(x) haruslah terdefinisi pada suatu selang

  terbuka yang memuat a, f(x) mempunyai sifat bahwa perubahan kecil pada x hanya menghasilkan perubahan kecil pada f(x), dan tidak ada celah pada kurvanya.

  Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tidak dipenuhi, maka f(x) dikatakan tidak kontinu di titik a. Jika f(x) tidak kontinu di titik a, maka f(x) dikatakan diskontinu di a.

  Defiinisi 2.3.2

  Sebuah fungsi f kontinu dari kanan pada sebuah bilangan a jika lim f ( x ) f ( a ) lim f ( x ) f ( a ). _{x  a }  dan f kontinu dari kiri pada a jika  _{x  a }

  Definisi 2.3.3

  Dikatakan f kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

  Teorema 2.3.1

  Jika lim g ( x )  b , maka lim f ( g ( x ))  f ( b ) . Dengan kontinu pada dan _{x  a x  a} kata lain, lim f ( g ( x )) f lim g ( x ) .

   _{x  a x  a}  

  Bukti : Fungsi kontinu pada , sehingga didapat

  f y  f b lim ( ) ( ) _{y  b}

  Ini berarti untuk setiap > 0 sedemikian sehingga > 0, terdapat

  1  y  b  f ( y )  b f ( )  .

  jika  maka 

  1 lim g ( x ) b _{x  a} 

  Ini berarti untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian sehingga jika  x  a   maka g ( x )  b   .

  g ( x )  b  .

  Karena  = ( ), maka didapat

  1 f ( g ( x ))  b f ( )  .

  Oleh karena itu, mengakibatkan  Oleh karena itu, untuk setiap

  > 0, terdapat > 0 sedemikian sehingga  x  a   f ( g ( x ))  b f ( )   . Jika maka Ini berarti lim f ( g ( x ))  f ( b ). _{x a} 

  Teorema 2.3.2

  Jika kontinu pada , dan kontinu pada ( ), maka fungsi komposit ∘ yang diberikan oleh ∘ = ( ) kontinu pada .

  Bukti : kontinu pada , sehingga didapat :

  lim g ( x ) g ( a ) _{x  a} 

  Karena kontinu pada ( ), maka dengan menerapkan teorema 2.3.1, akan

  lim f ( g ( x )) f ( g ( a )).

  diperoleh  _{x  a} Ini berarti fungsi ( ) kontinu pada . Karena itu, ∘ = ( ) kontinu pada .

D. Turunan

  Dalam kalkulus diferensial permasalahan yang dibahas adalah tentang bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.

  Misalnya antara waktu dan jarak, waktu dan populasi, (dalam kedua hal tersebut perubahan yang dimaksud adalah laju), dan sebagainya.

  Turunan adalah sebuah limit unik yang berkaitan dengan masalah bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain.

  f x h f x (  )  ( )

  Limit unik tersebut adalah sebagai berikut : lim . _{h }

  h Suatu fungsi f(x) dikatakan terdifirensialkan pada titik = asalkan nilai limit unik pada titik tersebut ada (terdefinisi).

  Definisi 2.4.1

  Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f ' a ( ) adalah

  f ( a  h )  f ( a ) f a  ' ( ) lim . _{h } h asalkan limit ini ada.

  Jika dituliskan = + , maka = − , dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x mendekati

  . Karena itu, cara setara mendefinisikan turunan

  f x  f a ( ) ( )

  adalah f a  ' ( ) lim . _{x  a}

  x  a

  Diberikan sembarang bilangan x yang bersifat bahwa

  f x  h  f x ( ) ( ) lim ada, maka didapat nilai f ' x ( ) pada x, sehingga f ' dapat _h  h

  dipandang sebagai suatu fungsi baru, disebut turunan dari f dan didefinisikan

  f ( x  h )  f ( x )

  sebagai berikut f x  ' ( ) lim . _{h }

  h

  Terdapat beberapa notasi yang sering digunakan untuk menyatakan

  ′ ′

  ,

  turunan, diantaranya adalah , , , , , ( ).

  f x h f x (  )  ( )

  Semua notasi ini mewakili ekspresi limit unik yang _{h } lim

  h f x h f x (  )  ( )

  ′ ′

  disebut turunan, sehingga = = = =

  lim _{h } = h = = ( ).

  Definisi 2.4.2

  Fungsi f dapat didiferensialkan di a jika f ' a ( ) ada. Fungsi f dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) [atau ( , ∞) atau (−∞, ) atau

  ( −∞, ∞)] jika fungsi f dapat didiferensialkan pada setiap bilangan dalam selang tersebut.

  Teorema 2.4.1

  Jika f dapat didiferensialkan di , maka f kontinu di .

  Bukti : dapat didiferensialkan di

  f

  , yaitu :

  f x  f a ( ) ( ) f a

  ' ( )  lim ada. (menurut definisi 2.4.1) _{x  a} x a

   −

  Karena ≠ maka − = − .

  −

  Oleh karena itu,

  f ( x )  f ( a )   lim  f ( x )  f ( a )   lim ( x  a ) _{x  a x  a} x  a

   

  f x f a ( )  ( )  x  a (menurut aturan hasil kali) lim . lim ( ) _{x  a x  a} x  a

  ′

  = . 0 = 0

  = + − = + − ( )

  lim f ( x ) lim f ( a ) f ( x ) f ( a ) _{x  a x  a}      lim ( ) lim ( ) ( )

 f a  f x  f a (menurut aturan penjumlahan)

_{x  a x  a}   f ( a ) f ( a )

     lim f ( x )  f ( a ) _{x  a}

  Karena itu, kontinu di (menurut definisi 2.3.1).

  Berikut adalah kemungkinan-kemungkinan di mana fungsi gagal memiliki turunan di

  = di dalam domainnya : Pada umumnya jika grafik suatu fungsi f mempunyai “pojok” atau

  “patahan” di dalamnya, maka grafik fungsi f tidak dapat didiferensialkan pada kondisi tersebut. (saat menghitung

  f”(a), kita akan menemukan bahwa limit

  kiri dan limit kanan berlainan sehingga turunan pada titik itu tidak ada) Jika kurva mempunyai garis singgung vertikal saat di

  = (garis singgung menjadi semakin curam ketika → 0), maka f tidak dapat didiferensialkan di

  . Garis singgung = ( ) di suatu titik adalah tegak kemiringan garis singgung = ( ) di suatu titik adalah turunan di titik tersebut, sehingga turunannya juga tidak terdefinisi.

  Pada sembarang ketidakkontinuan maka f gagal untuk dapat didiferensialkan. (menurut teorema 2.4.1) Rumus-Rumus Turunan : 1.

  (Turunan Fungsi Konstanta) = 0 2.

  Jika sembarang bilangan real, maka :

  −1

  (Aturan Pangkat) = 3.

  Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka : [ (Aturan Perkalian Konstanta)

  ] = ( ) 4. Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, maka :

  (Aturan Jumlah) ( ) +

• = 5.

  Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, maka : (Aturan Selisih)

  − ( ) − = 6.

  Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, maka : [ [

  = ( ) ] + ( ) ] (Aturan Hasil Kali) 7. Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, maka :

  [ [ ]− ] ( )

  , (Aturan Hasil Bagi) = ^{2 ( ) ≠ 0}

  ( ) ( ) Sekarang akan dibahas tentang turunan yang lebih tinggi. Jika fungsi dapat diturunkan, maka turunannya yaitu ’ juga berupa fungsi, sehingga ’

  ′ ′

  = bisa jadi mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh ′′.

  Fungsi ′′ yang baru ini disebut turunan kedua dari karena ’’ merupakan turunan dari turunan

  . Notasi-notasi dari turunan kedua dari

  = ( ) adalah sebagai berikut :

  2

  2 ′′

  = = ( )

  =

  2 ′′′ ′′

  Turunan ketiga = ( ) ’’’ adalah turunan dari turunan kedua : ′ .

  Notasi-notasi untuk turunan ketiga adalah :

  2

  3

  3 ′′′ ′′′

  = = = ( )

  =

  2 ( )

  Umumnya turunan ke- dan diperoleh dari f dari dinyatakan oleh dengan cara menurunkan n kali. Jika

  = ( ), maka dapat dituliskan :

  

(

) ( ( ( ) ) )

  = = ( )

  = Kali ini akan dibahas tentang diferensial. Jika

  = ( ), dengan ( ) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka diferensial adalah peubah bebas; yakni dapat diberi nilai sembarang bilangan real. Kemudian diferensial didefinisikan dalam bentuk oleh persamaaan

  

′

  = Oleh karena itu, adalah peubah tak bebas, dia tergantung pada nilai dan . Besar dari ∆ dapat dituliskan sebagai berikut :

  ∆ = ∆( = + ∆ − ( ) Misalkan

  = ∆ , sehingga ∆ menyatakan besarnya kurva = ( ) (perubahan tinggi kurva) jika berubah sebesar ∆ = .

  Kemiringan suatu garis singgung = ( ) di suatu titik adalah turunan

  ; yakni ′ di titik tersebut. Sehingga tinggi dari garis singgung adalah

  ′ ′

  ( ( )∆ . Karena = ∆ , maka tinggi dari garis singgung adalah ) .

  ′

  Padahal = , sehingga menyatakan besarnya garis singgung (tinggi garis singgung) jika berubah sebesar ∆ = .

E. Nilai Maksimum dan Minimum

  Kali ini akan dibahas tentang salah satu penerapan turunan yaitu masalah pengoptimalan. Di sini akan dicari nilai yang optimum dari suatu fungsi. Pengoptimalan tersebut bisa jadi mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Karena itu, akan dibahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum.

  Definisi 2.5.1

  Fungsi f mempunyai maksimum mutlak (atau maksimum global) di c jika ( ) ≥ ( ) untuk semua x di D, dengan D adalah daerah asal f. Bilangan ( ) disebut nilai maksimum f pada D. Secara serupa, f mempunyai minimum mutlak di c jika

  ( ) ≤ ( ) untuk semua x di D dan bilangan ( ) disebut nilai minimum f pada D. Nilai maksimum dan minimum f disebut nilai ekstrim f.

  Definisi 2.5.2

  Fungsi f mempunyai maksimum lokal (atau maksimum relatif) di c jika

  [ ini berarti bahwa

  ( ) ≥ ( ) bilamana x dekat c ( ) ≥ ( ) untuk semua di dalam suatu selang terbuka yang mengandung ]. Secara serupa, f mempunyai minimum lokal di c jika ( ) ≤ ( ) bilamana x dekat c.

  Teorema 2.5.1

  Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup , , maka f mencapai nilai maksimum mutlak f(c) dan minimum mutlak f(d) pada suatu bilangan c dan d dalam , .

  Bukti : Fungsi f kontinu pada selang tertutup

  , sehingga menurut definisi 2.3.3 fungsi f kontinu pada , yaitu kontinu di setiap titik dalam , , kontinu kanan di a yaitu lim f ( x )  f ( a ) , dan kontinu kiri di b yaitu lim f ( x )  f ( b ) _{x  a x  b  }

  Di sini daerah asal fungsi f adalah , . Karena f kontinu pada

  , sehingga untuk c di interval , didapat lim f ( x ) f ( c ). _{x  c}  Oleh karena itu, ada

  ( ), ( ), dan ( ) untuk di interval ( , ). Karena bilangan real terdapat ) di mana ) ) untuk (

  

1 (

1 ≥ ( sepanjang

  interval ) di mana ) ) untuk

  2 ( 2 ≤ ( sepanjang

  , dan terdapat ( interval , .

  Menurut definisi 2.5.1, f memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di daerah asal f yaitu dalam selang tertutup , .

  Dari teorema di atas dapat dikatakan bahwa jika fungsi itu tidak kontinu atau fungsi itu tidak berada pada selang tertutup , maka fungsi itu bisa jadi tidak mempunyai atau belum tentu mempunyai nilai ekstrim di

  , .

  Teorema 2.5.2 (Teorema Fermat) ′

  Jika ( mempunyai maksimum atau minimum lokal di dan jika ) ada

  ′

  maka = 0.

  Bukti : Andaikan f mempunyai maksimum lokal di c, sehingga menurut definisi 2.5.2,

  ( ) ≥ ( ) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat ke 0, dengan h positif atau negatif, maka ( ) ≥ ( + ) oleh karena itu,

• − ( ) ≤ 0 Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah ketidaksamaannya tetap.

Oleh karena itu, jika > 0, dan cukup kecil, dapat diperoleh :

• − ( )

  ≤ 0 Dengan mengambil limit kanan (karena

  > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini, diperoleh :

  f c  h  f c ( ) ( ) _{h  h } lim  lim _{ } h

  (menurut teorema 2.3.1)

  f c  h  f c ( ) ( ) _{h } lim  _ h f c  h  f c

  ( ) ( ) ′ f c  ada. (menurut definisi 2.4.1)

  ' ( ) lim

  ada, sehingga _{h }

  h

  Oleh karena itu,

  f c  h  f c f c  h  f c ( ) ( ) ( ) ( ) f c

  ' ( )  lim = lim  _{x  h  } h h

  (menurut syarat keberadaan limit)

  f c  h  f c ( ) ( ) f c  

  ' ( ) lim _{x } h f ' ( c ) 

  Sekarang untuk < 0

  Kedua ruas ketidaksamaan