REGRESI POISSON BIVARIAT DENGAN KOVARIAN MERUPAKAN FUNGSI DARI VARIABEL BEBAS Untung Kurniawan

REGRESI POISSON BIVARIAT DENGAN KOVARIAN

*
MERUPAKAN FUNGSI DARI VARIABEL BEBAS

1 Untung Kurniawan

1 Badan Pusat Statistik Kabupaten Klaten, Indonesia, untungk@bps.go.id

Indonesian Journal of Statistics and Its Applications (eISSN:2599-0802)

Vol 2 No 1 (2018), 23 - 34

Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any

medium, provided the original work is properly cited.

Abstract Poisson regression is a regression model which often used to analyze the count

data. In this study, poisson regression has been used bivariate poisson regression

where the regression is a method which is used to model a pair of correlated count

data with multiple predictor variables. The model is used covariance which has a

function of the independent variable. The purposes of this study is obtain parameter

estimates, test statistics of bivariate poisson regression, and determine the factors that

influence of infant mortality and maternal mortality. The data is used from the infant

mortality and maternal mortality in Central Java 2015. Based on the result, the

parameter estimation of poisson bivariate regression model using maximum likelihood

(MLE) method. The results obtained from the parameter estimation are not close form

so it needs to be done by Newton-Raphson iteration method. In testing the hypothesis

using the Maximum Likelihood Ratio Test method (MLRT) by comparing the value

between likelihood below H and likelihood below population. Partial of parameters

model (infant mortality) there are six independent variables that have significant

influence, namely, delivery by health personnel (X ), pregnant women carry out the

program K4 (X ), pregnant women who get Fe3 tablet (X ), handling obstetric

complication (X ), exclusively breastfed infants (X ), and households living a clean and

healthy life (X (maternal death) only variable handling of neonatal

). While for model λ

6 complication (X ) which have no significant influence to response variable.

Keywords: bivariate poisson regression, infant mortality, maternal mortality, maximum

likelihood estimation.

1. Pendahuluan

Seringkali suatu penelitian mengkaji hubungan antara variabel respon dan variabel bebas yang merupakan suatu teknik statistik yang disebut dengan analisis regresi.

24 Kurniawan

Sebagian besar analisis regresi menggunakan tipe data kontinu untuk variabel respon. Pada kenyataannya, banyak ditemukan kasus data dengan tipe diskrit pada variabel responnya (Long, 1997). Analisis yang tepat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah analisis regresi poisson. Suatu peristiwa akan mengikuti distribusi poisson jika peristiwa itu jarang sekali terjadi dalam suatu ruang sampel yang besar (Cameron dan Trivedi, 1998). Jumlah kematian bayi dan kematian ibu merupakan salah satu contoh data count yang mengikuti distribusi poisson. Untuk mengetahui faktor-faktor yang berpotensi dalam meningkatkan jumlah kasus kematian bayi dan ibu, dilakukan pemodelan dengan menggunakan analisis regresi poisson.

Model regresi data count bivariat digunakan ketika kejadian count yang secara bersama-sama saling bergantung (Gurmu dan Elder, 2007). Peristiwa count berpasangan yang menunjukkan korelasi harus ditaksir secara bersama, dan model regresi count bivariat dirancang untuk menangani kasus tersebut (Karlis dan Ntzoufras, 2005). Model regresi poisson bivariat banyak digunakan untuk data bivariat berkorelasi (Chou dan Steenhard, 2011). Kematian bayi dan kematian ibu merupakan dua hal yang saling berkaitan karena selama masa kandungan gizi yang diperoleh janin disalurkan dari tubuh ibu melalui plasenta sehingga kondisi ibu selama masa kehamilan akan berpengaruh pada janin dan bayi yang akan dilahirkannya kelak. Peran ibu juga sangat berpengaruh dalam merawat bayi mulai saat ia dilahirkan hingga berumur satu tahun.

Tujuan penelitian ini adalah mengkaji estimator parameter model regresi poison bivariat, mengkaji bentuk statistik uji model regresi poison bivariat, dan menentukan faktor-faktor yang berpengaruh terhadap jumlah kematian bayi dan jumlah kematian ibu di Propinsi Jawa Tengah Tahun 2015 melalui pendekatan regresi poison bivariat.

2. Metodologi

2.1 Bahan dan Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang berasal dari data Profil Kesehatan Propinsi Jawa Tengah Tahun 2015 (Dinkes, 2015). Variabel

respon pada penelitian ini adalah jumlah kematian bayi (Y ) dan jumlah kematian ibu

(Y ) tahun 2015 tiap kabupaten/kota di Provinsi Jawa Tengah. Variabel bebas pada

penelitian ini adalah Persentase persalinan oleh tenaga kesehatan (X ), Persentase

ibu bersalin mendapatkan pelayanan kesehatan nifas (X ), Persentase ibu hamil

melaksanakan program K4 (X ), Persentase ibu hamil yang mendapatkan tablet Fe3

(X ), Persentase penanganan komplikasi kebidanan (X ), Persentase penanganan

komplikasi neonatal (X ), Persentase bayi yang diberi ASI eksklusif (X ), Persentase

8 rumah tangga berperilaku hidup bersih dan sehat (X ).

2.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah dalam analisis data untuk setiap tujuan penelitian adalah sebagai berikut :

1. Langkah-langkah untuk menentukan estimasi parameter pada model regresi poisson bivariat adalah sebagai berikut :

= terhadap fungsi ln likelihood.

Membentuk hipotesis untuk menguji model regresi poisson bivariat:

0; 0,1, 2; 1, 2,...,8 jl

: paling sedikit ada satu

      

8 : ... j j j

2. Langkah-langkah untuk menentukan statistik uji pada model poisson bivariat adalah sebagai berikut : Pengujian hipotesis secara serentak : 1.

Menentukan himpunan parameter-parameter di bawah H  

Mendapatkan nilai penaksir parameter dengan iterasi Newton- Raphson.

2 β β β β β β β β β β β β θ H 6.

 j l

   2.



Menentukan daerah penolakan H Pengujian hipotesis secara parsial adalah sebagai berikut:



ˆ ˆ

 

  jl jl se z

    2. Menentukan statistik uji.

 

jl jl H H j l

: : 0; 0, 1, 2 ; 1, 2,...,8

Likelihood Ratio Test (MLRT) 8.

3. Membuat fungsi likelihood di bawah H

7. Menentukan statistik uji dengan menggunakan metode Maximum

  ˆ

ˆ dan

  

Menentukan penaksir parameter dengan metode MLE dan diperoleh

   L 6.

5. Membuat fungsi likelihood di bawah populasi

  

4. Menentukan himpunan parameter-parameter di bawah populasi

   L

Indonesian Journal of Statistics and Its Applications. Vol 2 No 1 (2018), 23 - 34

, , ln

  

 

  

  

   

   

  T T T T T Q Q Q

4. Mencari turunan parsial pertama dari fungsi ln likelihood

β β β L Q 

 

 

3. Menetapkan fungsi ln likelihood

2. Melakukan transformasi ke dalam bentuk persamaan

         .

01 00 k k x x

1. Membentuk fungsi ln likelihood dari model poisson bivariat dengan  merupakan fungsi dari variabel bebas yaitu ) exp(

  

  

  

Q Q Q

T T T

simetris Q Q



  

  

        

        

 

5. Mencari turunan parsial kedua dari fungsi ln likelihood

β β β θ g

, ,



 

1. Hipotesis untuk menguji signifikansi parameter 

26 Kurniawan

3. Menentukan daerah penolakan H

Daerah penolakan H adalah |z hitung| lebih besar dari . Nilai

 /

2 se  ˆ diperoleh dari diagonal ke (j+1) dari var .

θˆ   jl

 

3. Langkah-langkah untuk menentukan faktor-faktor yang berpengaruh terhadap kematian bayi dan kematian ibu di Provinsi Jawa Tengah dengan pendekatan model regresi poison bivariat adalah sebagai berikut :

1. Melakukan estimasi parameter model regresi poisson bivariat dengan menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) di mana nilai λ merupakan fungsi dari variabel bebas.

2. Melakukan pengujian hipotesis untuk regresi poison bivariat.

3. Melakukan interpretasi model yang didapatkan.

3. Hasil dan Pembahasan

3.1 Estimasi Parameter Regresi Poison Bivariat dengan Kovarian merupakan Fungsi dari Variabel Bebas.

Regresi Poisson merupakan model regresi yang sering digunakan untuk menganalisis suatu data count. Regresi poisson mengacu pada penggunaan distribusi poisson. Suatu metode yang digunakan untuk memodelkan sepasang count data yang memiliki korelasi (Karlis dan Ntzoufras, 2005) dengan beberapa variabel prediktor adalah regresi poisson bivariat. Model tersebut seperti pada persamaan berikut:

Y , Y PB  ,  ,    ~  

1 i 2 i 1 i 2 i T x  i j

    e ; j 

1 ,

2 (1)

ji T x 

1 x x ... x

i  i i ki 

2 T  ...

   

β   j j j 1 j 2 jk

i 1, 2, , n

dimana  , menunjukkan nomor observasi, observasi digunakan untuk model

 

dan menunjukkan vektor korespondensi dari koefisien regresi. Terdapat tiga

i j

buah model dengan nilai  yang berbeda, yaitu

 a) Model dengan nilai adalah suatu konstanta.



b) Model dengan nilai merupakan fungsi dari variabel bebas sehingga persamaannya sebagai berikut :  exp(    )

   x   x .

(2)

01 1 k k

c) Model dengan nilai  adalah nol dimana tidak ada kovarian dari kedua buah variabel tersebut.

Pada penelitian ini digunakan model  merupakan fungsi dari variabel bebas sehingga persamaannya sebagai berikut :    exp(    x    x ) .

1 k k

Metode estimasi yang digunakan dalam regresi poisson bivariat adalah

Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan fungsi likelihoodnya sebagai berikut :

= sehingga diperoleh fungsi ln

1 exp 1 exp

1 exp 2 i 2 i

1 i 1 i

1 i i β x β x β β x β x β β x β x β i

diturunkan terhadap β

     

       

      

  !

1 ! 1 !

, ,

 

 

  i i i i 1 i β x β x β x β x β x

diturunkan terhadap

β β β    

    

     

      

    

    

      n i n i i i

T n i n i i i T n i n i i i

T W W Q W W Q W W Q

T T

diturunkan terhadap

β    

 

! !

2 k k y e e e

T i T T i β x β x β x

β x β x β x

β x β x β x x β

β i i i i i i i i i i

W i k k y i

T i T T

 



 i i i β x β x β x u v v u W i

' '

2   

T i T T T i T T

  k y W e e e k y k y W e e e k y k y W e e e k y i k y i i i k y i i i k y i i

1    

     

     

     

    

 

T i T T i

Indonesian Journal of Statistics and Its Applications. Vol 2 No 1 (2018), 23 - 34

likelihood yang baru yaitu :  

        i n i

W e e e e e L

T T T T T

. exp exp exp

      

 i 2 i i 1 i i β x β x β

β x β x

1 β , β , β

1 , min y y s 

dengan

       

   

! ! !

Selanjutnya ditransformasi dengan

1 , min

27  

       

    

    

    

   n i s k

i i

k k y i

k y

i k k y k y L e i i i i

    

1 ! ! ! , ,

1      

W k y e e W i k k y i i k y i

      ! !

 i i y y k i i

W W

1 , min

1 .

   

i W

1 k k y e e e

  

misalkan 

1 k e k y k y e e e e

   

W k y y k k y i i k y i

T i i i T T i T T i i i i 1 i β x β x

x β x β x

  

  

  

sehingga fungsi ln likelihood diperoleh sebagai berikut :

2 1 i i i i i β x β x β x β x β x

1 β , β , β L Q ln

               

    n i i n i n i n i

W e e e e e T T T T T

1 ln

 β

28 Kurniawan

1 ) , min(

T T T T T T T i i T i T T i T T e k e e e k y e e e k y

k k y

e e e k y e e i i y y k i k k y i k y

1 ! ! . ! i

diturunkan terhadap

1 β

     

   i i i i i i i i i i i i β x i β x β x i β x β x β x i β x β x β x β x β x β x

x x x

      

    i 1 i i i i i i i i i i i i i i

 

 



  

     

     

   

   

    

β x β x β x β x

x i β x β x β x β x

   

β x β x β x i β x β x β x x

β β β

   

       

   

    

   



       

  !

     

1 i β x β x β x

  

 



      k y W e e e k y k y W e e e k y k y W e e e k y i k y i i i k y i i i k y i i

T i T T T i

T T T i T T i β β x x β x

1 i β x β x β x

1 x β x β x β 1 i i 1 i 1 i i 1 i 1 i i 1 i i

  

diturunkan terhadap

1 β

 



β i

 

   

1 !

 

  

   

T i T T T i T T i i

dengan,

  

       

 

   

   





  

   

     

    i i i i i i i i β x i β x β x i β x β x β x β x x x i x x

x x x x x x x β

     

T T T T T i T T i T

T T T T i T T e k e e e k y k k y e e e k y e e k e k k e k y W e e e k y i i k k y i k y k k i k y i i

     

    

  

   

  ! !

2 k e v k y e e u k i k y

T i T T i i i β x β x β x

   

     

T T i T T i β x i β x β x β x x

i i i i

  ! '

! '

2 k e k v k y e e e k y u k i k y i

T T T T T i T T i i

1 k y e e e x k

e e

e k y k e k y e e k k y e e e k y e e e k y

W W W W W i k y i i k i k y y y k i k k y i k y i y y k i i i i i i T T

1 ) , min(

     

2 .

! ! ! . ! ! . !

     

   

     

   

  ! ! ! ! !

. !

2 ) , min(

Indonesian Journal of Statistics and Its Applications. Vol 2 No 1 (2018), 23 - 34

29 min( y , y )

1 i 2 i  W   W  W  i 1 i 2 i

 W  W  2 i 1 i

  k 

   β β β

1  

T T y  k 

1 T T T y  k T k

1 i 2 i x x β x x x β x β i β

1 i i β 1 i β 2 i i min( y , y )

1 i 2 i  W e  e e x e  e e i i

         .

  k

  y  k  1  !  y  k  ! k ! β

1 1 i 2 i W

diturunkan terhadap β

1 i

 W

 

2 W 2 i β

diturunkan terhadap

  T T y k

1 T T k

1 i x x x x i β

2 i β i β 2 i β

 W y  k e  e e x e

  2 i 2 i i

       .

 y  k ! k !

  β

2 2 i min( y , y )     

W W W i 1 i 2 i

 W  W  2 i 1 i

   k

   β 2 β

2 β

2   y  k  1 k y  k

T T 1 i T T T T 1 i x β x β x β x β x β x β i

2 i i 2 i i i

1 min( y , y )

1 i 2 i

y  k e  e e x e e  e

  2 i i

          . k 

 y  k  !  y  k  ! k ! 1 i 2 i

Turunan kedua sebagai berikut :

n n

  Q   W    W  W 

 T

1 T i i i     exp x β x x 

 i  i i   T T T

    i  1 i 

1 W W

      β β β β β β

 i i       

2 n n

  W   W W    Q    T

1 T i i i   exp x x x    β 

 i 1  i i   T

2 T     i  1 i 

 β  β  β  β β  β  i 1 

1 W W 

1 1 

1 1   i 1 

 

2 n n

       Q T

1  W

1  W  W

T i i i   exp x x x    β 

 i 2  i i   T T

2 T     i  1 i 

1   W   W  

β β i β β β 2 β

2 2 

2 2 i 2 

     

2 n

  Q  1  W   1  W  W 

 i i i

    

2    

 i

1   W   W  

β β β β β β 1  i 1 i 1 

     

2 n

  Q  1  W   1  W  W 

 i i i

    2      i 

1   W   W  

β β β β β β 2 i 2 i

2        

2 n

    Q  1  W  1  W  W

 i i i

       

2     i 

1   W   W 

β β β β β 

1 2 i

1 2 i 1 β

 2       

Karena hasil persamaan di atas tidak memberikan suatu persamaan yang eksplisit maka digunakan suatu metode yaitu metode Newton-Rapshon dengan langkah-langkah sebagai berikut :

T T T 

1. Menentukan nilai taksiran awal parameter θˆ dengan θ  β β di mana

(0) 

1 2  ln L Q . Niai taksiran awal parameter dapat digunakan cov[Y 1 ,Y

2 0.

  θ 

]= λ ̂

0(0)

Nilai taksiran awal βˆ diperoleh dengan metode Ordinary Least square (OLS),

j  

yaitu

1 

T T

X X

 

X Y β  dengan j = 0,1,2. j    j 

30 Kurniawan

2. Membentuk vektor gradien g

T T T

       

T  Q  Q  Q

 

3 ( k 1 )

g  , , θ     m

1       

    

β β 1 β

       

     m

3. Membentuk matriks Hessian H

  Q  Q  Q 

       

β β β β β β

 

 Q  Q  

H θ 

  m   T

     

3 ( k 1 ) x 3 ( k 1 )  

β 1 β 1 β 1 β

 

 Q  

simetris T

   

2 β

  θ  θ   m

4. Memasukkan nilai ke dalam θˆ elemen-elemen vektor g dan matriks H,

(0) sehingga diperoleh vektor g( θˆ ) dan matriks H( θˆ ). (0) (0)

5. Mulai dari m = 0 dilakukan iterasi pada persamaan

1 

ˆ ˆ ˆ ˆ   H g

θ θ θ θ j ) j ( m )     ( m ) ( m )

 ( m

ˆ Nilai θ merupakan sekumpulan penaksir parameter yang konvergen saat iterasi

( m ) ke-m.

6. Jika belum mendapatkan penaksiran parameter yang konvergen , maka dilanjutkan kembali ke langkah 5 hingga iterasi ke m = m+1. Iterasi akan berhenti ˆ ˆ apabila nilai dari θ  θ   ,

( m 1 ) m  adalah bilangan yang sangat kecil.

3.2 Pengujian Parameter Regresi Poisson Bivariat untuk Kovarian Merupakan

Fungsi dari Variabel Bebas

Untuk menentukan nilai statistik uji, terlebih dahulu ditentukan dua buah fungsi

likelihood yang berhubungan dengan model regresi yang diperoleh. Fungsi-fungsi

likelihood yang dimaksud adalah L ( )  yaitu nilai maximum likelihood untuk model

L (  ˆ )

yang lebih lengkap dengan melibatkan variabel prediktor dan , yaitu nilai

maximum likelihood untuk model sederhana tanpa melibatkan variabel prediktor.

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan statistik uji dalam pengujian parameter menggunakan metode Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT) dinotasikan dengan :

L ( )  ˆ   ˆ

L ( ) 

Hipotesis yang digunakan adalah :

H :      ...   j 1 j 2 j

8 1   0; j  0, 1, 2; l  1, 2,..., 8

H : paling sedikit ada satu jl

{ , , }, Himpunan parameter di bawah H adalah      dengan fungsi likelihood

sebagai berikut :

n L ( ) f y ; ; ;

       

20 i 

Indonesian Journal of Statistics and Its Applications. Vol 2 No 1 (2018), 23 - 34

31 y  k y  k k

1 i

2 i

 1 0  0 0  2 0  0 0  0 0 min( y , y )

1 i 2 i e e e e e

       

Nilai W

  i k  y  k ! y  k ! k !

    1 i 2 i

L ( ) max L ( )

 ˆ  

 n

ˆ ˆ ˆ  0 0  1 0  2 0 ( ) exp .

L  ˆ  e  e  e W 

   i  i 

1 y  k y  k k i i

ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 2 ˆ      min( y , y ) 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 i i

2 e  e e  e e

      W 

Nilai 

i k   y  k   ! y  k  ! k !

1 i 2 i

Himpunan parameter di bawah populasi adalah   {  ,  ,...,  ; j  , 1 , 2 } ,

j j

sehingga fungsi likelihoodnya sebagai berikut :

n L (  )  f y ; ; ;

  β β β 

2 i

1  n

T T T x β x β x β i i

1 i

 i

2 L (  )  exp e  e  e . W

    i 

dengan

y k i 

2 T T y  k T T T k i

1 x x x x x β β β β β i 1 i i

2 i i

min  y , y  i i

2 e  e e  e e

      W  . i  k

  y  k   ! y  k  ! k !

1 i 2 i ˆ

L (  )  L    max

 n T T T

ˆ ˆ ˆ x x x i β i β

1 i β

2 ˆ

L (  )  exp e  e  e . W 

   i  i 

dengan

y  k 2 i

 T T y k T T T k

1 i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x x x x x i β 1 i β i β

2 i β i β

min  y , y 

1 i 2 i e  e e  e e

      W  .



i k  y  k ! y  k ! k !

    1 i 2 i

sehingga diperoleh

 L ( ˆ )  

ˆ D

    ˆ

2 Ln   β

L ( )   

ˆ 2 ln L ln L     ˆ

      n n n n T T T

   exp x   exp x   exp x   ln W      i β   i β

1   i β 2  i  

 i  1 i  1 i  1 i 

1 



(3)

ˆ D 

2 β 

   n n n n

   exp  exp  exp  ln W

               

20 i

 i  1 i  1 i  1 i  1  

  

D βˆ adalah devians model regresi poisson bivariat dengan menggunakan  

pendekatan distribusi chi-square dengan derajat bebas v dan H ditolak jika

2 ˆ

( ; v )

 

D β  , dengan v adalah derajat bebas yang diperoleh dari banyaknya

  0.

parameter model di bawah populasi dikurangi banyaknya parameter di bawah H

32 Kurniawan

3.3 Pemodelan Regresi Poison Bivariat Kematian Bayi Dan Kematian Ibu di

Propinsi Jawa Tengah Tahun 2015

REGRESI POISSON BIVARIAT DENGAN KOVARIAN MERUPAKAN FUNGSI DARI VARIABEL BEBAS Untung Kurniawan