PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU
VARIABEL
Makalah ini Disusun guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian
Matematika SMP 1
Dosen Pengampu :Palupi Sri Wijayanti, M. Pd

Disusun Oleh:
Deviana Nian Kumandari (14144100079)/3A3
Evaderika Ayu Atikasari (14144100085) /3A3
Evi Nur Ngaeni (14144100086) /3A3
Siti Khotimah (14144100087) /3A3

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2015 

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU
VARIABEL
A. Pernyataan
Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah).

Contoh 1:
1.

Jakarta adalah ibu kota Indonesia.

2.

Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.

3.

8 > –5.

Ketiga kalimat di atas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap
orang mengakui kebenaran kalimat tersebut.
Contoh 2:
1.

Tugu Monas terletak di Jogjakarta.

2.

2 + 5 < –2

3.

Matahari terbenam di arah timur.

Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap
orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut.
B. Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta
a.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai
kebenarannya.

b.

Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang
dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan

c.

Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu

Contoh 1: x + 5 = 12
Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x)
belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah,
barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti
dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 ,
kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan hurufhuruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas
x+5 +12

(kalimat terbuka)
1 

3+ 5 = 12

(kalimat Salah )

7+5 = 12

(kalimat benar)

Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12
disebut konstanta
Contoh 2 :
Kalimat Terbuka

Peubah

Konstanta

x + 13 + 17

x

13 dan 17

7 – y = 12

y

7 dan 12

4z – 1 = 11

z

-1 dan 11

Catatan :
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel
dan belum diketahui nilai kebenarannya.
C. Persamaan Linier Satu Variabel
Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan
tanda sama dengan (“=”) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 .
bentuk umum persamaan linier satu variable adalah ax + b = 0
Contoh :
1.

x+3–7

2.

3a + 4 = 19

Pada contoh diatas x, a adalah variable (peubah) yang dapat diganti dengan
sembarang bilangan yang memenuhi .
Kesamaan
yaitu kalimat yang sudah dinyatakan benar atau salah dengan menggunakan
tanda sama dengan (=).
Tidak semua kalimat terbuka memiliki hubungan sama dengan merupakan
persamaan. Untuk itu perhatiakan contoh berikut :
1. x+2 = 15
2. x+2 = x+2
Dari contoh nomor 1, x+2 = 15 merupakan suatu persamaan .

2 

x+2 = 15 akan bernilai benar hanya jika x diganti dengan nilai 13 dan
akan bernilai salah jika x bernilai bukan 13.
Sedangkan contoh nomor 2, x+2 = x+2 merupakan kesamaan.
Jika x diganti dengan bilangan sembarang berapapun akan selalu diperoleh
kalimat benar.
Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen
Perhatikan uraian berikut.
a.

x–3=5
Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 (benar).
Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8

b.

2x – 6 = 10 ... (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)
Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10
⟺16 – 6 = 10 (benar).

Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8.

c.

x + 4 = 12 ... (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)
Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 (benar).
Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8.

Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai
penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan di atas disebut
persamaan yang ekuivalen. Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan
dengan “⟺”.
Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10; dan x + 4 =12 dapat
dituliskan sebagai x – 3 = 5 ⟺ 2x – 6 = 10 ⟺ x + 4 =12. Jadi, dapat
dikatakan sebagai berikut. Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika

mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda
“⟺”.
Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Himpuana

Penyelesaian

(HP)

adalah

himpunan

dari

penyelesaian-

penyelesaian suatu persamaan .

3 

Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian
dari suatu persamaan linier satu variable , yaitu :
a. Subtitusi ;
b. Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen,

dengan cara :


Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama



Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol
yang sama.

Menyelesaikan Persamaan Linear 1 Variabel dengan Cara Substitusi
Cara substitusi artinya menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti
variabel dengan biangan-bilangan yang telah ditentukan sehingga persamaan
tersebut menjadi benar.
Contoh:
1.

Selesaikan persamaan 3x – 1 = 14; Jika x merupakan anggota himpunan
P = ( 3,4,5,6) !
Jawab :

3x-1+14 x Є P = (3,4,5,6)
3x-1= 14; jika x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah)
3x-1= 14; jika x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11 (salah)
3x-1= 14; jika x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14 (benar)
3x-1= 14; jika x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17 (salah)
Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5

Menyelesaikan persamaan linear 1 variabel dengan cara menambah atau
mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama (Ekivalen)
Contoh:
1.

Selesaikan persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan
P = ( 3,4,5,6)
Persamaan
(a) 3x-1=14 (i)

Operasi Hitung

Hasil

Kedua ruas ditambah 1

3x-1+1 = 14 + 1

4 

3x = 15
(b)

3x = 15

Kedua ruas dikalikan 1/3

(ii)

3x = 15
x = 5 (iii)

(c)

x=5

Dari table diatas, bila x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka
persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .
(a)

3x-1=14

3 (5) – 1 = 14
14 = 14

(b) 3x =15

(ekuivalen)

15 = 15 (ekuivalen)

(c) x = 5

5=5

(ekuivalen)

Berarti 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen .
Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan
Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk
pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan
aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari
penyebut-penyebutnya, kemudian selesaikan persamaan linear satu variabel.
Contoh:
Tentukan penyelesain dari persamaan
Jawab:
3x

⟺ 5

2

⟺ 2 3x

3x
2

⟺6

4

⟺6

34

⟺6

⟺6 6
⟺

4

5

6

2

30

4

34

6

30
30

5
4

3x

2

6

6 ( kedua ruas dikalikan 5)
(kedua ruas ditambah 4)

(kedua ruas di bagi 6)

5 

⟺

5

Jadi penyelesaiannya adalah ⟺

5

Grafik Penyelesaian Persamaan dengan Satu variabel
Penyelesaian dari suatu persamaan dapat ditunjukan pada garis bilangan yang
disebut grafik penyelesaian. Pada garis bilangan grafik penyelesaian dari
suatu persamaan dinyatakan dengan noktah(titik tebal).
Contoh:
Buatlah grafik penyelesaian dari 2x – 1 = 7 dengan x variabel pada bilangan
cacah.
Jawab:
2

⟺2

1

7, x adalah biangan cacah.

7

⟺2
⟺
⟺

Penyelesaiannya adalah

8
4

1

4

Grafik penyelesaian dari persamaan diatas adalah:

D. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Pengertian Ketidaksamaan
Dari kalimat 8 = 5 + 3 , maka diperoleh hubungan:
8 lebih dari 5 ditulis 8 > 5
8 lebih dari 3 ditulis 8 > 3
5 kurang dari 8 ditulis 5 < 8
3 kurang dari 8 ditulis 3 < 8

6 

Kalimat-kalimat ini 8 > 5, 8 > 3, 5 < 8, 3 < 8 disebut ketidakasamaan. Jika a
tidak sama dengan b maka dapat ditulis dengan notasi a ≠ b. Untuk
sembarang bilangan a dan b selalu berlaku salah satu hubungan berikut ini :
a < b (dibaca a kurang dari b)a = b (dibaca a sama dengan b)
a > b (dibaca a lebih dari b)
Selain tanda-tanda ketidaksamaan di atas terdapat tanda ketidaksamaan
lainnya yaitu :


dibaca “kurang dari atau sama dengan “ atau “tidak lebih dari” dan



dibaca “lebih dari atau sama dengan” atau “tidak kurang dari”

Pengertian Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing , ≥,
dan ≤ .
Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4
Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang
hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh
lambang , ≥, dan ≤. Variabelnya hanya satu yaitu y dan berderajad satu.
Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan linier dengan satu
variable (peubah).
Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu
variable
Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :
1.

Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang
dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru
yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

2.

Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka
akan

diperoleh

pertidaksamaan

baru

yang

ekuivalen

dengan

pertidaksamaan semula
3.

Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka
akan

diperoleh

pertidaksamaan

baru

yang

ekuivalen

dengan

pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik

7 
 

4.

Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya
adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya
sehingga penyebutnya hilang .

Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan
anggota {1,2,3,4,… ,15}
Jawab :
3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}
↔ 3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2

( kedua ruas dikurangi 2x)

↔ x – 7 > 2

↔ x – 7 + 7 > 2 + 7

( kedua ruas dikurangi7

)

↔ x > 9

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}
HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3
dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.
Jawab :
3x – 1 < x + 3
↔ 3x – 1+ 1 < x + 3 + 1

(kedua ruas ditambah 1 )

↔ 3x + (-x) < x + (-x) +4

(kedua ruas ditambah – x)

↔ 3x < x + 4
↔ 2x < 4
↔ x < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x =
0 atau x = 1
Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .
Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk pecahan terlebih dahulu
ubahlah bentuknya sehingga tidak lagi memuat bentuk pecahan. Hal ini dapat

8 

dilakukan dengan mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan KPK dari
penyebut-penyebutnya. Selain itu penyelesaian dari suatu pertidaksamaan
dapat juga ditentukan dengan tidak mengubah bentuk pertidaksamaan semula.
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
Jawab :

⟺6

2

⟺2

2
2

⟺2

4

⟺2

8

⟺2
⟺2
⟺
⟺

7

9

2

12

4

9

8

2

( kedua ruas dikalikan 6 yaitu KPK dari 2 dan 3)

12

4

2

8

7

6
9

12
9

9

2

4

9
9



8 (kedua ruas dikalikan

, maka tanda

ketidaksamaan diubah yaitu > menjadi y = (306000 – 300000)/(6200 – 6000)
=> y = 6000/200
=> y = 30
Substitusi nilai y = 30 ke persamaan x + y = 50, maka:
=> x + y = 50
=> x + 30 = 50
=> x = 50 – 30
=> x = 20
Dengan demikian, jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual adalah
20 kg dan 30 kg
3.

Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari
1,5 ton. jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak
yang dapat diangkut oleh perahu ?
Jawab :
Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1,5 ton
Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg
x ≤ 1 .500 kg/15
x ≤ 100
jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak

11