GEOMETRI DIMENSI DUA DAN TIGA

disampaikan
pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK
Jenjang Dasar
DI LPMP PROVINSI JAWA TIMUR

Drs. Markaban, M.Si.

Widyaiswara P4TK Matematika Yogyakarta

Alamat Rumah : SobrahGede RT 01/X, Buntalan,
Klaten Tengah, Klaten
No.HP: 081328759138, E-mail:mar_kaban@yahoo.com

Pengalaman Kerja :
1. Guru MAN Karanganom Klaten
2. Guru SMA Muh. I Klaten
3. Instruktur Penyetaraan D3
4. Guru SMK N 3 Klaten

GEOMETRI DIMENSI DUA
Kompetensi Dasar:

1. Mengidentifikasi sudut
2. Menentukan keliling bangun datar
dan luas daerah bangun datar
3. Menerapkan transformasi bangun
datar

Pengertian Sudut

B’
α
A

B
Dinamai sudut BAB’
atau BAB’ atau A atau α

Di dalam taksonomi
belajar menurut Gagne,
sudut adalah suatu
konsep dasar, maka dari

beberapa cara untuk
mendefinikan tentang
pengertian sudut, dapat
melalui salah satu
pendekatan melalui rotasi
garis sebagai berikut :

Sudut Dalam Kedudukan Baku
C

Y

B

C
θ
θ

A
Sudut θ tidak dlm

kedudukan baku

B

A

Sudut θ dalam kedudukan baku

Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ
Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ

X

Sudut Sebagai Bentuk
sudut lancip
sudut siku-siku

sudut tumpul
sudut lurus

sudut refleks

sudut penuh

Besar Sudut
Seksagesimal

Besar Sudut

Radial

Sentisimal

Sistem Seksagesimal

•
P
•

Sebagai motivasi digunakan Sejarah

Matematika, bahwa berdasarkan hasil
penggalian situs pubakala di lembah
Mesopotamia (sekarang termasuk
daerah Irak), diketemukan bahwa ilmu
pengetahuan yang dimiliki bangsa
Babilonia pada masa itu sudah sangat
tinggi, bahkan dari peninggalan
bangsa Sumeria (kira-kira tiga ribu
tahun sebelum Masehi) didapati telah
membagi satu putaran penuh menjadi
360 bagian yang sama. Inilah yang
menurut dugaan para ahli bahwa satu
lingkaran penuh dibagi menjadi 360
derajat (ditulis selanjutnya dengan
simbul “ º “)

Sistem Radial
Sebagai motivasi diceriterakan bahwa
untuk pengukuran sudut elevasi
penembakan meriam dalam kemiliteran

zaman dulu diperlukan ukuran sudut yang
tidak menggunakan ukuran derajat, namun
ukuran lain yang lazim kita kenal dengan
istilah sistem radian
r
r

•

1 radian

Dalam sistem radian yang dimaksud besar
sudut satu radian adalah besar sudut pusat
dari suatu lingkaran yang panjang busur
dihadapan sudut tersebut adalah sama
dengan jari-jari lingkaran tersebut.
Sehingga diperoleh hubungan:
1800

= π radian

1 radian  57,2960  57017'45"

10  0,017453 radian

Sistem Sentisimal
•

•

•
•
•
•

Pada instrumen-instrumen untuk keperluan
astronomi, peneropongan bintang, teodolit dikenal
satuan sudut yang sedikit berlainan dengan kedua
ukuran di atas, sistem ini kita kenal dengan nama
sistem sentisimal. Pada sistem ini satu putaran

penuh adalah 400g (dibaca “400 grad”).
Sehingga besar sudut ½ putaran adalah 200g
besar sudut ¼ putaran adalah 100g
besar sudut 1/400 putaran adalah
1g
Untuk ukuran sudut yang lebih kecil dikenal :
1g = 10dgr
= 10 (dibaca : “10 decigrad”)
1dgr = 10cgr
= 10 (dibaca : “10 centigrad”)
1cgr = 10 mgr
= 10 (dibaca : “10 miligrad”)
1mgr = 10 dmgr
= 10 (dibaca : “10 decimiligrad”)

Besarnya sudut pusat dan sudut keliling
berapa derajat?

P

2
 rad
__
9

360o - 2.400 = 2800

Beberapa relasi sudut
g
2

1

h

A4

3

sudut bersisihan,

jumlahnya 180o
A1 dengan
A4 dan A2,
sudut berpelurus,
jumlahnya 180o
A1 dengan
A4 dan A2,

sudut bertolak belakang,
sama besar
A1 dengan A3
A2 dengan A4
Sudut berpenyiku,
jumlahnya 90o

1
4 3
5
8

C
D

A
DE // AB

c memotong
a dan b
2
a //b

6
7

b//a

CDE dan ABC sebangun

E

CD ___
CE
___
=
CA
CB =

B

DE
___
AB

SEGIEMPAT
segiempat

segiempat
talibusur

jajargenjang

persegipanjang

layanglayang

belahketupat

persegi

trapesium

trapesium
siku-siku

segiempat
garis
singgung
trapesium
sama kaki

Soal


Jika suatu jajargenjang ABCD diketahui BE tegak
lurus AD , panjang BC  6 cm, AB = 9 cm, dan
panjang BE = 8 cm ; maka luas daerah
jajargenjang tersebut adalah ….

Manakah bangun yang kelilingnya
terpanjang?

1)

3)

2)

4)

Luas Bangun Datar

GEOMETRI DIMENSI TIGA
Kompetensi Dasar:
1. Mengidentifikasi bangun ruang dan
unsur-unsurnya
2. Menghitung luas permukaan
3. Menerapkan konsep volume bangun
ruang
4. Menentukan hubungan antar unsurunsur dalam bangun ruang

Bangun ruang adalah bangun yang semua
elemen pembentuknya tidak seluruhnya
terletak pada sebuah bidang datar
• Pengalaman belajar

Gedung Bertingkat
Bak Mandi

Container
Bak Truk

Konveks
Bidang
Banyak
Tertutup
Berupa
Luasan
Bangun
Ruang
Bukan Berupa Luasan

Tidak
Tertutup

Bukan Bidang
Banyak

Bukan
Konveks

Pengalaman Belajar
• Sebuah kolam renang berukuran panjang
50 m dan lebar 20 m. Kedalaman kolam
pada bagian yang dangkal 1 m dan terus
melandai hingga pada bagian yang paling
dalam 3 m. Jika kolam terisi penuh,
berapa banyak air di dalam kolam tesebut!

Konsep pengukuran volum
Volum suatu bejana adalah banyaknya
takaran yang dapat digunakan untuk
memenuhi bejana tersebut
Bejana adalah bangun ruang yang
berongga
Bagaimana penurunan rumus-rumus volum
secara induktif?

VOLUM BALOK

Isi

Panjang
(p)

Lebar
(l)

3

3

1

bentuk alas Panjang
balok
(p)
Persegi
panjang

3

Tinggi
(t)

pxlxt

1

3

Lebar
(l)

pxl
(Luas alas)

LAxt

1

3x1=3

3

Isi

Panjang
(p)

Lebar
(l)

16

2

2

bentuk
alas
balok
kubus

Tinggi (t)

pxlxt

4

16

pxl
Panjang Lebar
(p)
(l)
2

2

Tinggi

(t)

(Luas
alas)

4

4

LAxt
16

8i

Isi
12

Panjang Lebar
(p)
(l)
3

2

bentuk alas Panjang Lebar
balok
(p)
(l)
Persegi
panjang

3

2

Tinggi
(t)

2

Tinggi
(t)

pxlxt

2

12

pxl
(Luas alas)

LAxt

3x2=6

12

Volum Prima tegak segitiga sama kaki
Rumus Volum Prisma tegak
segi empat :
V=plt
t

p

l

=LAt
Rumus Volum Prisma tegak
segitiga sama kaki:
V = ½  V Prisma segiempat
= ½ (p  l  t)
=LAt

Volum Prisma tegak segitiga sembarang

a1

a2

Volum Prisma tegak segitiga sembarang adalah :
V

= (La1 + Laa)  t
= Jumlah Luas alas  tinggi

Volum Prisma Tegak Segi Enam
a6
a1

t
a6
a1 a
2

a5

a4
a3

a5

a2

a4
a3

Alas prisma tegak segi enam

Volum prisma tegak segi enam adalah :
V

= (La1 + La2 + La3 + La4 + La5 + La6)  t
= Jumlah Luas alas  tinggi

V

=LAt

Volum Prisma Tegak Segi n

Prisma tegak segi n

Alas prisma tegak segi n

Volum prisma tegak segi enam adalah :
V

= (La1 + La2 + La3 + … + Lan)  t
= Jumlah Luas alas  tinggi

V

=LAt

VOLUM TABUNG

Prisma
segiempat

Prisma
segienam

Prisma segi
banyak

Prisma segi n/
tabung

Tabung adalah prisma segi n dengan n tak hingga.
Segi n tak hingga membentuk lingkaran, maka alas tabung adalah lingkaran

Karena alasnya berbentuk lingkaran, maka Volum tabung
adalah : V tabung = LA x t
= L lingkaran x t
=πr2xt

3
2
1
Diameter kerucut = diameter tabung
Volum tabung

=πr2t

Volum tabung

= 3 x Volum kerucut

Volum kerucut

= 1/3 Volum tabung
= 1/3 x π r 2 t

Tinggi kerucut = tinggi tabung

Tinggi ½ bola =
tinggi kerucut =
jari-jari bola = r

Diameter bola = diameter kerucut

Volum kerucut = 1/3 x π r 2 t
Volum ½ bola

= 2 x Volum kerucut

Volum 1 bola

= 4 x Volum kerucut

Volum Bola

= 4 x 1/3 x π r 2 t
= 4/3 π r 2 t = 4/3 π r

3

VOLUM
LIMAS
Tinggi limas = tinggi prisma tegak

Alas prisma = alas limas

Volum balok (prisma tegak segi 4) = p x l x t
Volum balok (prisma tegak segi 4) = 3 x Volum limas
Volum limas

= 1/3 Volum balok
= 1/3 x p x l x t
= 1/3 x LA x t

Cara lain :
Langkah-langkah menurunkan rumus
volume limas:
• misalkan panjang rusuk sebuah kubus
a satuan, maka volume kubus a3 satuan
• Buat kerangka kubus dengan panjang
rusuk a satuan
• Lengkapi kerangka kubus dengan ke
empat diagonal ruangnya
• Maka dalam kubus terdapat enam buah
limas persegi yang kongruen

•Perhatikan gambar berikut
H

E

G

F
P PP P P P P P P P PPP PPP PPP P

DDDDDDD DDDDDDDDDD
CDCDC D
C C C C C C C CCC CCC CCC C
o oo o o o o o o o ooo ooo ooo o
AAAAAAA AAAAAAAA
ABA
AB
ABAB B B B B BBB BBB BBB B
B
B
a aa a a a a a a a aaa aaa aaa a

Dari gambar diatas nampak bahwa:
Pada kubus ABCD.EFGH terdapat 6 buah limas P.ABCD yang
kongruen.
Dengan kata lain volume kubus = 6 x volume limas
Volume limas = 1/6 volume kubus
1
a3
= 6
= 1 a2 x a
6
1
1
2
=
x a x 2 x
a
6
2
1
1
=
x luas alas x tinggi
3

Soal
• Seorang siswa merencanakan bangunan
rumah dengan atap berbentuk limas
beraturan T. ABCD dengan rusuk TA =
42 m dan AB = 4 m. Jarak A ke TC
adalah … m.

Menentukan hubungan antar unsur-unsur
dalam bangun ruang
Soal:
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6
cm, titik M adalah perpotongan diagonal-diagonal AC
dan BD. Jarak titik E ke garis GM adalah ... cm
a) 32

b) 33

c) 43

d) 36

e) 63

2. Seorang siswa merencanakan bangunan rumah
dengan atap berbentuk limas beraturan T. ABCD
dengan rusuk TA = 42 m dan AB = 4 m. Jarak A ke
TC adalah … m.
a. ½ 6
b. 6
c. 26
d. 36
e. 46
Jarak dalam Ruang