RESUME MATERI RANGKAIAN LISTRIK II
RESUME MATERI RANGKAIAN LISTRIK II
TEOREMA NORTON, TRANSFORMASI STAR DELTA (WYE),
TRANSIEN RLC PADA ARUS DC, TRANSIEN RL DAN RC PADA
ARUS AC
Di susun Oleh :
Kelompok III
Awalia Septyani
(5115150661)
Citra Tri Ayuningtias (5115152673)
Desi Andriani
(5115153789)
Detia Nurindah Sari
(5115155603)
Fajar Arif
(5115152293)
Gabriellia Surya Putri (5115151262)
Siti Bayani
(5115151046)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah membahas materi mengenai teorema
superposisi dan thevenin dalam penyederhanyaan arus nolak balik dengan penyelesaian
bilangan kompleks dengan operasinya
Untuk menambah wawasan dan ilmu kita, maka kami memperdalam pembahasan tersebut
mengenai teorema norton,transformasi delta-wye dalam penyederhanaan arus bolak balik
dan transien
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis superposisi
dan thevenin?
2. Bagaimana mengaplikasikan penggunaan
tranformasi delta-wye dalam
penyederhanaan arus bolak balik?
3. Bagaimana memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RLC pada arus DC.
4. Bagaimana memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RL pada arus AC.
Tujuan Penulisan
1. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis
superposisi dan thevenin?
2. Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan tranformasi delta-wye dalam
penyederhanaan arus bolak balik?
3. Mahasiswa dapat memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RLC pada
arus DC
4. Mahasiswa dapat memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RL pada arus
AC.
BAB II
PEMBAHASAN
4.1 Teorema Norton
Teorema norton menyatakan “Bahwa suatu rangkaian listrik dapat
disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber arus
yang dihubung paralelkan dengan sebuah tahanan ekuivalennya pada
dua terminal yang diamati”.
Suatu rangkaian yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan
impedansi, dapat diubah:
1.Satu sumber arus pengganti Norton (IN)
2.Satu impedansipengganti Norton yang tersusun secara paralel
IN
ZN
Berikut langkah penyelesaian dengan teorema Norton adalah :
Z1 = 2j
Z3 = 4 Ω
Z2 = -j
VB =
6 ∠0 °
VA = 2∠ 0°
1. Sumber arus dibuka dan sumber tegangan dihubung singkat (dishort)
2. Lepaskan komponen bila akan dicari tegangan atau arusnya
3. Lalu tentukan hambatan pengganti (ZTH)
Z N=
Z N=
Z1 ∙ Z 2
Z1 + Z 2
2 j ∙(− j)
2 j+(− j)
=
2
j
=2 ∠ 0 °
= -2j
4. Setelah itu pasang kembali sumber tegangannya.
5. Kemudian titik a-b dihubungkan singkat. Sehingga IN dapat
diperoleh dengan:
Rumus : I N =
IN=
V A VB
+
Z1 Z2
2 ∠0 ° 6 ∠0 °
+
2j
−j
=
2∠0°
6 ∠0 °
+
2 ∠ 90 ° 1 ∠−90°
=
1∠−90 °
+ 6 ∠90 °
= -j +6j = 5j
= 5 ∠90 °
6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya
(rangkaian aktif), kemudian pasangkan kembali komponen
yang tadi dilepas.
Maka dapat diperoleh besar nilai arus yang mengalir (I), yaitu:
I=
ZN
ZN + Z 2
=
-2j
4-2j
=
10
4-2j
=
. IN
. 5j
10 ∠0°
4,47 ∠-26,56°
= 2 ,24 ∠26,56°
2.2 Tranformasi Delta WYE
“Ada rangkaian yang tidak dapat diselesaikan dengan metode seri paralel, dan
baru dapat diselesaikan setelah bentuk dirobah-robah dengan transpormasi Delta, dan
Wye”.
Pada banyak
aplikasi rangkaian, kita menemukan komponen-
komponen yang terhubung bersama pada satu dari dua cara sehingga
membentuk rangkaian tiga terminal : sambungan “Delta” atau "Δ" dan
juga sambungan "Wye' atau “Y” Hal ini dimungkinkan bagi kita untuk
menghitung nilai resistor,kapasitor maupun induktor yang tepat untuk
menggantikan
bentuk
ini
(Y
dan
Δ)
ke
bentuk
yang
lainnya.
Rangkaian Δ dan Y mempunyai sifat yang sama.
Berikut gambar Delta (∆) network dan Wye (Y) network dibawah ini :
Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentu
saat dianalisis ternyata bukan merupakan hubungan seri ataupun
hubungan paralel yang telah kita pelajari sebelumnya, maka jika
rangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau bintang
atau rangkaian tipe Y, ataupun membentuk hubungan delta atau
segitiga atau rangkaian tipe ∆, maka diperlukan transformasi baik dari
star ke delta ataupun sebaliknya.
a. Tranfromasi dari rangkaian delta (∆) ke rangkaian wye (Y)
ZA ZC
Z1 = Z + Z + Z
A
B
C
Z B ZC
Z2 = Z + Z + Z
A
B
C
Z A ZB
Z3 = Z + Z + Z
A
B
C
b. Tranfromasi dari rangkaian wye ke rangkaian delta
ZA
=
Z 1 Z 2+ Z 1 Z 3+ Z 2 Z 3
Z2
ZB
=
Z 1 Z 2+ Z 1 Z 3+ Z 2 Z 3
Z1
Catatan : Dua Persamaan diatas sangat dipengaruhi oleh
posisi Z pada gambar, jika peng-index-an gambar
diganti, maka permasaan harus disesuaikan lagi
2.2.1 Agar mudah dalam pemahaman langsung ke contoh
soal :
1. Carilah impendasi total pada rangkaian dibawah ini !
Berikut cara penyelesaian :
Bila kita melihat Z1, Z2, dan Z3 sebagai suatu rangkaian Δ dan
ingin menggantinya dengan rangkaian Y, kita bisa mengubah
rangkaian jembatan ini menjadi rangkaian yang lebih sederhana
yaitu rangkaian seri-paralel:
Memilih
rangkaian
bagian
( ∆¿
∆
telah
dikonversi
Z1 Z2
ZA = Z + Z + Z
1
2
3
−4 j .−4 j
= −4 j+ (−4 j ) +4 j
=
16 j
4j
2
= - 4j
Z1 Z3
Z 1 + Z 2+ Z 3
ZC = ZB =
=
Z A = Z A = ZB + Z4
1
2
¿ 4j + 2
¿ 2+4j
Zp =
(2+ 4 j )( 2+ 4 j)
2+4 j+2+ 4 j
=
4+8 j+8 j +16 j 2
4+8 j
=
4+16 j+ 16 j 2
4 +8 j
=
−12+16 j
4+ 8 j
=
20 ∠126,86 °
8,9∠63,43 °
Zp = 2,2 ∠ 63,43° Ω
Zp = 0,98 + 1,96 j
2. Contoh soal :
Perhatikan gambar rangkaian berikut ini :
−16 j 2
−4 j
= 4j
Tentukan arus yang mengalir melewati rangkaian tersebut!
Jawab
Langkah-langkahnya adalah:
1. Ubah tiap hambatan menjadi bentuk impedansinya untuk memudahkan perhitungan.
Z1 = 4
Z2 = -8j
Z3 = 5
Z4 = +4j
Z5 = -6j
2. Kemudian ubah rangkaiannya delta menjadi wye. Lihat pada gambar. Kemudian tentukan
hambatan penggantinya dengan menggunakan rumus delta ke wye.
¿
Za=
Z 1. Z 2
Z 1+ Z 2+Z 3
Zb=
Z 1. Z 3
Z 1+ Z 2+ Z 3
4 .(−8 j) −32 j
32∠−90
=
=
=2,65∠−51,35
4−8 j+5 9−8 j 12,04 ∠−38,65
5.4
20
=
4+5−8 j 9−8 j
Zc=
¿
¿
Z 2. Z 3
Z 1+ Z 2+ Z 3
5 .(−8 j ) −40 j
=
5+ 4−8 j 9−8 j
3. Kemudian sederhanakan lagi rangkaiannya seperti di bawah ini.
Zb dan Z4 seri sehingga Zpenggantinya ( Zs1 )adalah :
Z S 1=Z B +4 j=
¿
20+ 4 j ( 9−8 j ) 20+36 j−32 −12+36 j
20
+ 4 j=
=
=
9−8 j
9−8 j
9−8 j
9−8 j
8,94 ∠−63,43
=0,74 ∠−24,78
12,04 ∠−38,65
Zc dan Z5 seri sehingga Zpenggantinya ( Zs2 ) adalah :
Z S 2=Z C −6 j=
¿
−40−6 j ( 9−8 j ) −40−54 j−48 −88−54 j
−40 j
−6 j=
=
=
9−8 j
9−8 j
9−8 j
9−8 j
103,24 ∠31,38
=8,57 ∠−7,27
12,04 ∠ 38,65
4. Setelah disederhanakan, rangkaiannya berubah menjadi seperti di bawah ini.
Sederhanakan lagi rangkaiannya, Zs1 dan Zs2 paralel sehingga Zpenggantinya (Zp) adalah:
Z P=
Z S 1 . Z S 2 0,74 ∠−24,78× 8,57 ∠−7,27
=
Z S 1+ Z S 2 0,74 ∠−24,78+8,57 ∠−7,27
Z P=
6,34 ∠−32.05
=0,68 ∠ 0
9,31 ∠−32,05
5. Setelah disederhanakan, rangkaiannya berubah menjadi seberti di bawah ini :
Karena Za d
an Zp seri, sehingga untuk menghitung arus yang mengalir dapat dihitung
dengan mudah yaitu :
I=
V
50 ∠0
=
=18,86 ∠51,35 Ampere
Z A + Z P 2,65∠−51,35
2.3
Transien
2.3.1
Transien RLC
Transien ialah gejala peralihan yang terjadi pada rangkaian listrik. Baik
tegangan, arus, maupun waktu. Gejala transien terjadi pada rangkaian-rangkaian yang
mengandung komponen penyimpan energi seperti inductor dan/atau kapasitor. Gejala
ini timbul karena energi yang diterima atau dilepaskan oleh komponen tersebut tidak
dapat berubah seketika (arus pada induktor dan tegangan pada kapasitor).
2..3.1.1 Pengisian pada RLC
Rangkaian RLC adalah
rangkaian yang terdiri dari resistor, induktor dan
kapasitor yang dapat dihubungkan secara seri maupun paralel.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Saat rangkaian dihubungkan ke posisi 2, maka akan terjadi proses pengisian.
Berikut adalah persamaan rangkaian pada saat saklar di on-kan (pengisian),:
L
di
q
+R . I+ =V
dt
C
Karena i=
dq
, makadq=i .dt
dt
sehingga q=∫ i dt
Persamaannya menjadi :
L
di
1
+ RI + ∫ i .dt=V
dt
C
Dimana V adalah sumber tegangan.
Bila di deferensialkan terhadap
L
di
dt
, maka persamaannya menjadi:
d2i
di 1
+ R + i=0
2
dt
C
dt
Kemudian kalikan dengan
2
d i R di 1
+
+
i=0
dt 2 L dt LC
Misalkan ,:
1
, sehingga :
L
di
=D
dt
( D + RL D+ LC1 ) i=0
2
Maka akar –akar persamaannya adalah ,
√
−R
R2
4
+ ( )−
L
L
LC
D 1=
2
R2 4
−
L LC
¿
¿
−R
−√¿
L
D1=¿
Misal :
R
L
¿
¿
¿
α=
−R
dan β=√ ¿
2L
Maka,
D 1=α + β
D2=α −β
Dalam hal ini ada 3 kasus yang mungkin akan terjadi :
1.
R
2L
¿
¿
¿
Akar-akar D1 dan D2 riil dan berbeda.
Rangkaian tersebut di sebut dengan OVER DAMPED (keadaan teredam lebih)
Dari persamaan 2 dapat ditulis dalam bentuk faktor
[ D−(α + β)] [ D−( α− β) ] =0
Dan persamaan arusnya adalah :
I =C1 e (α + β ) .t +C 2 e( α −β ) .t
Atau
α .t
β .t
α .t
I =e (C 1 e −C 2 e )
TEOREMA NORTON, TRANSFORMASI STAR DELTA (WYE),
TRANSIEN RLC PADA ARUS DC, TRANSIEN RL DAN RC PADA
ARUS AC
Di susun Oleh :
Kelompok III
Awalia Septyani
(5115150661)
Citra Tri Ayuningtias (5115152673)
Desi Andriani
(5115153789)
Detia Nurindah Sari
(5115155603)
Fajar Arif
(5115152293)
Gabriellia Surya Putri (5115151262)
Siti Bayani
(5115151046)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah membahas materi mengenai teorema
superposisi dan thevenin dalam penyederhanyaan arus nolak balik dengan penyelesaian
bilangan kompleks dengan operasinya
Untuk menambah wawasan dan ilmu kita, maka kami memperdalam pembahasan tersebut
mengenai teorema norton,transformasi delta-wye dalam penyederhanaan arus bolak balik
dan transien
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis superposisi
dan thevenin?
2. Bagaimana mengaplikasikan penggunaan
tranformasi delta-wye dalam
penyederhanaan arus bolak balik?
3. Bagaimana memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RLC pada arus DC.
4. Bagaimana memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RL pada arus AC.
Tujuan Penulisan
1. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian dengan menggunakan analisis
superposisi dan thevenin?
2. Mahasiswa dapat mengaplikasikan penggunaan tranformasi delta-wye dalam
penyederhanaan arus bolak balik?
3. Mahasiswa dapat memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RLC pada
arus DC
4. Mahasiswa dapat memahami gejala dan konsep transien pada rangkaian RL pada arus
AC.
BAB II
PEMBAHASAN
4.1 Teorema Norton
Teorema norton menyatakan “Bahwa suatu rangkaian listrik dapat
disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber arus
yang dihubung paralelkan dengan sebuah tahanan ekuivalennya pada
dua terminal yang diamati”.
Suatu rangkaian yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan
impedansi, dapat diubah:
1.Satu sumber arus pengganti Norton (IN)
2.Satu impedansipengganti Norton yang tersusun secara paralel
IN
ZN
Berikut langkah penyelesaian dengan teorema Norton adalah :
Z1 = 2j
Z3 = 4 Ω
Z2 = -j
VB =
6 ∠0 °
VA = 2∠ 0°
1. Sumber arus dibuka dan sumber tegangan dihubung singkat (dishort)
2. Lepaskan komponen bila akan dicari tegangan atau arusnya
3. Lalu tentukan hambatan pengganti (ZTH)
Z N=
Z N=
Z1 ∙ Z 2
Z1 + Z 2
2 j ∙(− j)
2 j+(− j)
=
2
j
=2 ∠ 0 °
= -2j
4. Setelah itu pasang kembali sumber tegangannya.
5. Kemudian titik a-b dihubungkan singkat. Sehingga IN dapat
diperoleh dengan:
Rumus : I N =
IN=
V A VB
+
Z1 Z2
2 ∠0 ° 6 ∠0 °
+
2j
−j
=
2∠0°
6 ∠0 °
+
2 ∠ 90 ° 1 ∠−90°
=
1∠−90 °
+ 6 ∠90 °
= -j +6j = 5j
= 5 ∠90 °
6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya
(rangkaian aktif), kemudian pasangkan kembali komponen
yang tadi dilepas.
Maka dapat diperoleh besar nilai arus yang mengalir (I), yaitu:
I=
ZN
ZN + Z 2
=
-2j
4-2j
=
10
4-2j
=
. IN
. 5j
10 ∠0°
4,47 ∠-26,56°
= 2 ,24 ∠26,56°
2.2 Tranformasi Delta WYE
“Ada rangkaian yang tidak dapat diselesaikan dengan metode seri paralel, dan
baru dapat diselesaikan setelah bentuk dirobah-robah dengan transpormasi Delta, dan
Wye”.
Pada banyak
aplikasi rangkaian, kita menemukan komponen-
komponen yang terhubung bersama pada satu dari dua cara sehingga
membentuk rangkaian tiga terminal : sambungan “Delta” atau "Δ" dan
juga sambungan "Wye' atau “Y” Hal ini dimungkinkan bagi kita untuk
menghitung nilai resistor,kapasitor maupun induktor yang tepat untuk
menggantikan
bentuk
ini
(Y
dan
Δ)
ke
bentuk
yang
lainnya.
Rangkaian Δ dan Y mempunyai sifat yang sama.
Berikut gambar Delta (∆) network dan Wye (Y) network dibawah ini :
Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentu
saat dianalisis ternyata bukan merupakan hubungan seri ataupun
hubungan paralel yang telah kita pelajari sebelumnya, maka jika
rangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau bintang
atau rangkaian tipe Y, ataupun membentuk hubungan delta atau
segitiga atau rangkaian tipe ∆, maka diperlukan transformasi baik dari
star ke delta ataupun sebaliknya.
a. Tranfromasi dari rangkaian delta (∆) ke rangkaian wye (Y)
ZA ZC
Z1 = Z + Z + Z
A
B
C
Z B ZC
Z2 = Z + Z + Z
A
B
C
Z A ZB
Z3 = Z + Z + Z
A
B
C
b. Tranfromasi dari rangkaian wye ke rangkaian delta
ZA
=
Z 1 Z 2+ Z 1 Z 3+ Z 2 Z 3
Z2
ZB
=
Z 1 Z 2+ Z 1 Z 3+ Z 2 Z 3
Z1
Catatan : Dua Persamaan diatas sangat dipengaruhi oleh
posisi Z pada gambar, jika peng-index-an gambar
diganti, maka permasaan harus disesuaikan lagi
2.2.1 Agar mudah dalam pemahaman langsung ke contoh
soal :
1. Carilah impendasi total pada rangkaian dibawah ini !
Berikut cara penyelesaian :
Bila kita melihat Z1, Z2, dan Z3 sebagai suatu rangkaian Δ dan
ingin menggantinya dengan rangkaian Y, kita bisa mengubah
rangkaian jembatan ini menjadi rangkaian yang lebih sederhana
yaitu rangkaian seri-paralel:
Memilih
rangkaian
bagian
( ∆¿
∆
telah
dikonversi
Z1 Z2
ZA = Z + Z + Z
1
2
3
−4 j .−4 j
= −4 j+ (−4 j ) +4 j
=
16 j
4j
2
= - 4j
Z1 Z3
Z 1 + Z 2+ Z 3
ZC = ZB =
=
Z A = Z A = ZB + Z4
1
2
¿ 4j + 2
¿ 2+4j
Zp =
(2+ 4 j )( 2+ 4 j)
2+4 j+2+ 4 j
=
4+8 j+8 j +16 j 2
4+8 j
=
4+16 j+ 16 j 2
4 +8 j
=
−12+16 j
4+ 8 j
=
20 ∠126,86 °
8,9∠63,43 °
Zp = 2,2 ∠ 63,43° Ω
Zp = 0,98 + 1,96 j
2. Contoh soal :
Perhatikan gambar rangkaian berikut ini :
−16 j 2
−4 j
= 4j
Tentukan arus yang mengalir melewati rangkaian tersebut!
Jawab
Langkah-langkahnya adalah:
1. Ubah tiap hambatan menjadi bentuk impedansinya untuk memudahkan perhitungan.
Z1 = 4
Z2 = -8j
Z3 = 5
Z4 = +4j
Z5 = -6j
2. Kemudian ubah rangkaiannya delta menjadi wye. Lihat pada gambar. Kemudian tentukan
hambatan penggantinya dengan menggunakan rumus delta ke wye.
¿
Za=
Z 1. Z 2
Z 1+ Z 2+Z 3
Zb=
Z 1. Z 3
Z 1+ Z 2+ Z 3
4 .(−8 j) −32 j
32∠−90
=
=
=2,65∠−51,35
4−8 j+5 9−8 j 12,04 ∠−38,65
5.4
20
=
4+5−8 j 9−8 j
Zc=
¿
¿
Z 2. Z 3
Z 1+ Z 2+ Z 3
5 .(−8 j ) −40 j
=
5+ 4−8 j 9−8 j
3. Kemudian sederhanakan lagi rangkaiannya seperti di bawah ini.
Zb dan Z4 seri sehingga Zpenggantinya ( Zs1 )adalah :
Z S 1=Z B +4 j=
¿
20+ 4 j ( 9−8 j ) 20+36 j−32 −12+36 j
20
+ 4 j=
=
=
9−8 j
9−8 j
9−8 j
9−8 j
8,94 ∠−63,43
=0,74 ∠−24,78
12,04 ∠−38,65
Zc dan Z5 seri sehingga Zpenggantinya ( Zs2 ) adalah :
Z S 2=Z C −6 j=
¿
−40−6 j ( 9−8 j ) −40−54 j−48 −88−54 j
−40 j
−6 j=
=
=
9−8 j
9−8 j
9−8 j
9−8 j
103,24 ∠31,38
=8,57 ∠−7,27
12,04 ∠ 38,65
4. Setelah disederhanakan, rangkaiannya berubah menjadi seperti di bawah ini.
Sederhanakan lagi rangkaiannya, Zs1 dan Zs2 paralel sehingga Zpenggantinya (Zp) adalah:
Z P=
Z S 1 . Z S 2 0,74 ∠−24,78× 8,57 ∠−7,27
=
Z S 1+ Z S 2 0,74 ∠−24,78+8,57 ∠−7,27
Z P=
6,34 ∠−32.05
=0,68 ∠ 0
9,31 ∠−32,05
5. Setelah disederhanakan, rangkaiannya berubah menjadi seberti di bawah ini :
Karena Za d
an Zp seri, sehingga untuk menghitung arus yang mengalir dapat dihitung
dengan mudah yaitu :
I=
V
50 ∠0
=
=18,86 ∠51,35 Ampere
Z A + Z P 2,65∠−51,35
2.3
Transien
2.3.1
Transien RLC
Transien ialah gejala peralihan yang terjadi pada rangkaian listrik. Baik
tegangan, arus, maupun waktu. Gejala transien terjadi pada rangkaian-rangkaian yang
mengandung komponen penyimpan energi seperti inductor dan/atau kapasitor. Gejala
ini timbul karena energi yang diterima atau dilepaskan oleh komponen tersebut tidak
dapat berubah seketika (arus pada induktor dan tegangan pada kapasitor).
2..3.1.1 Pengisian pada RLC
Rangkaian RLC adalah
rangkaian yang terdiri dari resistor, induktor dan
kapasitor yang dapat dihubungkan secara seri maupun paralel.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Saat rangkaian dihubungkan ke posisi 2, maka akan terjadi proses pengisian.
Berikut adalah persamaan rangkaian pada saat saklar di on-kan (pengisian),:
L
di
q
+R . I+ =V
dt
C
Karena i=
dq
, makadq=i .dt
dt
sehingga q=∫ i dt
Persamaannya menjadi :
L
di
1
+ RI + ∫ i .dt=V
dt
C
Dimana V adalah sumber tegangan.
Bila di deferensialkan terhadap
L
di
dt
, maka persamaannya menjadi:
d2i
di 1
+ R + i=0
2
dt
C
dt
Kemudian kalikan dengan
2
d i R di 1
+
+
i=0
dt 2 L dt LC
Misalkan ,:
1
, sehingga :
L
di
=D
dt
( D + RL D+ LC1 ) i=0
2
Maka akar –akar persamaannya adalah ,
√
−R
R2
4
+ ( )−
L
L
LC
D 1=
2
R2 4
−
L LC
¿
¿
−R
−√¿
L
D1=¿
Misal :
R
L
¿
¿
¿
α=
−R
dan β=√ ¿
2L
Maka,
D 1=α + β
D2=α −β
Dalam hal ini ada 3 kasus yang mungkin akan terjadi :
1.
R
2L
¿
¿
¿
Akar-akar D1 dan D2 riil dan berbeda.
Rangkaian tersebut di sebut dengan OVER DAMPED (keadaan teredam lebih)
Dari persamaan 2 dapat ditulis dalam bentuk faktor
[ D−(α + β)] [ D−( α− β) ] =0
Dan persamaan arusnya adalah :
I =C1 e (α + β ) .t +C 2 e( α −β ) .t
Atau
α .t
β .t
α .t
I =e (C 1 e −C 2 e )