1. Matematika 2. Fisika 3. Kimia 4. Biologi 5. Bahasa Indonesia 6. Bahasa Inggris - Materi Cerdik SBMPTN
• Disesuaikan dengan KTSP SMA.
• Cocok untuk Persiapan UN dan SNMPTN.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Matematika
Fisika
Kimia
Biologi
Bahasa Indonesia
Bahasa Inggris
Program IPA
Matematika
BAB 1
EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. EKSPONEN
2. Persamaan Eksponen
Definisi
Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan
bulat positif (bilangan asli), maka:
a n = a × a × a × a × ... × a
a.
b.
c.
Dengan:
a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen
1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a , b ∈ R ,
maka:
a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x ) = g( x )
a f ( x ) = b f ( x ) ⇒ f (x) = 0
g(x)
h( x )
f ( x ) = f ( x ) maka:
n
g(x) = h(x)
n
f(x) = 1
n
f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/
ganjil
n
f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif
3. Pertidaksamaan Eksponen
a.
a m × a n = a m+ n
b.
a m : a n = a m −n , a ≠ 0
Jika a f ( x ) > ag ( x ) maka berlaku:
n
f(x) > g(x) , untuk a > 1
n
f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1
c.
(a )
B. BENTUK AKAR
d.
m n
m
= a mn
n p
mp
(a b ) = a b
np
p
e.
f.
g.
a m a mp
n = np , b ≠ 0
b
b
a0 = 1 , a ≠ 0
1
a−n = n , a ≠ 0
a
Sifat-sifat Bentuk Akar
a.
b.
d.
an = a
a ⋅ b = a⋅b
a
a
=
b
b
c.
e.
2
n
n
m
am = a n
1
1
a 1
=
×
=
a
a
a
a a
mata_elang_media@yahoo.co.id
C. LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga
hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
a
log b = c ⇔ a c = b
Di mana:
1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a < 1 atau
a > 1,
2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari
logaritmanya, dengan b > 0,
3. c dinamakan hasil logaritma.
1. Sifat-Sifat Logaritma
Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
a.
a
log b = c ⇔ a = b
b.
a
log b + a log c = a log bc
c.
d.
c
a
an
log b − a log c = a log
log bm =
b
c
m a
⋅ log b
n
BAB 2
e.
f.
p
log b
, dengan 0 < p < 1 ∨ p > 1
log a
1
a
log b = b
log a
a
log b =
g. a
h.
a
a
log b
p
=b
log b ⋅ b log c ⋅ c log d = a log d
2. Persamaan Logaritma
a
log f (x) = a log g(x) ⇒ f (x) = g(x)
3. Pertidaksamaan Logaritma
Jika a log f (x) ≤ a log g(x) , maka berlaku:
I. Syarat Basis:
1. Untuk 0 < a < 1
f ( x ) ≥ g( x )
2. Untuk a > 1
f ( x ) ≤ g( x )
II. Syarat Numerus:
1. f (x) > 0
2. g(x) > 0
PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
−b
c
x1 ⋅ x2 =
a
a
A. PERSAMAAN KUADRAT
x1 + x2 =
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 ⋅ x2
ax 2 + bx + c = 0
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 .
1. Jenis-jenis Akar
Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai:
1. akar real jika D ≥ 0 ,
2. akar real berlainan jika D > 0 ,
3. akar real kembar jika D = 0 ,
4. akar imajiner/ khayal jika D < 0 ,
dengan D = b2 − 4ac .
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan
kuadrat ax 2 + bx + c = 0 , maka:
mata_elang_media@yahoo.co.id
x1 − x2 =
D
a
2
x12 − x22 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 )
3
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 ⋅ x2 ( x1 + x2 )
1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2 x1 ⋅ x2
3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Diketahui persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar
persamaan kuadrat yang diketahui:
1. Kedua akarnya positif, jika:
x1 + x2 > 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
3
2.
dua titik.
ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x.
iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.
Kedua akarnya negatif, jika:
x1 + x2 < 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
3.
Kedua akarnya berlainan tanda, jika:
2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat
x1 ⋅ x2 < 0 ; D > 0
4.
Fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c mempunyai:
Kedua akarnya berlawanan, jika:
x1 + x2 = 0
5.
Kedua akarnya berkebalikan, jika:
x1 ⋅ x2 = 1
4. Menentukan Persamaan Kuadrat
Sumbu simetri: x =
2.
Nilai ekstrem:
−b
2a
D
b2 − 4ac
=
−4a
−4a
Nilai ekstrem maksimum jika a < 0.
Nilai ekstrem minimum jika a > 0.
θ
Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan
1.
adalah
3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat
a.
x 2 − (α + β ) x + α ⋅ β = 0
Diketahui titik puncak (x p , y p ) dan titik lain
y = a(x − x p )2 + y p
B. FUNGSI KUADRAT
b.
(x2 ,0) serta titik lain
Fungsi f yang didefinisikan sebagai f (x) = ax 2 + bx + c
di mana a , b, c ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan sebagai
fungsi kuadrat.
1. Hubungan a, b, c, dan D
Diketahui titik potong dengan sumbu x, (x1 ,0) dan
y = a(x − x1 )(x − x2 )
c.
Diketahui tiga titik pada parabola
y = ax 2 + bx + c
2
Fungsi kuadrat f (x) = ax + bx + c didapat hubungan:
a. “a” menentukan keterbukaan kurva.
i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas.
ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah.
a>0
4. Definit
a.
a 0 maka puncak berada di sebelah kiri
sumbu y.
Jika a ⋅ b < 0 maka puncak berada di sebelah
kanan sumbu y.
“c” menentukan titik potong dengan sumbu y.
i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif.
ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0).
iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negatif.
Definit Positif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif
untuk semua x disebut definit positif.
Syarat:
D < 0 dan a > 0
Definit Negatif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif
untuk semua x disebut definit negatif.
Syarat:
D < 0 dan a < 0
d. “ D = b2 − 4ac ” menentukan titik potong dengan
sumbu x.
i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di
4
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 3
PERTIDAKSAMAAN
A. SIFAT UMUM
C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR
Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c,
dan d ∈ R adalah sebagai berikut.
1. a > b maka a + c > b + c
2. a > b, c > d maka a + c > b + d
3. a > b, b > c maka a > c
4. a > b, c > 0 maka a c > b c
5. a > b, c < 0 maka a c < b c
Langkah penyelesaian:
1. Kuadratkan kedua ruas.
2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.
Nilai mutlak untuk x Î R didefinisikan:
6.
a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2
7.
a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2
a
> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0
b
8.
B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN
Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan
tanda pada ruas yang paling kanan.
Pangkat genap memiliki tanda yang sama.
Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.
n
n
n
BAB 4
D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI
MUTLAK
ìï x jika x > 0
ïï
x = ïí-x jika x < 0
ïï
ïïî 0 jika x = 0
Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:
1. x £ a Û -a £ x £ a
2. x ³ a Û x £-a atau x ³ a
3. f (x) £ g(x) Û ( f (x) + g(x))( f (x) - g(x)) £ 0
f (x)
4.
£ k Û ( f (x) - k × g(x))( f (x) + k × g(x)) £ 0
g( x )
LOGIKA MATEMATIKA
B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN
A. DEFINISI
Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang
bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus
benar dan salah.
n
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat
variabel dan menjadi pernyataan jika variabel
tersebut diganti konstanta dalam himpunan
semestanya.
Beberapa operator yang digunakan dalam logika.
n
No
1
Operator
Nama
Lambang
Negasi
~
p
q
~p
B
B
S
p∧q
B
p∨ q
B
pÞq
B
pÛ q
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
C. NEGASI/INGKARAN
No
Arti
Tidak, bukan
2
Konjungsi
Ù
dan, tetapi
3
Disjungsi
∨
atau
4
Implikasi
Þ
jika...maka
5
Biimplikasi
Û
jika dan hanya jika
mata_elang_media@yahoo.co.id
Pernyataan
Negasi/Ingkaran
1
pÙq
pÚ q
2
pÚq
pÙ q
3
pÞq
pÙ q
4
pÛq
pÙ
q pÚ
q pÙ q
q
5
D. EKUIVALENSI
F. PENARIKAN KESIMPULAN
Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.
Contoh: p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ p ∨ q
Modus Ponens
E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
n
n
n
Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p
Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ ~ q
Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ ~ p
BAB 5
Sillogisme
pÞq
p
(B)
(B)
pÞq
q
(B)
(B)
p Þ q (B)
q Þ r (B)
\ q
(B)
\ p (B)
\ p Þ r (B)
SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS
A. SISTEM PERSAMAAN
Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:
n
Metode eliminasi
n
Metode substitusi
n
Metode campuran
B. PERSAMAAN GARIS
1.
Modus Tollens
n
Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika
n
m1 × m2 = -1
Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut
sebesar a dengan
tan a =
m1 - m2
1 + m1 × m2
Melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m, berlaku:
y − y1 = m(x − x1 )
2.
Garis yang melalui ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) , berlaku:
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
3.
Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di
titik (0, a) berlaku:
y
ax + by = a.b
a
b
x
C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS
Diketahui garis g : y = m1 x + c1 dan garis
h : y = m2 x + c2 maka
Garis g dan h sejajar jika m1 = m2
n
6
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 6
STATISTIKA DAN PELUANG
Data kelompok:
A. STATISTIKA
∑ f c
1n−
2
Me = Q2 = tb +
fk
1. Rata-rata/mean ( x )
Data tunggal:
n
x + x + ... + xn
=
x= 1 2
n
∑x
n = banyak data,
xi = data ke-i,
i = 1, 2, 3, …, n.
i
i =1
n
tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2
f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me
∑
fk = frekuensi kelas yang memuat Me
Data kelompok:
n
f x + f x + ... + fn xn
=
x= 1 1 2 2
f1 + f2 + ... + fn
∑fx
i i
fi = banyak data xi,
i =1
n
n = f1 + f2 + ... + fn .
∑f
(∑ )
1n−
f
4
Q1 = tb1 +
f1
i
i =1
Kuartil bawah (Q1):
2. Modus (Mo)
Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak
atau data yang paling sering muncul.
n
Data tunggal:
Contoh:
Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.
Modus dari data tersebut adalah 7.
n
Data kelompok:
d1
Mo = tb +
c
d1 + d2
tb = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sesudahnya
c = panjang kelas
3. Median (Me/Q2)
Median adalah nilai tengah dari data yang telah
diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau
kuartil tengah.
Data tunggal:
Me = x n +1
Jika n ganjil maka:
2
xn + xn
Jika n genap maka: Me =
4. Kuartil
Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah
terurut menjadi 4 bagian.
Data kelompok:
2
2
Kuartil atas (Q3):
2
mata_elang_media@yahoo.co.id
3
c
c
Dengan:
tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3
( ∑ f )1 / ( ∑ f )3 = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3
f1 / f3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3
5. Jangkauan (J)
n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:
J = xmax − xmin
n
Jangkauan antarkuartil (H):
H = Q3 − Q1
n
Jangkauan semi antarkuartil (Qd):
1
Qd = (Q3 − Q1 )
2
6. Simpangan rata-rata (SR)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
n
∑
| xi − x |
SR =
+1
(∑ )
3n−
f
4
Q3 = tb3 +
f3
1
i =1
n
∑ f |x − x |
i
SR =
i =1
i
n
∑f
i
i =1
7
7. Ragam/variansi (R)
Data tunggal:
n
R = S2 =
A1 × A2 × A3 × ... × In
Data kelompok:
n
∑
| xi − x |2
i =1
n
∑ f |x − x |
i
R = S2 =
2
i
i =1
Notasi Faktorial
n! = 1 × 2 × 3 × ... (n – 1) × n
1! = 0! = 1
dengan n bilangan asli
n
∑f
i
i =1
8. Simpangan baku/deviasi standar (S)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
∑| x − x |
n
i
S=
i =1
n
∑ f |x − x |
i
S=
i =1
i
n
∑f
i
i =1
9. Perubahan data
Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang
sama, berlaku
Perubahan
data
+
x
:
Ukuran
pemusatan
+
x
:
Ukuran
penyebaran
TETAP
TETAP
x
:
Catatan:
Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo,
Me, Q1 .
Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H,
Qd, S, R.
B. PELUANG
Aturan Perkalian
Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan:
n
A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
pertama.
n
A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
kedua setelah tempat pertama terisi.
n
A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga
setelah tempat pertama dan kedua terisi.
n
An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n
setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi.
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia
secara keseluruhan adalah:
8
1. Permutasi
n
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda
dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA)
n
Rumus dan notasi yang digunakan dalam
permutasi adalah:
Banyaknya permutasi n unsur yang diambil
dari n unsur adalah P(n, r) = n!
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil
dari n unsur:
P(n, r ) =
n
n!
(n − r )!
Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang
sama, n unsur yang sama dan l unsur yang sama
adalah:
k!
cara
m!⋅ n!⋅ l!
n
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur
adalah
(n – 1)!
2. Kombinasi
n
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa
memperhatikan urutan-nya (AB = BA).
n
Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan
dengan nCk atau C (n, k) .
n
Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n
unsur adalah
C (n, k) =
n!
(n − k)!k!
3. Peluang Kejadian
Peluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan
rumus:
P(A) =
n(A)
n(S)
n(S) = banyaknya anggota semesta
n(A) = banyaknya anggota A
P(A) = peluang kejadian A
mata_elang_media@yahoo.co.id
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka
b. Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling
lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang
berakibat P(A ∩ B) = 0, sehingga
P(Ac ) = 1 − P(A)
5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan
adalah
FH(A) = n × P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
c. Kejadian Saling Bebas
A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila
kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian
lainnya.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
6. Peluang Kejadian Majemuk
a. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
BAB 7
TRIGONOMETRI
Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:
A
b
sin x =
c
c
a
cos x =
b
c
b
x
tan x =
C
B
a
a
sin(90o - a) = cos a
sin(180o - a) = sin a
sin(90o + a) = cos a
sin(180o + a) = -sin a
cos(90o - a) = sin a
cos(180o - a) = -cos a
cos(90o + a) = -sina
cos(180o + a) = -cos a
tan(90o - a) = cot a
tan(180o - a) = - tan a
tan(90o + a) = -cot a
tan(180o + a) = tan a
A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA
sin(270o - a) = -cos a
sin(360o - a) = -sin a
sin(270o + a) = -cos a
sin(360o + a) = sin a
cos(270o - a) = -sin a
cos(360o - a) = cos a
cos(270o + a) = sin a
cos(360o + a) = cos a
tan(270o - a) = cot a
tan(360o - a) = - tan a
tan(270o + a) = -cot a
tan(360o + a) = tan a
Sin
0o
0
30o
½
Cos
1
½
3
Tan
0
1
3
3
45o
½
2
½
2
60o
3
½
1
90o
1
½
0
3
~
B. SUDUT-SUDUT BERELASI
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
90o y
Kuadran II
Sin, Cosec
180o positif
Kuadran I
Semua positif
0o
Kuadran III
Kuadran IV
Tan, Cot
Positif
Cos, Sec
Positif
360o
mata_elang_media@yahoo.co.id
Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:
sin x
2
2
1.
= tan x
4. tan x + 1 = sec x
cos x
1
= sec x
2. sin2 x + cos2 x = 1
5.
cos x
2
2
1
3.
6. 1 + cot x = cos ec x
= co sec x
sin x
9
D. ATURAN SINUS DAN COSINUS
C
A
Pada setiap segitiga sembarang
ABC berlaku aturan sinus, yaitu:
a
b
c
2sin x cos y = sin(x + y) + sin(x - y)
B
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan
cosinus, yaitu:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
2cos x sin y = sin(x + y) - sin(x - y)
2cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y)
-2sin x sin y = cos(x + y) - cos(x - y)
H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
TRIGONOMETRI
a. Sinus
sin x = sinα
x1 = α + k.360o atau x1 = (180o − α ) + k.360o
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
b. Cosinus
cos x = cosα
x = ±α + k.360o
E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA
Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan
dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:
1
L = bc sin A
C
2
1
a
b
L = ac sin B
2
1
B
A
L = ab sinC
c
2
c. Tan
tan x = tanα
x = α + k.180o
k = ..., –1, 0, 1, 2, …
F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
tan A + tan B
tan (A + B) =
1 − tan A ⋅ tan B
tan A − tan B
tan (A − B) =
1 + tan A ⋅ tan B
sin2 x = 2sin x cos x
cos2 x = cos2 x − sin2 x
= 2cos2 x − 1
= 1 − 2sin2 x
tan2 x =
2tan x
1 − tan2 x
G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS
1
1
sin A + sinB = 2sin (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
sin A − sin B = 2cos (A + B)sin (A − B)
2
2
1
1
cos A + cos B = 2cos (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
cos A − cos B = −2sin (A + B)sin (A − B)
2
2
10
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 8
DIMENSI TIGA
B. SUDUT
A. JARAK
n
n
Jarak Antara Dua Titik
Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan
kedua titik itu.
A
B
Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara
titik A dan titik B.
Jarak Titik ke Garis
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.
n
Sudut Dua Garis Bersilangan
Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara
melukis sudut antara garis g dan h adalah:
lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h,
sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.
n
Sudut Antara Garis g dan Bidang V
Langkah:
proyeksikan garis g ke bidang V, sebut
hasilnya g’,
sudutnya = sudut antara garis g dan g’.
n
Sudut Antara Dua Bidang
Langkah:
tentukan perpotongan antara bidang V dan
W sebut l,
lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,
lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h,
sudutnya = sudut antara garis g dan h.
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jarijari = r.
y
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2
(a, b) r
A
g
B
n
AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g
yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak
lurus g.
Jarak antara Titik dengan Bidang
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke
bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik
proyeksinya pada bidang.
Jarak antara P dan bidang ditunjukkan oleh garis m yang tegak
lurus bidang.
BAB 9
LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
A. PERSAMAAN LINGKARAN
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari
jari = r.
y
x2 + y2 = r 2
r
(0, 0)
x
mata_elang_media@yahoo.co.id
(0, 0)
x
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan
menyinggung sumbu x:
11
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA
LINGKARAN
y
2
2
( x − a) + ( y − b) = b
(0, b)
2
r
1. Diketahui titik singgungnya ( x1 , y1 )
n
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus:
x
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan
menyinggung sumbu y:
y
2
2
( x − a) + ( y − b) = a
(a, 0)
n
( x − a )2 + ( y − b )2 = d 2
d
x
Dengan d =
adalah d.
ap + bq + r
p2 + q 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 di titik (x1, y1). Rumus:
( x − a ) ( x1 − a ) + ( y − b ) ( y1 − b ) = r 2
r
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan
menyinggung garis px + qy + r = 0.
y
px + qy + r = 0
(a, b)
n
2
x
n
x1 x + y1 y = r 2
Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1)
pada lingkaran: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.
Rumus:
x1 x + y1 y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
2. Diketahui gradien m
n
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0)
dan jari–jari r.
Rumus:
y = mx ± r 1 + m2
. Jari-jari lingkaran
n
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Rumus:
y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m2
1. Persamaan Umum Lingkaran
C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Diberikan garis g:
2
2
A B
A B
+ −C
Pusat − , − dan jari-jari r =
4
4
2 2
2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan
L: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x1,
y1). Kedudukan titik A(x1, y1) terhadap lingkaran L
adalah:
K = x12 + y12 + 2ax1 + 2by1 + c
n
n
n
12
K > 0 maka titik A(x1, y1) berada di luar
lingkaran.
K < 0 maka titik A(x1, y1) berada di dalam
lingkaran.
K = 0 maka titik A(x1, y1) berada pada lingkaran.
2
2
y = mx + n dan lingkaran:
2
L ≡ x + y = r . Hubungan antara garis g dan lingkaran
L dapat diselidiki dengan cara:
n
Substitusi garis g ke L.
n
Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi,
yaitu:
1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada
dua titik,
2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada
satu titik (garis menyinggung lingkaran),
3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.
1
2
3
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 10 SUKU BANYAK
Bentuk umum:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a1x + a0,
dengan an ≠ 0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1,
a0 disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masingmasing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta
real dan an ≠ 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap
(konstanta).
A. NILAI SUKU BANYAK
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka
sisanya = f( b ).
n
Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x)
maka f(a) = 0.
a
D. TEOREMA FAKTOR
n
Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:
1. Cara Substitusi
Jika f(x) = x4 – 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak
tersebut untuk x = 1 adalah
f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 5
2. Metode Horner
Jika ax3 + bx2 + cx + d adalah suku banyak maka
f(h) diperoleh cara sebagai berikut.
a
b
c
d
h
a
n
ah
ah2 + bh
ah3 + bh2 + ch
ah + b
ah2 + bh + c
ah3 + bh2 + ch + d
n
n
E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK
n
+
Berarti kalikan dengan h
B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh
suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka
didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x),
secara matematis pembagian ini dapat ditulis:
f(x) = h(x) g(x) + s(x)
Keterangan:
f(x) = yang dibagi
g(x) = pembagi
h(x) = hasil bagi
s(x) = sisa
Catatan: k < n
berderajat n
berderajat k
berderajat (n – k)
berderajat (k – 1)
Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat
nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor
dari suku banyak f(k).
Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b)
= 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b).
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah
akar dari f(x).
n
Fungsi derajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
b
1. x1 + x2 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
a
d
3. x1 . x2 . x3 = −
a
Fungsi derajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
b
1. x1 + x2 + x3 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =
a
d
3. x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 = −
a
e
4. x1 .x2 .x3 .x4 =
a
C. TEOREMA SISA
n
n
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka
sisanya = f(a).
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka
sisanya = f(–a).
mata_elang_media@yahoo.co.id
13
BAB 11
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika
ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan
A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut
daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B
yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau
range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan
setiap anggota domain dengan tepat satu kawan
dengan anggota kodomain ditulis f : A → B .
f
x
A
g
x
Sehingga jika f(x) = y maka f (y) = x. Fungsi invers
berlaku:
f(x)
Rumus,
f ( x) =
g(f(x))
B
gof
C
ax + b
-dx + b
Þ f -1 ( x ) =
cx + d
cx - a
C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI
( g f )( x ) = f ( f ( x ) )
f
Sifat-sifat fungsi komposisi:
n
n
B
f (a) = b ⇔ f -1 (b) = a
f
n
f-1
-1
A. FUNGSI KOMPOSISI
A
f(x)
g
x
f g ≠ g f
f (g h) = ( f g) h = f g h
I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka
berlaku I f = f I dan f f −1 = f −1 f = I
f(x)
B
gof
A
g(f(x))
C
(gof)-1
Sifat:
( g f )−1 ( x ) = ( f −1 g −1 ) ( x )
B. FUNGSI INVERS
Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi
itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)
dinotasikan f −1 (x) .
BAB 12 LIMIT
A. TEOREMA LIMIT
n
Jika f(x) = k, maka lim f(x) = k, dengan k konstanta,
x →a
k dan a ∈ real
n
Jika f(x) = x, maka lim f(x) = a
n
14
n
lim k. f(x) = k. lim f(x), k konstanta
n
lim { f(x). g(x)} = lim f(x). lim g(x)
x →a
x →a
x →a
f ( x)
f (x) lim
x →a
lim
, lim g(x) ≠ 0
=
x →a g( x )
lim g(x) x→a
n
lim { f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x)
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
n
n
{
}
lim{ f (x)} = lim f (x)
x →a
x →a
n
mata_elang_media@yahoo.co.id
C. LIMIT TRIGONOMETRI
B. LIMIT ALJABAR
1.
a.
b.
2.
0
0
Bentuk
∞
∞
n
a
p
Untuk n > m ⇒ L = ∞
n
Untuk n < m ⇒ L = 0
sin mx m
=
nx
n
sin m(x − a) m
lim
=
x →a
n(x − a)
n
lim
x →0
Beberapa rumus bantu:
ax n + bx n−1 + ... + c
lim m
=L
x →∞ px + qx m−1 + ... + r
3.
x →0
Dengan pemfaktoran.
Dengan aturan L’Hospital diperoleh:
F (x)
F '(x) F '(a)
lim
= lim
=
x →a G( x )
x →a G '( x )
G '(a)
Bentuk tak tentu
n
sin x
=1
x
x
lim
=1
x →0 sin x
tan x
lim
=1
x →0
x
x
lim
=1
x →0 tan x
lim
Untuk n = m ⇒ L =
1.
2.
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
3.
cos 2x = cos 2 x – sin 2 x
4.
1 – cos 2x = 2 sin 2 x
5.
1 + cos 2x = 2cos 2 x
Bentuk tak tentu ∞ − ∞
Rumus cepat:
lim
x ®¥
(
)
b-q
( Jika a = p)
2 a
= ( Jika a > p)
= - ( Jika a < p)
ax 2 + bx + c - px 2 + qx + r =
BAB 13 TURUNAN
A. DEFINISI
3.
y ' = f '(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
B. RUMUS DASAR
1.
Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x)
4.
5.
Turunan suatu konstanta c.
Turunan perkalian fungsi dan konstanta.
Jika y = c f(x) maka y’ = c f’ (x)
mata_elang_media@yahoo.co.id
Turunan perkalian fungsi.
Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x)
Turunan pembagian fungsi.
Jika y =
Jika y = c maka y’ = 0
2.
Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.
6.
u '(x).v(x) − u(x).v '(x)
u(x)
maka y ' =
v 2 (x)
v(x)
Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).
Jika y = f(g(x)) adalah
dy dy dg
= .
dx dg dx
15
7.
Turunan fungsi pangkat.
Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x1.
m =f ’(x1)
Jika f(x) = ax n maka f’(x) = a.n x n−1
Persamaan garis singgungnya:
Turunan Trigonometri
n
n
n
y − y1 = m(x − x1 )
f(x) = sin ax, maka f’(x) = a cos ax
f(x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax
f(x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec ax
C. PENERAPAN TURUNAN
n
n
2
Kurva naik jika: f’(x) > 0
Kurva turun jika: f’(x) < 0
n
Gradien (m) garis singgung di titik ( x1 , y1 ) pada
kurva f(x)
( x1 , y1 )
m = f’(x)
f(x)
Interval fungsi naik dan interval fungsi turun
Keadaan stasioner
Bila keadaan stasioner terjadi di titik (x1 , y1 ) maka
f’(x1) = 0. y1 = f (x1 ) disebut nilai stasioner.
Jadi nilai maksimal/minimum adalah . (x1 , f (x1 ))
Catatan:
Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/
titik balik.
BAB 14 INTEGRAL
C. INTEGRAL PARSIAL
Integral adalah anti turunan.
∫ f ′(x)dx = f (x) + C
∫ UdV = UV − ∫VdU
D. LUAS DAERAH
A. RUMUS DASAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
∫ a dx = ax + C
1
∫ x dx = n + 1 x
n
b
n+1
+ C , syarat n ≠ −1
1
∫ x dx = ln x + C
∫ sin x dx = − cos x + C
b
a
m+1
−1
x +C
d
∫ cos x sinx dx = m + 1 cos x + C
∫ ( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx
m
m+1
∫ f '(x) ⋅ ( f (x)) dx =
16
L = ∫ ( xkanan − xkiri )dy
c
d
L = ∫ ( x2 − x1 ) dy
c
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
n
a
L = ∫ ( y2 − y1 )dx
∫ cos x dx = sin x + C
1
∫ s in x c os xdx = m + 1s in
m
L = ∫ ( yatas − ybawah ) dx
( f (x))n+1
n+1
+C
mata_elang_media@yahoo.co.id
E. VOLUME BENDA PUTAR
Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p ≤ x ≤ q , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila
diputar terhadap sumbu x.
Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r ≤ x ≤ s , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2
terhadap sumbu y.
q
V = π ∫ (y2 )2 − (y1 )2 dx
p
q
V = π ∫ (y jauh )2 − (ydekat )2 dx
p
s
V = π ∫ (x2 )2 − (x1 )2 dy
r
s
V = π ∫ (x jauh )2 − (xdekat )2 dy
r
BAB 15 PROGRAM LINEAR
Program linear adalah salah satu bagian dari
matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai
persoalan sehari-hari, di mana model matematika
terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier
yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau
lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian
optimum).
n
Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model
matematika kendala/syarat/masalah berupa sistem pertidaksamaan linear.
n
Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih
dahulu membuat model matematika. Sasaran program berupa sebuah fungsi linier yang disebut
fungsi sasaran/tujuan/objektif.
A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan
Ax + By + C ≥ 0 atau Ax + By + C ≤ 0 dapat ditentukan
sebagai berikut.
n
Jadikan A (koefisien x) bernilai positif.
n
Jika tanda pertidaksamaan ≥ , maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis Ax + By + C = 0 .
n
Jika tanda pertidaksamaan ≤ , maka daerah
penyelesaian di sebelah kiri garis Ax + By + C = 0 .
mata_elang_media@yahoo.co.id
s
B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF
Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok
atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum
(maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentukan dengan:
Penggunaan Garis Selidik
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C , maka
garis selidiknya adalah Ax + By + C = k .
n
Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.
n
Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.
Pengujian Titik Pojok
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C disubstitusi
dengan seluruh koordinat titik pojok, maka hasil
yang terbesar/terkecil merupakan nilai optimum
dari fungsi objektif tersebut.
17
BAB 16 BARISAN DAN DERET
A. BARISAN ARITMATIKA
n
Suku pertama = U1 = a
Barisan dengan selisih di antara dua suku yang
berurutan besarnya sama.
Contoh: 2, 4, 6, 8, ... selisih 2.
n
n
U U
U
Rasio ⇒ r = 2 = 3 = ... = n
Un−1
Suku ke-n U1 U2
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan aritmatika maka:
n
Suku pertama = U1 = a
n
n
Beda ⇒ b = U2 − U1 = U3 − U2 = ... = Un − Un−1
Suku ke-n
Un = a + (n − 1)b
n
Jumlah n suku pertama (Sn )
Un = a ⋅ r n−1
n
Sn =
1−r
atau Sn =
a ( r n − 1)
r −1
n
Rumus jumlah deret geometri tak hingga:
a
S∞ =
1−r
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:
a
Sganjil =
1 − r2
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku genap:
B. BARISAN GEOMETRI
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan geometri, maka:
a (1 − r n )
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
n
n
Sn = (2a + (n − 1)b) atau Sn = (a + Un )
2
2
Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan
adalah sama.
Contoh: 1, 2, 4, 8, ... rasio 2
Jumlah n suku pertama (Sn )
Sgenap =
n
ar
1 − r2
Rasio deret geometri tak hingga:
Sgenap
r=
Sganjil
Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen
jika −1 < r < 1 ⇔ r < 1 .
BAB 17
MATRIKS
Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang
disusun dalam baris dan kolom.
Contoh:
a11 a1n
A=
a
m1 amn
Dengan:
a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1
amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n
18
Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan
kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan
banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m ×
n, dan ditulis Amn.
Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika:
1. ordonya sama
2. anggota yang seletak harus sama
mata_elang_media@yahoo.co.id
Contoh:
a1 a2 a3
A=
a4 a5 a6
Determinan matriks B:
b1 b2 b3
B=
b4 b5 b6
a b c
det B = B = d e f
g h i
Jika A = B, maka a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3,
a4 = b4, a5 = b5, a6 = b6
Transpose Matriks
Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan
kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu
matriks baru yang disebut transpose matriks.
Transpose matriks A = At = AT
n
a b
Matriks 2 × 2: A =
c d
= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
C. INVERS
n
Suatu matriks mempunyai invers jika
determinannya tidak nol.
a b
1 d −b
⇒ A−1 =
A=
ad − bc −c a
c d
n
Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0
n
(A )
n
Determinan matriks A: det A = A = ad − bc
n
a b c
d e f
g h i
+ + +
B. DETERMINAN
Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.
– – –
−1 −1
=A
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
1 0
0 1
Dengan: I2×2 =
identitas.
a b c
Matriks 3 × 3: B = d e f
g h i
1 0 0
I3 x 3 = 0 1 0 , I = matriks
0 0 1
BAB 18 VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan
arah. Notasi vektor: a , b, c , dan seterusnya.
a dibaca “vektor a”.
A(x1 , y1 , z1 )
B(x2 , y2 , z2 )
AB = B − A = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya
adalah pusat koordinat.
Vektor posisi dari titik A adalah OA = a .
Sehingga dari definisi vektor posisi AB = b − a .
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan
arah yang sama.
2.
a = a12 + a22 + a32
3.
1.
mata_elang_media@yahoo.co.id
Jika a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
4.
Jika k adalah skalar, dan a = ( a1 , a2 , a3 ) maka
ka = ( ka1 , ka2 , ka3 )
Vektor Satuan
n
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu
satuan.
n
A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR
a1
a = a1 i + a2 j + a3 k = ( a1 , a2 , a3 ) = a2
a
3
Panjang vektor a dinotasikan sebagai
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1, 0, 0 )
dan vektor satuan searah sumbu y adalah
j = ( 0, 1, 0 ) dan vektor satuan searah sumbu z
adalah k = ( 0, 0, 1 ) .
n
Vektor satuan dari a adalah
a
a
.
19
Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika p adalah vektor posisi
dari titik P yang membagi garis
AB dengan perbandingan
C. PROYEKSI
a bc
θ
AP : PB = m : n , maka
m.b + n.a
p=
m+n
B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)
Diketahui a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a.b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3
n
a bc
Bila c adalah vektor proyeksi a pada b maka:
n
n
a bc
n
Besar c (panjang vektor proyeksi a pada b ):
a.b
c = a cosθ =
b
Vektor c proyeksi vektor a pada b :
a.b
c = 2 .b
b
( )
Diketahui a , b dan ∠ a , b = α maka
a.b
a.b = a . b .cosθ ⇔ cos θ =
a.b
BAB 19 TRANSFORMASI GEOMETRI
Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks
a b
MT
MT =
maka P(x , y) → P '(x ', y ') dengan
c d
B. REFLEKSI/PENCERMINAN
n
x ' a b x
y ' = c d y
A. TRANSLASI
n
1 0
Matriks transformasinya adalah
0 −1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y
menghasilkan bayangan P’(–x, y).
sumbu y
P(x , y)
→ P '(− x , y)
n
−1 0
Matriks transformasinya adalah
0 1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y = x
menghasilkan bayangan P’(y, x).
garis y =x
P(x , y) →
P '(y , x)
Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek
sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T
x ' x a
a
= , maka = + . Jadi P '(x + a , y + b) .
y' y b
b
20
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x
menghasilkan bayangan P’(x, –y).
sumbu x
P(x , y)
→ P '(x , −y)
0 1
Matriks transformasinya adalah
1 0
mata_elang_media@yahoo.co.id
n
n
Pencerminan titik P(x,y) terhadap garis y = –x
menghasilkan bayangan P’(–y, –x)
garis y =− x
P(x , y)
→ P '(−y , − x)
n
0 −1
Matriks transformasinya adalah
−1 0
Matriks refleksi terhadap garis y = x + k
x ' 0 1 x 0
y ' = 1 0 y − k + k
n
Matriks refleksi terhadap y = –x + k
x ' 0 −1 x 0
y ' = −1 0 y − k + k
n
Refleksi terhadap garis x = h
x =h
P(x , y)
→ P '(2h − x , k)
n
Refleksi terhadap garis y = k
y =k
P(x , y)
→ P '(x ,2k − y)
n
Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k
x =h ,y =k
P(x , y)
→ P '(2h − x ,2k − y)
n
Pencerminan terhadap dua garis yang saling
berpotongan
Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan
yaitu garis y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2
akan menghasilkan rotasi dengan:
a. pusat di titik potong dua garis,
b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat
sudut antara kedua garis,
c. arah rotasi sama dengan arah dari garis
pertama ke garis kedua.
Jika α sudut yang dibentuk antara garis
y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 , maka
m1 − m2
tanα =
.
1 + m1 ⋅ m2
C. ROTASI
Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α
x '− a cosα
y '− b = sinα
− sinα x − a
cosα
y − b
D. DILATASI
Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah
ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu
bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang
bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan
faktor dilatasi (faktor skala).
n
Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k
adalah
k 0
0 k
n
n
Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k
x ' k 0 x
y ' = 0 k y
Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k
x '− a k 0 x − a
y '− b = 0 k y − b
E. KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika transformasi T1 bersesuaian dengan matriks M1
dan transformasi T2 bersesuaian dengan matriks M2 ,
Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan
oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.
Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi
itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam,
berlaku sebaliknya.
n
Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α
x ' cosα
y ' = sinα
maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis T2 T1
bersesuaian dengan matriks M2 ⋅ M1 .
− sinα x
cosα
y
mata_elang_media@yahoo.co.id
21
Program IPA
Fisika
BAB 1
BESARAN
Besaran adalah sesuatu yang memiliki nilai dan dapat
diukur. Menurut penyusunnya besaran dibagi menjadi
dua, yaitu besaran pokok dan turunan. Sedang menurut
arahnya terbagi menjadi 2, yaitu besaran skalar dan
vektor.
A. BESARAN POKOK DAN BESARAN TURUNAN
-
B. BESARAN SKALAR DAN VEKTOR
-
Besaran Pokok
panjang
massa
waktu
kuat arus listrik
suhu
intensitas cahaya
jumlah zat
Satuan
m
kg
s
A
K
cd
mol
Dimensi
[L]
[M]
[T]
[I]
[q]
[J]
[N]
Dua Vektor Berpadu
n
Resultan: R = F1 + F2 =
Besaran pokok: besaran yang satuannya telah
ditentukan terlebih dahulu.
Besaran turunan: besaran yang diturunkan dari
besaran pokok.
Satuan dan Dimensi Besaran Pokok
Besaran skalar: besaran yang hanya memiliki nilai
tetapi tidak memiliki arah, contoh: massa dan
waktu.
Besaran vektor: besaran yang memiliki nilai dan
arah, contoh: kecepatan, perpindahan, momentum.
Selisih: F1 − F2 =
Besaran Turunan
Percepatan (a)
Gaya (F)
Momentum (p)
Energi/usaha
Daya (P)
22
Satuan
m/s2
kg m/s2 = newton
kg m/s
kg (m/s)2 = joule
kg m2/s3
Dimensi
LT-2
MLT-2
ML T-1
ML2 T-2
ML2 T-3
2
+ ( F2 ) − 2F1F2 cosθ
R = F1 − F2
(F ) + (F )
R=
Contoh Besaran Turunan
2
+ ( F2 ) + 2F1F2 cosθ
Resultan dari Dua Vektor dengan Sudut Tertentu
n
n
2
( F1 )
2
( F1 )
2
1
2
2
R = F1 + F2
Uraian Vektor
Fx = F cosα dan Fy = F sinα
y
F
F1
Arah: tanα =
∑F
∑F
y
x
a
F2
x
mata_elang_media@yahoo.co.id
C. PENGUKURAN
e.
Alat ukur
Mistar
Rol meter
Jangka sorong
Mikrometer sekrup
Ketelitian
1 mm
1 mm
0,1 mm
0,01 mm
n
D. ATURAN ANGKA PENTING
a.
b.
c.
d.
Semua angka bukan nol adalah angka penting.
Angka nol yang terletak di antara dua angka bukan
nol termasuk angka penting.
Contoh: 3,002 memiliki 4 angka penting.
Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir
dari angka-angka yang ditulis di belakang koma
desimal termasuk angka penting.
Contoh: 0,03600 memiliki 4 angka penting.
2,30 memiliki 3 angka penting.
Dalam notasi ilmiah, semua angka sebelum orde
termasuk angka penting.
Contoh: 2,6 ´ 104 memiliki dua angka penting.
9,60 ´ 104 memiliki tiga angka penting.
BAB 2
Aturan Perkalian atau Pembagian
Hasil operasi perkalian atau pembagian hanya
boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan
yang angka pentingnya paling sedikit.
→ 3 angka penting
Contoh:
2,42
1,2 ´ → 2 angka penting
2,904 → 4 angka penting
Dibulatkan menjadi 2,9 (2 angka penting).
KINEMATIKA GERAK LURUS
Suatu benda dikatakan bergerak jika ia berpindah
posisi ditinjau dari suatu titik acuan dalam selang
waktu tertentu.
kecepatan =
n
Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk
tempat titik desimal adalah bukan angka penting.
Contoh: 0,0075 memiliki 2 angka penting.
Aturan Penjumlahan atau Pengurangan
Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh
mengandung satu angka taksiran (angka terakhir
dari suatu bilangan penting).
→ 1 adalah angka taksiran
Contoh: 4,461
1,07 +
→ 7 adalah angka taksiran
5,531
→ ada dua angka taksiran
Sehingga dibulatkan menjadi 5,53; karena hanya
boleh mengandung satu angka taksiran.
perpindahan
⇒ besaran vektor
waktu
lintasan
laju =
⇒ besaran skalar
waktu
Konsep: Gerak Lurus, dibagi menjadi 2; GLB (a = 0)
dan GLBB (a≠0).
Penerapan dari GLBB
1. Gerak jatuh bebas
h
2. Gerak benda dilempar vertikal ke atas
A. GERAK LURUS BERATURAN (GLB)
♦ Percepatan, a = 0
♦ Vt = V0
♦ S = V t
B. GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN (GLBB)
♦
♦
♦
♦
a≠0
Vt = Vo + at
St = V0 t + 1/2 a t2
Vt2 = V02 + 2as
mata_elang_media@yahoo.co.id
♦ a = g (percepatan gravitasi)
♦ V0 = 0
♦ Vt = g t
1 2
♦ ht = g.t
2
hmaks
♦ a = –g
♦ Ketinggian maksimum:
v2
hmax = o
2.g
♦ Waktu sampai puncak:
v
t puncak = o
g
23
C. PERPADUAN DUA GERAK LURUS
n
1. GLB dengan GLB
vP
vS
vR
vR =
2
( vP )
besar (|a|): a =
2
+ (vS )
n
2. GLBB dengan GLB
Benda diluncurkan horizontal dari ketinggian h
dengan kecepatan v.
v
♦ Waktu sampai di tanah:
2h
t=
g
h
♦ Jarak mendatar maksimum:
2h
Xma ks = v
Xmaks
g
Ymaks
n
1
g.t2
2
Tinggi maksimum: Ymax
E. GERAK MELINGKAR
Konsep:
Rumus gerak melingkar beraturan (GMB) identik
dengan GLB, dan gerak melingkar berubah beraturan
(GMBB) identik dengan GLBB.
a = α. R
w = 2 π f = 2 π/T
ωA = ωB
v0 sinα
g
v 2 sin2 α
= 0
2g
D. PERSAMAAN GERAK LURUS
Posisi benda: r(t ) = x(t ) i + y(t ) j atau r(t ) = ∫ v.dt + r0
besar (|r|): r =
Bersinggungan
A
Jarak mendatar maksimum:
2.v 2 sinα cosα v02 sin(2α )
Xmax = 0
=
g
g
A
Dihubungkan
tali
A
B
B
v A = vB
v A = vB
2. Gerak Melingkar Beraturan (GMB , α = 0)
θ = ω.t
Gaya sentripetal: Fs = m
V2
V2
, as =
R
R
3. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB, α =
konstan)
wt = wo + a.t
qt = wo.t + ½ a.t2
wt2 = wo2 + 2 a.qt
V2
V2
, as =
R
R
2
= at + as2
Fs = m
a total
( x )2 + ( y )2
dr
Kecepatan: v =
atau v(t ) = ∫ a.dt + v0
dt
besar (|v|): v =
24
∆r r2 − r1
=
Kecepatan rata-rata: v =
∆t
∆t
∆v v2 − v1
=
Percepatan rata-rata: a =
∆t
∆t
Dua roda
sepusat
Kecepatan:
arah X: vx = vocosa
arah Y: vy = vosina – g.t
Posisi:
arah X = (vocosa).t
dan
Waktu sampai ke puncak: t p =
n
2
1. Sifat dari sistem roda sederhana
a
arah Y = (vosina)t –
n
+ ( ay )
S =q.R
V = w. R
Xmaks
n
n
2
( ax )
Hubungan gerak rotasi dan gerak lurus
3. Gerak parabola
vo
dv
Percepatan: a =
dt
2
(vx )
+ (vy )
2
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 3
GAYA
Gaya adalah tarikan atau dorongan.
∑F = m . a
m = massa benda (kg)
a = percepatan benda (m/s2)
Konsep:
Resultan gaya ⇒ gaya yang searah dijumlahkan, dan
yang berlawanan arah dikurangkan.
1. Hukum Newton
n
Hukum Newton I
∑ F = 0 , a = 0, benda diam atau GLB
n
Hukum Newton II
∑ F = m.a , a ≠ 0, benda ber-GLBB
n
Hukum Newton III
F aksi = –F reaksi
a=
w A − wB
;
mA + mB
a
T
mB
mA
N
=
=
=
=
=
a=
wA
w − wB .sinθ
; a= A
mA + mB
mA + mB
percepatan sistem (massa A dan massa B)
tegangan tali ; TA = TB = T
massa B
massa A
gaya normal
4. Gaya pada Gerak Melingkar
Gaya sentripetal:
v2
Fs = m = mω 2 R
R
Percepatan sentripetal:
v2
as = = ω 2 R
R
Arah F : ke pusat ingkaran.
s
n
2. Gaya Gesek
Gaya gesek adalah gaya yang timbul akibat gesekan
dua benda.
Tali berputar vertikal
Di titik tertinggi (B):
Fs = T + w
Di titik terendah (A):
W FS
Fs = T – w
T
Di titik C:
Fs = T – w.cosq
w = berat benda
T = tegangan tali
Fx
fgesek
ms
mk
= gaya searah perpindahan
(menyebabkan pergeseran)
= gaya gesek
= koefisien gesek statis
= koefisien gesek kinetis
n
Tali berputar horizontal
n
Benda dari keadaan diam, maka
Pada luar bidang melingkar
N
(i) Jika Fx ≤ µ s N ⇒ benda diam ⇒ fgesek = Fx
N
(ii) Jika Fx > µ s N ⇒ benda bergerak dengan
FS
W
FS
W
percepatan a ⇒ fgesek = µk N
N adalah gaya normal benda, yaitu gaya yang diberikan
bidang pada benda, tegak lurus dengan bidang.
3. Kasus pada Sistem Katrol Licin
n
WA
WA
Di titik tertinggi (A):
Fs = w – N
Di titik B:
Fs = w.cosq – N
N = gaya normal
Pada dalam bidang melingkar
W
N
FS
WB
Fs = T = tegangan tali
FS
Di titik tertinggi (B):
Fs = N + w
Di titik terendah (A):
Fs = N – w
WA
mata_elang_media@yahoo.co.id
25
5. Pada Kasus Tikungan
v = laju maksimum kendaraan
ms = koefisien gesekan statis antara roda dengan jalan
R = jari-jari putaran jalan
q = sudut kemiringan jalan terhadap horizontal
g = percepatan gravitasi
6. Kasus pada Tong Stan
Laju minimum putaran motor:
Ketika suatu kendaraan membelok di tikungan, bisa
didekati sebagai gerak melingkar agar tidak terjadi selip
maka:
v2
n
Tikungan Datar:
= µs
R.g
n
Tikungan Miring:
BAB 4
vmin =
g.R
µs
µ + tanθ
v2
= s
R.g 1 − µ s tanθ
USAHA DAN ENERGI
A. USAHA
Usaha adalah kerja atau aktivitas yang menyebabkan
suatu perubahan, dalam mekanika, kuantitas dari
suatu kerja atau usaha diberikan sebagai berikut.
F cosθ
Jika sebuah benda ditarik dengan gaya sebesar F dan
benda berpindah sejauh S , maka usaha yang dilakukan
gaya terhadap benda adalah:
W = F . S . cos θ
untuk q = 0o, maka
sehingga:
n Laju benda berubah:
1
1
W = Ekakhir − Ekawal = mv22 − mv12
2
2
n
Posisi tinggi benda berubah:
W = Epakhir − Epawal = mg(∆h)
Hukum Kekekalan Energi Mekanik
Pada sistem yang konservatif (hanya gaya gravitasi
saja yang diperhitungkan) berlaku kekekalan energi
mekanik, yaitu energi mekanik di setiap kedudukan
adalah sama besar. Contoh-contohnya:
W =F.S
B. ENERGI
Energi adalah kemampuan untuk melakukan usaha
atau kerja.
Ek = 12 m.v 2
n
Energi Kinetik:
n
Energi Potensial Gravitasi:
n
Energi Mekanik:
Ep = m.g.h
EM = Ek + Ep
EMA = EMB = EMC
Dari hukum kekekalan energi mekanik pada kasus
gambar-gambar di atas, untuk puncak dan dasar
berlaku:
v A = 2.ghB atau hB =
v A2
2.g
Usaha dapat merubah energi yang dimiliki benda
26
mata_elang_media@yahoo.co.id
Sebuah Bandul Diputar Vertikal
Usaha dan Energi Potensial Pegas
Dari penerapan hukum kekekalan energi mekanik,
maka syarat agar bandul bergerak 1 lingkaran penuh
adalah:
Laju di titik tertinggi (B):
vB = g.R
VA
Laju di titik terendah (A):
vB = 5g.R
Energi potensial pegas: EP = 12 k.x 2
Usaha: W = ∆EP = 21 k.x22 − 12 k.x12
Jika simpangan di mulai dari titik setimbang, maka:
k = konstanta pegas (N/m),
x = simpangan pegas (m).
W = EP = 12 k.x 2
Energi pada Gerak Harmonis
n
Energi potensial:
EP = 12 k.A2 sin2 θ
Energi pada Gerak Parabola
Di dasar:
2
EP = 0 dan EK = 12 m. ( vo )
Di puncak:
EP = 12 m.(vo )2 .sin2 α
EK = 12 m.(vo )2 .cos2 α
k = konstanta pegas, A = amplitudo, q = sudut fase.
n
Energi kinetik:
EK = 12 k.A2 cos2 θ
k = m.w2; m = massa; w = 2pf
n
Energi mekanik:
EM = EP + EK
Energi Potensial Gravitasi
EP = −G
G =
R =
BAB 5
M.m
R
konstanta gravitasi
jarak 2 massa
GAYA GRAVITASI DAN PEGAS
A. GAYA GRAVITASI
F =G
M1 .M2
R2
F = gaya tarik-menarik antara M1 dan M2
G = konstanta gravitasi = 6,673 × 10-11 Nm2/kg2
1. Kuat Medan Gravitasi (Percepatan Gravitasi)
Medan gravitasi: tempat di mana gaya gravitasi
terjadi.
g=G
M
R2
mata_elang_media@yahoo.co.id
2. Hukum Keppler
a. Hukum Keppler I
“Lintasan planet berbentuk elips dan
matahari di salah satu titik fokusnya”.
Aphelium: titik terjauh, Perihelium: titik
terdekat.
b. Hukum Keppler II
“Garis yang menghubungkan planet dan
matahari akan menyapu luas juring dan
dalam waktu yang sama”.
I
II
III
27
Jika:
luasan I = luasan II = luasan III ⇒ tAB = tCD =
tEF
tAB = waktu dari A ke B
2. Gerak Harmonik pada Pegas
n
Simpangan
2
TA RA
=
TB RB
3
τ=
Y=
n
Kecepatan getar
v = ω.A cosθ = ω A2 − y 2
v: kecepatan getar
y: simpangan getar
A: amplitudo (simpangan maksimum)
τ
F .L
=
ε A.∆L
n
2π
= 2π f
T
f = frekuensi getaran (Hz)
T = periode getaran (s)
2. Regangan
n
∆L
L
Percepatan getar
a = −ω 2 .A sinθ = −ω 2 y
y : simpangan getar
A : amplitudo (simpangan maksimum)
DL : perubahan panjang
L : panjang mula-mula
n
C. PEGAS
k
x
: gaya yang menarik/
mend
• Cocok untuk Persiapan UN dan SNMPTN.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Matematika
Fisika
Kimia
Biologi
Bahasa Indonesia
Bahasa Inggris
Program IPA
Matematika
BAB 1
EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. EKSPONEN
2. Persamaan Eksponen
Definisi
Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan
bulat positif (bilangan asli), maka:
a n = a × a × a × a × ... × a
a.
b.
c.
Dengan:
a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen
1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a , b ∈ R ,
maka:
a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x ) = g( x )
a f ( x ) = b f ( x ) ⇒ f (x) = 0
g(x)
h( x )
f ( x ) = f ( x ) maka:
n
g(x) = h(x)
n
f(x) = 1
n
f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/
ganjil
n
f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif
3. Pertidaksamaan Eksponen
a.
a m × a n = a m+ n
b.
a m : a n = a m −n , a ≠ 0
Jika a f ( x ) > ag ( x ) maka berlaku:
n
f(x) > g(x) , untuk a > 1
n
f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1
c.
(a )
B. BENTUK AKAR
d.
m n
m
= a mn
n p
mp
(a b ) = a b
np
p
e.
f.
g.
a m a mp
n = np , b ≠ 0
b
b
a0 = 1 , a ≠ 0
1
a−n = n , a ≠ 0
a
Sifat-sifat Bentuk Akar
a.
b.
d.
an = a
a ⋅ b = a⋅b
a
a
=
b
b
c.
e.
2
n
n
m
am = a n
1
1
a 1
=
×
=
a
a
a
a a
mata_elang_media@yahoo.co.id
C. LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga
hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
a
log b = c ⇔ a c = b
Di mana:
1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a < 1 atau
a > 1,
2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari
logaritmanya, dengan b > 0,
3. c dinamakan hasil logaritma.
1. Sifat-Sifat Logaritma
Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
a.
a
log b = c ⇔ a = b
b.
a
log b + a log c = a log bc
c.
d.
c
a
an
log b − a log c = a log
log bm =
b
c
m a
⋅ log b
n
BAB 2
e.
f.
p
log b
, dengan 0 < p < 1 ∨ p > 1
log a
1
a
log b = b
log a
a
log b =
g. a
h.
a
a
log b
p
=b
log b ⋅ b log c ⋅ c log d = a log d
2. Persamaan Logaritma
a
log f (x) = a log g(x) ⇒ f (x) = g(x)
3. Pertidaksamaan Logaritma
Jika a log f (x) ≤ a log g(x) , maka berlaku:
I. Syarat Basis:
1. Untuk 0 < a < 1
f ( x ) ≥ g( x )
2. Untuk a > 1
f ( x ) ≤ g( x )
II. Syarat Numerus:
1. f (x) > 0
2. g(x) > 0
PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
−b
c
x1 ⋅ x2 =
a
a
A. PERSAMAAN KUADRAT
x1 + x2 =
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 ⋅ x2
ax 2 + bx + c = 0
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 .
1. Jenis-jenis Akar
Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai:
1. akar real jika D ≥ 0 ,
2. akar real berlainan jika D > 0 ,
3. akar real kembar jika D = 0 ,
4. akar imajiner/ khayal jika D < 0 ,
dengan D = b2 − 4ac .
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan
kuadrat ax 2 + bx + c = 0 , maka:
mata_elang_media@yahoo.co.id
x1 − x2 =
D
a
2
x12 − x22 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 )
3
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 ⋅ x2 ( x1 + x2 )
1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2 x1 ⋅ x2
3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Diketahui persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar
persamaan kuadrat yang diketahui:
1. Kedua akarnya positif, jika:
x1 + x2 > 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
3
2.
dua titik.
ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x.
iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.
Kedua akarnya negatif, jika:
x1 + x2 < 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
3.
Kedua akarnya berlainan tanda, jika:
2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat
x1 ⋅ x2 < 0 ; D > 0
4.
Fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c mempunyai:
Kedua akarnya berlawanan, jika:
x1 + x2 = 0
5.
Kedua akarnya berkebalikan, jika:
x1 ⋅ x2 = 1
4. Menentukan Persamaan Kuadrat
Sumbu simetri: x =
2.
Nilai ekstrem:
−b
2a
D
b2 − 4ac
=
−4a
−4a
Nilai ekstrem maksimum jika a < 0.
Nilai ekstrem minimum jika a > 0.
θ
Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan
1.
adalah
3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat
a.
x 2 − (α + β ) x + α ⋅ β = 0
Diketahui titik puncak (x p , y p ) dan titik lain
y = a(x − x p )2 + y p
B. FUNGSI KUADRAT
b.
(x2 ,0) serta titik lain
Fungsi f yang didefinisikan sebagai f (x) = ax 2 + bx + c
di mana a , b, c ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan sebagai
fungsi kuadrat.
1. Hubungan a, b, c, dan D
Diketahui titik potong dengan sumbu x, (x1 ,0) dan
y = a(x − x1 )(x − x2 )
c.
Diketahui tiga titik pada parabola
y = ax 2 + bx + c
2
Fungsi kuadrat f (x) = ax + bx + c didapat hubungan:
a. “a” menentukan keterbukaan kurva.
i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas.
ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah.
a>0
4. Definit
a.
a 0 maka puncak berada di sebelah kiri
sumbu y.
Jika a ⋅ b < 0 maka puncak berada di sebelah
kanan sumbu y.
“c” menentukan titik potong dengan sumbu y.
i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif.
ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0).
iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negatif.
Definit Positif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif
untuk semua x disebut definit positif.
Syarat:
D < 0 dan a > 0
Definit Negatif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif
untuk semua x disebut definit negatif.
Syarat:
D < 0 dan a < 0
d. “ D = b2 − 4ac ” menentukan titik potong dengan
sumbu x.
i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di
4
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 3
PERTIDAKSAMAAN
A. SIFAT UMUM
C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR
Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c,
dan d ∈ R adalah sebagai berikut.
1. a > b maka a + c > b + c
2. a > b, c > d maka a + c > b + d
3. a > b, b > c maka a > c
4. a > b, c > 0 maka a c > b c
5. a > b, c < 0 maka a c < b c
Langkah penyelesaian:
1. Kuadratkan kedua ruas.
2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.
Nilai mutlak untuk x Î R didefinisikan:
6.
a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2
7.
a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2
a
> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0
b
8.
B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN
Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan
tanda pada ruas yang paling kanan.
Pangkat genap memiliki tanda yang sama.
Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.
n
n
n
BAB 4
D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI
MUTLAK
ìï x jika x > 0
ïï
x = ïí-x jika x < 0
ïï
ïïî 0 jika x = 0
Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:
1. x £ a Û -a £ x £ a
2. x ³ a Û x £-a atau x ³ a
3. f (x) £ g(x) Û ( f (x) + g(x))( f (x) - g(x)) £ 0
f (x)
4.
£ k Û ( f (x) - k × g(x))( f (x) + k × g(x)) £ 0
g( x )
LOGIKA MATEMATIKA
B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN
A. DEFINISI
Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang
bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus
benar dan salah.
n
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat
variabel dan menjadi pernyataan jika variabel
tersebut diganti konstanta dalam himpunan
semestanya.
Beberapa operator yang digunakan dalam logika.
n
No
1
Operator
Nama
Lambang
Negasi
~
p
q
~p
B
B
S
p∧q
B
p∨ q
B
pÞq
B
pÛ q
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
C. NEGASI/INGKARAN
No
Arti
Tidak, bukan
2
Konjungsi
Ù
dan, tetapi
3
Disjungsi
∨
atau
4
Implikasi
Þ
jika...maka
5
Biimplikasi
Û
jika dan hanya jika
mata_elang_media@yahoo.co.id
Pernyataan
Negasi/Ingkaran
1
pÙq
pÚ q
2
pÚq
pÙ q
3
pÞq
pÙ q
4
pÛq
pÙ
q pÚ
q pÙ q
q
5
D. EKUIVALENSI
F. PENARIKAN KESIMPULAN
Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.
Contoh: p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ p ∨ q
Modus Ponens
E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
n
n
n
Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p
Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ ~ q
Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ ~ p
BAB 5
Sillogisme
pÞq
p
(B)
(B)
pÞq
q
(B)
(B)
p Þ q (B)
q Þ r (B)
\ q
(B)
\ p (B)
\ p Þ r (B)
SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS
A. SISTEM PERSAMAAN
Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:
n
Metode eliminasi
n
Metode substitusi
n
Metode campuran
B. PERSAMAAN GARIS
1.
Modus Tollens
n
Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika
n
m1 × m2 = -1
Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut
sebesar a dengan
tan a =
m1 - m2
1 + m1 × m2
Melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m, berlaku:
y − y1 = m(x − x1 )
2.
Garis yang melalui ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) , berlaku:
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
3.
Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di
titik (0, a) berlaku:
y
ax + by = a.b
a
b
x
C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS
Diketahui garis g : y = m1 x + c1 dan garis
h : y = m2 x + c2 maka
Garis g dan h sejajar jika m1 = m2
n
6
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 6
STATISTIKA DAN PELUANG
Data kelompok:
A. STATISTIKA
∑ f c
1n−
2
Me = Q2 = tb +
fk
1. Rata-rata/mean ( x )
Data tunggal:
n
x + x + ... + xn
=
x= 1 2
n
∑x
n = banyak data,
xi = data ke-i,
i = 1, 2, 3, …, n.
i
i =1
n
tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2
f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me
∑
fk = frekuensi kelas yang memuat Me
Data kelompok:
n
f x + f x + ... + fn xn
=
x= 1 1 2 2
f1 + f2 + ... + fn
∑fx
i i
fi = banyak data xi,
i =1
n
n = f1 + f2 + ... + fn .
∑f
(∑ )
1n−
f
4
Q1 = tb1 +
f1
i
i =1
Kuartil bawah (Q1):
2. Modus (Mo)
Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak
atau data yang paling sering muncul.
n
Data tunggal:
Contoh:
Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.
Modus dari data tersebut adalah 7.
n
Data kelompok:
d1
Mo = tb +
c
d1 + d2
tb = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sesudahnya
c = panjang kelas
3. Median (Me/Q2)
Median adalah nilai tengah dari data yang telah
diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau
kuartil tengah.
Data tunggal:
Me = x n +1
Jika n ganjil maka:
2
xn + xn
Jika n genap maka: Me =
4. Kuartil
Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah
terurut menjadi 4 bagian.
Data kelompok:
2
2
Kuartil atas (Q3):
2
mata_elang_media@yahoo.co.id
3
c
c
Dengan:
tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3
( ∑ f )1 / ( ∑ f )3 = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3
f1 / f3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3
5. Jangkauan (J)
n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:
J = xmax − xmin
n
Jangkauan antarkuartil (H):
H = Q3 − Q1
n
Jangkauan semi antarkuartil (Qd):
1
Qd = (Q3 − Q1 )
2
6. Simpangan rata-rata (SR)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
n
∑
| xi − x |
SR =
+1
(∑ )
3n−
f
4
Q3 = tb3 +
f3
1
i =1
n
∑ f |x − x |
i
SR =
i =1
i
n
∑f
i
i =1
7
7. Ragam/variansi (R)
Data tunggal:
n
R = S2 =
A1 × A2 × A3 × ... × In
Data kelompok:
n
∑
| xi − x |2
i =1
n
∑ f |x − x |
i
R = S2 =
2
i
i =1
Notasi Faktorial
n! = 1 × 2 × 3 × ... (n – 1) × n
1! = 0! = 1
dengan n bilangan asli
n
∑f
i
i =1
8. Simpangan baku/deviasi standar (S)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
∑| x − x |
n
i
S=
i =1
n
∑ f |x − x |
i
S=
i =1
i
n
∑f
i
i =1
9. Perubahan data
Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang
sama, berlaku
Perubahan
data
+
x
:
Ukuran
pemusatan
+
x
:
Ukuran
penyebaran
TETAP
TETAP
x
:
Catatan:
Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo,
Me, Q1 .
Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H,
Qd, S, R.
B. PELUANG
Aturan Perkalian
Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan:
n
A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
pertama.
n
A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
kedua setelah tempat pertama terisi.
n
A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga
setelah tempat pertama dan kedua terisi.
n
An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n
setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi.
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia
secara keseluruhan adalah:
8
1. Permutasi
n
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda
dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA)
n
Rumus dan notasi yang digunakan dalam
permutasi adalah:
Banyaknya permutasi n unsur yang diambil
dari n unsur adalah P(n, r) = n!
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil
dari n unsur:
P(n, r ) =
n
n!
(n − r )!
Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang
sama, n unsur yang sama dan l unsur yang sama
adalah:
k!
cara
m!⋅ n!⋅ l!
n
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur
adalah
(n – 1)!
2. Kombinasi
n
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa
memperhatikan urutan-nya (AB = BA).
n
Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan
dengan nCk atau C (n, k) .
n
Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n
unsur adalah
C (n, k) =
n!
(n − k)!k!
3. Peluang Kejadian
Peluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan
rumus:
P(A) =
n(A)
n(S)
n(S) = banyaknya anggota semesta
n(A) = banyaknya anggota A
P(A) = peluang kejadian A
mata_elang_media@yahoo.co.id
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka
b. Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling
lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang
berakibat P(A ∩ B) = 0, sehingga
P(Ac ) = 1 − P(A)
5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan
adalah
FH(A) = n × P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
c. Kejadian Saling Bebas
A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila
kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian
lainnya.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
6. Peluang Kejadian Majemuk
a. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
BAB 7
TRIGONOMETRI
Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:
A
b
sin x =
c
c
a
cos x =
b
c
b
x
tan x =
C
B
a
a
sin(90o - a) = cos a
sin(180o - a) = sin a
sin(90o + a) = cos a
sin(180o + a) = -sin a
cos(90o - a) = sin a
cos(180o - a) = -cos a
cos(90o + a) = -sina
cos(180o + a) = -cos a
tan(90o - a) = cot a
tan(180o - a) = - tan a
tan(90o + a) = -cot a
tan(180o + a) = tan a
A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA
sin(270o - a) = -cos a
sin(360o - a) = -sin a
sin(270o + a) = -cos a
sin(360o + a) = sin a
cos(270o - a) = -sin a
cos(360o - a) = cos a
cos(270o + a) = sin a
cos(360o + a) = cos a
tan(270o - a) = cot a
tan(360o - a) = - tan a
tan(270o + a) = -cot a
tan(360o + a) = tan a
Sin
0o
0
30o
½
Cos
1
½
3
Tan
0
1
3
3
45o
½
2
½
2
60o
3
½
1
90o
1
½
0
3
~
B. SUDUT-SUDUT BERELASI
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
90o y
Kuadran II
Sin, Cosec
180o positif
Kuadran I
Semua positif
0o
Kuadran III
Kuadran IV
Tan, Cot
Positif
Cos, Sec
Positif
360o
mata_elang_media@yahoo.co.id
Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:
sin x
2
2
1.
= tan x
4. tan x + 1 = sec x
cos x
1
= sec x
2. sin2 x + cos2 x = 1
5.
cos x
2
2
1
3.
6. 1 + cot x = cos ec x
= co sec x
sin x
9
D. ATURAN SINUS DAN COSINUS
C
A
Pada setiap segitiga sembarang
ABC berlaku aturan sinus, yaitu:
a
b
c
2sin x cos y = sin(x + y) + sin(x - y)
B
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan
cosinus, yaitu:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
2cos x sin y = sin(x + y) - sin(x - y)
2cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y)
-2sin x sin y = cos(x + y) - cos(x - y)
H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
TRIGONOMETRI
a. Sinus
sin x = sinα
x1 = α + k.360o atau x1 = (180o − α ) + k.360o
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
b. Cosinus
cos x = cosα
x = ±α + k.360o
E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA
Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan
dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:
1
L = bc sin A
C
2
1
a
b
L = ac sin B
2
1
B
A
L = ab sinC
c
2
c. Tan
tan x = tanα
x = α + k.180o
k = ..., –1, 0, 1, 2, …
F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
tan A + tan B
tan (A + B) =
1 − tan A ⋅ tan B
tan A − tan B
tan (A − B) =
1 + tan A ⋅ tan B
sin2 x = 2sin x cos x
cos2 x = cos2 x − sin2 x
= 2cos2 x − 1
= 1 − 2sin2 x
tan2 x =
2tan x
1 − tan2 x
G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS
1
1
sin A + sinB = 2sin (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
sin A − sin B = 2cos (A + B)sin (A − B)
2
2
1
1
cos A + cos B = 2cos (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
cos A − cos B = −2sin (A + B)sin (A − B)
2
2
10
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 8
DIMENSI TIGA
B. SUDUT
A. JARAK
n
n
Jarak Antara Dua Titik
Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan
kedua titik itu.
A
B
Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara
titik A dan titik B.
Jarak Titik ke Garis
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.
n
Sudut Dua Garis Bersilangan
Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara
melukis sudut antara garis g dan h adalah:
lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h,
sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.
n
Sudut Antara Garis g dan Bidang V
Langkah:
proyeksikan garis g ke bidang V, sebut
hasilnya g’,
sudutnya = sudut antara garis g dan g’.
n
Sudut Antara Dua Bidang
Langkah:
tentukan perpotongan antara bidang V dan
W sebut l,
lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,
lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h,
sudutnya = sudut antara garis g dan h.
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jarijari = r.
y
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2
(a, b) r
A
g
B
n
AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g
yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak
lurus g.
Jarak antara Titik dengan Bidang
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke
bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik
proyeksinya pada bidang.
Jarak antara P dan bidang ditunjukkan oleh garis m yang tegak
lurus bidang.
BAB 9
LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
A. PERSAMAAN LINGKARAN
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari
jari = r.
y
x2 + y2 = r 2
r
(0, 0)
x
mata_elang_media@yahoo.co.id
(0, 0)
x
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan
menyinggung sumbu x:
11
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA
LINGKARAN
y
2
2
( x − a) + ( y − b) = b
(0, b)
2
r
1. Diketahui titik singgungnya ( x1 , y1 )
n
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus:
x
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan
menyinggung sumbu y:
y
2
2
( x − a) + ( y − b) = a
(a, 0)
n
( x − a )2 + ( y − b )2 = d 2
d
x
Dengan d =
adalah d.
ap + bq + r
p2 + q 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 di titik (x1, y1). Rumus:
( x − a ) ( x1 − a ) + ( y − b ) ( y1 − b ) = r 2
r
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan
menyinggung garis px + qy + r = 0.
y
px + qy + r = 0
(a, b)
n
2
x
n
x1 x + y1 y = r 2
Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1)
pada lingkaran: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.
Rumus:
x1 x + y1 y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
2. Diketahui gradien m
n
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0)
dan jari–jari r.
Rumus:
y = mx ± r 1 + m2
. Jari-jari lingkaran
n
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Rumus:
y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m2
1. Persamaan Umum Lingkaran
C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Diberikan garis g:
2
2
A B
A B
+ −C
Pusat − , − dan jari-jari r =
4
4
2 2
2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan
L: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x1,
y1). Kedudukan titik A(x1, y1) terhadap lingkaran L
adalah:
K = x12 + y12 + 2ax1 + 2by1 + c
n
n
n
12
K > 0 maka titik A(x1, y1) berada di luar
lingkaran.
K < 0 maka titik A(x1, y1) berada di dalam
lingkaran.
K = 0 maka titik A(x1, y1) berada pada lingkaran.
2
2
y = mx + n dan lingkaran:
2
L ≡ x + y = r . Hubungan antara garis g dan lingkaran
L dapat diselidiki dengan cara:
n
Substitusi garis g ke L.
n
Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi,
yaitu:
1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada
dua titik,
2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada
satu titik (garis menyinggung lingkaran),
3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.
1
2
3
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 10 SUKU BANYAK
Bentuk umum:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a1x + a0,
dengan an ≠ 0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1,
a0 disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masingmasing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta
real dan an ≠ 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap
(konstanta).
A. NILAI SUKU BANYAK
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka
sisanya = f( b ).
n
Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x)
maka f(a) = 0.
a
D. TEOREMA FAKTOR
n
Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:
1. Cara Substitusi
Jika f(x) = x4 – 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak
tersebut untuk x = 1 adalah
f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 5
2. Metode Horner
Jika ax3 + bx2 + cx + d adalah suku banyak maka
f(h) diperoleh cara sebagai berikut.
a
b
c
d
h
a
n
ah
ah2 + bh
ah3 + bh2 + ch
ah + b
ah2 + bh + c
ah3 + bh2 + ch + d
n
n
E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK
n
+
Berarti kalikan dengan h
B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh
suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka
didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x),
secara matematis pembagian ini dapat ditulis:
f(x) = h(x) g(x) + s(x)
Keterangan:
f(x) = yang dibagi
g(x) = pembagi
h(x) = hasil bagi
s(x) = sisa
Catatan: k < n
berderajat n
berderajat k
berderajat (n – k)
berderajat (k – 1)
Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat
nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor
dari suku banyak f(k).
Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b)
= 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b).
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah
akar dari f(x).
n
Fungsi derajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
b
1. x1 + x2 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
a
d
3. x1 . x2 . x3 = −
a
Fungsi derajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
b
1. x1 + x2 + x3 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =
a
d
3. x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 = −
a
e
4. x1 .x2 .x3 .x4 =
a
C. TEOREMA SISA
n
n
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka
sisanya = f(a).
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka
sisanya = f(–a).
mata_elang_media@yahoo.co.id
13
BAB 11
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika
ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan
A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut
daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B
yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau
range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan
setiap anggota domain dengan tepat satu kawan
dengan anggota kodomain ditulis f : A → B .
f
x
A
g
x
Sehingga jika f(x) = y maka f (y) = x. Fungsi invers
berlaku:
f(x)
Rumus,
f ( x) =
g(f(x))
B
gof
C
ax + b
-dx + b
Þ f -1 ( x ) =
cx + d
cx - a
C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI
( g f )( x ) = f ( f ( x ) )
f
Sifat-sifat fungsi komposisi:
n
n
B
f (a) = b ⇔ f -1 (b) = a
f
n
f-1
-1
A. FUNGSI KOMPOSISI
A
f(x)
g
x
f g ≠ g f
f (g h) = ( f g) h = f g h
I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka
berlaku I f = f I dan f f −1 = f −1 f = I
f(x)
B
gof
A
g(f(x))
C
(gof)-1
Sifat:
( g f )−1 ( x ) = ( f −1 g −1 ) ( x )
B. FUNGSI INVERS
Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi
itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)
dinotasikan f −1 (x) .
BAB 12 LIMIT
A. TEOREMA LIMIT
n
Jika f(x) = k, maka lim f(x) = k, dengan k konstanta,
x →a
k dan a ∈ real
n
Jika f(x) = x, maka lim f(x) = a
n
14
n
lim k. f(x) = k. lim f(x), k konstanta
n
lim { f(x). g(x)} = lim f(x). lim g(x)
x →a
x →a
x →a
f ( x)
f (x) lim
x →a
lim
, lim g(x) ≠ 0
=
x →a g( x )
lim g(x) x→a
n
lim { f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x)
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
n
n
{
}
lim{ f (x)} = lim f (x)
x →a
x →a
n
mata_elang_media@yahoo.co.id
C. LIMIT TRIGONOMETRI
B. LIMIT ALJABAR
1.
a.
b.
2.
0
0
Bentuk
∞
∞
n
a
p
Untuk n > m ⇒ L = ∞
n
Untuk n < m ⇒ L = 0
sin mx m
=
nx
n
sin m(x − a) m
lim
=
x →a
n(x − a)
n
lim
x →0
Beberapa rumus bantu:
ax n + bx n−1 + ... + c
lim m
=L
x →∞ px + qx m−1 + ... + r
3.
x →0
Dengan pemfaktoran.
Dengan aturan L’Hospital diperoleh:
F (x)
F '(x) F '(a)
lim
= lim
=
x →a G( x )
x →a G '( x )
G '(a)
Bentuk tak tentu
n
sin x
=1
x
x
lim
=1
x →0 sin x
tan x
lim
=1
x →0
x
x
lim
=1
x →0 tan x
lim
Untuk n = m ⇒ L =
1.
2.
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
3.
cos 2x = cos 2 x – sin 2 x
4.
1 – cos 2x = 2 sin 2 x
5.
1 + cos 2x = 2cos 2 x
Bentuk tak tentu ∞ − ∞
Rumus cepat:
lim
x ®¥
(
)
b-q
( Jika a = p)
2 a
= ( Jika a > p)
= - ( Jika a < p)
ax 2 + bx + c - px 2 + qx + r =
BAB 13 TURUNAN
A. DEFINISI
3.
y ' = f '(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
B. RUMUS DASAR
1.
Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x)
4.
5.
Turunan suatu konstanta c.
Turunan perkalian fungsi dan konstanta.
Jika y = c f(x) maka y’ = c f’ (x)
mata_elang_media@yahoo.co.id
Turunan perkalian fungsi.
Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x)
Turunan pembagian fungsi.
Jika y =
Jika y = c maka y’ = 0
2.
Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.
6.
u '(x).v(x) − u(x).v '(x)
u(x)
maka y ' =
v 2 (x)
v(x)
Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).
Jika y = f(g(x)) adalah
dy dy dg
= .
dx dg dx
15
7.
Turunan fungsi pangkat.
Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x1.
m =f ’(x1)
Jika f(x) = ax n maka f’(x) = a.n x n−1
Persamaan garis singgungnya:
Turunan Trigonometri
n
n
n
y − y1 = m(x − x1 )
f(x) = sin ax, maka f’(x) = a cos ax
f(x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax
f(x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec ax
C. PENERAPAN TURUNAN
n
n
2
Kurva naik jika: f’(x) > 0
Kurva turun jika: f’(x) < 0
n
Gradien (m) garis singgung di titik ( x1 , y1 ) pada
kurva f(x)
( x1 , y1 )
m = f’(x)
f(x)
Interval fungsi naik dan interval fungsi turun
Keadaan stasioner
Bila keadaan stasioner terjadi di titik (x1 , y1 ) maka
f’(x1) = 0. y1 = f (x1 ) disebut nilai stasioner.
Jadi nilai maksimal/minimum adalah . (x1 , f (x1 ))
Catatan:
Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/
titik balik.
BAB 14 INTEGRAL
C. INTEGRAL PARSIAL
Integral adalah anti turunan.
∫ f ′(x)dx = f (x) + C
∫ UdV = UV − ∫VdU
D. LUAS DAERAH
A. RUMUS DASAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
∫ a dx = ax + C
1
∫ x dx = n + 1 x
n
b
n+1
+ C , syarat n ≠ −1
1
∫ x dx = ln x + C
∫ sin x dx = − cos x + C
b
a
m+1
−1
x +C
d
∫ cos x sinx dx = m + 1 cos x + C
∫ ( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx
m
m+1
∫ f '(x) ⋅ ( f (x)) dx =
16
L = ∫ ( xkanan − xkiri )dy
c
d
L = ∫ ( x2 − x1 ) dy
c
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
n
a
L = ∫ ( y2 − y1 )dx
∫ cos x dx = sin x + C
1
∫ s in x c os xdx = m + 1s in
m
L = ∫ ( yatas − ybawah ) dx
( f (x))n+1
n+1
+C
mata_elang_media@yahoo.co.id
E. VOLUME BENDA PUTAR
Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p ≤ x ≤ q , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila
diputar terhadap sumbu x.
Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r ≤ x ≤ s , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2
terhadap sumbu y.
q
V = π ∫ (y2 )2 − (y1 )2 dx
p
q
V = π ∫ (y jauh )2 − (ydekat )2 dx
p
s
V = π ∫ (x2 )2 − (x1 )2 dy
r
s
V = π ∫ (x jauh )2 − (xdekat )2 dy
r
BAB 15 PROGRAM LINEAR
Program linear adalah salah satu bagian dari
matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai
persoalan sehari-hari, di mana model matematika
terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier
yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau
lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian
optimum).
n
Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model
matematika kendala/syarat/masalah berupa sistem pertidaksamaan linear.
n
Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih
dahulu membuat model matematika. Sasaran program berupa sebuah fungsi linier yang disebut
fungsi sasaran/tujuan/objektif.
A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan
Ax + By + C ≥ 0 atau Ax + By + C ≤ 0 dapat ditentukan
sebagai berikut.
n
Jadikan A (koefisien x) bernilai positif.
n
Jika tanda pertidaksamaan ≥ , maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis Ax + By + C = 0 .
n
Jika tanda pertidaksamaan ≤ , maka daerah
penyelesaian di sebelah kiri garis Ax + By + C = 0 .
mata_elang_media@yahoo.co.id
s
B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF
Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok
atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum
(maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentukan dengan:
Penggunaan Garis Selidik
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C , maka
garis selidiknya adalah Ax + By + C = k .
n
Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.
n
Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.
Pengujian Titik Pojok
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C disubstitusi
dengan seluruh koordinat titik pojok, maka hasil
yang terbesar/terkecil merupakan nilai optimum
dari fungsi objektif tersebut.
17
BAB 16 BARISAN DAN DERET
A. BARISAN ARITMATIKA
n
Suku pertama = U1 = a
Barisan dengan selisih di antara dua suku yang
berurutan besarnya sama.
Contoh: 2, 4, 6, 8, ... selisih 2.
n
n
U U
U
Rasio ⇒ r = 2 = 3 = ... = n
Un−1
Suku ke-n U1 U2
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan aritmatika maka:
n
Suku pertama = U1 = a
n
n
Beda ⇒ b = U2 − U1 = U3 − U2 = ... = Un − Un−1
Suku ke-n
Un = a + (n − 1)b
n
Jumlah n suku pertama (Sn )
Un = a ⋅ r n−1
n
Sn =
1−r
atau Sn =
a ( r n − 1)
r −1
n
Rumus jumlah deret geometri tak hingga:
a
S∞ =
1−r
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:
a
Sganjil =
1 − r2
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku genap:
B. BARISAN GEOMETRI
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan geometri, maka:
a (1 − r n )
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
n
n
Sn = (2a + (n − 1)b) atau Sn = (a + Un )
2
2
Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan
adalah sama.
Contoh: 1, 2, 4, 8, ... rasio 2
Jumlah n suku pertama (Sn )
Sgenap =
n
ar
1 − r2
Rasio deret geometri tak hingga:
Sgenap
r=
Sganjil
Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen
jika −1 < r < 1 ⇔ r < 1 .
BAB 17
MATRIKS
Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang
disusun dalam baris dan kolom.
Contoh:
a11 a1n
A=
a
m1 amn
Dengan:
a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1
amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n
18
Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan
kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan
banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m ×
n, dan ditulis Amn.
Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika:
1. ordonya sama
2. anggota yang seletak harus sama
mata_elang_media@yahoo.co.id
Contoh:
a1 a2 a3
A=
a4 a5 a6
Determinan matriks B:
b1 b2 b3
B=
b4 b5 b6
a b c
det B = B = d e f
g h i
Jika A = B, maka a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3,
a4 = b4, a5 = b5, a6 = b6
Transpose Matriks
Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan
kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu
matriks baru yang disebut transpose matriks.
Transpose matriks A = At = AT
n
a b
Matriks 2 × 2: A =
c d
= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
C. INVERS
n
Suatu matriks mempunyai invers jika
determinannya tidak nol.
a b
1 d −b
⇒ A−1 =
A=
ad − bc −c a
c d
n
Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0
n
(A )
n
Determinan matriks A: det A = A = ad − bc
n
a b c
d e f
g h i
+ + +
B. DETERMINAN
Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.
– – –
−1 −1
=A
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
1 0
0 1
Dengan: I2×2 =
identitas.
a b c
Matriks 3 × 3: B = d e f
g h i
1 0 0
I3 x 3 = 0 1 0 , I = matriks
0 0 1
BAB 18 VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan
arah. Notasi vektor: a , b, c , dan seterusnya.
a dibaca “vektor a”.
A(x1 , y1 , z1 )
B(x2 , y2 , z2 )
AB = B − A = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya
adalah pusat koordinat.
Vektor posisi dari titik A adalah OA = a .
Sehingga dari definisi vektor posisi AB = b − a .
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan
arah yang sama.
2.
a = a12 + a22 + a32
3.
1.
mata_elang_media@yahoo.co.id
Jika a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
4.
Jika k adalah skalar, dan a = ( a1 , a2 , a3 ) maka
ka = ( ka1 , ka2 , ka3 )
Vektor Satuan
n
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu
satuan.
n
A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR
a1
a = a1 i + a2 j + a3 k = ( a1 , a2 , a3 ) = a2
a
3
Panjang vektor a dinotasikan sebagai
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1, 0, 0 )
dan vektor satuan searah sumbu y adalah
j = ( 0, 1, 0 ) dan vektor satuan searah sumbu z
adalah k = ( 0, 0, 1 ) .
n
Vektor satuan dari a adalah
a
a
.
19
Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika p adalah vektor posisi
dari titik P yang membagi garis
AB dengan perbandingan
C. PROYEKSI
a bc
θ
AP : PB = m : n , maka
m.b + n.a
p=
m+n
B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)
Diketahui a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a.b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3
n
a bc
Bila c adalah vektor proyeksi a pada b maka:
n
n
a bc
n
Besar c (panjang vektor proyeksi a pada b ):
a.b
c = a cosθ =
b
Vektor c proyeksi vektor a pada b :
a.b
c = 2 .b
b
( )
Diketahui a , b dan ∠ a , b = α maka
a.b
a.b = a . b .cosθ ⇔ cos θ =
a.b
BAB 19 TRANSFORMASI GEOMETRI
Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks
a b
MT
MT =
maka P(x , y) → P '(x ', y ') dengan
c d
B. REFLEKSI/PENCERMINAN
n
x ' a b x
y ' = c d y
A. TRANSLASI
n
1 0
Matriks transformasinya adalah
0 −1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y
menghasilkan bayangan P’(–x, y).
sumbu y
P(x , y)
→ P '(− x , y)
n
−1 0
Matriks transformasinya adalah
0 1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y = x
menghasilkan bayangan P’(y, x).
garis y =x
P(x , y) →
P '(y , x)
Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek
sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T
x ' x a
a
= , maka = + . Jadi P '(x + a , y + b) .
y' y b
b
20
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x
menghasilkan bayangan P’(x, –y).
sumbu x
P(x , y)
→ P '(x , −y)
0 1
Matriks transformasinya adalah
1 0
mata_elang_media@yahoo.co.id
n
n
Pencerminan titik P(x,y) terhadap garis y = –x
menghasilkan bayangan P’(–y, –x)
garis y =− x
P(x , y)
→ P '(−y , − x)
n
0 −1
Matriks transformasinya adalah
−1 0
Matriks refleksi terhadap garis y = x + k
x ' 0 1 x 0
y ' = 1 0 y − k + k
n
Matriks refleksi terhadap y = –x + k
x ' 0 −1 x 0
y ' = −1 0 y − k + k
n
Refleksi terhadap garis x = h
x =h
P(x , y)
→ P '(2h − x , k)
n
Refleksi terhadap garis y = k
y =k
P(x , y)
→ P '(x ,2k − y)
n
Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k
x =h ,y =k
P(x , y)
→ P '(2h − x ,2k − y)
n
Pencerminan terhadap dua garis yang saling
berpotongan
Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan
yaitu garis y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2
akan menghasilkan rotasi dengan:
a. pusat di titik potong dua garis,
b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat
sudut antara kedua garis,
c. arah rotasi sama dengan arah dari garis
pertama ke garis kedua.
Jika α sudut yang dibentuk antara garis
y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 , maka
m1 − m2
tanα =
.
1 + m1 ⋅ m2
C. ROTASI
Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α
x '− a cosα
y '− b = sinα
− sinα x − a
cosα
y − b
D. DILATASI
Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah
ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu
bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang
bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan
faktor dilatasi (faktor skala).
n
Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k
adalah
k 0
0 k
n
n
Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k
x ' k 0 x
y ' = 0 k y
Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k
x '− a k 0 x − a
y '− b = 0 k y − b
E. KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika transformasi T1 bersesuaian dengan matriks M1
dan transformasi T2 bersesuaian dengan matriks M2 ,
Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan
oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.
Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi
itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam,
berlaku sebaliknya.
n
Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α
x ' cosα
y ' = sinα
maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis T2 T1
bersesuaian dengan matriks M2 ⋅ M1 .
− sinα x
cosα
y
mata_elang_media@yahoo.co.id
21
Program IPA
Fisika
BAB 1
BESARAN
Besaran adalah sesuatu yang memiliki nilai dan dapat
diukur. Menurut penyusunnya besaran dibagi menjadi
dua, yaitu besaran pokok dan turunan. Sedang menurut
arahnya terbagi menjadi 2, yaitu besaran skalar dan
vektor.
A. BESARAN POKOK DAN BESARAN TURUNAN
-
B. BESARAN SKALAR DAN VEKTOR
-
Besaran Pokok
panjang
massa
waktu
kuat arus listrik
suhu
intensitas cahaya
jumlah zat
Satuan
m
kg
s
A
K
cd
mol
Dimensi
[L]
[M]
[T]
[I]
[q]
[J]
[N]
Dua Vektor Berpadu
n
Resultan: R = F1 + F2 =
Besaran pokok: besaran yang satuannya telah
ditentukan terlebih dahulu.
Besaran turunan: besaran yang diturunkan dari
besaran pokok.
Satuan dan Dimensi Besaran Pokok
Besaran skalar: besaran yang hanya memiliki nilai
tetapi tidak memiliki arah, contoh: massa dan
waktu.
Besaran vektor: besaran yang memiliki nilai dan
arah, contoh: kecepatan, perpindahan, momentum.
Selisih: F1 − F2 =
Besaran Turunan
Percepatan (a)
Gaya (F)
Momentum (p)
Energi/usaha
Daya (P)
22
Satuan
m/s2
kg m/s2 = newton
kg m/s
kg (m/s)2 = joule
kg m2/s3
Dimensi
LT-2
MLT-2
ML T-1
ML2 T-2
ML2 T-3
2
+ ( F2 ) − 2F1F2 cosθ
R = F1 − F2
(F ) + (F )
R=
Contoh Besaran Turunan
2
+ ( F2 ) + 2F1F2 cosθ
Resultan dari Dua Vektor dengan Sudut Tertentu
n
n
2
( F1 )
2
( F1 )
2
1
2
2
R = F1 + F2
Uraian Vektor
Fx = F cosα dan Fy = F sinα
y
F
F1
Arah: tanα =
∑F
∑F
y
x
a
F2
x
mata_elang_media@yahoo.co.id
C. PENGUKURAN
e.
Alat ukur
Mistar
Rol meter
Jangka sorong
Mikrometer sekrup
Ketelitian
1 mm
1 mm
0,1 mm
0,01 mm
n
D. ATURAN ANGKA PENTING
a.
b.
c.
d.
Semua angka bukan nol adalah angka penting.
Angka nol yang terletak di antara dua angka bukan
nol termasuk angka penting.
Contoh: 3,002 memiliki 4 angka penting.
Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir
dari angka-angka yang ditulis di belakang koma
desimal termasuk angka penting.
Contoh: 0,03600 memiliki 4 angka penting.
2,30 memiliki 3 angka penting.
Dalam notasi ilmiah, semua angka sebelum orde
termasuk angka penting.
Contoh: 2,6 ´ 104 memiliki dua angka penting.
9,60 ´ 104 memiliki tiga angka penting.
BAB 2
Aturan Perkalian atau Pembagian
Hasil operasi perkalian atau pembagian hanya
boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan
yang angka pentingnya paling sedikit.
→ 3 angka penting
Contoh:
2,42
1,2 ´ → 2 angka penting
2,904 → 4 angka penting
Dibulatkan menjadi 2,9 (2 angka penting).
KINEMATIKA GERAK LURUS
Suatu benda dikatakan bergerak jika ia berpindah
posisi ditinjau dari suatu titik acuan dalam selang
waktu tertentu.
kecepatan =
n
Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk
tempat titik desimal adalah bukan angka penting.
Contoh: 0,0075 memiliki 2 angka penting.
Aturan Penjumlahan atau Pengurangan
Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh
mengandung satu angka taksiran (angka terakhir
dari suatu bilangan penting).
→ 1 adalah angka taksiran
Contoh: 4,461
1,07 +
→ 7 adalah angka taksiran
5,531
→ ada dua angka taksiran
Sehingga dibulatkan menjadi 5,53; karena hanya
boleh mengandung satu angka taksiran.
perpindahan
⇒ besaran vektor
waktu
lintasan
laju =
⇒ besaran skalar
waktu
Konsep: Gerak Lurus, dibagi menjadi 2; GLB (a = 0)
dan GLBB (a≠0).
Penerapan dari GLBB
1. Gerak jatuh bebas
h
2. Gerak benda dilempar vertikal ke atas
A. GERAK LURUS BERATURAN (GLB)
♦ Percepatan, a = 0
♦ Vt = V0
♦ S = V t
B. GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN (GLBB)
♦
♦
♦
♦
a≠0
Vt = Vo + at
St = V0 t + 1/2 a t2
Vt2 = V02 + 2as
mata_elang_media@yahoo.co.id
♦ a = g (percepatan gravitasi)
♦ V0 = 0
♦ Vt = g t
1 2
♦ ht = g.t
2
hmaks
♦ a = –g
♦ Ketinggian maksimum:
v2
hmax = o
2.g
♦ Waktu sampai puncak:
v
t puncak = o
g
23
C. PERPADUAN DUA GERAK LURUS
n
1. GLB dengan GLB
vP
vS
vR
vR =
2
( vP )
besar (|a|): a =
2
+ (vS )
n
2. GLBB dengan GLB
Benda diluncurkan horizontal dari ketinggian h
dengan kecepatan v.
v
♦ Waktu sampai di tanah:
2h
t=
g
h
♦ Jarak mendatar maksimum:
2h
Xma ks = v
Xmaks
g
Ymaks
n
1
g.t2
2
Tinggi maksimum: Ymax
E. GERAK MELINGKAR
Konsep:
Rumus gerak melingkar beraturan (GMB) identik
dengan GLB, dan gerak melingkar berubah beraturan
(GMBB) identik dengan GLBB.
a = α. R
w = 2 π f = 2 π/T
ωA = ωB
v0 sinα
g
v 2 sin2 α
= 0
2g
D. PERSAMAAN GERAK LURUS
Posisi benda: r(t ) = x(t ) i + y(t ) j atau r(t ) = ∫ v.dt + r0
besar (|r|): r =
Bersinggungan
A
Jarak mendatar maksimum:
2.v 2 sinα cosα v02 sin(2α )
Xmax = 0
=
g
g
A
Dihubungkan
tali
A
B
B
v A = vB
v A = vB
2. Gerak Melingkar Beraturan (GMB , α = 0)
θ = ω.t
Gaya sentripetal: Fs = m
V2
V2
, as =
R
R
3. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB, α =
konstan)
wt = wo + a.t
qt = wo.t + ½ a.t2
wt2 = wo2 + 2 a.qt
V2
V2
, as =
R
R
2
= at + as2
Fs = m
a total
( x )2 + ( y )2
dr
Kecepatan: v =
atau v(t ) = ∫ a.dt + v0
dt
besar (|v|): v =
24
∆r r2 − r1
=
Kecepatan rata-rata: v =
∆t
∆t
∆v v2 − v1
=
Percepatan rata-rata: a =
∆t
∆t
Dua roda
sepusat
Kecepatan:
arah X: vx = vocosa
arah Y: vy = vosina – g.t
Posisi:
arah X = (vocosa).t
dan
Waktu sampai ke puncak: t p =
n
2
1. Sifat dari sistem roda sederhana
a
arah Y = (vosina)t –
n
+ ( ay )
S =q.R
V = w. R
Xmaks
n
n
2
( ax )
Hubungan gerak rotasi dan gerak lurus
3. Gerak parabola
vo
dv
Percepatan: a =
dt
2
(vx )
+ (vy )
2
mata_elang_media@yahoo.co.id
BAB 3
GAYA
Gaya adalah tarikan atau dorongan.
∑F = m . a
m = massa benda (kg)
a = percepatan benda (m/s2)
Konsep:
Resultan gaya ⇒ gaya yang searah dijumlahkan, dan
yang berlawanan arah dikurangkan.
1. Hukum Newton
n
Hukum Newton I
∑ F = 0 , a = 0, benda diam atau GLB
n
Hukum Newton II
∑ F = m.a , a ≠ 0, benda ber-GLBB
n
Hukum Newton III
F aksi = –F reaksi
a=
w A − wB
;
mA + mB
a
T
mB
mA
N
=
=
=
=
=
a=
wA
w − wB .sinθ
; a= A
mA + mB
mA + mB
percepatan sistem (massa A dan massa B)
tegangan tali ; TA = TB = T
massa B
massa A
gaya normal
4. Gaya pada Gerak Melingkar
Gaya sentripetal:
v2
Fs = m = mω 2 R
R
Percepatan sentripetal:
v2
as = = ω 2 R
R
Arah F : ke pusat ingkaran.
s
n
2. Gaya Gesek
Gaya gesek adalah gaya yang timbul akibat gesekan
dua benda.
Tali berputar vertikal
Di titik tertinggi (B):
Fs = T + w
Di titik terendah (A):
W FS
Fs = T – w
T
Di titik C:
Fs = T – w.cosq
w = berat benda
T = tegangan tali
Fx
fgesek
ms
mk
= gaya searah perpindahan
(menyebabkan pergeseran)
= gaya gesek
= koefisien gesek statis
= koefisien gesek kinetis
n
Tali berputar horizontal
n
Benda dari keadaan diam, maka
Pada luar bidang melingkar
N
(i) Jika Fx ≤ µ s N ⇒ benda diam ⇒ fgesek = Fx
N
(ii) Jika Fx > µ s N ⇒ benda bergerak dengan
FS
W
FS
W
percepatan a ⇒ fgesek = µk N
N adalah gaya normal benda, yaitu gaya yang diberikan
bidang pada benda, tegak lurus dengan bidang.
3. Kasus pada Sistem Katrol Licin
n
WA
WA
Di titik tertinggi (A):
Fs = w – N
Di titik B:
Fs = w.cosq – N
N = gaya normal
Pada dalam bidang melingkar
W
N
FS
WB
Fs = T = tegangan tali
FS
Di titik tertinggi (B):
Fs = N + w
Di titik terendah (A):
Fs = N – w
WA
mata_elang_media@yahoo.co.id
25
5. Pada Kasus Tikungan
v = laju maksimum kendaraan
ms = koefisien gesekan statis antara roda dengan jalan
R = jari-jari putaran jalan
q = sudut kemiringan jalan terhadap horizontal
g = percepatan gravitasi
6. Kasus pada Tong Stan
Laju minimum putaran motor:
Ketika suatu kendaraan membelok di tikungan, bisa
didekati sebagai gerak melingkar agar tidak terjadi selip
maka:
v2
n
Tikungan Datar:
= µs
R.g
n
Tikungan Miring:
BAB 4
vmin =
g.R
µs
µ + tanθ
v2
= s
R.g 1 − µ s tanθ
USAHA DAN ENERGI
A. USAHA
Usaha adalah kerja atau aktivitas yang menyebabkan
suatu perubahan, dalam mekanika, kuantitas dari
suatu kerja atau usaha diberikan sebagai berikut.
F cosθ
Jika sebuah benda ditarik dengan gaya sebesar F dan
benda berpindah sejauh S , maka usaha yang dilakukan
gaya terhadap benda adalah:
W = F . S . cos θ
untuk q = 0o, maka
sehingga:
n Laju benda berubah:
1
1
W = Ekakhir − Ekawal = mv22 − mv12
2
2
n
Posisi tinggi benda berubah:
W = Epakhir − Epawal = mg(∆h)
Hukum Kekekalan Energi Mekanik
Pada sistem yang konservatif (hanya gaya gravitasi
saja yang diperhitungkan) berlaku kekekalan energi
mekanik, yaitu energi mekanik di setiap kedudukan
adalah sama besar. Contoh-contohnya:
W =F.S
B. ENERGI
Energi adalah kemampuan untuk melakukan usaha
atau kerja.
Ek = 12 m.v 2
n
Energi Kinetik:
n
Energi Potensial Gravitasi:
n
Energi Mekanik:
Ep = m.g.h
EM = Ek + Ep
EMA = EMB = EMC
Dari hukum kekekalan energi mekanik pada kasus
gambar-gambar di atas, untuk puncak dan dasar
berlaku:
v A = 2.ghB atau hB =
v A2
2.g
Usaha dapat merubah energi yang dimiliki benda
26
mata_elang_media@yahoo.co.id
Sebuah Bandul Diputar Vertikal
Usaha dan Energi Potensial Pegas
Dari penerapan hukum kekekalan energi mekanik,
maka syarat agar bandul bergerak 1 lingkaran penuh
adalah:
Laju di titik tertinggi (B):
vB = g.R
VA
Laju di titik terendah (A):
vB = 5g.R
Energi potensial pegas: EP = 12 k.x 2
Usaha: W = ∆EP = 21 k.x22 − 12 k.x12
Jika simpangan di mulai dari titik setimbang, maka:
k = konstanta pegas (N/m),
x = simpangan pegas (m).
W = EP = 12 k.x 2
Energi pada Gerak Harmonis
n
Energi potensial:
EP = 12 k.A2 sin2 θ
Energi pada Gerak Parabola
Di dasar:
2
EP = 0 dan EK = 12 m. ( vo )
Di puncak:
EP = 12 m.(vo )2 .sin2 α
EK = 12 m.(vo )2 .cos2 α
k = konstanta pegas, A = amplitudo, q = sudut fase.
n
Energi kinetik:
EK = 12 k.A2 cos2 θ
k = m.w2; m = massa; w = 2pf
n
Energi mekanik:
EM = EP + EK
Energi Potensial Gravitasi
EP = −G
G =
R =
BAB 5
M.m
R
konstanta gravitasi
jarak 2 massa
GAYA GRAVITASI DAN PEGAS
A. GAYA GRAVITASI
F =G
M1 .M2
R2
F = gaya tarik-menarik antara M1 dan M2
G = konstanta gravitasi = 6,673 × 10-11 Nm2/kg2
1. Kuat Medan Gravitasi (Percepatan Gravitasi)
Medan gravitasi: tempat di mana gaya gravitasi
terjadi.
g=G
M
R2
mata_elang_media@yahoo.co.id
2. Hukum Keppler
a. Hukum Keppler I
“Lintasan planet berbentuk elips dan
matahari di salah satu titik fokusnya”.
Aphelium: titik terjauh, Perihelium: titik
terdekat.
b. Hukum Keppler II
“Garis yang menghubungkan planet dan
matahari akan menyapu luas juring dan
dalam waktu yang sama”.
I
II
III
27
Jika:
luasan I = luasan II = luasan III ⇒ tAB = tCD =
tEF
tAB = waktu dari A ke B
2. Gerak Harmonik pada Pegas
n
Simpangan
2
TA RA
=
TB RB
3
τ=
Y=
n
Kecepatan getar
v = ω.A cosθ = ω A2 − y 2
v: kecepatan getar
y: simpangan getar
A: amplitudo (simpangan maksimum)
τ
F .L
=
ε A.∆L
n
2π
= 2π f
T
f = frekuensi getaran (Hz)
T = periode getaran (s)
2. Regangan
n
∆L
L
Percepatan getar
a = −ω 2 .A sinθ = −ω 2 y
y : simpangan getar
A : amplitudo (simpangan maksimum)
DL : perubahan panjang
L : panjang mula-mula
n
C. PEGAS
k
x
: gaya yang menarik/
mend