MATERI RUAS GARIS BERARAH VIA
OLEH :
1. ASRIA HIRDA YANTI
( 4007
007014 )
2. ANNIE RACHMAWATI
( 40061
06116 )
3. RUPITA FITRIANI
( 40070
07036 )
4. PERA HIJA TERISTIANA
( 40070
07001 )
5. HARTATI SUSANTI
( 40071
07166 )
PROGR
RAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIK
TIKA
JURUSAN PENDIDIKAN
PE
MATEMATIKA DAN ILMU
MU ALAM
SEKOLAH TINNGI
T
KEGURUAN DAN ILMU PENDI
DIDIKAN
PERS
RSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
IA
(STKIP-PGRI LUBUKLINGGAU)
2010
RUAS GARIS BERARAH
Definisi : Suatu ruas (garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu
ujungnya dinamakan (titik) pangkal dan ujung yang lain dinamakan (titik) akhir.
Apabila A dan B dua titik. Lambang
kita gunakan sebagai ruas berarah
dengan pangkal A dan titik akhir B.
Definisi :
apabila SA (A) = D dengan titik P titik tengah BC
•B
•D
• P
A•
•C
Contoh :
Diberikan titik A, B, C dan F pada bidang Euclid seperti berikut :
B•
A•
C•
F•
Lukis : i) D sehingga
ii) E sehingga
Penyelesaian
i.
apabila SP (A) = D, dengan P titik tengah
diperoleh dengan cara menarik titik tengah
kemudian mencari D sehingga D = SP (A)
. Akibatnya titik D
, anda namakan titik P,
ii.
apabila SQ (B) = E, dengan Q merupakan titik tengah
Karena SQ (A) = F maka Q merupakan titik tengah
.
. Karena Q titik
maka SQ (B) = E. sehingga titik Q, kemudian mencari titik E
tengah
sehingga E = SP (B)
B•
•D
A•
•C
•F
•E
Teorema : Andaikan
dan
dua garis berarah yang tidak segaris, maka segi
empat ABCD sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika
dan
Bukti:
dan
1. Andaikan
. Jika P titik tengah
, maka Sp (A) = D menurut
definisi ke-ekivalenan: diagonal segiempat ABDC membagi sama panjang
di P. Ini berarti ABDC sebuah paralelogram.
2. Andaikan ABDC sebuah paralelogram maka diagonal-diagonal
dan
berpotongan dititik P. Sehingga Sp (A) = D sebuah titk tengah
maupun titik tengah
Akibat : Jika
=
. Jadi
dan
=
dan
sejajar atau segaris.
Contoh :
Buktikan bahwa apabila
maka AB = CD dan
//
Penyelesaian :
Kita perhatikan dua kasus, yaitu
i.
Apabila A, B dan C kolinear, maka
=
,
=
atau
=
.
ii.
Apabila A, B dan c tidak kolinear, maka
maka
dan
=
//
atau
//
Teorema : Diketahui ruas-ruas garis berarah
1.
,
,
. Jadi apabila
=
=
, dan
maka
( sifat refleksi )
2. Jika
maka
3. Jika
dan
(simetrik)
maka
(transitif)
Bukti :
1. Namakanlah titik tengah
dengan P, maka Sp (A) = B. Jadi
maka segiempat ABDC jajaran genjang. Karena
2. Karena
segiempat CDBA = segiempat ABDC, maka segiempat CDBA jajaran
genjang. Akibatnya
maka segiempat ABDC jajaran genjang. Akibat lebih
3. Karena
lanjut
Karena
lanjut
dan
=
. . . . . (1)
maka segiempat CDEF jajaran genjang. Akibat lebih
=
=
//
dan
//
. . . . . (2)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimppulkan bahwa :
=
dan
//
Jadi segiempat sebuah jajaran genjang. Akibatnya
Teorema : Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas berarah
tunggal Q sehingga
=
•B
A•
•R
•Q
•P
maka ada titik
Bukti :
Untuk membuktikan keberadaan Q andaikan R titik tengah
atau
maka
.
Untuk membuktikan ketunggalan titik Q. Andaikan
oleh karena R titik tengah
Jadi ini berarti
. Jika Q – Sr (A)
. Jadi SR (A) = T
. Berhubung peta A oleh SR tunggal, maka T = Q.
satu-satunya ruas garis berarah dengan pangkal P dan titik
.
akhir Q yang ekivalen dengan
Akibat I : Jika P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) dan P3P = (x3, y3) titik- titik yang
diketahui maka titik P (x3 + x2 – x1, y3 + y2 – y1) adalah titik tunggal sehingga
Akibat II : Jika Pn = (xn, yn), n = 1, 2, 3, 4 maka
jika dan hanya
jika x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 – y1 = y4 - y3
Bukti akibat I :
dan misal R titik tengah
Misalkan P = (x, y), karena
(P3) = P2 atau R titik tengah
R=
,
maka SR
. Akibatnya diperoleh hubungan
,
=
Jadi, x = x3 + x2 – x1 dan y = y3 + y2 – y1
P = (x3 + x2 – x1, y3 + y2 – y1)
Bukti akibat II :
Karena
, misalkan titik tengah
akibatnya R =
,
=
Sehingga x2 + x3 = x1 + x4 dan y2 + y3 = y1 + y4
,
, maka R titik tengah
Atau x2 - x1 = x4 - x3 dan y2 - y1 = y4 - y3
Karena x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 – y1 = y4 - y3
dan !" ! # $%x – x" ( ) %y – y" (
!+ !, # $%x, – x+ ( ) %y, – y+ ( - !" ! # !+ !, . . . . (1)
Karena x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 - y1 = y4 - y3 dan koefisien arah dari
.
.
adalah
Koefisien arah dari
.
.
-
//
adalah
. . . .(2)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan
Definisi : Andaikan
sebuah garis berarah dan k suatu bilangan real. Apabila
k > 0, maka k /01 adalah ruas garis berarah /!1 sehingga P 2 /01 dan AP = k
(AB).
Apabila k > 0 maka k
adalah ruas gari berarah
dengan P anggota sinar
sedangkan AP = |k| AB. Dikatakan bahwa
yang berlawanan arah dengan
.
adalah kelipatan
Contoh :
Apabila diberikan titik-titik A dan B seperti dibawah ini, lukislah :
i.
ii.
"
+
3,
Penyelesaian :
i.
"
Karena K = > 0, maka
(AB).
"
adalah
sehinggga P 2
dengan AP =
"
+
Karena k = 3 < 0, maka 3
ii.
,
yang berlawanan dengan
+
adalah
,
sehingga Q anggota sinar
+
+
, dengan AQ = | 3 | AB = AB.
,
,
B•
•P
•A
•Q
Soal :
1. Diketahui titik A, B, C, D tiap tiga titik tak ada yang segaris. Lukislah :
a) Titik E sehingga
b) Titik F sehingga
c) SA (
)
2. Diketahui A = (2,1), B = (3,4) dan C = (-1,5). Tentukan
a) D sehingga
b) E sehingga
"
c) F sehingga
3. Jika A = (1, 3), B = (2, 7) dan C = (-1, 4) adalah titik-titik sudut
parallelogram ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.
Penyelesaian :
1. Karena
maka
. Akibatnya SP (A) = E dengan titik tengah
. Sehingga titik E diperoleh dengan cara mencari titik P sebagai titik
dari
, kemudian mencari E sehingga E = SP (A).
tengah dari
Karena
tengah
maka
. Akibatnya SP (B) = F dengan Q titik
. Sehingga titik F diperoleh dengan cara mencari titik Q sebagai
titik tengah dari
, kemudian mencari titik F sehingga F = SP (B).
Karena SA (A) = A dan BI = SP (B) dengan A titik tengah dari
(
)=
4
4,
maka SP
D•
•C
• P
•A
B•
•B1
Q •
E•
2. Karena
•F
, dimisalkan D = (x, y) didapat hubungan
x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
x – (-1) = 3 – 2 dan y – 5 = -4 – 1. Sehingga x = 0 dan y = 0. Jadi D = (0, 0).
Karena
, dimisalkan E = (x, y) didapat hubungan
x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
x – 2 = -1 – 3 dan y – 1 = 5 + 4. Sehingga x = -2 dan y = 10. Jadi D = (-2, 10).
Karena
"
"
, k > 0, maka F 2
dan AF =
"
AC. Jadi F titik tengah
. Jadi D = ( , 3)
3. Karena ABCD suatu jajaran genjang, maka
. Misalkan D = (x, y)
maka didapat hubungan x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
2 – 1 = -1 – x dan 7 – 3 = 4 – y. sehingga x = -2 dan y = 0. Jadi D = (-2, 0)
1. ASRIA HIRDA YANTI
( 4007
007014 )
2. ANNIE RACHMAWATI
( 40061
06116 )
3. RUPITA FITRIANI
( 40070
07036 )
4. PERA HIJA TERISTIANA
( 40070
07001 )
5. HARTATI SUSANTI
( 40071
07166 )
PROGR
RAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIK
TIKA
JURUSAN PENDIDIKAN
PE
MATEMATIKA DAN ILMU
MU ALAM
SEKOLAH TINNGI
T
KEGURUAN DAN ILMU PENDI
DIDIKAN
PERS
RSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
IA
(STKIP-PGRI LUBUKLINGGAU)
2010
RUAS GARIS BERARAH
Definisi : Suatu ruas (garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu
ujungnya dinamakan (titik) pangkal dan ujung yang lain dinamakan (titik) akhir.
Apabila A dan B dua titik. Lambang
kita gunakan sebagai ruas berarah
dengan pangkal A dan titik akhir B.
Definisi :
apabila SA (A) = D dengan titik P titik tengah BC
•B
•D
• P
A•
•C
Contoh :
Diberikan titik A, B, C dan F pada bidang Euclid seperti berikut :
B•
A•
C•
F•
Lukis : i) D sehingga
ii) E sehingga
Penyelesaian
i.
apabila SP (A) = D, dengan P titik tengah
diperoleh dengan cara menarik titik tengah
kemudian mencari D sehingga D = SP (A)
. Akibatnya titik D
, anda namakan titik P,
ii.
apabila SQ (B) = E, dengan Q merupakan titik tengah
Karena SQ (A) = F maka Q merupakan titik tengah
.
. Karena Q titik
maka SQ (B) = E. sehingga titik Q, kemudian mencari titik E
tengah
sehingga E = SP (B)
B•
•D
A•
•C
•F
•E
Teorema : Andaikan
dan
dua garis berarah yang tidak segaris, maka segi
empat ABCD sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika
dan
Bukti:
dan
1. Andaikan
. Jika P titik tengah
, maka Sp (A) = D menurut
definisi ke-ekivalenan: diagonal segiempat ABDC membagi sama panjang
di P. Ini berarti ABDC sebuah paralelogram.
2. Andaikan ABDC sebuah paralelogram maka diagonal-diagonal
dan
berpotongan dititik P. Sehingga Sp (A) = D sebuah titk tengah
maupun titik tengah
Akibat : Jika
=
. Jadi
dan
=
dan
sejajar atau segaris.
Contoh :
Buktikan bahwa apabila
maka AB = CD dan
//
Penyelesaian :
Kita perhatikan dua kasus, yaitu
i.
Apabila A, B dan C kolinear, maka
=
,
=
atau
=
.
ii.
Apabila A, B dan c tidak kolinear, maka
maka
dan
=
//
atau
//
Teorema : Diketahui ruas-ruas garis berarah
1.
,
,
. Jadi apabila
=
=
, dan
maka
( sifat refleksi )
2. Jika
maka
3. Jika
dan
(simetrik)
maka
(transitif)
Bukti :
1. Namakanlah titik tengah
dengan P, maka Sp (A) = B. Jadi
maka segiempat ABDC jajaran genjang. Karena
2. Karena
segiempat CDBA = segiempat ABDC, maka segiempat CDBA jajaran
genjang. Akibatnya
maka segiempat ABDC jajaran genjang. Akibat lebih
3. Karena
lanjut
Karena
lanjut
dan
=
. . . . . (1)
maka segiempat CDEF jajaran genjang. Akibat lebih
=
=
//
dan
//
. . . . . (2)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimppulkan bahwa :
=
dan
//
Jadi segiempat sebuah jajaran genjang. Akibatnya
Teorema : Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas berarah
tunggal Q sehingga
=
•B
A•
•R
•Q
•P
maka ada titik
Bukti :
Untuk membuktikan keberadaan Q andaikan R titik tengah
atau
maka
.
Untuk membuktikan ketunggalan titik Q. Andaikan
oleh karena R titik tengah
Jadi ini berarti
. Jika Q – Sr (A)
. Jadi SR (A) = T
. Berhubung peta A oleh SR tunggal, maka T = Q.
satu-satunya ruas garis berarah dengan pangkal P dan titik
.
akhir Q yang ekivalen dengan
Akibat I : Jika P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) dan P3P = (x3, y3) titik- titik yang
diketahui maka titik P (x3 + x2 – x1, y3 + y2 – y1) adalah titik tunggal sehingga
Akibat II : Jika Pn = (xn, yn), n = 1, 2, 3, 4 maka
jika dan hanya
jika x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 – y1 = y4 - y3
Bukti akibat I :
dan misal R titik tengah
Misalkan P = (x, y), karena
(P3) = P2 atau R titik tengah
R=
,
maka SR
. Akibatnya diperoleh hubungan
,
=
Jadi, x = x3 + x2 – x1 dan y = y3 + y2 – y1
P = (x3 + x2 – x1, y3 + y2 – y1)
Bukti akibat II :
Karena
, misalkan titik tengah
akibatnya R =
,
=
Sehingga x2 + x3 = x1 + x4 dan y2 + y3 = y1 + y4
,
, maka R titik tengah
Atau x2 - x1 = x4 - x3 dan y2 - y1 = y4 - y3
Karena x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 – y1 = y4 - y3
dan !" ! # $%x – x" ( ) %y – y" (
!+ !, # $%x, – x+ ( ) %y, – y+ ( - !" ! # !+ !, . . . . (1)
Karena x2 – x1 = x4 - x3 dan y2 - y1 = y4 - y3 dan koefisien arah dari
.
.
adalah
Koefisien arah dari
.
.
-
//
adalah
. . . .(2)
Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan
Definisi : Andaikan
sebuah garis berarah dan k suatu bilangan real. Apabila
k > 0, maka k /01 adalah ruas garis berarah /!1 sehingga P 2 /01 dan AP = k
(AB).
Apabila k > 0 maka k
adalah ruas gari berarah
dengan P anggota sinar
sedangkan AP = |k| AB. Dikatakan bahwa
yang berlawanan arah dengan
.
adalah kelipatan
Contoh :
Apabila diberikan titik-titik A dan B seperti dibawah ini, lukislah :
i.
ii.
"
+
3,
Penyelesaian :
i.
"
Karena K = > 0, maka
(AB).
"
adalah
sehinggga P 2
dengan AP =
"
+
Karena k = 3 < 0, maka 3
ii.
,
yang berlawanan dengan
+
adalah
,
sehingga Q anggota sinar
+
+
, dengan AQ = | 3 | AB = AB.
,
,
B•
•P
•A
•Q
Soal :
1. Diketahui titik A, B, C, D tiap tiga titik tak ada yang segaris. Lukislah :
a) Titik E sehingga
b) Titik F sehingga
c) SA (
)
2. Diketahui A = (2,1), B = (3,4) dan C = (-1,5). Tentukan
a) D sehingga
b) E sehingga
"
c) F sehingga
3. Jika A = (1, 3), B = (2, 7) dan C = (-1, 4) adalah titik-titik sudut
parallelogram ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D.
Penyelesaian :
1. Karena
maka
. Akibatnya SP (A) = E dengan titik tengah
. Sehingga titik E diperoleh dengan cara mencari titik P sebagai titik
dari
, kemudian mencari E sehingga E = SP (A).
tengah dari
Karena
tengah
maka
. Akibatnya SP (B) = F dengan Q titik
. Sehingga titik F diperoleh dengan cara mencari titik Q sebagai
titik tengah dari
, kemudian mencari titik F sehingga F = SP (B).
Karena SA (A) = A dan BI = SP (B) dengan A titik tengah dari
(
)=
4
4,
maka SP
D•
•C
• P
•A
B•
•B1
Q •
E•
2. Karena
•F
, dimisalkan D = (x, y) didapat hubungan
x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
x – (-1) = 3 – 2 dan y – 5 = -4 – 1. Sehingga x = 0 dan y = 0. Jadi D = (0, 0).
Karena
, dimisalkan E = (x, y) didapat hubungan
x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
x – 2 = -1 – 3 dan y – 1 = 5 + 4. Sehingga x = -2 dan y = 10. Jadi D = (-2, 10).
Karena
"
"
, k > 0, maka F 2
dan AF =
"
AC. Jadi F titik tengah
. Jadi D = ( , 3)
3. Karena ABCD suatu jajaran genjang, maka
. Misalkan D = (x, y)
maka didapat hubungan x2 - x1 = x4 – x3 dan y2 - y1 = y4 – y3
2 – 1 = -1 – x dan 7 – 3 = 4 – y. sehingga x = -2 dan y = 0. Jadi D = (-2, 0)