FATHIN A RESTU NUGROHO X PMP EX A 16

FATHIN A RESTU NUGROHO
X PMP EX A
16

Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat
danPertidaksamaan

A.

Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2
dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c dengan
a≠0 dan koefsien kuadrat a merupakan koefsien dari x², koefsien linear b
merupakan koefsien dari x sedangkan c adalah koefsien konstan atau biasa
juga disebut suku bebas. Nilai koefsien a,b dan c ini yang menentukan
bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0

a, b dan c adalah bilangan real.

1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)

memfaktorkan,

b)

melengkapkan kuadrat sempurna,

c)

menggunakan rumus.
1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau
x = 3 atau

x–1=0

x=1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
(x – 2)2 = x – 2

Jawab:

x2 – 4 x + 4 = x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3 atau

x=2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0

atau 2 x + 3 = 0

x = –2 atau

x=–1

Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2
= q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x=5

atau

x=1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.
Jawab: 2 x2 – 8 x + 7 = 0
2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½
x – 2 = atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2
Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + Ö2 dan 2 – Ö2.
1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab: x2 + 7x – 30 = 0

a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2.

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac
disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai
.
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
1. D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat
mempunyai dua akar real berlainan,
.
2. D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
sama.
.
3. D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat
tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat

berikut:
1. x2 + 5 x + 2 = 0
2. x2 – 10 x + 25 = 0
3. 3 x2 – 4 x + 2 = 0
Jawab :
1. x2 + 5 x + 2 = 0
a=1 , b=5 , c=2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.

1. x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.
1. 3 x2 – 4 x + 2 = 0
a = 3 , b = –4 , c = 2
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.

3.

Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
1. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.

ax2 + bx + c = 0
x2 + x + = 0
Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut,
hitunglah nilai:
1. x1 + x2 d.
2. x1.x2 e. x13 + x23
3. x12 + x22
Jawab:

x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4

a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4

c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2

= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9

4.

Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika
akar-akar

persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !
Jawab: (x – ) (x – ) = 0
=0
6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x2 – 5 x + 1 = 0
1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.
1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar
persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan
akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3
= 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)

p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6

= x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9

=2+6=8

= 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru
adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.

B.

Fungsi Kuadrat
1. 1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan
disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi
persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f

2. nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
1. Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0
p2 – 2p – 35 = 0
(p – 7) (p + 5) = 0
p = 7 atau p = –5
Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.
Periksalah jawaban itu.
1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)

f(x) = x2 – 2x – 3

= x2 – 2x + 1 – 4

=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil
(minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2)

f(x) = –x2 + 4x + 5

= –x2 + 4x – 4 + 9
= –(x2 – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x
= 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
1. 3. Grafik Fungsi Kuadrat

grafk dari,

2. [Penyelesaian]
3. Dengan mengikuti langkah-langkah menyelesaikan fungsi kuadrat dan
grafknya , yang telah dikemukakan diatas yaitun
⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 n
⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 n
⬄ Menentukan titik puncak n
⬄ Sketsa grafkn

[Penyelesaian]
⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,
⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,

⬄ Menentukan titik puncak,
⬄ Sketsa grafkn

[Penyelesaian]
⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,
⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,
⬄ Titik puncak grafk fungsi kuadrat,

⬄ Grafk Fungsi n

grafk fungsi kuadrat,

[Penyelesain]
⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,
⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,
⬄ Titik puncak grafk,

⬄ Sketsa grafk n
[Penyelesaian]
⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0,
⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,

⬄ Titik puncak grafk,
⬄ Gambar grafk

4.

Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:
1.
2.
3.
4.

melalui tiga titik yang berlainan.
memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ………………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1) a – b + c = 0 (2)

a+ b+c=8

(2) a + b + c = 8
–2b = –8
b=4

a–b+c=0
(3) 4a + 2b + c = 6

3a – b = 2

–2 – 4 + c = 0
c=6

– 3a – 4 = 2

a = –2
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x + 6.
b.

Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0
ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa

= a(x2 – (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan
(q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta
melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a=1
Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.
1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu
diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0=a+3
a = –3
Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan
menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau
terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik
(0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)2 = 4a
a=1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.