Soal Penyisihan OMITS SMA 2011

  Soal Babak Penyisihan OMITS 2011

BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu

  merupakan anggota dari himpunan bilangan …

  A. Bulat

  B. Asli

  C. Rasional

  D. Real

  E. Irasional 2. Adi dan Beni membersihkan rumah setiap 6 dan 9 hari sekali. Jika keduanya membersihkan rumah pertama kali secara bersamaan pada hari senin tanggal 7 Februari

  2011, maka keduanya akan membersihkan rumah secara bersamaan untuk kedua kalinya pada hari senin tanggal … A. 20 Maret 2011

  B. 21 Maret 2011

  C. 12 Juni 2011

  D. 13 Juni 2011

  E. 17 Oktober 2011 3.

  C A D B

  Jika diketahui panjang = 20 cm, panjang = 5 cm, dan besar sudut = 75°, maka nilai dari tan

  ∠ adalah …

  16+ 16+ 20+

6− 2 6+ 2 6− 2 6+ 2 6− 2

  A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  16+ 16+

6+ 2 6− 2 6+ 2 6− 2 6+ 2

  4. Didefinisikan sebuah operasi bilangan ∗ mengoperasikan 2 bilangan bulat dan dengan definisi

  

2

  2

• ∗ =

  Jika ∗ (2 ∗ ) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat yang memenuhi adalah …

  A. -5

  B. -1

  C. 0

  D. 1

  E. 5

5. Bentuk paling sederhana dari

  1 2+ 2+ 2+⋯ −

  4

  49 + 2400 adalah …

  2

  1 A.

  B.

  C. 5 + 2 D.

  E. 3 − 2 3 + 2

  6

  5+2 5+2 6 6 6.

  Bilangan 2011! memiliki digit 0 di posisi paling belakang pada representasi desimalnya sebanyak … A. 499

  B. 500

  C. 501

  D. 502

  E. 506 7. Dalam sebuah termasuk perguruan tinggi negeri, peluang Adi diterima 0,8, peluang Budi diterima 0,75, peluang Edi diterima 0,7, dan peluang Tedi diterima 0,6. Tentukan peluang paling sedikit 3 dari 4 siswa tersebut diterima di perguruan tinggi negeri !

  A. 0,252

  B. 0,486 ₂₀₁₁

  C. 0,586

  D. 0,638

  E. 0,675

  2011 8.

  oleh 14 adalah … Sisa pembagian dari2011

  A. 2

  B. 3

  C. 5

  D. 9

  E. 11 9. Diberikan sebuah segitiga dengan = 4 cm dan = 5 cm. Titik berada pada ruas garis dengan = 2 cm dan = 3 cm. Panjang adalah …

  1

  2

  3

  4 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  85

  85

  85

  85

  85

  5

  5

  5

  5 10.

  , , dengan untuk setiap Diberikan sebuah himpunan garis-garis lurus

  1 2 … , 2011 ≠

  untuk setiap ≠ . Jika ⊥ = 1, 2, … , 2010, maka himpunan garis-garis tersebut

• 1

  membagi bidang koordinat- menjadi … bagian.

  A. 1.009.020

  B. 1.011.030

  C. 1.013.042

  D. 1.017.072

  E. 1.021.110 11. Dalam sebuah turnamen sepak bola setiap tim bertemu dengan tim lain sebanyak tepat satu kali. Tim yang kalah, seri dan menang masing-masing mendapatkan poin 0, 1, dan 3.

  Poin-poin peserta membentuk barisan aritmatika dengan beda tidak sama dengan nol. Jika tidak ada tim yang selalu kalah, banyaknya tim yang mengikuti turnamen tersebut paling sedikit adalah … tim.

  A. 3

  B. 4

  C. 5

  D. 6

  E. 7 12. Banyaknya bilangan 4 digit yang bersisa 2 jika dibagi oleh 3, bersisa 3 jika dibagi oleh 5, bersisa 5 jika dibagi oleh 7 dan bersisa 7 jika dibagi oleh 11 adalah …

  A. 6

  B. 7

  C. 8

  D. 9

  E. 10 13. Sebuah polynomial monik ( ), berderajat 3, jika dibagi oleh + 1, + 2, dan − 3 memberikan sisa yang sama yaitu 6. Jika semua koefisien dari

  ( ) merupakan bilangan bulat, maka banyaknya bilangan bulat yang menyebabkan ( ) merupakan bilangan prima adalah …

  A. 0

  B. 1

  C. 2

  D. 3

  E. 4 14. Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 10 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya adalah 46. Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 2011 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya adalah …

  A. 27432

  B. 27968

  C. 28000

  D. 28070

  E. 28072 15. Diberikan sebuah trapezium dengan ∥ dan ∠ = ∠ = 90°. Sebuah lingkaran dengan diameter menyinggung di titik . Jika panjang = 3 cm dan panjang

  = 8 cm maka luas trapesium adalah …

  100 203

  A. 30

  B. 32 C.

  D.

  E. 36

  3

  6 16.

  Diberikan vektor-vektor = 4 + 5 + 6

  = 7 + 8 + 9 = 8 + 4 + 6

  Nilai dari × ∙ adalah … A.

  B.

  C. 0

  D. 12

  E. 18 −18 −12 17.

  Sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisi = 3 cm, = 4 cm dan = 5 cm.

  Jarak antara pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran luar dari segitiga sama dengan … cm

  1

  1

1 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  2

  5

  5

  5

  5

  5

  4

  3

  2

  18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif ( , ) sedemikian sehingga , < 11 dan terdapat bilangan bulat dan sedemikian sehingga + = 5 adalah …

  A. 59

  B. 60

  C. 63

  D. 64

  E. 65 19. Nilai dari

  1

  5

  cos adalah …

  6

  7

  8

  9

  10 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  15

  15

  15

  15

  15 20.

  Seutas tali sepanjang 2 meter dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu bagian dibentuk menjadi sebuah lingkaran, sedangkan bagian yang lain dibentuk menjadi sebuah segitiga sama sisi. Agar total luas kedua bangun tersebut minimum, berapakah panjang tali yang dibentuk menjadi lingkaran?

  2

  3

  4

  4

  3

  3

  3

  3

  3 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  9+ 9+ 9+ 9+ 18+

  3

  3

  3

  3

  3 21.

  Jika menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan dan menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan , maka nilai dari

  2

  2

  2

  2

  2

  1 − 1 + 2 − 1 + 3 − 1 + 4 − 1 + ⋯ + 2010 − 1

  2

  2011 − 1

• adalah …

  A. 1.011.030

  B. 1.013.042

  C. 2.022.060

  D. 2.026.084

  E. 2.030.112

  3

  22. pada polinomial Tentukan koefisien dari

  

2

  11

• ! = + 1

  A. 165

  B. 176

  C. 198

  D. 245

  E. 275 23. Misalkan menyatakan panjang garis singgung persekutuan dalam dan menyatakan

  2

  2

  panjang garis singgung persekutuan luar dari 2 buah lingkaran yaitu lingkaran + =

  2

  2

• 4 dan

  − 8 − 6 = −24. Tentukan nilai dari ! A.

  4 B. 20 C.

  4 D.

  4 E.

  8

  24

  26

  27

  7

  24.

  11 orang duduk melingkar di dalam sebuah forum. Adi, Beni, dan Cepi merupakan anggota dari forum tersebut. Jika Adi tidak mau duduk berdampingan dengan Beni maupun Cepi, banyaknya posisi duduk dari 11 orang tersebut adalah …

  9!

  6

  56

  60

  8 A.

  B.

  C.

  D.

  E. ∙ 9! ∙ 8! ∙ 8! ∙ 9! 25.

  Sani dan 3 adiknya sedang mengamati kartu keluarga mereka dan menemukan fakta berikut  Umur Sani kurang dari 30 tahun  Umur Sani dan 3 adiknya membentuk barisan geometri dengan rasio tidak sama dengan 1.

  Jika umur mereka merupakan bilangan bulat, berapakah jumlah terbesar dari umur mereka? A. 40

  B. 45

  C. 54

  D. 60

  E. 65 26. Di dalam sebuah peti terdapat 4 buah kotak kardus berbeda yang masing-masing berisi 5 bola dengan perincian

  Kotak1 : 2 bola merahdan 3 bola putih Kotak2 : 3 bola merahdan 2 bola putih Kotak3 : 4 bola merahdan 1 bola putih Kotak4 : 5 bola merah Jika dimbil 1 bola dari masing-masing kotak, berapakah peluang terambilnya 3 bola merah dan 1 bola putih?

  58

  1

  4

  12

  16 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  125

  25

  25

  25

  25 27.

  Jumlah semua bilangan polindrom 5 digit yang semua digitnya ganjil adalah …

  A. 6.720.000

  B. 6.888.820

  C. 6.900.820

  D. 6.940.800

  E. 6.944.375

  2

  9

  6

  1

  2 28.

• untuk

  Tentukan nilai minimum dari ∈ ℝ ! ^{2 3 4} A.

  B.

  C.

  D. 1

  E. 6 −6 −5 −1 29.

  Sebuah lingkaran dengan pusat (0,3) dan jari-jari 2 mengalami rotasi dengan pusat (0,0) sebesar 45 kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis = . Pusat lingkaran hasil transformasi tersebut adalah …

  1

  5

  5

  1

  5

  1 A.

  B.

  C. − −

  2, − 2 2, 2 2, −

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  5

  1

  5

1 D.

  E. − 2, − 2 2,

  2

  2

  2

  2

  2 30.

  , , ) yang memenuhi Banyaknya pasangan bilangan bulat non negative (

  1

  2

  3

• = 11

  1

  

2

  3

  dan

  1 ≤ 5 adalah …

  A. 45

  B. 55

  C. 56

  D. 57

  E. 60 31. Banyaknya nilai dari dengan 0 ≤ ≤ yang memenuhi persamaan sin

• sin 2 + sin 3 = 0 a dalah …

  A. 2

  B. 3

  C. 4

  D. 5

  E. 6 32. dan merupakan akar-akar persamaan

  1

  2

  2

  

2

• 4
• 1 = 0

  4

• 1

  2

  nilai dari adalah …

  2

  4

  4

  4 A.

  B.

  C. + 4 − 4 + ^{2 2}

• 2

  2

  4

4 D. + 2

  _{2 − 2 +} E. ₂

• 4

  1

  2

  3

  1

  1 33.

  4

  3

  4

  5

  5 Jika determinan matriks = dan = sama, maka nilai

  2

  6

  7

  6

  7

  9 minimum dari adalah …

  1

4 A.

  B.

  C. 1

  D. 2

  E. 4

  7

  7

  2

  2

  2

  2

  2011 2011 2011 2011

• ? 34.

  Berapakah nilai dari ⋯ +

  1 2 2011 4022 2011

  2011 4022

  2

  2 A.

  B.

  C. 2011

  1 2011

  2011 2012 D.

  2 E.

  2 1005

  35. Di dalam sebuah kelas terdapat beberapa siswa sedemikian sehingga setiap siswa mengenal tepat setengah dari siswa lainnya. Banyaknya siswa pada kelas tersebut paling sedikit adalah …

  A. 3

  B. 5

  C. 7

  D. 11 ₃ E. 13

  3

  2 36.

• 2 + 2 juga Jumlah semua bilangan bulat sedemikian sehingga + 3 merupakan bilangan bulat adalah … A.

  B.

  C. 0

  D. 1

  E. 2 −2 −1 37.

  Banyaknya solusi bulat dari system persamaan = 1 +

  1

  24 =

  − adalah … A. 0

  B. 1

  C. 2

  D. 3

  E. Tak berhingga 38. Sebuah jam pasir berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari 50 cm dan tinggi 80 cm. Jam

  3

  tersebut menjatuhkan pasir dengan debit 1 cm /detik. Berapakah kecepatan perubahan kedalaman pasir saat kedalaman pasirnya 10 cm? (dalam cm/detik)

  2500

  64 36 2500 400 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  64 2500 2500

  36

  3 39.

  Diberikan sebuah segi empat tali busur . Garis dan berpotongan di titik _{2 2}

• = yang terletak di luar lingkaran. Jika panjang

  = , maka nilai dari ⋯

  ∙ + ∙

  1

1 A.

  B.

  C. 1 D.

  E. 2

  3

  3

  2

  2 40.

  Dalam sebuah permainan, Adi diminta menuliskan dua buah bilangan bulat. Pada setiap langkah, Adi diminta menghapus keduanya kemudian menggantinya dengan jumlah dan selisih keduanya. Setelah 1000 langkah, hasil kali dua bilangan yang dihasilkan tidak mungkin bernilai … A. 1000

  B. 1004

  C. 2012

  D. 2014

  E. 2016

  ∞

  } 41. didefinisikan sebagai

  Suatu barisan bilangan = {

  =1

  

2

  = + 1.

• Jumlah 100 suku pertama dari barisan bilangan tersebut adalah …

  A. 333.500

  B. 334.500

  C. 338.500

  D. 343.500

  E. 348.500 42. Misalkan , , dan merupakan bilangan real. Tentukan nilai terbesar dari sedemikian sehingga

• = 2 dan + + = 1 !

  1

  3

  4 A. 0 B.

  C.

  D. 1 E.

  2

  4

  3 43.

  Diberikan sebuah bilangan 4 digit. Bilangan tersebut jika dibaca dari belakang sama dengan 3 kali bilangan itu sendiri. Banyaknya bilangan yang memenuhi kondisi ini adalah …

  A. 0

  B. 1

  C. 2

  D. 3

  E. 4 44. , , dan merupakan bilangan real sedemikian sehingga

  2

  2

• = 144

  2

  2

  = 25 3 +

  2

  2

  = 169 + Nilai dari 3 + + 2 adalah … A. 30

  B. 60

  C. 120

  D. 150

  E. 180 45. Banyaknya himpunan bagian dari himpunan = {1, 2, 3, … , 11} sedemikian sehingga tidak memuat 7 bilangan berurutan adalah …

  A. 1999

  B. 2000

  C. 2001

  D. 2002

  E. 2003 46.

  Tentukan banyaknya segitiga yang panjang setiap sisinya merupakan bilangan bulat dan panjang sisi terpanjangnya 100 satuan! A. 4951

  B. 5000

  C. 9902

  D. 10000

  E. 10050 47. Banyaknya solusi positif dari system persamaan

  2

  = +

  1

  2

  3

  2

  = +

  2

  3

  4

  2

  = +

  3

  4

  1

  2

  = +

  4

  1

  2

  adalah …

  A. 0

  B. 1

  C. 4

  D. 8

  E. Tak berhingga

  2010 1006

  

2

  48. + 1 oleh Sisa pembagian − 2 − 1 adalah …

  2 A. 0

  B. 2 C.

  D.

  E. −2 −2 49.

  Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari 6 cm. Sebuah garis melalui titik , yang terletak di luar lingkaran, menyinggung lingkaran di titik . dan titik titik pada lingkaran sedemikian sehingga

  = . Jika panjang = 6 cm dan titik , dan segaris, maka panjang = … cm

  2

  3

  3 A.

  B.

  C.

  D.

  E. 6

  3

  3

  2

  3 50. Sebuah lingkaran berpusat di titik dan berjari-jari 3 cm. Tali busur melewati titik .

  Tali busur memotong di titik . adalah titik pada sedemikian sehingga ⊥ . Jika panjang = 5 cm dan panjang = 2 cm, maka panjang =… cm

  6

  4

  3

  5 A.

  B.

  C.

  D.

  E.

  2

  5

  3

  2

  3 BAGIAN II. ISIAN SINGKAT

  1

  2011

  1. . Nilai dari adalah … Diberikan sebuah matriks =

  2

  2 2. Suatu fungsi dan memetakan himpunan bilangan asli pada bilangan bulat dengan ( ) dan ( ) masing-masing menyatakan hasil kali dan penjumlahan digit-digit dari .

  ( )

  Jika 0 < adalah …

  < 100, maka nilai maksimum dari

  ( ) 3.

  Jika setiap 2 dari 3 persamaan kuadrat

  2

  2

  − + + 1 = 0

  2

  − + 1 + = 0

  2

  2

• 2 = 0 − 3 + + selalu memiliki tepat satu akar real yang sama, maka nilai dari adalah …

  ∞

  = 2, = 3, dan = 5 4. . Jika .

  1

  − 6

  =1 +2 +1

  2 Diberikan suatu barisan bilangan

  Carilah sisa pembagian oleh 13 !

  2011

  5. dengan panjang sisi 1 cm. Untuk setiap bilangan

  Diberikan sebuah segienam beraturan

  1

  asli merupakan segienam beraturan yang titik-titik sudutnya yang lebih dari 1, merupakan titik tengah sisi-sisi segienam beraturan . Tentukan nilai terkecil dari

  −1

  1

  sedemikian sehingga luas kurang dari kali luas !

  1

  15 6.

  Tentukan banyaknya bilangan 5 digit yang jumlah digit-digitnya samadengan 10 ! 7. 4 pasang suami istri beserta anaknya masing-masing 1 orang hadir dalam sebuah jamuan makan. Jika mereka duduk melingkar, tentukan banyaknya posisi duduk mereka sehingga setiap anak duduk diapit oleh kedua orang tuanya ! 8. Diberikan sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 3 cm melewati titik dan . Lingkaran ini memotong sisi dan masing-masing di titik dan . Di dalam bidang dibuat sebuah lingkaran. Jari-jari lingkaran terpanjang yang bisa dibuat adalah … cm.

  9. Banyaknya cara menyusun 7 benteng pada papan catur berukuran 8 × 8 sedemikian sehingga tidak ada benteng yang bisa saling memangsa adalah …

10. Diberikan sebuah segitiga dengan = 12 cm, = 13 cm dan ∠ = 90°.

  Sebuah lingkaran menyinggung sisi , perpanjangan garis dan perpanjangan garis . Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah … cm.