APLIKASI LINIER PROGRAMMING UNTUK MEMINI

APLIKASI LINIER PROGRAMMING UNTUK MEMINIMUMKAN BIAYA TRANSPORTASI DAN SOLUSINYA
DENGAN SOLVER EXCEL1
Oleh: Siti Maslihah2
Pendahuluan
Transportasi adalah salah satu aktivitas utama dalam sistem logistik, selain aktivitas pemrosesan pesanan, dan
pengelolaan persediaan. Transportasi memiliki dampak yang signifikan terhadap kepuasan pelanggan.Transportasi
juga berdampak besar pada total biaya logistik, yaitu bisa mencapai dua pertiga (2/3) dari total biaya logistik.
Kebijakan strategis transportasi adalah pemilihan moda transportasi seperti kapal, kereta, truk, pesawat, jalur
pipa atau gabungan dari tiap moda tersebut. Adapun kebijakan operasional terpenting yang berhubungan dengan
transportasi adalah penentuan rute dan penjadwalan pengiriman.
Model Transportasi adalah pengalokasian pengiriman sejumlah barang (satu macam barang) yang berasal dari
sejumlah sumber pengiriman menuju sejumlah tujuan pengiriman yang memberikan biaya pengiriman total terendah.
Barang yang akan dikirim dari setiap sumber pengiriman dan jumlah permintaan yang diminta oleh setiap
tujuan pengiriman, serta biaya pengiriman dari setiap sumber menuju setiap tujuan adalah berbeda.
Penggunaan model Transportasi antara lain untuk :


Persoalan pengiriman barang



Persoalan perancangan produksi



Penugasan mesin-orang



Penugasan mesin-pekerjaan

sumber

a1

1

tujuan
x11: c11

1

b1

x12: c12
a2

2

2

.

.

.

am

x1n: c1n

m

b2

.

n

bn

Model Programa Linear dari persoalan di atas :
1 Makalah disampaikan pada diskusi dosen 17 Mei 2013
2 Cados Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Walisongo Semarang

1

fungsi tujuan :

min Z =

∑ C1 j X1 j+
j

C11 X11 + C12X12 + … C1n X1n

∑ C2 j X2 j+
j

C21 X21 + C22X22 + … C2n X2n
.
.

∑ C mj X mj
j

Cm1 X11 + Cm2Xm2 + … Cmn Xmn
Kendala sumber:
X11 + X12 + . . . X1n

¿

a1

X21 + X22 + . . . X2n

¿

a2

∑ X 1 j≤a1
j

∑ X 2 j≤a2
j

.
.

Xm1 + Xm2 + . . . Xmn

¿ am

∑ X mj≤a m
j

Kendala tujuan:

X11 + X21 + . . . Xm1 > b1

X12 + X22 + . . . Xm2 > b2

∑ Xi 1≥b 1
i

∑ X i2≥b2
i

.

.

X1n + X2n + . . . Xmn > bn

∑ X in≥bn
i

Model di atas dapat diringkas menjadi

f.t min Z =

∑ ∑ C ij X
i

j

ij

i = 1,2, . . . m
j = 1,2, . . . n
2

dk:

∑ X ij≤a

i

∑ X ij≥b

j

j

i

Xi ¿

i = 1,2, . . . m

0

i = 1,2, . . . m
j = 1,2, . . . n

Syarat penyelesaian tersebut dengan model transportasi adalah model dalam keadaan seimbang, yaitu : Jumlah total suplai

∑ a i= ∑ b j
i

= jumlah total permintaan 

j

∑ a i= ∑ b j
i

Dengan demikian jika

j

maka semua suplai yang ada akan terdistribusi habis, dan semua permintaan

tujuan terpenuhi. Maka kendala sumber dan kendala tujuan menjadi dalam bentuk persamaan.

Model transportasi dari persoalan :

∑∑
f.t min Z =

i

j

cijxij

∑
dk

j

∑
i

∑
i

xij

xij = ai

i = 1,2, . . . m

xij = bj

j = 1,2, . . . n

ai =

¿

∑
i

0

bj
i = 1,2, . . . m
j = 1,2, . . . n

Contoh kasus:
Seorang pedagang beras mempunyai dua gudang di Kudus dan Semarang, yang masing-masing menyiapkan beras
sebanyak 120, 140 ton. Pedagang tersebut mempunyai daerah pemasaran di Jepara, Pati, Purwodadi, Blora dan Kendal
yang masing-masing membutuhkan beras sebanyak 40, 60, 80, 40 dan 25 ton. Ongkos angkut tiap ton beras dari Kudus ke
Jepara, Pati, Purwodadi, Blora dan Kendal masing-masing Rp 50.000, Rp 45.000, Rp 65.000 , Rp 75.000 dan Rp 60.000,
ongkos angkut dari Semarang ke Jepara, Pati, Purwodadi, Blora dan Kendal masing-masing Rp 60.000, Rp 55.000, Rp
70.000, Rp 85.000 dan Rp 45.000.

3

Bagaimana pedagang tersebut mendistribusikan beras dagangannya untuk memenuhi permintaan masing-masing daerah
dengan batasan kapasitas gudang, agar biaya minimum pengiriman tercapai ?
Dalam linear programming, masalah tersebut dapat diformulasikan dalam model matematik yang meliputi tiga tahap :
1.

Variabel keputusan, yaitu variable yang menguraikan secara lengkap keputusan yang akan di buat.

Variabel keputusan dalam masalah ini adalah banyaknya barang yang akan dikirimkan dari masing-masing gudang ke
masing-masing daerah.
Variabel keputusan masalah tersebut dapat dilambangkan sebagai berikut :

x1A = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Kudus ke daerah Jepara
x1B = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Kudus ke daerah Pati
x1C = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Kudus ke daerah Purwodadi
x1D = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Kudus ke daerah Blora
x1E = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Kudus ke daerah Kendal
x2 A = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Semarang ke daerah Jepara
x2 B = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Semarang ke daerah Pati
x2C = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Semarang ke daerah Purwodadi
x2D = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Semarang ke daerah Blora
x2E = jumlah barang yang dikirimkan dari pabrik Semarang ke daerah Kendal
2. Fungsi tujuan: yaitu fungsi dari variable keputusan yang akan dioptimumkan.
Tujuan dari masalah tersebut di atas adalah meminimumkan biaya trasportasi total. Biaya transport adalah sejumlah
biaya dari masing-masing gudang ke masing-masing daerah. Misalkan biaya dari Kudus ke daerah Jepara adalah
perkalian antara banyaknya beras yang dikirim dari Kudus ke Jepara dengan biaya tranport per ton dalam hal ini
(Rp.50.000). Dengan cara serupa juga dapat dihitung untuk pabrik dan daerah lainnya. Sehingga total biaya transport (

Z ) dapat ditulis :

Z  50.000 x1 A  45.000 x1B  65.000 x1C  75.000 x1D  60.000 x1E  60.000 x2 A  55.000 x2 B 
70.000 x2C  85.000 x2 D  45.000 x2 E
4

3. Kendala adalah pembatasan-pembatasan yang harus dipenuhi yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah
itu
Dalam masalah ini ada dua kendala yaitu kendala permintaan dan kendala kapasitas gudang. Total barang yang diterima
di masing-masing daerah harus lebih besar atau sama dengan permintaan daerah tersebut, serta total barang yang
dikirimkan dari masing-masing pabrik harus lebih kecil atau sama dengan kapasitas produksi gudang tersebut.

Kendala permintaan:

Daerah A:

x1 A  x2 A �40

Daerah B:

x1B  x2 B �60

Daerah C:

x1C  x2C �80

Daerah D:

x1D  x2 D �40

Daerah E:

x1E  x2 E �25

Kendala kapasitas produksi:

Gudang 1:

x1 A  x1B  x1C  x1D  x1E �120

Gudang 2:

x2 A  x2 B  x2C  x2 D  x2 E �140

Kendala non negative

x1 A , x1B , x1C , x1D , x1E , x2 A , x2 B , x2C , x2 D , x2 E �0
Setelah merumuskan model linear programming tersebut, langkah selanjutnya adalah masuk ke aplikasinya dalam
Solver Excel untuk mencari nilai optimalnya.

5

Keterangan:
1.

Nilai

keputusan

awal

pada

sel

B12:F13

ditentukan

sembarang,

dalam

hal

ini

di

pilih

x1 A  x1B  x1C  x1D  x1E  x2 A  x2 B  x2C  x2 D  x2 E  1 , nilai-nilai optimum akan dicari oleh
komputer.
2.

Kendala permintaan: (sel B14:F14)
Sel B14 adalah formula dari: SUM(B12:B13), dengan cara yang sama sampai sel F14

3.

Kendala kapasitas produksi (sel G12)
G12=SUM(B12:F12), dengan cara yang sama untuk sel F13

4.

Sel D18 adalah formula dari D18=SUMPRODUCT(B12:F13,B4:F5)

5.

Pilih menu “data” kemudian “solver”.

Set Target Sel: $D$18 (karena D18 mengandung formula target keuntungan)
Equal to: Min
By Changing Sell: $B$12:$F$13 (karena sel B12 sampai F13 adalah adalah sel yang berisi nilai-nilai
optimum dari variabel keputusan yang akan diganti oleh komputer)
Subject to the Constraints: Diisi dengan jalan memilih Add, sebagai berikut:
Add Constraint
Cell Reference:

Constraint:

$B$14:$F$14

>= $B$16:F16

(Add)

$G$12:$G$13