Matriks Sistem Persamaan Linier Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi Aritmatika Interval
1 Sudaryatno Sudirham Kapita Selekta Matematika Matriks Sistem Persamaan Linier Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi Aritmatika Interval
Matriks
1
2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom
2 B
4
3
2 A
3
Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b
2
=
2 Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Contoh:
Contoh: Notasi:
Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.
Ukuran Matriks
× k elemen-elemen
Isi suatu matriks disebut elemen matriks
Ukuran matriks dinyatakan sebagai b × k
Contoh:
Nama matriks: huruf besar cetak tebal,
2 baris kolom
3
1
2
4
3
2
1
Contoh:
Elemen Matriks
2 B
4
3
adalah matriks berukuran 2 ×
2 B
4
1
3
2
=
=
3
1
2
3
4
2
1
=
2
1
− =
1 T Matriks segitiga atas :
2
1
1
3
4
3
Matriks segitiga bawah :
6 Matriks Segitiga Contoh:
Diagonal Utama
11 A elemen-elemen a 11 …a mn disebut diagonal utama
12
1
21
− =
2
Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
2 D
1
=
Contoh:
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks Diagonal
matriks segitiga atas
3
dan
matriks segitiga bawah
2 T Ada dua macam matriks segitiga yaitu
2
2
1
1
3
22
1
b = k = 3
=
Contoh:
Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang
3 Nama Khusus Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar. Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom.
matriks bujur sangkar 3 ×
2 A
3
3
1
2
4
3
2
1
=
2
1
2
4
= L L L L L L L
=
[ ] bk mn m m n n a a a a a a a a a a
huruf kecil cetak tebal
vektor baris Notasi nama vektor:
2 3 = q b = 1
vektor kolom [ ]
4
2 p k = 1
4
=
3
matriks segi panjang 2 ×
b = 2, k = 3
2 B
5 Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai
Anak matriks atau sub-matriks Matriks Satuan
2
4
1 Contoh:
Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen
B =
3
2 yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.
Matriks B memiliki:
Contoh:
2
4
1
3
2
- - Dua anak matriks 1 × 3 , yaitu: [ ] [ ]
1
2
4
1 A
I =
1 =
- - Tiga anak matriks 2 × 1, yaitu:
3
2
1
- - Enam anak matriks 1 × 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
Matriks Nol ×
- - Enam anak matriks 1 2 yaitu:
2 4 [ ]
2 1 [ ]
4
1 [ ]
Matriks nol, 0, yang berukuran m × n adalah matriks yang berukuran m × n dengan semua elemennya bernilai nol.
[ ] 3 [ ]
3 2 [ 2 ]
- - Tiga anak matriks 2 × 2 yaitu:
2 4
2 1
4 1
3
3
2
2 9 10 Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor
Contoh: Kesamaan Matriks
a
2
3
1
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran A dapat kita pandang sebagai matriks A a
=
1
2 4 =
2
sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.
3
2 1 a
3
Contoh: A = B
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris
a a a =
2 3 =
1
2 4 =
3
2
1
1 [ ] 2 [ ] 3 [ ]
2 4
Jika A
= Contoh yang lain:
3
2
3
2 4 A A a a a
=
1
2 4 dapat kita pandang sebagai matriks = [
1
2 3 ] .
maka haruslah B =
3
3
2
1 dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom 2 3 a a a
= 1 = 2 =
4
1
2
3
- = + +
= −
1
3
2
2
1
1
1
2
− − − −
4
− =
1 B
3
2
2
=
3
Contoh: Perkalian Matriks
4
1
Perkalian matriks tidak komutatif.
Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.
Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B
Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m × q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor
Jadi jika matriks A berukuran m × n dan B berukuran p × q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.
11 B
12
21
= mn m m n n a a a a a a a a a L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 A BA AB
22
2
1
2
L L L L L L L
= pq m p q q a a a a a a a a a
≠
2 A
3
4
( ) ( ) C B A C B A
B yang posisinya sama A B B A + = +
elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan
m × n adalah sebuah matriks C berukuran m × n yang elemen-
Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran
13 Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama
2 A
3
=
− − − = −
2 A
4
3
=
Contoh:
=
3
× n adalah matriks berukuran m × n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya
= +
Matriks Negatif
Negatif dari matriks berukuran m
14 Pengurangan Matriks Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif A A
3 B A maka Sifat-sifat penjumlahan matriks: Contoh:
7
5
2
4
Jika
1 B
3
2
2
=
2 A
dengan faktor ( − 1). .
2 B A
-
= + A A A A
= − + = − ) (
2 = × + × =
9
= • =
=
× × × ×
=
[ ]
Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda
= • = b a c
3
12
4
3
2
4
3
3
17
[ ] [ ] [ ]
Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.
2 kolom 2 baris Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b.
6
8
Contoh: Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar
perkalian internal dapat dilakukan Perkalian matriks tidak komutatif . 18 Perkalian Matriks Dengan Vektor
1
2 A
=
2
2 A
1
4 B
dan
Contoh:
4 a b d
3
3
2
3
4
2
4
3
3
2
3
Contoh:
vektor baris: vektor kolom: .
4 b
4
3
2
4
4
2
2 Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat
2
6
4
6
×
6
3
=
= ×
×××× n yang seluruh elemennya bernilai a kali. a A = A a
×××× n adalah matriks berukuran m
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m
2
3
2
3
=
3 2 = a
[ ]
Contoh:
[ ] ( ) A A ab b a =
( ) A A A b a b a
( ) B A B A a a a + = +
sebagai berikut
2
2
1
1
3
2
3
2
3
2
2
1
1
- = +
17 Perkalian Internal Vektor (dot product)
2 Misalkan b dan
× + × × + × =
7
4
4
5
3
2
4
3
13
32
3
18
= =
=
× + × × + × × + × × + ×
=
[ ]
3
1
1
b a b a b a b a b b a a AB C
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
4
1
5
2
1 B b b =
2
[ ]
Jika urutan perkalian dibalik, perkalian
b a b a b a a Ab C
1
2
1
2
2
2
1
3
- =
3
2
4
3
7
18
= =
tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
=
Matriks B kita pandang sebagai
=
a a A
1
2
=
Matriks A kita pandang sebagai
kolom = 2 baris = 2
dapat dikalikan
4
=
3
5
3
=
3
dapat dikalikan 2 kolom
2 baris
3
4
- =
Perkalian dua matriks persegi panjang
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah
Contoh:
1
2 a
1
A B b b
2
4 3 = =
[
1 2 ] dan baris = 3
A B =
4
3 a
=
2
1
3 2
2
3 a a b a b
1
1
1
1
2 sehingga dapat dikalikan
C = AB = b b = [
1 2 ]
kolom = 3 a a b a b
2
2
1
2 , 2
1 2
2
4
3
Dalam operasi perkalian matriks:
C AB = =
4
3
1
3 2
matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa
2
3 .
vektor baris
2 × 1 + + + + 4 ×
4 3 ×
2 2 ×
2 4 ×
3 3 ×
3
matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa
=
1
1
3
4 2 ×
2 1 ×
2 3 ×
vektor kolom
3 + + + × × + 2 × 3
25
25 Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
=
17 17 21 22 Sifat-sifat perkalian matriks
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n T adalah suatu matriks A yang berukuran n×m dengan kolom- a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa T
a A B a AB A a B ( ) = ( ) = ( )
baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks A
A BC AB C ( ) ( ) =
L a a a n
11
12
1
( A B ) C = AC BC + +
L a a a
21
22 2 n
A a
Jika = = bk
[ ] C A B CA CB
L L L L ( ) = + +
L a a a
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan,
m m mn
1 2 maka pada umumnya AB BA
≠ L a a a
11 21 m
1 c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
L a a a m
T
12
22
2
maka A = = a pq Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
[ ] L L L L
L a a a
1 n 2 n mn
3
a a [ ]
Contoh:
Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.
Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.
Jika maka Secara umum :
4 = 2 = b a [ ]
3 1 dan
=
2
Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor [ ] [ ]
2
2 T
4
4
[ ]
3
b a ( )
= ⇒
3
- 3 =
= b b Contoh:
3
b a b a
T T T
= + ( )
=
3 b a b a
7
5
2
4
3
= ⇒
4
3
5
7
5 T
5
T T T
-
- =
4
3
1
2
- = +
25 Putaran Jumlah Dua Vektor Baris
= =
4
2
4
2
3
2
1
3
2
2
3
3
( ) [ ] T T T
2 ab
1
2
3
2
2
4
1
4
2
3
4
26 Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik
[ ]
= a b ab
( ) T T T
Secara umum :
× × × × × × × × × =
=
3
a b ab =
2
1
4
1
3
1
2
3
4
3
2
2
Jika maka
1
3
2
2
4
3
T T T
Contoh: [ ] [ ]
1 = 2 × + × + × ab
3
4
3
3
2
[ ]
2 b a
4
3
1 dan
3
3
4
3
= b a
1
3
3
3
2
× × × × × × × × × =
maka
1 2 a b ab =
2 =
4
3
3 1 dan
2
[ ]
Jika
= × + × + × = Contoh:
2
- = +
L
[ ] n B b b
1
L
= m a a A
A B AB =
( ) T T T
Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.
L L L L 30 Putaran Hasil Kali Matriks
m m m m m m
=
=
1 T B A b b a a b a b a b a b a B A
1
1 T T
1 T
1 T T T
1 T T
1
( ) ( ) ( )
T
A A =
Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila
B B − = T
simetris miring .
Jika dikatakan bahwa matriks B adalah
Matriks Simetris
Dengan demikian maka
n n m n m n L L L L L L L
=
n m n m n b a b a b a b a AB
A B a a b b b a b a b a b a AB =
1 T
1
1
1
1
T T
[ ]
1 Jika dan maka
1
1
L L L L L
T T T T
1 Jika Dengan demikian dan maka
Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.
3
[ ]
1
L
= m a a A
maka
Jika
2 T A
1
4
3
2
1
=
2 A
4
3
1
3
2
=
Contoh: Putaran Matriks Persegi Panjang
T T
1 T
m A a a
L =
L
[ ] m m B b a b a A
1 =
L
[ ] m B b b
1 =
L
A a a
B A B A + = + [ ] m
T T T
( )
Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing- masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.
1 T maka 29 Putaran Jumlah Matriks
L
= m a a A
Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom
=
1
2
L
[ ] m A a a a
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka
-
- =
- = +
- =
- =
- = m
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.
L a x a x b
11
1
1
1 L
Bentuk umum: n n = + +
21
1 2 n n
a x a x = b + +
2 . . . . . . . . . . .
L a x a x = b + +
Sistem Persamaan Linier m
1 1 mn n m Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x ….x .
1 n
Bilangan a …..a disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya
11 mn merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b ….b juga merupakan bilangan-bilangan yang
1 m
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut 33 sistem persamaan homogen 34 Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set
Operasi Baris nilai dari x …x yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
L a x a x b
1 n
- n n =
11
1
1
1 L Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak
21
1 2 n n
2 penting) yaitu x = 0, …., x = 0.
a x a x = b + +
1 n . . . . . . . . . . .
L a x a x b m mn n = m + +
1
1 Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut persamaan ini adalah:
operasi baris sebagai berikut:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? sistem persamaan tersebut.
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri bagaimanakah himpunan solusi tersebut? persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi? c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan. Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
2
3
5
2
8
4
3
2
Contoh:
Suatu sistem persamaan linier:
Eliminasi Gauss
8 = + − + − = − + −
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan. 38 Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
L L L L L L L A
11 L
12
1
4
= − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x
21
4
1 D C B A x x x x
1
1
4
2
1
3
5
2
1
3
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
2
8
8
− − − − − − −
=
1
22
2
=
=
Ax b =
11 Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks atau secara singkat
12
1
21
22
1
= m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a
2
1
2
1
2
L L L L L L L L L
m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a
=
L L L L L L L L L
2
; ; b x A
2
1
2
~
| | | |
= m mn m m n n b a a a b a a a b a a a
matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
dengan
11
2
12
1
21
22
2
1
2
1
2
1
37 Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu
1 Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks
5 8 |
3 8 |
1
− − − − −
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
8 |
2
3
3 |
2
5
2 8 |
2
1
3 8 |
1
− − − − −
-
2) (-baris 2) baris 2/3 ( (pivot) |
2
1 3 / 16 |
2 3 /
4
2
3 8 |
1
1
-
2 8 |
2
2
Matriks gandengnya adalah:
− − − − − − −
|
2
3
4
1 8 |
2
5
3
1 |
4
1 8 |
1
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai
pivot
) dan
membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.
− − − − −
8 |
2
3
3 |
2
5
1
- −
1) baris ( 1) baris ( ( baris1) pivot
41 Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks
dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat
3 baris
11 8 |
2
3 8 |
1
1
− − − −
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai
pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
11 pivot 16 |
1 16 |
16 16 |
6
11 8 |
2
3 8 |
1
1
− − −
6
2
|
42 Kalikan baris ke 3
2
1 3 / 16 |
2 3 /
4
5 8 |
2
3 8 |
1
1
− − − − −
|
2
1 16 |
6
11 8 |
2
3 8 |
1
1
− − − −
|
- ×
3
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
16
8
8
16
6
11
2
3
1
1 D C B A x x x x
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.
Jika
persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi. 46 Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
− − −
8
2
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
2
4
8 − = + − = − + −
= − C B C B A B A x x x x x x x
Matriks gandeng:
2 8 ( C B
= − C B B A x x x x
8 = = −
3
2
16
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
Hasil terakhir langkah ketiga adalah:
16
16
16
6
11
8
2
3
8 = = −
= − = − D D C C B B A x x x x x x x
yang dengan substitusi mundur akan memberikan:
12 ; 4 ; = 1 = = = 2 ;
A B C D x x x x
16 |
− − −
=
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
16 16 |
1
1
3 8 |
2
11 8 |
6