ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

Oleh

NUR ITSNAINI HASANAH M0105054

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2011

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

SKRIPSI

ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

yang disiapkan dan disusun oleh NUR ITSNAINI HASANAH

M0105054

dibimbing oleh Pembimbing I,

Dra. Yuliana Susanti, M.Si NIP. 19611219 198703 2 001

Pembimbing II,

Drs. Pangadi, M.Si NIP. 19571012 199103 1 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Senin tanggal 7 Februari 2011

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda tangan

1. Drs. Sugiyanto, M.Si

NIP. 19611224 199203 1 003 1. 2. Dra. Etik Zukhronah, M.Si

NIP. 19661213 099203 2 001 2. 3. Drs. Muslich, M.Si

NIP. 19521118 197903 1 001 3.

Surakarta, Maret 2011 Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan,

Prof. Dr. Sutarno, M.Sc, Ph.D NIP. 19600809 198612 1 001

Ketua Jurusan Matematika,

Drs. Sutrima, M.Si NIP. 19661007 199302 1 001

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

iii

ABSTRAK

NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT ABSTRAK. Rantai Markov diskrit adalah proses stokastik dengan ruang state dan ruang parameternya diskrit serta memenuhi sifat Markov. Rantai Markov ditentukan dengan probabilitas awal dan probabilitas transisi. Jika probabilitas transisi tidak diketahui maka perlu untuk membuat inferensi tentang probabilitas transisi dari data. Salah satu cara penyelesaian analisis statistik pada rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Tujuan dari penulisan ini adalah menyajikan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit.

Hasil pembahasan menunjukkan bahwa interval konfidensi 100(1-a_)% untuk 6_. ditentukan oleh pˆ_ijL£ p_ij £ pˆ_ijU _{dengan p L}

ij

ˆ sebagai batas bawah interval dan pˆ_ijU sebagai batas atas interval, untuk i, j = 1,2,…,r.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

iv

ABSTRACT

NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, CONFIDENCE INTERVAL FOR TRANSITION PROBABILITY FROM DISCRETE MARKOV CHAIN ABSTRACT. The discrete markov chain is stochastic process whose state and parameter space are discrete and satisfies Markov property. It depends on initial state and transition probability. If the transition probability is unknown so it arises the problem of making inferences about them from data. One of the way to solve the statistical analysis of markov chain is to carry over the markov chain to the chi square methods which applied in the multinomial case. The aim of this task is to find confidence interval for transition probability from discrete markov chain.

The result shows that the 100(1-a_{)% confidence interval for transition} probability 6. is determined by pˆ_ijL£ p_ij £ pˆ_ijU _{where p L}

ij

ˆ as lower bound and U

pˆij as upper bound, for i, j = 1,2,…, r.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

v

PERSEMBAHAN

Karya tulis ini penulis persembahkan untuk v Bapak Ibu dan keluarga yang penulis sayangi.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim.

Alhamdulillah, segala puji hanya bagi Allah ‘Azza wa Jalla yang telah memberikan pertolongan dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga shalawat dan salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad Shallallahu ‘alaihi wa Sallam, keluarga dan para shahabatnya. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Dra. Yuliana Susanti, M.Si selaku pembimbing I atas bimbingan dan arahannya dalam mengerjakan skripsi ini,

2. Bapak Drs. Pangadi, M.Si selaku pembimbing II atas bimbingan dan arahannya,

3. NOVI MOTOR Kartasura, atas kesediaannya memberikan informasi yang dibutuhkan penulis,

4. Semua pihak yang membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis berharap semoga penulisan skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Februari 2011

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

vii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……….. i

PENGESAHAN ………... ii

ABSTRAK ……….. iii

ABSTRACT ……….. iv

PERSEMBAHAN ……… v

KATA PENGANTAR ………. vi

DAFTAR ISI ………... vii

DAFTAR SIMBOL ………. viii

BAB I PENDAHULUAN ……… 1.1 Latar belakang Masalah ………. 1.2 Rumusan Masalah ………. 1.3 Batasan Masalah ……… 1.4 Tujuan dan Manfaat Penulisan ……….. BAB II LANDASAN TEORI ……….. 2.1 Tinjauan Pustaka ……… 2.2 Kerangka Pemikiran ……….. 1 1 2 3 3 4 4 12 BAB III METODE PENULISAN ………... 13

BAB IV PEMBAHASAN ………... 4.1 Model Rantai Markov ……… 4.2 Penduga Maksimum Likelihood ……… 4.3 Distribusi Asimtotik dari Penduga 6. ………... 4.4 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi ……… 4.5 Contoh Kasus ………. 14 14 15 17 19 22 BAB V PENUTUP ……….. 5.1 Kesimpulan ……… 5.2 Saran ……….. 26 26 26 DAFTAR PUSTAKA ………. 27

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

viii

DAFTAR SIMBOL

S : ruang sampel W : ruang parameter

q _{: parameter}

X : variabel random x : nilai variabel random

f(x) : fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) dari variabel random X

F(x) : fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X

, , … , _{: fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random} , … ,

| : fkp bersyarat dari x₂diberikan 1= 1

: harga harapan dari X

zϨ : variansi dari X

, : kovariansi dari X dan Y : fungsi pembangkit momen L(q_{) : fungsi likelihood}

฀ ( , , ) : gradien , ,

6. : probabilitas transisi dari state i ke state j 6̂. : penduga probabilitas transisi

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Proses stokastik merupakan cara untuk mempelajari hubungan dinamis dari suatu runtun peristiwa atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti. Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan perubahan dari sebuah sistem yang mengandung ketidakpastian sehingga model deterministik tidak dapat digunakan untuk menganalisis sistem tersebut.

Ross (1983) memberikan definisi proses stokastik {X(t),tÎT} sebagai barisan variabel random yang diberi indeks waktu t yang nilainya berubah-ubah sesuai dengan himpunan indeks T. Nilai dari variabel random X(t) tersebut dinamakan state pada saat t. Menurut Parzen (1962), proses stokastik parameter diskrit

{

X(t),t =0,1,2,...

}

atau proses stokastik parameter kontinu

{

X(t),t ³0

}

disebut sebagai proses Markov jika untuk sembarang harga t₀ <t₁ <t₂ <...<t_n probabilitas bersyarat dari X(t_n) diberikan X(t₀),...,X(t_n-1) hanya bergantung pada X(t_n-1) atau bisa dituliskan sebagai

] )

( ,..., )

( )

(

[X t_n =x_n X t₀ = x₀ X t_n-1 = x_n-1

P =P[X(t_n)= x_n X(t_n-1)= x_n-1].

Pada dasarnya proses stokastik dikelompokkan berdasarkan sifat ruang parameter dan sifat ruang state (state space). Berdasarkan sifat ruang parameternya, proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik parameter diskrit dan proses stokastik parameter kontinu. Berdasarkan sifat ruang state-nya, proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik dengan ruang state diskrit dan proses stokastik dengan ruang state kontinu.

Rantai Markov waktu diskrit {X_t,tÎT} adalah proses stokastik yang mempunyai ruang state berupa himpunan berhingga atau terhitung dengan himpunan indeks T = {0, 1, 2,…} yang memenuhi

] ,...,

,

[X_n = x_n X₀ = x₀ X₁ = x₁ X_n-1 = x_n-1

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

2

Proses Markov dikatakan sebagai rantai Markov jika ruang statenya diskrit. Probabilitas bersyarat P[X_n = jX_n-1 =i] biasa disebut dengan probabilitas transisi rantai Markov.

Jika probabilitas transisi tidak diketahui atau probabilitas transisi tersebut merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui maka perlu untuk membuat inferensi tentang probabilitas transisi dari data empiris. Dalam statistik, inferensi adalah proses penarikan kesimpulan tentang distribusi populasi berdasarkan distribusi sampel yang diambil dari populasi tersebut. Salah satu cabang penting dari inferensi statistik adalah estimasi (pendugaan) yang terdiri dari dua macam yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Tujuan estimasi titik adalah menduga nilai parameter yang tidak diketahui. Estimasi titik sendiri tidak memberikan informasi akurasinya. Estimasi interval diperlukan untuk mengetahui seberapa dekat atau seberapa besar harapan estimasi titik itu mendekati nilai yang sebenarnya. Selain itu, estimasi interval sendiri bisa digunakan dalam proses pengambilan kesimpulan.

Dalam banyak literatur, kebanyakan para peneliti mengunakan metode maksimum likelihood untuk mengestimasi probabilitas transisi rantai markov sebagaimana dalam Spring 2009. Sulistyowati (2003) telah membahas tentang estimasi titik dan uji hipotesis dalam rantai Markov. Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov dan dikaji ulang tentang pendugaan probabilitas transisi rantai Markov dengan metode maksimum likelihood.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana menentukan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

3

1.3 Batasan Masalah

Berdasarkan pada rumusan masalah di atas, pembahasan dalam skripsi ini dibatasi pada penerapan metode maksimum likelihood dalam mengestimasi probabilitas transisi rantai Markov orde satu dengan ruang state berhingga (diskrit).

1.4 Tujuan dan Manfaat Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mampu menyajikan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit. Dengan tercapainya tujuan ini, penulisan skripsi ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang inferensi statistik pada rantai Markov khususnya pada estimasi interval konfidensi probabilitas transisinya.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

4 BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Untuk mendukung pembahasan dalam skripsi ini dibutuhkan teori-teori dasar berikut.

2.1.1. Ruang Sampel, Kejadian, Probabilitas dan Variabel Random

Beberapa definisi yang berkaitan dengan ruang sampel, kejadian, probabilitas dan variabel random berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992). Definisi 2.1.1 Ruang sampel S dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin dari percobaan tersebut.

Definisi 2.1.2 Suatu kejadian (event) adalah sembarang subset dari hasil yang termuat dalam ruang sampel.

Definisi 2.1.3 Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.

Definisi 2.1.4 Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e dalam ruang sampel S dengan bilangan real sedemikian sehingga X(e) = x, x Î R.

Definisi 2.1.5 Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan himpunan terhitung * ,* , … ,* atau * ,* , … maka variabel random X disebut variabel random diskrit. Fungsi * = [ = *] untuk x = * ,* , … disebut fungsi kepadatan probabilitas diskrit.

Definisi 2.1.6 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X didefinisikan untuk sembarang bilangan real dengan * = [ ≤ *].

Definisi 2.1.7 Variabel random X disebut variabel random kontinu jika fungsi

distribusi kumulatifnya bisa dinyatakan sebagai * = % .

Definisi 2.1.8 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random diskrit X = , … , didefinisikan sebagai * ,* , … ,* = [ =* , =

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

5

Definisi 2.1.9 Jika X dan ₁ X merupakan variabel random diskrit atau kontinu ₂ dengan fungsi kepadatan probabilitas bersama (* ,* ) maka fungsi kepadatan probabilitas bersyarat dari x diberikan ₂ X = ₁ x didefinisikan sebagai ₁

* |* = ,

untuk nilai-nilai x sedemikian sehingga ₁ * > 0 dan nol untuk nilai yang lain. Definisi 2.1.10 Jika X variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas

) (x

f maka harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai * = ∑ * (*) jika X diskrit

* = * (*) %* jika X kontinu Definisi 2.1.11 Variansi dari variabel random X diberikan oleh

l * = [( − ) ]

Definisi 2.1.12 Kovariansi dari pasangan variabel random X dan Y didefinisikan dengan

)] )(

[( ) ,

(X Y E X _x Y _y

Cov = -m -m

Definisi 2.1.13 Jika X variabel random maka

) ( )

( tX

X t E e

M =

Disebut fungsi pembangkit momen dari X jika harga harapan ini ada untuk semua nilai t dalam suatu interval -h<t<h, untuk suatu h > 0.

2.1.2. Distribusi Multinomial Definisi 2.1.10 (Lebanon, 2006)

Variabel random X₁,X₂,...,X_k mempunyai distribusi multinomial dengan

parameter n dan p₁,p₂,...,p_k dengan p_i ³0, 1

1

=

å

=

k

i i

p jika mempunyai fungsi

kepadatan probabilitas

k x k x x k

k p p p

x x x

n x

x

f ...

... )

,...,

( 1 2

2 1 2

1

1 ÷÷

ø ö çç

è æ

=

jika x_i ³0 dan x n k

i i =

å

=1

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

6

dengan _{* * …*} = !

! !… ! .

Distribusi multinomial digunakan ketika dipunyai sebuah percobaan dengan k kemungkinan hasil, yang masing-masing terjadi dengan probabilitas p . _i

Percobaaan diulang sebanyak n kali dan X₁,X₂,...,X_k mengukur jumlah kejadian masing-masing kelas (hasil). Karena terdapat n percobaan, maka

jumlah keseluruhan hasil adalah x n k

i i =

å

=1

, dan karena probabilitas memperoleh

hasil i sebesar p , maka _i 1

1

=

å

=

k

i i p .

2.1.3. Distribusi Normal, Gamma dan Chi Kuadrat Definisi berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992).

Definisi 2.1.11 Suatu variabel random X mengikuti distribusi normal dengan

mean m dan variansi s2 jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

2 ] / )

[( 2

2 1 ) , ;

( m s

s p s

m ₌ x

-e x

f

untuk -¥< x<¥ dengan -¥<m <¥ dan 0<s <¥. Notasi yang menyatakan X berdistribusi normal adalah X ~ N(m,s2).

Definisi 2.1.12 Fungsi gamma dinotasikan dengan G(k) untuk semua k > 0, didefinisikan sebagai

ò

¥

-= G

0 1

)

(k tk e tdt.

Definisi 2.1.13 Variabel random X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter k > 0 dan q >0, jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

ïî ï í ì

G =

-0 ) ( 1 )

, ; (

1 q

q q

x k

k x e

k k

x f

untuk x > 0

untuk x yang lain.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

7

Definisi 2.1.14 Jika X ~ GAM ( 2 ,

2 v ) maka variabel X dikatakan berdistribusi

2

c dengan derajat bebas v dinotasikan dengan X ~ _c2

(v).

Teorema 2.1.1 Jika X ~c2(v) maka

v X Var

v X E

t t

M_x v

2 ) (

) (

) 2 1 ( )

( 2

= =

-=

Teorema 2.1.2 Jika Xi ~ c2(vi), i = 1,..., n, maka )

( ~

1 2

1

å

å

= =

= n

i i n

i

i v

X

Y c .

Teorema 2.1.3 Jika Z ~ N(0,1) maka Z2 ~ c2(1).

Teorema 2.1.4 (Teorema Limit Pusat) Jika X₁,..,X_n adalah sampel random dari sebuah distribusi dengan mean m dan variansi _s2

, maka distribusi limit

dari

s m n

n X Z

n i

i n

-=

å

=1 _{adalah distribusi normal standar, Z} d _{Z ~ N(0,1)}

n ¾¾®

untuk n®¥.

Definisi 2.1.15 Misalkan Y1,Y2,... adalah deretan variabel random dengan fungsi distribusi kumulatif G1(y),G2(y),... sedemikian sehingga untuk tiap n = 1, 2, ... berlaku G_n(y)=P[Y_n £ y] . Jika untuk suatu fungsi distribusi kumulatif G(y) berlaku limGn(y) G(y)

n®¥ = untuk semua nilai y dan G(y) kontinu maka Y1,Y2,...

dikatakan konvergen dalam distribusi ke Y ~G(y) yang dinotasikan dengan

Y Yn ¾¾®d .

2.1.4. Metode Maksimum Likelihood

Metode maksimum likelihood adalah metode yang cukup sering digunakan untuk menduga nilai parameter. Ide dasar metode ini adalah menggunakan sebuah

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

8

nilai dari ruang parameter yang menghasilkan peluang terbesar untuk menduga nilai parameter yang tidak diketahui. Berikut ini adalah beberapa definisi tentang fungsi likelihood dan penduga maksimum likelihood yang dinyatakan oleh Bain dan Engelhardt (1992).

Definisi 2.1.16 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari n variabel random

n X

X₁,.., yang diberi nilai x₁,..,x_n adalah f(x₁,..,x_n;q) dan disebut sebagai fungsi likelihood. Untuk x₁,..,x_n tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dari q yang dinotasikan dengan L(q). Jika X₁,..,X_n adalah sampel random dari

) ; (xq

f maka

L(q)= f(x₁;q)...f(x_n;q) .

Definisi 2.1.17 Misalkan L(q) = f(x₁,..,x_n;q), qÎW, merupakan fungsi likelihood. Untuk suatu himpunan pengamatan {x₁,..,x_n}, nilai qˆ di dalam W yang memaksimumkan L(q) disebut penduga maksimum likelihood dari q. Jadi, qˆ _{adalah nilai dari q yang memenuhi}

) ; ,.., (x₁ x_n q

f = ( ₁,..., ;q)

q f x xn

maks

W

Î .

2.1.5. Metode Pengali Lagrange

Metode Pengali Lagrange digunakan untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum fungsi f(x, y, z) terhadap kendala g(x, y, z) = k. Langkahnya adalah a. Menyelesaikan persamaan Lagrange

) , , ( )

, ,

(x y z g x y z

f = Ñ

Ñ l

konstanta l disebut pengali Lagrange.

b. Menghitung f di semua titik (x, y, z) yang dihasilkan dari langkah (a). Nilai yang terbesar adalah nilai maksimum f, sedangkan nilai yang terkecil adalah nilai minimum f.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

9

2.1.6. Statistik Cukup Definisi 2.1.18 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Suatu fungsi variabel random yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui disebut statistik.

Definisi 2.1.19 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Misalkan X = (X₁,..,X_n) mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama )

; ,.., (x₁ x_n q

f dan T = (T₁,..,T_k) adalah sebuah vektor statistik. T adalah statistik cukup bersama untuk q jika fungsi kepadatan probabilitas bersyarat f_Vt(v) tidak bergantung pada q, dengan V merupakan vektor statistik yang lain. Dalam kasus satu dimensi cukup dikatakan bahwa T adalah statistik cukup untuk q_.

Definisi 2.1.20 Kriteria Faktorisasi (Bain dan Engelhardt, 1992)

Jika X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama f(x₁,..,x_n;q) dan T = )

,..,

(T₁ T_k maka T₁,..,T_k merupakan statistik cukup bersama untuk q jika dan hanya jika

) ,..., ( ) ; ( ) ; ,..,

(x1 xn g t h x1 xn

f q = q

dengan g(t;q) tidak bergantung pada x₁,..,x_n dan h(x₁,..,x_n) tidak mengandung q.

Menurut Laurence dan Chein-I Chang (1993), dalam model rantai Markov bisa ditunjukkan bahwa state awal dan jumlah transisi membentuk suatu statistik cukup dengan kriteria faktorisasi.

2.1.7. Interval Konfidensi untuk q Definisi 2.1.21 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Misalkan X₁,..,X_n mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama )

; ,.., (x₁ x_n q

f . Sedangkan L dan U adalah statistik dengan L=l(X₁,..,X_n) dan )

,.., (X₁ X_n u

U = . Jika diketahui suatu data percobaan x₁,..,x_n, maka dipunyai nilai pengamatan l(x₁,..,x_n) dan u(x₁,..,x_n). Interval (l(x₁,..,x_n),u(x₁,..,x_n)) dikatakan sebagai interval konfidensi 100(1-a)% untuk q jika

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

10

a q < = -< ( ,.., )] 1 )

,.., (

[l X₁ X_n u X₁ X_n

P .

Nilai pengamatan l(x₁,..,x_n) dan u(x₁,..,x_n)disebut batas konfidensi bawah dan atas.

Untuk menentukan interval konfidensi yang memperhitungkan semua parameter digunakan interval konfidensi simultan. Dalam menentukan interval konfidensi simultan, digunakan pertidaksamaan Bonferroni untuk mempertimbangkan semua parameter secara simultan. Teknik perhitungan interval konfidensi ini diperkenalkan oleh Goodman (Petrie, 1998).

2.1.8. Rantai Markov Diskrit

Menurut Taylor dan Karlin (1994), proses Markov adalah proses stokastik yang mempunyai sifat jika diberikan nilai X_n, nilai X_n+1 tidak dipengaruhi oleh nilai X_m, untuk m < n. Secara formal, suatu proses dikatakan proses Markov jika memenuhi sifat Markov yaitu

] ,

,...,

[X ₁ jX₁ i₁ X ₁ i ₁ X i

P _n+ = = _n- = _{n- n} = = P{X_n+1 = jX_n =i}.

Rantai Markov waktu diskrit adalah proses Markov yang mempunyai ruang state berhingga atau terhitung dan himpunan indeks T = {0, 1, 2,…}. Probabilitas

1 +

n

X akan berada pada state j dengan syarat X_n berada pada state i disebut probabilitas transisi satu langkah yang dinotasikan dengan p_ijn,n+1.

} { ₁

1 ,

i X j X P

p_ijnn+ = _n+ = _n = .

Notasi ini menyatakan bahwa secara umum, probabilitas transisi selain merupakan fungsi state awal dan akhir, juga merupakan fungsi selang waktu. Jika probabilitas transisi satu langkah independen terhadap variabel waktu n, maka dikatakan rantai Markov mempunyai probabilitas transisi stasioner, sehingga p_ijn,n+1 = p_ij, dengan

ij

p adalah probabilitas bersyarat proses akan bergerak dari state i ke state j. Untuk selanjutnya probabilitas transisi ini dinyatakan dengan bentuk matriks berikut.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

11

P =

ú ú ú ú û ù

ê ê ê ê ë é

rr r

r

r r

p p

p

p p

p

p p

p

2 1

2 22

21

1 12

11

dengan p_ij ³0, 1

1

=

å

=

r

j ij

p i, j = 1,2,…,r.

Selain probabilitas transisi, rantai Markov juga ditentukan dengan distribusi probabilitasnya (distribusi awal). Misalkan P[X₀ =i]= p_i. Dengan definisi probabilitas bersyarat diperoleh

] ,...,

,

[X₀ i₀ X₁ i₁ X_n i_n

P = = = = P[X₀ =i₀,X₁=i₁,...,X_n-1 =i_n-1] ´ P[Xn =in X₀ =i₀,X₁ =i₁,...,Xn-₁ =in-₁]. Dari definisi proses Markov,

] ,...,

[Xn =in X0 =i0 Xn-1=it-1

P = P{Xn =in Xn-1 =in-1}. =

n n i i P

1

- .

Sehingga diperoleh

] ,...,

,

[X₀ i₀ X₁ i₁ X_n i_n

P = = = = P[X₀ =i₀] ´ P{Xn =in Xn-₁ =in-₁}´ … ´ P{X₁ =i₁ X₀ =i₀}

= 0 i p

1 0i i p ...

n n i i p

1

- .

Ini menunjukkan bahwa rantai Markov ditentukan oleh probabilitas di awal proses dan probabilitas transisinya.

Suatu matriks probabilitas transisi P dikatakan regular jika matriks tersebut dipangkatkan oleh suatu konstanta positif k maka matriks Pk seluruh elemennya bernilai positif. Matriks peluang transisi yang demikian serta rantai Markov yang berkaitan dengannya disebut regular. Hal yang penting dalam rantai Markov regular adalah adanya limiting probability distribution p =

(

p₁,p₂,...,p_r

)

dimana p_j > 0 untuk j = 1, 2,…, r. dan

å

=1

j j

p . Secara formal, untuk matriks

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

12

0 ]

[

lim_®¥ n = 0 = = j >

n P X jX i p , untuk j = 1, 2,…, r .

Konvergensi di atas menyatakan bahwa dalam jangka waktu yang lama ( ⟶ ∞), probabilitas proses berada di state j adalah pj, tanpa memperhatikan dimana rantai tersebut berawal.

Beberapa definisi tentang sifat state rantai Markov berikut dinyatakan oleh Ross (1983).

Definisi 2.1.22 State j dikatakan dapat dicapai dari state i , i® j, jika terdapat 0

³

n sedemikian sehingga p_ijn >0. Jika i® j dan j®i maka i dan j dikatakan saling berkomunikasi, ditulis i« j.

Suatu rantai Markov dikatakan irreducible jika semua state-nya saling berkomunikasi satu sama lain.

Definisi 2.1.23 Untuk sebarang i dan j, f_ijn menyatakan probabilitas dari state i pertama kali tiba di j dalam n langkah, yang dinyatakan sebagai

} 1

,..., 2 , 1 , ,

Pr{X j X j k n X₀ i f_ijn = _n = _k ¹ = - = .

Definisi 2.1.24 Suatu state i dikatakan recurrent jika fii =1(probabilitas bahwa i akan kembali ke i adalah 1) sedangkan state i dikatakan non-recurrent atau

transient jika f_ii <1.

2.2 Kerangka Pemikiran

Berdasarkan pada tinjauan pustaka di atas, dapat disusun suatu kerangka pemikiran dalam penulisan skripsi ini. Estimasi probabilitas transisi dapat ditentukan dengan metode maksimum likelihood. Pengali Lagrange digunakan untuk memaksimumkan fungsi likelihood. Setelah diketahui distribusi asimtotik dari penduga probabilitas transisi, interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov bisa ditentukan dengan analog pada distribusi multinomial.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

13 BAB III

METODE PENULISAN

Dalam penulisan skripsi ini metode yang digunakan adalah studi literatur, yaitu keseluruhan bahan untuk penelitian ini diambil dari buku-buku referensi terutama yang berhubungan dengan proses stokastik (rantai Markov) dan inferensi statistik khususnya tentang estimasi interval konfidensi.

Sesuai dengan tujuan penulisan, yaitu menyajikan interval konfidensi pada rantai Markov diskrit, maka langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah

1. Mengkaji ulang penduga maksimum likelihood untuk probabilitas transisi rantai Markov.

2. Mengkaji ulang distribusi asimtotik dari penduga p_ij .

3. menentukan interval konfidensi simultan untuk probabilitas sel dalam distribusi multinomial.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

14 BAB IV PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas tentang penduga maksimum likelihood untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit, sifat-sifat penduganya dan interval konfidensinya.

4.1Model Rantai Markov

Misalkan {Xk} adalah rantai markov dengan ruang state berhingga, dengan

ij

p menyatakan probabilitas proses berada di state j pada waktu k dan berada di state i pada waktu k – 1,

] [X jX 1 i

P

p_ij = _k = _k- = , untuk i, j =1, 2, …, r dan probabilitas awal

] [X₀ i P

p_i = = .

Misalkan x = {x₀,x₁,...,x_n} adalah sampel dari rantai Markov orde satu dengan probabilitas transisi p_ij dan probabilitas awal p_i. Jika x adalah realisasi dari variabel random X maka probabilitas bahwa X = x adalah

] ,...,

,

[X₀ x₀ X₁ x₁ X_n x_n

P = = =

= P[X₀ = x₀,...,X_n-1 = x_n-1]´ P[Xn = xn Xn-₁ =xn-₁]

= P[X₀ =x₀,...,X_n-2 =x_n-2].P[Xn-₁ =xn-₁ Xn-₂ =xn-₂].P[Xn =xn Xn-1 =xn-1]

= P[X0 = x0] .P[X1 =x1 X0 = x0]…P[Xn = xn Xn-1 =xn-1]

=

n n x x x x

x p p

p

1 1 0 0 ...

-=

Õ

= = _- =

r

j i

n

n iX j

X P x X P

,

1 0

0 ] . [ ]

[

=

Õ

r

j i

ij

x p

p

,

0 .

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

15

] ,...,

,

[X₀ x₀ X₁ x₁ X_n x_n

P = = = =

0 x p

Õ

r

j i

s ij ij p

,

. (4.1)

Berdasarkan definisi 2.1.20, persamaan (4.1) menunjukkan bahwa sij dan state awal membentuk suatu statistik cukup yaitu T = {x0,s_ij} dengan

) ,..., (x₁ x_n

h = 1.

4.2Penduga Maksimum Likelihood untuk p_ij

Misalkan {x₀,x₁,...,x_n} adalah realisasi dari n + 1 variabel random. Fungsi likelihood untuk sampel ini adalah

L(p) = P[X₀ =x₀,X₁=x₁,...,X_n =x_n] = 0 x p

Õ

r

j i

s ij ij p

,

(4.2)

dengan s_ij menyatakan jumlah transisi satu langkah dari state i ke j. Fungsi log-likelihood dari persamaan (4.2) adalah

å

+

= r

j i

ij ij

x s p

p p

L

,

ln ln

) ( ln

0 . (4.3)

Untuk memperoleh estimasinya, persamaan (4.3) diturunkan terhadap p_ij, diperoleh

ij ij

ij p

s p

p L

= ¶

¶ln ( )

.

Jika persamaan di atas disamadengankan nol maka hasilnya akan menyatakan bahwa estimasi probabilitas transisi bernilai ¥. Oleh karena itu, digunakan metode Pengali Lagrange untuk memaksimumkan ln L(p). Didefinisikan fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimumkan lnL(p), dengan r

konstrain,

å

=1 r

j ij

p , untuk masing-masing i, dan l1,l2,...,l_r sebagai konstanta

pengali Lagrange. Diperoleh fungsi baru,

M = _÷÷

ø ö çç

è æ

--

å

å

=

1 )

( ln

1

r

j ij r

i

i p

p

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

16 = _÷÷ ø ö çç è æ

-+

å

å

å

= 1 ln ln 1 , 0 r j ij r i i r j i ij ij

x s p p

p l

Untuk memaksimumkan fungsi lnL(p), maka fungsi M di atas diturunkan terhadap p_ij dan l_i.

§ =0

¶ M ¶ ij p 0 = - i ij ij p s l i ij ij s p l =

§ =0

¶ M ¶ i l 1 =

å

r j ij p

Karena persamaan konstrain, 1 =

å

r j i ij s

l Û i

r

j ij s =l

å

maka diperoleh penduga maksimum likelihood untuk p_ij yaitu

å

= = _r j ij ij ij s s p 1 ˆ .

Dengan demikian matriks estimasi probabilitas transisinya adalah

ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é =

å

å

å

å

å

å

å

å

å

= = = = = = = = = r j rj rr n j rj r r j rj r r j j r r j j r j j r j j r r j j r j j rr r r r r s s s s s s s s s s s s s s s s s s p p p p p p p p p P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 22 1 2 21 1 1 1 1 1 12 1 1 11 2 1 2 22 21 1 12 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L M O M M L L L M O M M L L .

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

17

4.3Distribusi Asimtotik dari Penduga pij

Misalkan prosesnya dianggap stasioner, maka bisa diasumsikan bahwa i

k

i P X i

p = [ = ]=p untuk semua k. Kemudian p_i mengandung informasi tentang

probabilitas transisi p_ij karena memenuhi persamaan

å

=

= r

k

ku u

u p

1

p

p .

Menurut Sulistyowati (2003),

i i

n _n

s

p

= ÷ ø ö ç

è æ

¥ ® lim

p . (4.4)

Selanjutnya, persamaan (4.4) akan digunakan untuk mengetahui distribusi asimtotik dari penduga p_ij. Berikut ini penjelasan Billingsley (1960) tentang distribusi asimtotik dari penduga pij. Misalkan β=6144, … ,14 , … ,1 4, …1 adalah vektor parameter dan β = (1̂₄₄, … ,1̂₄ , … ,1̂ ₄, …1̂ ) adalah vektor penduga parameter dengan

i ij ij

s s

pˆ = , maka (β − β) konvergen dalam

distribusi ke distribusi normal dengan mean 0 dan matriks kovariansi S yang komponennya diberikan oleh

, = ( 1 − 1 1 ). (4.5)

dengan

î í ì =

0 1 uv

d untuk u = v

untuk u ≠ v

Misalkan diketahui variabel random independen X₁ dan W_in(i = 1, 2,…, r ; n = 1, 2,…) sedemikian sehingga & ₄ = = dan P[W_in = j]= p_ij. Selanjutnya variabel W_in diilustrasikan dalam bentuk berikut

,... ,..., ,

... ... ...

,... ,..., ,

,... ,..., ,

2 1

2 22 21

1 12 11

rn r

r

n n

W W

W

W W

W

W W

W

.

Mula-mula X₁ disampel. Misalkan diperoleh X₁= i, maka variabel pertama baris ke-i disampel, hasilnya X₂. Misalkan X₂= j, maka variabel pertama pada baris ke-j disampel, hasilnya X₃, dan seterusnya. Kemudian X₂ didefinisikan sebagai

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

18

1

1 x

W dan seterusnya sampai X_n+1 didefinisikan sebagai _xn n

W . Pengilustrasian di atas bisa ditulis

} 1 2

, ,

{ } 1 1

,

{Xk = xk £k£n+ = X1 =x1 Wxk-₁k-1 = xk £k £n+ .

Karena variabel-variabel tersebut independen, maka

} {

}... {

} {

} 1 1

,

{ _{1 1 1 2 1}

1 = = +

= =

+ £ £

= _{k a an n}

k a k n P x a P w a P w a

x P

n =

1 a p

2 1a a p ...

1 + n na a p .

Sehingga jelas bahwa, untuk i tetap, (s_i1,...,s_ir) adalah jumlah transisi untuk )

,...,

(wi1 wis_i . Karena si dekat dengan npi(berdasarkan persamaan (4.4)), maka )

,...,

(s_i1 s_ir bisa dibandingkan dengan (f_i1,...,f_ir) yang merupakan jumlah transisi dari ( ₁,..., _{[ ]})

i n i

i w

w _p . Karena masing-masing baris w_in independen, kemudian berdasarkan teorema limit pusat untuk percobaan multinomial, variabel random

i ij i ij ij

n p n f

p p

g = -[ ] akan berdistribusi normal asimtotik dengan matriks kovariansi

yang diberikan oleh persamaan (4.5). Selanjutnya, variabel random

i ij i ij ij

n p s s

p

g '= - akan mempunyai distribusi limit yang sama dengan g_ij karena

n p s s n

p n

f_{ij i ij ij}- _{i ij}

--[ p ]

konvergen dalam probabilitas ke 0 pada saat n ® ∞. Kemudian, berdasarkan persamaan (4.4), variabel Fij = si(b -ˆ b) mempunyai distribusi limit yang sama dengan . Hal ini bisa dibuktikan dengan uraian berikut.

Variabel = ( − ) bisa dinyatakan dengan =

/ .

= − 1

= −

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

19

= ( ). =

/

Karena ( / )→ , maka dan mempunyai distribusi yang sama.

4.4Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi

Salah satu cara sistematis untuk menyelesaikan analisis statistik pada rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Oleh karena itu, sebelum membahas interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov, terlebih dahulu dibahas tentang interval konfidensi untuk parameter multinomial (dalam hal ini adalah probabilitas sel).

4.4.1 Interval Konfidensi untuk Parameter Multinomial

Distribusi multinomial digunakan untuk situasi dimana terdapat lebih dari 2 hasil yang mugkin pada setiap percobaan. Dengan kata lain, untuk n percobaan independen, terdapat k hasil yang mungkin yang masing-masing memiliki probabilitas.

Sebelum menurunkan interval konfidensi simultan, digunakan pertidaksamaan Bonferroni untuk mempertimbangkan semua parameter secara simultan. Untuk masing-masing parameter yang tak diketahui p_i, i = 1, 2, …, k, ada interval (p_li,p_ui), masing-masing dengan koefisien konfidensi

k

a

. Anggap Ei

adalah kejadian dimana (p_li,p_ui) mengandung p_i. Sehingga E_i merupakan komplemen dari Ei , atau kejadian dimana (pli,pui) tidak mengandung pi. Probabilitas E_i menjadi

k E P i

a

= ]

[ untuk i = 1, 2, …, k. (4.6)

Untuk memperoleh interval konfidensi simultan, semua kejadian Ei harus

terjadi secara simultan. Sehubungan dengan probabilitas simultan semua kejadian dan komplemennya, diperoleh

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

20

] ... [ 1 ] ...

[E₁ E_k P E₁ E_k

P Ç Ç = - È È

dan jelas bahwa

& 4 ∪… ∪ ≤ & 4 + … + & .

Sehingga

& 4∩…∩ ≥ 1− 6& 4 + … + & . (4.7)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.7), bisa disimpulkan bahwa

& 4∩…∩ ≥ 1− .

Hasil di atas menyatakan bahwa untuk parameter yang tak diketahui 1₄, … ,1 , jika (p_l1,p_u1),…,(p_lk,p_uk) adalah interval konfidensi

100[1-k

a

]% untuk tiap p_i, i = 1, 2, …, k, maka probabilitas paling sedikit (1 - a) bahwa interval konfidensi ini secara simultan mengandung p₁,...,p_k.

Untuk menurunkan interval konfidensi, masing-masing parameter p_i , i = 1, 2, …, k diperlakukan sebagai sebuah variabel random binomial. Pendekatan normal untuk variabel binomial menyatakan

n p p

p p Z

i i

i i

) 1 (

) ˆ (

-= ~ Za/2 (0,1).

Dengan mengkuadratkan variabel di atas, diperoleh )

1 ( ~ ) 1 (

) ˆ

( 2 ₂

2

a

c

i i

i i

p p

p p n Z

-= (4.8)

dengan c_a2(1) adalah batas atas (1-a) dari distribusi chi kuadrat dengan derajat bebas satu.

Pertidaksamaan Bonferroni diterapkan pada variabel chi kuadrat untuk memperhitungkan semua parameter secara simultan. Persamaan (4.8) ditulis kembali menjadi

(1̂ − 1) = _,41(1− 1).

Persamaan di atas kemudian diberlakukan untuk semua parameter (1,…,1 ) dan diganti dengan . Sehingga diperoleh

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

21 ) 1 ( ) ˆ

(p_i p_i 2 2_/k,1 p_i p_i

n - =c_a - untuk semua i = 1, 2, …, k. (4.9) Persamaan (4.9) diuraikan menjadi

61̂ − 211̂+1 = ,41 − ,41

1̂ − 2 11̂+ 1 = ,41 − ,4 1

+

,4 1 + (−2 1̂ − ,4)1+ 1̂ = 0

Sehingga diperoleh interval konfidensi untuk probabilitas multinomial yaitu

) ( 2 ) ˆ )( ( 4 ) ˆ 2 ( ) ˆ 2 ( 2 1 , / 2 2 1 , / 2 2 1 , / 2 1 , / k i k k i k i ui n p n n p n p n p a a a a c c c c + + -+

-= sebagai batas

atas interval dan

) ( 2 ) ˆ )( ( 4 ) ˆ 2 ( ) ˆ 2 ( 2 1 , / 2 2 1 , / 2 2 1 , / 2 1 , / k i k k i k i li n p n n p n p n p a a a a c c c c + +

-= sebagai batas

bawah interval.

4.4.2 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi Rantai Markov Diskrit Interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov ditentukan dengan analog pada distribusi multinomial. Misalkan {Xk} adalah rantai markov

dengan ruang state berhingga, dengan p_ij menyatakan probabilitas proses berada di state j pada waktu k dan berada di state i pada waktu k – 1.

Diketahui matriks jumlah transisi S berikut

S = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é rr r r r r s s s s s s s s s ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 M O M M .

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

22

State 1 2 … r Jumlah

1 s₁₁ s₁₂ … s_1r

å

=

= r j j s 1

1 s1

2 s₂₁ s₂₂ … s_2r

å

=

= r j j s 1

2 s2

M M M … M M

r s_r1 sr₂ … srr

å

= = r j rj s 1 r s

Karena 1

1 =

å

= r j ij

p , maka interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi 1 bisa ditentukan dengan

) 1 ( )

ˆ

( _{ij ij} 2 2_{/r,1 ij ij}

i p p p p

s - =c_a - untuk i, j = 1, 2, …, r yang mempunyai penyelesaian

) ( 2 ) ˆ )( ( 4 ) ˆ 2 ( ) ˆ 2 ( ˆ 2 1 , / 2 2 1 , / 2 2 1 , / 2 1 , / r i ij i r i r ij i r ij i ij s p s s p s p s U p a a a a c c c c + + -+

-= (4.10)

sebagai batas atas interval dan

) ( 2 ) ˆ )( ( 4 ) ˆ 2 ( ) ˆ 2 ( ˆ 2 1 , / 2 2 1 , / 2 2 1 , / 2 1 , / r i ij i r i r ij i r ij i ij s p s s p s p s L p a a a a c c c c + +

-= (4.11)

sebagai batas bawah interval.

4.5 Contoh Kasus

Dianggap bahwa penjualan dan pembelian mobil menurut jenis badan mobil memenuhi sifat Markov. Artinya seseorang memutuskan untuk membeli mobil berdasarkan bentuk badan mobil yang dia miliki sebelumnya. Jenis badan mobil yang diamati adalah sedan, pick up, dan wagon (kijang). Data diperoleh dari hasil penjualan dan pembelian mobil dalam satu tahun terakhir (tahun 2009 – 2010) dari dealer mobil NOVI MOTOR Kartasura yang melayani penjualan mobil dengan cara tukar tambah. Data disajikan dalam tabel berdasarkan pada model badan (body) mobil berikut.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

23

Mobil yang dibeli

Mobil yang dijual

Jumlah

Pick up Pick up 48 Pick up Sedan 13 Pick up Wagon 11 Sedan Pick up 36

Sedan Sedan 35

Sedan Wagon 47

Wagon Pick up 37

Wagon Sedan 13

Wagon Wagon 36

Misalkan state 1 untuk mobil jenis pick up, state 2 untuk sedan, dan state 3 untuk wagon. Misalkan s_ij menyatakan jumlah konsumen yang mengganti mobil i dengan mobil j, untuk i, j = 1, 2, 3. Nilai dari s_ij dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

1(pick up) 2(sedan) 3(wagon) si

1(pick up) 48 13 11 72

2(sedan) 36 35 47 118

3(wagon) 37 13 36 86

j

s _{121 61 94 276}

Jika diasumsikan bahwa perpindahan jenis badan mobil dianggap stabil maka dapat ditentukan estimasi probabilitas transisi dengan

å

=

= _r

j ij ij ij

s s p

1

ˆ . Matriks

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

24

P =

1̂44 1̂4 1̂4

1̂ 4 1̂ 1̂

1̂ 4 1̂ 1̂

= 48 72 13 72 11 72 36 118 35 118 47 118 37 86 13 86 36 86 =

0,6667 0,1805 0,1528

0,3051 0,2966 0,3983

0,4302 0,1152 0,4186

.

Dari matriks di atas, dapat dilihat bahwa pembeli yang mempertahankan mobil jenis pick up sekitar 66,67%, yang menukar mobil jenis pick up dengan sedan 18,05%, yang menukar pick up dengan wagon 15,28%, dan seterusnya.

Untuk menentukan interval konfidensi 95 % untuk probabilitas transisi 1 , digunakan persamaan (4.10) dan (4.11). Dengan c₀2_,05/3,1 =5,7311, diperoleh - untuk i = 1,

) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 1 2 11 1 1 2 11 1 11 1 11 ₊ + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 1 2 12 1 1 2 12 1 12 1 12 + + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 1 2 13 1 1 2 13 1 13 1 13 ₊ + -± -= s p s s p s p s L U p

- untuk i = 2, ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 2 2 21 2 2 2 21 2 21 2 21 + + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22 + + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 2 2 23 2 2 2 23 2 23 2 23 ₊ + -± -= s p s s p s p s L U p

- untuk i = 3,

) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 3 2 31 3 3 2 31 3 31 3 31 + + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 3 2 32 3 3 2 32 3 32 3 32 ₊ + -± -= s p s s p s p s L U p

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

25

) 7311 , 5 ( 2

) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ,

ˆ

3

2 33 3 3

2 33

3 33

3

33 ₊

+

-±

-=

s

p s s

p s p

s L

U p

Hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut.

ij

p pˆij

Interval konfidensi 95 % Batas bawah Batas atas

11

p 0,6667 0,525822 0,845322

12

p 0,1805 0,097001 0,335877

13

p 0,1528 0,077405 0,301632

21

p 0,3051 0,21462 0,433725

22

p 0,2966 0,207268 0,424434

23

p 0,3983 0,297546 0,533172

31

p 0,4302 0,310731 0,595603

32

p 0,1152 0,055897 0,237418

33

p 0,4186 0,300271 0,583559

Dari hasil yang diperoleh, terlihat bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%, jumlah pembeli yang tetap mempertahankan mobil jenis pick up sekitar 52,5822% sampai dengan 84,5322%, yang menukar pick up dengan sedan 9,7% sampai dengan 33,5877%, dan seterusnya.

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

26 BAB V PENUTUP

5.1Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi Z₆ ditentukan oleh

U p p L

pˆ_ij £ _ij £ ˆ_ij , dengan

) ( 2 ) ˆ )( ( 4 ) ˆ 2 ( ) ˆ 2 ( ˆ ₂ 1 , / 2 2 1 , / 2 2 1 , / 2 1 , / r i ij i r i r ij i r ij i ij s p s s p s p s U p a a a a c c c c + + -+ -=

sebagai batas atas interval dan

) ( 2 ) ˆ )( ( 4 ) ˆ 2 ( ) ˆ 2 ( ˆ ₂ 1 , / 2 2 1 , / 2 2 1 , / 2 1 , / r i ij i r i r ij i r ij i ij s p s s p s p s L p a a a a c c c c + + -=

sebagai batas bawah interval, untuk i, j = 1, 2, …, r.

5.2 Saran

Dalam penulisan skripsi ini, pembahasan mengenai interval konfidensi pada rantai Markov didasarkan pada analogi dari distribusi multinomial. Sebagai saran, penentuan interval konfidensi bisa juga ditentukan dengan metode bootstrap atau metode yang lainnya.

commit to user

) 1 ( )

ˆ

(p_i p_i 2 2_/k,1 p_i p_i

n - =c_a - untuk semua i = 1, 2, …, k. (4.9) Persamaan (4.9) diuraikan menjadi

61̂ − 211̂+1 = ,41 − ,41

1̂ − 2 11̂+ 1 = _,41 − _,4 1

+ _,4 1 + (−2 1̂ − _,4)1+ 1̂ = 0

Sehingga diperoleh interval konfidensi untuk probabilitas multinomial yaitu

) (

2

) ˆ )( (

4 ) ˆ

2 ( ) ˆ

2 (

2 1 , /

2 2

1 , / 2

2 1 , / 2

1 , /

k

i k k

i k

i ui

n

p n n

p n p

n p

a

a a

a

c

c c

c

+

+

-+

-= sebagai batas

atas interval dan

) (

2

) ˆ )( (

4 ) ˆ

2 ( ) ˆ

2 (

2 1 , /

2 2

1 , / 2

2 1 , / 2

1 , /

k

i k k

i k

i li

n

p n n

p n p

n p

a

a a

a

c

c c

c

+

+

-= sebagai batas

bawah interval.

4.4.2 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi Rantai Markov Diskrit Interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov ditentukan dengan analog pada distribusi multinomial. Misalkan {Xk} adalah rantai markov

dengan ruang state berhingga, dengan p_ij menyatakan probabilitas proses berada di state j pada waktu k dan berada di state i pada waktu k – 1.

Diketahui matriks jumlah transisi S berikut

S =

ú ú ú ú û ù

ê ê ê ê ë é

rr r

r

r r

s s

s

s s

s

s s

s

... ... ...

2 1

2 22

21

1 12

11

M O M

M .

State 1 2 … r Jumlah

1 s₁₁ s₁₂ … s_1r

å

= = r

j j s

1

1 s1

2 s₂₁ s₂₂ … s_2r

å

= = r

j j s

1

2 s2

M M M … M M

r s_r1 sr₂ … srr

å

= = r

j rj s

1

r s

Karena 1

1

=

å

= r

j ij

p , maka interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi

1 bisa ditentukan dengan

) 1 ( )

ˆ

( _{ij ij} 2 2_{/r,1 ij ij}

i p p p p

s - =c_a - untuk i, j = 1, 2, …, r yang mempunyai penyelesaian

) (

2

) ˆ )( (

4 ) ˆ

2 ( ) ˆ

2 ( ˆ

2 1 , /

2 2

1 , / 2

2 1 , / 2

1 , /

r i

ij i r i r

ij i r

ij i ij

s

p s s

p s p

s U

p

a

a a

a

c

c c

c

+

+

-+

-= (4.10)

sebagai batas atas interval dan

) (

2

) ˆ )( (

4 ) ˆ

2 ( ) ˆ

2 ( ˆ

2 1 , /

2 2

1 , / 2

2 1 , / 2

1 , /

r i

ij i r i r

ij i r

ij i ij

s

p s s

p s p

s L

p

a

a a

a

c

c c

c

+

+

-= (4.11)

sebagai batas bawah interval.

4.5 Contoh Kasus

Dianggap bahwa penjualan dan pembelian mobil menurut jenis badan mobil memenuhi sifat Markov. Artinya seseorang memutuskan untuk membeli mobil berdasarkan bentuk badan mobil yang dia miliki sebelumnya. Jenis badan mobil yang diamati adalah sedan, pick up, dan wagon (kijang). Data diperoleh dari hasil penjualan dan pembelian mobil dalam satu tahun terakhir (tahun 2009 – 2010) dari dealer mobil NOVI MOTOR Kartasura yang melayani penjualan mobil

commit to user

Mobil yang dibeli

Mobil yang dijual

Jumlah

Pick up Pick up 48 Pick up Sedan 13 Pick up Wagon 11 Sedan Pick up 36

Sedan Sedan 35

Sedan Wagon 47

Wagon Pick up 37

Wagon Sedan 13

Wagon Wagon 36

Misalkan state 1 untuk mobil jenis pick up, state 2 untuk sedan, dan state 3 untuk wagon. Misalkan s_ij menyatakan jumlah konsumen yang mengganti mobil i

dengan mobil j, untuk i, j = 1, 2, 3. Nilai dari s_ij dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

1(pick up) 2(sedan) 3(wagon) si

1(pick up) 48 13 11 72

2(sedan) 36 35 47 118

3(wagon) 37 13 36 86

j

s _{121 61 94 276}

Jika diasumsikan bahwa perpindahan jenis badan mobil dianggap stabil maka

dapat ditentukan estimasi probabilitas transisi dengan

å

= = _r

j ij ij ij

s s p

1

ˆ . Matriks

P =

1̂44 1̂4 1̂4

1̂ 4 1̂ 1̂

1̂ 4 1̂ 1̂ = 48 72 13 72 11 72 36 118 35 118 47 118 37 86 13 86 36 86 =

0,6667 0,1805 0,1528 0,3051 0,2966 0,3983 0,4302 0,1152 0,4186

.

Dari matriks di atas, dapat dilihat bahwa pembeli yang mempertahankan mobil jenis pick up sekitar 66,67%, yang menukar mobil jenis pick up dengan sedan 18,05%, yang menukar pick up dengan wagon 15,28%, dan seterusnya.

Untuk menentukan interval konfidensi 95 % untuk probabilitas transisi 1 , digunakan persamaan (4.10) dan (4.11). Dengan c₀2_,05/3,1 =5,7311, diperoleh - untuk i = 1,

) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 1 2 11 1 1 2 11 1 11 1 11 ₊ + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 1 2 12 1 1 2 12 1 12 1 12 + + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 1 2 13 1 1 2 13 1 13 1 13 ₊ + -± -= s p s s p s p s L U p

- untuk i = 2, ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 2 2 21 2 2 2 21 2 21 2 21 + + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22 + + -± -= s p s s p s p s L U p ) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 2 2 23 2 2 2 23 2 23 2 23 ₊ + -± -= s p s s p s p s L U p

- untuk i = 3,

) 7311 , 5 ( 2 ) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( , ˆ 3 2 31 3 3 2 31 3 31 3 31 + + -± -= s p s s p s p s L U p

commit to user

) 7311 , 5 ( 2

) ˆ )( 7311 , 5 ( 4 ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ) 7311 , 5 ˆ 2 ( ,

ˆ

3

2 33 3 3

2 33

3 33

3

33 ₊

+

-±

-=

s

p s s

p s p

s L

U p

Hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut.

ij

p pˆij

Interval konfidensi 95 % Batas bawah Batas atas

11

p 0,6667 0,525822 0,845322

12

p 0,1805 0,097001 0,335877

13

p 0,1528 0,077405 0,301632

21

p 0,3051 0,21462 0,433725

22

p 0,2966 0,207268 0,424434

23

p 0,3983 0,297546 0,533172

31

p 0,4302 0,310731 0,595603

32

p 0,1152 0,055897 0,237418

33

p 0,4186 0,300271 0,583559

Dari hasil yang diperoleh, terlihat bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%, jumlah pembeli yang tetap mempertahankan mobil jenis pick up sekitar 52,5822% sampai dengan 84,5322%, yang menukar pick up dengan sedan 9,7% sampai dengan 33,5877%, dan seterusnya.

BAB V PENUTUP

5.1Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi Z₆ ditentukan oleh

U p p L

pˆ_ij £ _ij £ ˆ_ij , dengan

) (

2

) ˆ )( (

4 ) ˆ

2 ( ) ˆ

2 (

ˆ ₂

1 , /

2 2

1 , / 2

2 1 , / 2

1 , /

r i

ij i r i r

ij i r

ij i ij

s

p s s

p s p

s U

p

a

a a

a

c

c c

c

+

+

-+

-=

sebagai batas atas interval dan

) (

2

) ˆ )( (

4 ) ˆ

2 ( ) ˆ

2 (

ˆ ₂

1 , /

2 2

1 , / 2

2 1 , / 2

1 , /

r i

ij i r i r

ij i r

ij i ij

s

p s s

p s p

s L

p

a

a a

a

c

c c

c

+

+

-=

sebagai batas bawah interval, untuk i, j = 1, 2, …, r.

5.2 Saran

Dalam penulisan skripsi ini, pembahasan mengenai interval konfidensi pada rantai Markov didasarkan pada analogi dari distribusi multinomial. Sebagai saran, penentuan interval konfidensi bisa juga ditentukan dengan metode bootstrap atau metode yang lainnya.