CATATAN KULIAH MATEMATIKA Diferensial.do docx
CATATAN KULIAH
KALKULUS DIFERENSIAL
Alexandro Leon
2016
A. Diferensial
Differensial berasal dari kata “Diffrent”(Bahasa Inggris) yang artinya beda
atau selisih .Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam
matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut
perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus
diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu
menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah
fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan
diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam.
Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai
bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri
gsi adalah hubungan antara 2 variabel atau lebih
” adalah simbol dari fungsi.
diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Contoh Kasus Diferensial:
Ayah memberikan uang saku pada Mahasiswa,sehingga apa yang
diterima oleh Mahasiswa tergantung oleh Ayah. Maka jika diaplikasikan
dalam bentuk matematika akan menjadi :
M =f ( A)
M dimana M adalah fungsi A
Ket:
*Ayah (A) merupakan variabel bebas
Mengapa ?
Karena Ayah tidak terikat
dan menjadi fungsi bagi
mahasiswa.
Mengapa ?
*Mahasiswa (M) merupakan Variabel Terikat
Karena jumlah uang
yang diterima oleh
Mahasiswa tergantung
pada Ayah.
Misalnya, jika terjadi perubahan pada uang saku yang di berikan oleh Ayah
maka akan berbentuk seperti berikut:
M =f ( A)
Perubahan Pada f(A)
menjadi
dA
“d” adalah perubahan
*Sehingga dA → dM
Perubahan A menyebabkan perbuahan
pada M
Perbandingan perubahan dari :
dA → dM
adalah
dA
dM
Inilah yang disebut dengan koefisien
diferensial
Koefisien Diferensial adalah perbandingan Variebal tidak bebas
dengan Variabel bebas
Variabel tidak bebas
Variabel bebas
B. Rumus Dasar Koefisien Diferensial
=
dy
dx
Nomor
1
Fungsi ( y=f ( x) ¿
y=a x
2
n
y=ln f ( x )
Dimana, ln =log e
e=2,7182
y=log a x
3
Koefisien Diferensial
dy
dx
dy
=a . n x n−1
dx
dy
1
=
. f ' (x )
dx f (x)
dy
1
=
dx x ln a
4
y=e
dy '
=f ( x ) . e f (x)
dx
5
y=af (x)
dy '
=f ( x ) . an ln a
dx
6
y=sin x
7
y=cos x
dy
=cos x
dx
dy
=−sin x
dx
8
y=tan x
f (x )
dy
2
=sec x
dx
9
y=sinh x
10
Sinh dibaca sinus hiperbolikus
y=cosh x
dy
=cosh x
dx
Cosh dibaca cosinus hiperbolikus
dy
=sinh x
dx
11
y=tanh x
Tanh dibaca tangen hiperbolikus
dy
=sech 2 x
dx
12
y=sin x
13
−1
dy
1
=
dx √ 1−x 2
y=cos x
−1
dy
−1
=
dx √ 1−x 2
14
y=tan−1 x
dy
1
=
dx 1+ x 2
15
y=sinh x
−1
dy
1
=
dx √ x 2+1
16
y=cosh −1 x
17
y=tanh−1 x
dy
1
=
dx √ x 2−1
dy
1
=
dx 1−x 2
C. Contoh dan Pembahasan
a) Contoh rumus ke-1:
Carilah Koefiseien Diferensial dari soal berikut:
3
1.
y=2 x
Jawab :
dy
=3.2 x 3−1
dx
2
¿6 x
1
2.
y=4 x 2
Jawab :
1
dy
1 −1
=4 . x 2
dx
2
¿2x
¿2
3.
−1
2
1
√x
2
y=20 x . √ x
Jawab :
2
y=20 x . x
¿ 20 x
1
2
5
2
5
dy
5 −1
=20. x 2
dx
2
3
¿ 50 x 2
¿ 50 √ x 3
b) Contoh rumus ke-2 :
Diferensialkanlah :
y=ln z
1.
Jawab :
dy 1
=
dz z
2.
2
Ingat!
Selalu perhatikan variabel yang
digunakan
Soal nomor 1 memakai variabel y
dan z sehingga koef. diferensialnya
y=ln2 x +1
Jawab :
menjadi
dy
1
2−1
=
.2.2 x +0
dx 2 x 2+1
dy
dz
Ingat!
y=ln f ( x )
4x
2 x 2+ 1
y=ln (x−2)2
dy
1
=
. f ' (x )
dx f (x)
¿
3.
Jawab :
2
x−2 ¿
¿
2−1
x−2
¿ .1
2
Misalkan p= x−2 ¿ , maka
dp
=2. ¿
¿
dx
= 2. (x−2)
= 2 x −4
2
o Setelah memisalkan p= x−2 ¿ , maka:
¿
dy 1
=
y=ln p sehingga ,
dp p
o Pertama selesaikan turunan dari
o Setelah itu carilah
dy
dx
dy dy dp
= .
dx dp dx
dy 1
= .(2 x−4)
dx p
2
x−2 ¿
¿
dy 2 x−4 2 x−4
=
= ¿
dx
p
c) Contoh rumus ke-3 :
Diferensialkanlah :
y=log a z
1.
dy
1
=
dz z ln a
2. –
d) Contoh rumus ke-4 :
Diferensialkanlah :
x
1.
y=e
dy x
=e
dx
4 x−50
2.
y=e
dy
4 x−50
=4−0 . e
dx
dy
=4 e4 x−50
dx
3.
y=e +2
dy
2x
2x
=2e +2. 2 ln 2
dx
2x
2x
2
4.
2 x+1 ¿
¿
¿
y=100 e
2
2 x +1¿
¿
¿
2−1
1−1
2 x +1 ¿ . ( 2.1 x +1.0 ) . e
dy
=100. 2¿
dx
2 x +1 ¿2
¿
dy
=200 (2 x +1 ) . 2. e ¿
dx
Koef. Differensial rumus ke-5
2 x +1¿ 2
¿
dy
=400 ( 2 x +1 ) e ¿
dx
ax +b ¿n
y =¿
n−1
ax +b ¿
1−1
(a.1 x +b .0)
dy
=n ¿
dx
ax +b ¿n−1 . a
dy
=n ¿
dx
e)
oh rumus ke-5
Diferensialkanlah :
C
o
nt
KALKULUS DIFERENSIAL
Alexandro Leon
2016
A. Diferensial
Differensial berasal dari kata “Diffrent”(Bahasa Inggris) yang artinya beda
atau selisih .Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam
matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut
perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus
diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu
menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah
fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan
diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam.
Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai
bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri
gsi adalah hubungan antara 2 variabel atau lebih
” adalah simbol dari fungsi.
diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Contoh Kasus Diferensial:
Ayah memberikan uang saku pada Mahasiswa,sehingga apa yang
diterima oleh Mahasiswa tergantung oleh Ayah. Maka jika diaplikasikan
dalam bentuk matematika akan menjadi :
M =f ( A)
M dimana M adalah fungsi A
Ket:
*Ayah (A) merupakan variabel bebas
Mengapa ?
Karena Ayah tidak terikat
dan menjadi fungsi bagi
mahasiswa.
Mengapa ?
*Mahasiswa (M) merupakan Variabel Terikat
Karena jumlah uang
yang diterima oleh
Mahasiswa tergantung
pada Ayah.
Misalnya, jika terjadi perubahan pada uang saku yang di berikan oleh Ayah
maka akan berbentuk seperti berikut:
M =f ( A)
Perubahan Pada f(A)
menjadi
dA
“d” adalah perubahan
*Sehingga dA → dM
Perubahan A menyebabkan perbuahan
pada M
Perbandingan perubahan dari :
dA → dM
adalah
dA
dM
Inilah yang disebut dengan koefisien
diferensial
Koefisien Diferensial adalah perbandingan Variebal tidak bebas
dengan Variabel bebas
Variabel tidak bebas
Variabel bebas
B. Rumus Dasar Koefisien Diferensial
=
dy
dx
Nomor
1
Fungsi ( y=f ( x) ¿
y=a x
2
n
y=ln f ( x )
Dimana, ln =log e
e=2,7182
y=log a x
3
Koefisien Diferensial
dy
dx
dy
=a . n x n−1
dx
dy
1
=
. f ' (x )
dx f (x)
dy
1
=
dx x ln a
4
y=e
dy '
=f ( x ) . e f (x)
dx
5
y=af (x)
dy '
=f ( x ) . an ln a
dx
6
y=sin x
7
y=cos x
dy
=cos x
dx
dy
=−sin x
dx
8
y=tan x
f (x )
dy
2
=sec x
dx
9
y=sinh x
10
Sinh dibaca sinus hiperbolikus
y=cosh x
dy
=cosh x
dx
Cosh dibaca cosinus hiperbolikus
dy
=sinh x
dx
11
y=tanh x
Tanh dibaca tangen hiperbolikus
dy
=sech 2 x
dx
12
y=sin x
13
−1
dy
1
=
dx √ 1−x 2
y=cos x
−1
dy
−1
=
dx √ 1−x 2
14
y=tan−1 x
dy
1
=
dx 1+ x 2
15
y=sinh x
−1
dy
1
=
dx √ x 2+1
16
y=cosh −1 x
17
y=tanh−1 x
dy
1
=
dx √ x 2−1
dy
1
=
dx 1−x 2
C. Contoh dan Pembahasan
a) Contoh rumus ke-1:
Carilah Koefiseien Diferensial dari soal berikut:
3
1.
y=2 x
Jawab :
dy
=3.2 x 3−1
dx
2
¿6 x
1
2.
y=4 x 2
Jawab :
1
dy
1 −1
=4 . x 2
dx
2
¿2x
¿2
3.
−1
2
1
√x
2
y=20 x . √ x
Jawab :
2
y=20 x . x
¿ 20 x
1
2
5
2
5
dy
5 −1
=20. x 2
dx
2
3
¿ 50 x 2
¿ 50 √ x 3
b) Contoh rumus ke-2 :
Diferensialkanlah :
y=ln z
1.
Jawab :
dy 1
=
dz z
2.
2
Ingat!
Selalu perhatikan variabel yang
digunakan
Soal nomor 1 memakai variabel y
dan z sehingga koef. diferensialnya
y=ln2 x +1
Jawab :
menjadi
dy
1
2−1
=
.2.2 x +0
dx 2 x 2+1
dy
dz
Ingat!
y=ln f ( x )
4x
2 x 2+ 1
y=ln (x−2)2
dy
1
=
. f ' (x )
dx f (x)
¿
3.
Jawab :
2
x−2 ¿
¿
2−1
x−2
¿ .1
2
Misalkan p= x−2 ¿ , maka
dp
=2. ¿
¿
dx
= 2. (x−2)
= 2 x −4
2
o Setelah memisalkan p= x−2 ¿ , maka:
¿
dy 1
=
y=ln p sehingga ,
dp p
o Pertama selesaikan turunan dari
o Setelah itu carilah
dy
dx
dy dy dp
= .
dx dp dx
dy 1
= .(2 x−4)
dx p
2
x−2 ¿
¿
dy 2 x−4 2 x−4
=
= ¿
dx
p
c) Contoh rumus ke-3 :
Diferensialkanlah :
y=log a z
1.
dy
1
=
dz z ln a
2. –
d) Contoh rumus ke-4 :
Diferensialkanlah :
x
1.
y=e
dy x
=e
dx
4 x−50
2.
y=e
dy
4 x−50
=4−0 . e
dx
dy
=4 e4 x−50
dx
3.
y=e +2
dy
2x
2x
=2e +2. 2 ln 2
dx
2x
2x
2
4.
2 x+1 ¿
¿
¿
y=100 e
2
2 x +1¿
¿
¿
2−1
1−1
2 x +1 ¿ . ( 2.1 x +1.0 ) . e
dy
=100. 2¿
dx
2 x +1 ¿2
¿
dy
=200 (2 x +1 ) . 2. e ¿
dx
Koef. Differensial rumus ke-5
2 x +1¿ 2
¿
dy
=400 ( 2 x +1 ) e ¿
dx
ax +b ¿n
y =¿
n−1
ax +b ¿
1−1
(a.1 x +b .0)
dy
=n ¿
dx
ax +b ¿n−1 . a
dy
=n ¿
dx
e)
oh rumus ke-5
Diferensialkanlah :
C
o
nt